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[8] 蒋长锦 蒋勇. 快速傅里叶变换及 c 程序 [M].中国科技大学出版社. 2004. [9] 迂回相位编码的傅里叶变换计算全息图及其再现 王永仲 2004 红外技术. [10] 近距离数字全息术记录和再现问题 罗鹏 2007 光学学报. [11] FFT算法的一种FPGA设计 陆旦前 2007 现代电子技术 希望对你有帮助~
傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅里叶是对的。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波来表示的原因在于，分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。 为什么偏偏选择三角函数而不用其他函数进行分解？我们从物理系统的特征信号角度来解释。我们知道：大自然中很多现象可以抽象成一个线性时不变系统来研究，无论你用微分方程还是传递函数或者状态空间描述。线性时不变系统可以这样理解：输入输出信号满足线性关系，而且系统参数不随时间变换。对于大自然界的很多系统，一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。也就是说正弦信号是系统的特征向量！当然，指数信号也是系统的特征向量，表示能量的衰减或积聚。自然界的衰减或者扩散现象大多是指数形式的，或者既有波动又有指数衰减（复指数 形式），因此具有特征的基函数就由三角函数变成复指数函数。但是，如果输入是方波、三角波或者其他什么波形，那输出就不一定是什么样子了。所以，除了指数信号和正弦信号以外的其他波形都不是线性系统的特征信号。用正弦曲线来代替原来的曲线而不用方波或三角波或者其他什么函数来表示的原因在于：正弦信号恰好是很多线性时不变系统的特征向量。于是就有了傅里叶变换。对于更一般的线性时不变系统，复指数信号(表示耗散或衰减)是系统的“特征向量”。于是就有了拉普拉斯变换。z变换也是同样的道理，这时是离散系统的“特征向量”。这里没有区分特征函数和特征向量的概念，主要想表达二者的思想是相同的，只不过一个是有限维向量，一个是无限维函数。傅里叶级数和傅里叶变换其实就是我们之前讨论的特征值与特征向量的问题。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。这样，用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线保真度。且只有正弦曲线才拥有这样的性质。这也解释了为什么我们一碰到信号就想方设法的把它表示成正弦量或者复指数量的形式；为什么方波或者三角波如此“简单”，我们非要展开的如此“麻烦”；为什么对于一个没有什么规律的“非周期”信号，我们都绞尽脑汁的用正弦量展开。就因为正弦量(或复指数)是特征向量。 什么是时域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。什么是频域？频域(frequency domain)是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。用线性代数的语言就是装着正弦函数的空间。频域最重要的性质是：它不是真实的，而是一个数学构造。频域是一个遵循特定规则的数学范畴。正弦波是频域中唯一存在的波形，这是频域中最重要的规则，即正弦波是对频域的描述，因为时域中的任何波形都可用正弦波合成。对于一个信号来说，信号强度随时间的变化规律就是时域特性，信号是由哪些单一频率的信号合成的就是频域特性。 时域分析与频域分析是对信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。贯穿时域与频域的方法之一，就是传说中的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)。 根据原信号的不同类型，我们可以把傅里叶变换分为四种类别：1非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）2周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)3非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）4周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)下图是四种原信号图例：这四种傅里叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅里叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。面对这种困难，方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离解信号，我们就可以用到离散时域傅里叶变换的方法。还有，也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅里叶变换方法进行变换。这里我们要学的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅里叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。这里要理解的是我们使用周期性的信号目的是为了能够用数学方法来解决问题，至于考虑周期性信号是从哪里得到或怎样得到是无意义的。每种傅里叶变换都分成实数和复数两种方法，对于实数方法是最好理解的，但是复数方法就相对复杂许多了，需要懂得有关复数的理论知识，不过，如果理解了实数离散傅里叶变换(real DFT)，再去理解复数傅里叶就更容易了，所以我们先把复数的傅里叶放到一边去，先来理解实数傅里叶变换，在后面我们会先讲讲关于复数的基本理论，然后在理解了实数傅里叶变换的基础上再来理解复数傅里叶变换。如 上图所示，实信号四种变换在时域和频域的表现形式。还有，这里我们所要说的变换(transform)虽然是数学意义上的变换，但跟函数变换是不同的，函数变换是符合一一映射准则的，对于离散数字信号处理（DSP），有许多的变换：傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换、希尔伯特变换、离散余弦变换等，这些都扩展了函数变换的定义，允许输入和输出有多种的值，简单地说变换就是把一堆的数据变成另一堆的数据的方法。 傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。和傅里叶变换算法对应的是反傅里叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅里叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅里叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：1. 傅里叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;2. 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;4. 