傅里叶级数论文开题报告

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。自己看：

§ 傅立叶级数一、三角级数与三角函数系的正交性描述简谐振动的函数 就是一个以 为周期的正弦函数，其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅， 为角频率， 为初相。在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。 如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为 的周期函数用一系列三角函数 组成的级数来表示，记为 (1)其中 都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。为了讨论的方便，我们将正弦函数 变形成为 并且令 则(1)式右端的级数就可以改写为 (2)一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中 都是常数。如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2 的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。我们首先介绍三角函数系的正交性。所谓三角函数系 (3)在区间[ ]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[ ]上的积分等于零，即

法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导 出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 1822 年在代表作《热的分析理论》中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。（二）傅立叶（Fourier，1772—1837）1772年4月生在法国一个富商家庭，自幼勤奋好学，善于思考问题。在他的学说中，他无情揭露资本主义社会的种种罪恶，建立起自己的空想社会主义思想体系。傅立叶为了自己的美好的设想，曾进行过一些尝试。虽然他的设想都失败了，但傅立叶关于未来社会的天才设想，却给科学社会主义的诞生提供了宝贵的思想材料。 这里提到了三角级数的运用

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)，傅里叶级数的公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1）其中，ak可以按下式计算： a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2）注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\pm 1时具有基波频率\omega_0=\frac{2\pi}{T}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。三角函数族的正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0; \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi; \int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;[编辑]奇函数和偶函数奇函数fo(x)可以表示为正弦级数： f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx)；而偶函数fe(x)则可以表示成余弦级数： f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx)。只要注意到欧拉公式: ejθ = cosθ + jsinθ，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。

傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。

傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现。

傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。