离散形式的傅里叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅里叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。图像傅里叶变换图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅里叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。傅里叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅里叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅里叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅里叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。另外说明以下几点：1、图像经过二维傅里叶变换后，其变换系数矩阵表明：若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近（图中阴影区）。若所用的二维傅里叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅里叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。 将其发展延伸，构造出了其他形式的积分变换: 从数学的角度理解积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数。也可以理解成是算内积，然后就变成一个函数向另一个函数的投影：K（s，t）积分变换的核(Kernel)。当选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的积分变换。学术一点的说法是：向核空间投影，将原问题转化到核空间。所谓核空间，就是这个空间里面装的是核函数。下表列出常见的变换及其核函数： 当然，选取什么样的核主要看你面对的问题有什么特征。不同问题的特征不同，就会对应特定的核函数。把核函数作为基函数。将现在的坐标投影到核空间里面去，问题就会得到简化。之所以叫核，是因为这是最核心的地方。为什么其他变换你都没怎么听说过而只熟悉傅里叶变换和拉普拉斯变换呢？因为复指数信号才是描述这个世界的特征函数！
备份自： 傅里叶变换（Fourier Transform）是非常重要的数学分析工具，同时也是一种非常重要的信号处理方法。我记得本科课程电路原理中有提到过，但由于计算过于复杂，好像是超出考试范围了，所以并没有深入学习。最近实验中需要对图像进行滤波处理，文献中提到的方法通常是经过傅里叶变换之后对频域进行过滤，将图像中的低频信息与高频信息区分开来。 理解傅里叶变换对非数学专业的人来说比较难以理解的原因主要有两方面。首先，由于涉及到比较复杂繁琐的数学操作，看到下面的这两个公式，一般人可能当时就蒙了： $$ \widehat{f}(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi ixt}dx; $$ $$ f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\widehat f (t) e^{2\pi itx}dt; $$ 另一方面的原因则是由于变换过程比较抽象，很难从直觉上去把握在傅里叶变换过程中到底发生了什么。关于傅里叶变换的科普文章，有一篇是知乎上传阅较广的《 傅里叶分析之掐死教程 》，作者用了尽可能少的数学公式和图形分解来解决这两方面的问题。在此之前，国外有个专门科普数学概念的网站（ Better Explained ）也写了一篇类似的科普文章，但更彻底的是，全文都不涉及到任何数学公式和推断，完全用英语来向读者解释傅里叶变换过程。第一篇文章以音乐和乐谱为例，第二篇作者用“奶昔”作为例子，我想了半天终于找到一个更通俗的例子： 我们来想象一下，假设这块面饼的厚度是$N$层面条，每一层都是由一根弯曲成正弦曲线形状的面条排列而成，有些面条波浪较大，也就是排列较为稀疏，而密有些排列较密集。我们把这$N$层面条挤压到一起，就得到上图这一块杂乱无序、世间独一无二的面饼。傅里叶变换所做的事就是把上面的过程反过来，我们可以从一块完整的面饼得到最初的$N$层面条。如果有些人的口味比较特殊，喜欢波浪大又稀疏的面，于是我们就将排列太紧凑（高频面）剔除之后再重新压制成一块新的面饼，这就是我们最终想要的滤波（Filter）的过程。 带着对面饼的想象，我们来看一种更为抽象、优雅的描述（ from Wikipedia ）： 一般的波形或者说信号（Signal）都是基于时间尺度上的采样结果，因此也称为时域（Time Domain），而上面泡面的例子和我们将要处理的图像信号则是基于空间尺度上的采样，但好像并没有“空域（Space Domain）”这一说，毕竟我们对空间的感知仍然依赖于时间。不过在空间尺度上我们可以更直观地认为信号是静止，例如下面这张图像（灰度图），其实是由250x250个像素点组成，每个像素点的灰度值（$[0, 255]$）就是基于像素坐标的空间采样的结果： 右边的3D Fourier就是一块长相奇怪的面饼。 对傅里叶变换有了大概的了解之后可以先动手尝试一下，来更加直观地感受一下（实际上完全可以在不理解的情况下，直接上手）。这里用到的是OpenCV + Numpy，实际上OpenCV和Numpy都提供了快速傅里叶变换（FFT）算法： 右边图就是频率分布图谱，其中越靠近中心的位置频率越低，越亮（灰度值越高）的位置代表该频率的信号振幅越大。 fft 的结果是复数形式，保留了图像的全部信息，但去绝对值得到的频谱图只表现了振幅而没有体现相位。 回想一下高中时候学过的三角函数： $$ f(x) = A sin(\omega x+\varphi) = A sin(2\pi fx + \varphi) $$ 一个正弦波是由下面三个参数决定的： 除了上面这个公式之外，还可以用另外一种形式来（唯一地）表示一个正弦波（ from BetterExplained ）： 即： $$ cos(x) + i sin(x) \Leftrightarrow a + i b $$ 所以说， fft 的复数结果保留了正弦波成分的所有信息，但频谱图只展现了频率和振幅的分布。因此可以根据 fft 的结果还原原始图像，但是我们做傅里叶变换的目的并不是为了观察图像的频率分布（至少不是最终目的），更多情况下是为了对频率进行过滤。过滤的方法一般有三种：低通（Low-pass）、高通（High-pass）、带通（Band-pass）。所谓低通就是保留图像中的低频成分，过滤高频成分，可以把过滤器想象成一张渔网，根据上文对频谱图的解读，想要低通过滤器，就是将高频区域的信号全部拉黑，而低频区域全部保留： 很显然，滤波器的选择也是很重要的，这里用到的是 Butterworth 滤波器，有兴趣的可以自己实现一下 :P 傅里叶变换真是又伟大、又深奥、又方便！至少对于一个微积分已经忘记差不多、三角函数公式都要搜索半天才能回忆起来的“文科生”来说，从头学习一遍简直是又有虐脑又有惊喜！这篇文章可能更加偏重于记录我自己的消化过程，如果想要更加细致、深入深刻以及深入浅出地介绍，请参考下方参考链接。 这两天被虐脑的感觉真是酸爽，打算接续这一篇下去写一个专题，就叫 #BlowYourMind3000# ，哈哈哈，下篇预告《贝叶斯》。
一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。自己看：
§ 傅立叶级数一、三角级数与三角函数系的正交性描述简谐振动的函数 就是一个以 为周期的正弦函数，其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅， 为角频率， 为初相。在实际问题中，还会遇到一些更复杂的周期函数，如电子技术中常用的周期为T的矩形波。 如何深入研究非正弦周期函数呢？联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示与讨论函数，我们也想将周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数，具体的来说，将周期为 的周期函数用一系列三角函数 组成的级数来表示，记为 (1)其中 都是常数。将周期函数按上述方式展开，它的物理意义量很明确的，这就是把一个复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加，在电工学上这种展开称为谐波分析。为了讨论的方便，我们将正弦函数 变形成为 并且令 则(1)式右端的级数就可以改写为 (2)一般地，形如(2)式的级数叫做三角级数，其中 都是常数。如同讨论幂级数时一样，我们必须讨论三角级数(2)的收敛问题，以及给定周期为2 的周期函数如何把它展开成三角级数(2)。我们首先介绍三角函数系的正交性。所谓三角函数系 (3)在区间[ ]上正交，就是指在三角函数系(3)中任何两个不同函数乘积在区间[ ]上的积分等于零，即
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡， 被当地教堂收养。12岁由一主教送入地方军事学校读书。17岁（1785）回乡教数学，1794到巴 黎，成为高等师范学校的首批学员， 次年到巴黎综合工科学校执教。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔 省地方长官。1817年当选为科学院院 士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。 主要 贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文， 推导 出着名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。 1822 年在代表作《热的分析理论》中解 决了热在非均匀加热的 固体中分布传播问题，成为分析学在物理中应用的最早例证之一，对19 世纪数学和理论物理学的发展产生深远影响。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论 均由此创始。其他贡献有：最早使用定积分符号，改进了代数方 程符号法则的证法和实根个数 的判别法等。（二）傅立叶（Fourier，1772—1837）1772年4月生在法国一个富商家庭，自幼勤奋好学，善于思考问题。在他的学说中，他无情揭露资本主义社会的种种罪恶，建立起自己的空想社会主义思想体系。傅立叶为了自己的美好的设想，曾进行过一些尝试。虽然他的设想都失败了，但傅立叶关于未来社会的天才设想，却给科学社会主义的诞生提供了宝贵的思想材料。 这里提到了三角级数的运用
法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：série de Fourier，或译为傅里叶级数)，傅里叶级数的公式给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1）其中，ak可以按下式计算： a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2）注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=\pm 1时具有基波频率\omega_0=\frac{2\pi}{T}，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数的收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 2. 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 3. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。三角函数族的正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0; \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n) \int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi; \int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;[编辑]奇函数和偶函数奇函数fo(x)可以表示为正弦级数： f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx)；而偶函数fe(x)则可以表示成余弦级数： f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx)。只要注意到欧拉公式: ejθ = cosθ + jsinθ，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。
开题报告要确定模型和变量。确定模型和变量是开题报告的核心，变量又分内生变量和外发变量。开题报告是指开题者对科研课题的一种文字说明材料。是一种新的应用写作文体，这种文字体裁是随着现代科学研究活动计划性的增强和科研选题程序化管理。
按学校的模板写就行，重点是文献综述。和要写的纲目。
毕业论文开题报告撰写规范与格式要求
一、毕业论文开题报告格式规范
一份完整的毕业论文开题报告应包括下列页面：
(一)中文封面
(二)英文封面
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分述如下：
(一)中文页面
中文页面由上到下包括十二项内容，分别为：
1.编号(即作者的学号)
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9.作者所在班级
10.作者姓名
11.指导教师姓名及职称
12.报告完成日期
除2、3、4、5四项之外，其余八项内容均应根据实际情况填写完整。特别是第6项论文题目，应力求简短、明确、有概括性，直接反映毕业论文(设计)预解决的问题和学科特点。题目长度一般不超过20个汉字，如确有必要，可用副标题的方式予以补充。
(二)英文页面
英文页面由上到下包括七项内容，分别为：
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date
schoolanduniversity
除第1和7项外，其余各项均要求论文作者根据实际情况用英文进行补充或填写。论文题目不超过15个单词，如有必要，可用副标题的方式予以补充。论文题目的其它要求参见“(一)中文页面”中对中文题目的相关说明。
(三)报告主体
1.题头部分(headingofproposal)
这部分包括researchproposal,作者姓名、所在学院三项，均用英文书写。学院名称录完后空一行(小四号字体),再录入主体部分的其它内容.
2.主体部分(body)
主体部分包括题目(title)、研究的目的和意义(purposeandsignificanceofstudy)、国内外研究现状(situationofstudy)、拟研究的主要问题和难点(researchquestionsanddifficultyofstudy);研究方法及步骤(methodandprocedureofconduction);研究工作进展安排(scheduleofstudy);论文提纲(outlineofthesis);参考文献(references)八个部分构成。总词数在2,500左右。各部分要求如下：
1)题目(title)
即作者选定的论文题目。
2)研究的目的和意义(purposeandsignificanceofstudy)
研究的目的和意义指的是为何要选这个题目进行研究，研究它有什么价值。一般可以先从现实需要方面去论述，指出现实当中存在这样的问题，需要去研究、去解决，然后再写研究的理论价值和学术价值。主要内容包括：根据什么或受什么启发而搞这项研究;通过对现实社会或本领域实际情况的分析，指出为什么要研究该课题、研究的价值、要解决的问题。另外，理论和现实意义(theoreticalandpracticalsignificance)可以先概括，再说明。
3)国内外研究现状(situationofstudy)
明确指出国内外文献就这一问题已经提出的观点、结论、解决方法、阶段性成果等，评述这些文献所提出的观点或研究成果的不足，寻找有待进一步研究的问题，从而为确定本课题研究的平台。只简单评述与论文拟研究解决的问题密切相关的前沿文献，其他相关文献评述在文献综述中评述。撰写研究现状不宜一味罗列，要有作者本人的分析和归纳，并适当举出观点或理论的实例。
4)拟研究的主要问题和难点(researchquestionsanddifficultyofstudy)
明确提出论文所要解决的`具体学术问题，也就是论文拟定的创新点。一般提出3或4个问题，可以是一个大问题下的几个子问题，也可以是几个并行的相关问题。
5)研究方法及步骤(methodandprocedureofconduction)
选择这个题目后如何解决这个问题，也就是有了问题后，以什么样的方式寻求答案。撰写研究方法可简述自己的答题思路，同时重点阐述用什么方法去研究。具体的研究方法可从下面选定：观察法、调查法、实验法、经验总结法、个案法、问卷法、比较研究法、文献阐述法、访谈法等。
确定研究方法是还要叙述清楚“做些什么”和“怎样做”。撰写学术论文时，常常需要使用综合的研究方法。在应用各种方法时，一定要严格按照该方法的要求，不能凭空对一些基本概念的了解草率行事。比如用调查法，就要讲清楚调查的目的、任务、对象、范围、调查方法、问卷的设计或来源，最好能把调查方案附上。
6)研究工作进展安排(scheduleofstudy)
从选题开始到答辩结束整个过程中的每一个环节要有较为明确的时间安排，同时安排要与学校特别是外国语学院的安排吻合。共2页，当前第1页12
7)论文提纲(outlineofthesis)
初步提出整个论文的写作大纲或内容结构。提纲的目的是让人清楚论文的基本框架，没有必要像论文目录那样详细，但列出二级目录是起码的要求。
8)参考文献(references)
根据外国语学院对参考文献著录格式的规定罗列出主要的参考文献。
二、毕业论文书写与打印规范
(一)毕业论文开题报告一律使用a4白纸单面打印。
(二)字符间距：标准(中文封面和英文封面除外)
(三)行距：倍(中文封面和英文封面除外)
(四)页边距：上下厘米、左3厘米、右2厘米
(五)页眉：厘米，页脚：1厘米
(六)页码：中文封面和英文封面不用页码，报告主体部分的页码用阿拉伯数字从1开始连续标出。
(七)标点符号：中文标点符号必须在中文状态下录入;英文标点符号必须在英文状态下录入。中文的省略号为“……”，英文中的省略号为“…”。英文中没有书名号“《》”。
(八)编排格式
1.中文封面和英文封面上的内容及格式设置不得随意改动，作者只需根据自己的实际情况，按照默认的格式填写或完善相关信息即可。
另外，中文封面上除编号(学号)项保持左对齐外，其它各项均采用居中对齐的方式。论文题目如果太长，可采用延长下划线或另加一行的办法，论文题目之下的其它各项也要随论文题目项的变换而变化，要保持论文题目、学院、专业、班级、作者姓名、指导教师及职称、完成日期等七项内容左右对齐并保持居中状态。
英文封面上的各项内容均采用居中对齐的方式。英文论文题目如果太长，可另起一行。
英文标题中的实词首字母都大写，虚词的首字母不大写，但多音节的介词可例外。若虚词在行首，其首字母必须大写。
2.主体部分
1)报告主体的题头部分：“researchproposal”字样为3号timesnewroman字体加粗居中;作者的英文署名另起一行用小四号timesnewroman居中;作者所在学院即schoolofforeignlanguagesandliterature,longdonguniversity用小四号timesnewroman居中。学院名后空一行(小四号)开始录入主体部分的内容。
2)主体部分的八个方面内容的标题(包括序号)用四号timesnewroman字体加粗左对齐,标题序号用罗马数字大写形式,即i.、ii.、iii.、…等。
各部分内容在对应的标题下一行用小四号timesnewroman字体录入，段落首行缩进4个半角字符。
主体部分的表和图的要求参见《外国语学院英语专业本科生毕业论文撰写规范与格式要求》中的相关内容。
3)写作提纲部分的内容
写作提纲中的一级标题的字体为小四号timesnewroman加粗。二级标题的字体均为timesnewroman小四号。一级标题缩进两个半角字符，序号用阿拉伯数字标注，序号后用圆点，圆点后空半角字符，开始录入一级标题的内容。
二级标题依次以,,…，,，…，的形式标出序号，序号后(不用圆点)空半角字符，开始录入对应的标题。与一级标题缩进2个半角字符不同，二级标题要缩进(小四号字)4个半角字符。同一级别的标题，上下行的左边必须对齐。
同级标题必须有两个以上，即有1就应有2，有就应有，依次类推。
4)参考文献
参考文献按先英文后中文排序;英文文献条目用timesnewroman字体五号录入，中文文献条目用宋体五号录入;标点统一用英文半角状态;标点后统一空一格。参文献条目排列的规范及相关要求参见《陇东学院外国语学院本科生毕业论文参考文献引注规范》。
各级标题中首字母大写相关规定参见《外国语学院英语专业本科生毕业论文撰写规范与格式要求》中的“(八)编排格式”中有关说明。
英文标题内容一般用词组形式而不用句子形式表达。同一篇论文中的标题，语言表达形式要统一。标题一般采用名词词组形式，也可采用动词不定式、动名词、动词的现在分词、形容词或介词等词组形式。但无论采用哪种形式，在同一级标题中必须统一，不可几种形式混用。
三、毕业论文开题报告装订规范
(一)毕业论文开题报告文本按下列次序装订成册
1.中文封面(全校统一格式)
2.英文封面(学院统一格式)
3.报告主体
4.封底
(二)毕业论文在页面左侧1厘米处装订
据学术堂了解撰写本科毕业论文的开题报告，一定不要急于下笔，首先要理清思路。理清思路的过程就是你报告的一个大纲，建议开题报告的模板进行思考，并查找相关资料。1.我的研究方向是什么？我为什么要进行这样的研究？（选题依据）2.这个研究方向有什么特殊的背景？（课题来源）3.我的研究想要得出的结论是什么？能够给我们带来哪些实际的意义？（研究目的和研究意义）4.关于这个方向，国内和国外已经做过哪些研究？有哪些成果？（研究现状）5.我的研究与前人的研究相比，有哪些进步的地方？（创新性分析）6.要完成我的开题报告，我还应该知道哪些相关知识？完成哪些工作（研究内容）7.要完成我的开题报告，我应该掌握哪些技术？（研究方法）8.有哪些主客观因素对我的研究有利？（可行性分析）9.在这个过程中我有可能遇到的挫折有哪些？我应该怎样克服这些障碍呢？这个思路基本上是沿着研究步骤进行的，理清这些问题，你才有可能写出一篇比较符合要求的开题报告，而且不会卡顿。做好这些前提工作，就可以进入撰写阶段了：1 选题背景及研究意义 选题背景选题背景就是对选题起作用的历史情况或现实环境。选题背景就是要说明作者是根据什么、受什么启发而对该选题进行研究。最好简单说明一下预期研究成果的现实指导意义。 研究意义选题的研究意义就是阐述为什么要研究、研究它有什么价值。意义=价值，包括现实价值和理论价值。首先要突出说明的是选题的现实价值，每一个研究的目的都是为了指导现实生活，一定要讲清本选题的研究有什么实际作用、解决什么问题；其次再写课题的理论和学术价值。不要牵扯太远，可从题目的关键字说起，要写得具体一点，有针对性一点，不能漫无边际地空喊口号。比如“房地产开发项目成本管理研究”选题，不要去过多论述一般项目成本管理的必要性，而应该找出目前房地产项目开发过程中与成本管理密切相关的普遍问题，作为出发点论述解决这些问题的价值。2 国内外研究现状作为一个毕业生，你的能力水平和眼界是有一定局限性的，也可以说你现在的课题研究是“站在巨人的肩膀上”，所以国内外研究现状是肯定要提前了解的，这样才能更好的指导自己的选题。再者，毕业论文或者设计最根本的要求是要有创新性，因此，针对选题，必须广泛查阅国内外相关的前沿文献，了解他人在这些问题上所做的工作和别人在这一领域研究的基本情况。熟悉了别人在这方面的研究情况，才不会在别人已经研究很多、很成熟的情况下，重复别人走过的路，而会站在别人研究的基础上，从事更高层次、更有价值的东西去研究。在开题报告的撰写中，【研究现状】部分应该明确指出国内外文献已经提出的观点、结论、解决方法和阶段性研究成果。相关文字表达可以这样写：“谁—利用什么方法—在哪个问题上—取得了什么进展”以及“该工作有何优劣”。另外，叙述完国内外研究现状之后，要评述上述文献研究成果的不足，寻找有待进一步研究的问题，从而确定选题研究的平台（起点）、研究的特色或突破点，提出作者的学位论文准备论证的观点或解决方法。在引述他人的工作成果时，一定要注明引用的出处（参考文献）。只有被引用了的文献才能出现在后面的参考文献当中。3 研究方案及研究路径研究方案是在选题的重要性和必要性确定之后，对选题研究的工作计划，初步规定了选题研究的方法、内容和路径，对整个选题研究工作的顺利开展起着非常关键的作用。一个好的研究方案，可以避免无从下手或进行一段时间后不知道下一步该干什么的情况，保证整个选题研究工作有条不紊地进行。研究方案水平的高低，是一个选题质量与水平的重要反映。 研究方法研究方法的选择应该建立在他人研究同类问题所采用的思路、方法、工具上，要分析别人思路的优缺点，然后提出自己的主张。研究方法要可行、具体，不要出现“定性与定量相结合”、“理论和案例研究相结合”等没有任何内涵的表述。研究方法包括：访谈、观察、文献调研、调查、案例分析、经验总结、实验、数值分析（仿真）、理论推导、比较研究等。研究可以采用其中一种方法或多种方法结合，并且提倡使用综合的研究方法。 研究内容选题明确之后，要确定可行的研究内容。研究内容一是根据研究目标来确定；二是从现状研究、归因研究、应用（方法）研究或对策研究几方面来确定。现状研究是基础；归因研究是为了寻找解决问题的突破口；应用（方法）研究或对策研究是研究的重点。研究内容的确定具体就是拟定论文的结构，可以按章节写，而且在每一节模块下用简单的几句话说明该模块要做的主要工作。确定研究内容容易出现的问题有：拟定研究内容太难、太多，在一年内完成不现实、风险大；拟定内容太容易、太少，看不出工作量，达不到硕士学位论文的要求；内容安排就像是工作总结；体现工作的核心内容不多；研究内容安排内在逻辑不连贯。 研究路径研究路径可以用“研究路径图”来说明。该研究路径图反映了研究工作展开的逻辑顺序。可以把“研究内容”看成是论文工作的工作分解结构，而研究路径图就是论文工作的网络图。4 研究过程可能遇到的困难和问题，解决的初步设想困难和问题是指在研究内容中的哪些问题、研究方法的应用哪些方面是困难和问题之处，要针对他人很少研究、突破不大、对解决问题有价值的研究内容提出来的，尽量不要说“时间不充足”、“基础不扎实”等自身原因产生的“困难和问题”。比如：研究中所用的研究理论、研究方法作者是否掌握、能有效运用；研究中所需的材料、资料、数据是否能获得等。解决的初步设想就是准备采取什么方法、手段和措施解决研究过程可能遇到的困难和问题5 参考文献参考文献表是文中引用的有具体文字来源的文献集合。为了反映论文的科学依据和作者尊重他人研究成果的严肃态度以及向读者提供有关信息的出处，应列出参考文献表。参考文献表中列出的一般应限于作者直接阅读过的、最主要的、发表在正式出版物上的文献。切记例举太多无用的参考书目。小tips：撰写开题报告的时候一定要频繁与导师交流。绝大多数毕业生都是第一次写开题报告，缺乏这方面的经验，难免会需要多次修改。有的毕业生可能会想，导师都已经那么忙了，就不要去打扰导师了。要知道，导师最不怕的就是你问他，最怕的反而是你不懂也不问他，自己闷着头写完了，到最后修修改改的，岂不是更麻烦，所以，一定要及时沟通，这样，也能在较短的时间里加强自己的分析与撰写能力，少走弯路。
自变量的特性设计和限度。定义专有名词界定清晰后，下一步是自变量设计方案。自变量设计方案包含实际操作自变量设计方案和设计限度挑选三个内容。自变量是一个可精确测量的专业术语。一项科研，尤其是实证分析，必须定量分析数据信息做为剖析基本，一直难以避免地解决很多自变量。一些变量，如温度和日生产量，可以立即精确测量。别的自变量，尽管含义很清晰，但难以立即精确测量。例如，劳动效率一词，定义上是国民生产总值除于职工数量，但在搜集数据信息测算时，会出现不一样的了解，必须实际表明，如职工数量，就是指申请注册职工的总数，或是包含零工、编外人员。职工数量是一个为名自变量，实际操作自变量可能是企业工商注册职工总数，或申请注册职工加合同书职工数量。将为名自变量变换为实际操作自变量是变量设计方案的关键构成部分。例如，1993年施行的《中华人民共和国教师法》要求，老师的职工平均工资水准不可少于或超过国家公务员的职工平均工资水准，并明显提高，但并未见到本要求的执行汇报。与国家公务员对比，没人能说职工平均工资水准是高是低。缘故是根据本要求所体现的论题开展检测和测试，实际操作难度系数大。职工平均工资水准是一个为名自变量。假如要测算，务必变换为有效的实际操作自变量，并确立定义每一个自变量的含意。例如，职工平均工资水准就是指全部老师和国家公务员，或是各种院校老师与相对应种类的事业单位开展较为。薪水就是指标准工资或包含绩效工资以内的基本工资。假如无需多言清晰，这种关键点就没法统计分析。自变量务必是可精确测量的。这代表着专有名词(定义)的一些特性中间存有总数差别。例如职工总数这一自变量就是指职工人群的总数，其特性便是总数。职工胎儿性别这一自变量的特性仅有男士或性。职工年纪自变量的特性可以设置为青年人、中老年，还可以设置为18岁到18岁。例如，1000人就是指每一个课程的优先和每一个课程的优先。同一个特性应当用不一样的限度来考量特性间的差别。职工总数的特性结合超过1，常用限度为定比尺度。例如1000人便是职工总数的特性。假如设置了职工文凭自变量，可以应用定类限度、大学本科、研究生等。假如必须优先，可以依据文凭指标值对职工开展归类。职工年纪假如设置为青年人、中老年、老年人，也归属于定类限度。假如设置为18-60岁，则归属于定类限度。假如设置为职工文凭自变量，可以应用定类限度、大学本科、研究生、硕士、研究生等优先，可以依据文凭指标值开展归类。科学研究工作中一直离不了科学研究自变量相互关系。自变量是一个可以用标值来精确测量的专业术语和定义。有一些自变量仅有2个值，即0-1自变量。例如，胎儿性别做为自变量仅有2个特性：男士或女士。火炮的情况仅仅发生爆炸而不是爆炸。自然，特性还可以提升。例如，本人隶属的中华民族可以各自应用1、2、3、4、5来表明汉、回、蒙、藏。。。例如，品牌汽车、北京长安1、吉利2、桑塔纳3等。这种自变量归属于离散型，一般不能用等小数表明。另一种自变量是持续的，如年薪、考试分数、年纪等，可以用小数表明。职工数量、年纪、文凭等自变量和特性的精确测量或是较为形象化的，可以用单独一个指标值来进行。在某种状况下，自变量必须用好几个指标值来精确测量，涉及到多维度特性。管理方法科学研究常常碰到满意率、团队的凝聚力、执行能力等自变量。与长短、年纪、净重等自变量不一样，科学研究工作人员通常必须设计方案一套好几个指标值来等效替代法这种自变量，这也是管理方法探究的难题，但也为管理方法科学研究技术人员给予了与众不同的科学研究室内空间。二、自变量操作流程。从假定到自变量设计方案必须通过一系列的变换和优化，组成了毕业论文工作上具备本人特点的实体线研究方向。硕士研究生不易忽略和瞧不起这一变换和优化全过程。恰当进行每一个阶段的工作并不易。下列是这一流程的事例。民俗有句俗语漂亮的日常生活，这事实上是一个假定。有的人依据自身的观查和体会明确提出了这一论点论据，别人也感觉有效，说深入，因此慢慢散播，但身为一个科学合理的结果，必须开展论述。漂亮的日常生活，字面可以解释为漂亮女人的命运不太好，如假定语言表达，即全部充足‘漂亮’的女性，运势都不太好。或是另一种表达形式：女士的外貌水准与运势有成反比。无论表述怎样，科学研究的目标全是女士，这一假定涉及到2个自变量：表面水准和运势。这两个自变量的特性可以设定为离散变量种类，例如，外型水准的特性可以是十分漂亮、美丽、一般、丑恶；运势的特性可以是好运气、一般、薄日常生活。假如特性设定为持续种类，则可以依据外型水准的美貌和运势的好水平来表明，如1...5。在其中5是最漂亮的，运势是较好的。为了更好地论证和达到数据采集的规定，为名自变量也务必变换为可测的实际操作自变量。尽管实际中没有科学合理的仪器设备来精确测量外型水准和运势，但做为一项科研，大家务必处理可精确测量的问题。在这样的情况下，解决困难有二种方式。一种是逻辑判断，另一种是判断力分辨。逻辑判断的办法是，假如找不着立即精确测量外型水准或运势的方式，就应当依据外型水准或运势的拓宽设计方案好多个指标值来等效替代法自变量。这儿引出了这一专业术语的指标值。以上从论点论据树衍化到实际操作水准的论点论据称之为实际操作论点论据，在其中自变量为实际操作自变量。这种实际操作自变量，有一些可以立即精确测量，有一些不可以，必须寻找一组可以立即精确测量的自变量来精确测量它，这类可以立即采集数据信息的自变量，在日常生活中通常被称作指标值，好几个或多个指标值将产生指标值系统软件。想像一下外型水准美貌和外型美三个自变量贴近一步，但不可以立即精确测量，因此下一个自变量，如人体美分成个子、体重身高比、三围大长腿个子比等。身高等自变量可以立即称之为指标值，应用该指标值可以间接地明确人体美好的量化分析值。自变量设计方案到这一步基本上完毕，下一步工作包含实际操作自变量特性和限度设定也是相近的状况。生性命的运势是一套智力，而不是一套智商。断定方式是一套好的性命水准分辨。下一个问卷调查将在下一个问卷中探讨，即使是主观性分辨，让专家回答一切问题也十分精美，让权威专家立即问本人的衣食住行和这个人很美，由于解答问题的权威专家，对幸福的生活和漂亮的基本概念有不一样的了解，这种立即回答欠缺对比性和一致性。即使是主观性分辨，让专家回答一切问题，也不可以立即问本人的日常生活，你不能问这个人的生活，由于对幸福的生活和漂亮的基本概念有念有不一样的了解，这种立即回答欠缺智力和智商和一致性，从检测人看来，从检测人看来，从检测人看来，从检测人看来，你没有是多少智力水准的分辨从以上探讨可以看得出，依照科学合理的方式论述美等普遍假定并不容易。如果我们确实把上边的实例做为一项科学研究工作中来做，我们可以设计方案外型水准和运势这两个定义的可执行性指标值系统软件，这实际上便是一项有价值的分析工作中。在管理方法科学研究中，常常会碰到那样一个抽象性的定义，如团队的凝聚力和开放式。因而，在管理方法毕业生论文中，从假定到实际操作自变量和精确测量指标值的设计方案，他们中间的变换和精确测量指标值的关键点是一组有关自变量的文章内容。在自变量和指标值变换的历程中，特别注意。最先，自变量和特性不可以搞混。这代表着自变量在种类或水平上的差别，一直有一个对比性的定义，而自变量是一个相对性独立性的定义。这一定义被视作自变量和指标值的全过程。最先，自变量和特性不可以搞混。这代表着自变量和特性在种类或水平上的差别，它一直一个对比性的定义，而自变量是一个相对性独立性的定义。二是以名字自变量到立即精确测量指标值，论述各过程的实效性，一些毕业论文涉及到企业技术创新、企业绩效等名字自变量，在论证精确测量自变量时，仅仅借助问卷调查中的了解问题：你认为企业技术创新（业绩考核）归属于：十分强（很好）、强（好）、一般、差、十分差。应对这种问题和选择项，公司员工只有依据本人印像得出回答。这种回答集成化的数据信息的实效性无法说动。
一、变量的属性设计和尺度 概念名词界定清楚之后，接下来便是变量设计，变量设计包括三项内容:操作变量设计、变量的属性设计尺度选择。 变量是可测的名词。一项科学研究,特别是实证研究,需要定量的数据作为分析基础，总免不了处理许多变量。有些变量如温度、日产量，可以直接测量。另一些变量，内涵虽很清晰，但直接测量有困难。例如劳动生产率这个词，概念上是国内生产总值除以职工总数，但在收集数据计算时，还会有不同理解，需要作出具体说明，如职工总数，是指在册的职工人数，还是包括临时工、合同工。“职工总数”是名义变量，而操作变量可能是“企业在册职工数”，或“在册职工加合同工总数”。 将名义变量转换成操作变量是变量设计的重要内容。如1993年颁布的《中华人民共和国教师法》规定，“教师的平均工资水平应当不低于或者高于国家公务员的平均工资水平,并逐步提高”，但到现在还没有看到这项规定的执行情况报告，这些年教师与公务员比较起来，平均工资水平到底是高还是低，差别有多大，谁都说不清楚。究其原因，是按此规定表述的命题去测量和检验，操作有难度。“平均工资水平”是名义变量，要计算的话，还须转换成合理的操作变量，并要清晰界定每个变量的含义，如平均工资水平，是指所有教师和公务员而言，还是各类学校教师与相应类型的公务员比较。工资指基本工资还是包括绩效工资在内的实际工资，这些细节不交代清楚就无法统计。 变量必须可测。这意味着该名词(概念)的某种属性有量的差异，如“职工人数”这个变量指职工群体的数量，它的属性就是人数。“工人性别”这个变量的属性，只有男性或女性。“工人年龄”变量的属性可以设定为青年、中年、老年三种，也可以设定为18岁到60岁之间的数字。 变量是属性的集合，不同的属性要用不同的尺度来衡量属性之间的差异。“职工人数”的属性集合就是大于1的数，所用尺度是定比尺度。如“1000人”就是表示“职工人数”的一个属性。“工人性别”的属性集合只有男、女两种，属于定类尺度变量，将工人按男或女的属性分类。“工人年龄”如设定其属性为青年中年、老年，也属于定类尺度，如设定为18到60岁，则属定比尺度。如设定“职工学历”变量，可以采用定类尺度，分本科、硕士和博士等。如需要对各种属性排出优先顺序，可采用定序尺度，例如招聘职工中按学历指标优先排序，设定为本科、高中、硕士、博士、初中， 则定序尺度相应标为第一至第五。 研究工作总是离不开研究变量之间的关系,变量是可用数值来测度的名词、概念,有些变量只有两个数值,即0-1变量,如“性别”作为变量只有两个属性:“男”或“女”,炮弹的状态只有爆炸和不爆炸。当然属性也可增加,如个人所属民族,分别可用“1,2,3,4,5,..”表示“汉、回、蒙、藏....。.如表示汽车品牌,长安为1,吉利为2,捷达为3等。这些变量都属于离散型,一般不能用小数如来表示。另一类变量则是连续型,如年收入、考试成绩、年龄等,可以用小数表示。 工人总数、年龄、学历这类变量和属性的测度还比较直观,可以用单项指标来完成。有些情况下变量要求用多项指标来测度,涉及多维度属性。管理研究常遇到这类变量,如满意度、凝聚力、执行力等,不像长度、年龄、重量等变量能用单一指标测度,研究者往往要设计一套多项指标来间接测度这类变量,这是管理研究的难点,但也为管理研究者提供了特有的研究空间，设计出一套有效的测度指标，就是一项研究工作结果。 二、变量操作化过程 从假设到变量设计要经过一系列转换和细化的环节,这些环节构成了论文工作中有个人特色的实体研究内容。研究生不能忽视和轻视这个转换和细化过程,正确地完成各个环节的工作并非易事。下面举例来说明这个过程。 民间有谚语“红颜薄命”,这实际上是个假设,有人凭自己的观察和感悟提出这个论点,别人听了也觉得有道理,说得深刻，于是逐渐传播开来,但要作为科学结论,那就要论证。“红颜薄命”,按字面可以理解为“漂亮女人的命运不好”,如用假设的语言来表述,即“凡是够得上‘漂亮’的女人,命运都不好”。或者另一种表述:“女人的颜值与命运呈负相关”。不论何种解释,所研究的对象是“女人”,这个假设涉及两个变量:“颜值”和“命运”。这两个变量的属性可设置为离散型,比如,颜值的属性可以是“很漂亮、漂亮、一般、丑”;命运的属性可以是“好运、一般、薄命”。 如果属性设置为连续型,则可以按照颜值的漂亮程度和命运的好命程度用数值表示,如1...5。其中5为最漂亮,命运最好。为了实证,满足收集数据的要求,这个名义变量还须转化为可测的操作变量。尽管现实中还找不到科学仪器来测量颜值、命运,但作为科学研究,必须解决可测的问题。 这种情况下，有两种解决问题的途径。一种是逻辑推理的方法,另一种是直感判断法。 逻辑推理的方法是,找不出直接测度“颜值”或“命运”的办法,就要根据“颜值”或“命运”的外延,设计出几个指标来间接测度该变量。这里引出了指标这个名词。前面提到,论点树中衍生到操作层次的论点称为操作论点,其中的变量便属操作变量。这些操作变量,有的可以直接测度,有的不行，就要寻找一组能直接测度的变量来测度它,这种可据以直接收集数据的变量,在实用中常称之为“指标”，多个或多层指标便形成“指标体系”。 设想“颜值”可转换出容貌美、体态美和风度美三个变量,这离可操作性的要求接近了一步,但还不能直接测量,于是再分解出下一级变量,如体态美分为身高、体重身高比、三围腿长身高比等。身高等这类变量可以直接测度,可称之为指标，使用这套指标就能间接地测出体态美的量化值。变量设计到这一步才算基本结束,后续工作包括操作变量属性和尺度的设定。“命运”也是类似的情况，需设计一套可供操作的指标体系。 直感判断法是找一些专家,凭直感作出颜值和好命程度的主观判断。后面问卷法一节中将要讨论,即使是主观判断,让专家回答什么问题也是大有讲究的,不能直接问:“这个人命好吗”“这个人漂亮吗”。因为回答问题的专家,对好命和漂亮的概念有不同的理解,这些直接答案缺乏可比性和一致性,从统计上来说就没有多大意义。像已经很成熟的“智商”测试问卷,不是去问当事人,“你智商如何,请从7个等级中作出选择”,设计得好的智商问卷,应让被测者意识不到这是在测试智商。直感判断法同样要设计一套类似操作指标体系的问卷。 从以上讨论可以看出,像“红颜薄命”这类常见的假设,要按科学方法论证起来，可不简单。如真的把上例作为一项研究工作来做,能将“颜值”和“命运”这两个概念的可操作性指标体系设计出来,本身也就是一项有价值的研究工作。管理研究中,往往碰到这类抽象概念,如“凝聚力”“开放度”等。所以，管理类学位论文中,从假设提出到操作变量及测量指标的设计,其间的转换和细化工作是大有文章可做的。 从名义变量转换成可测的操作变量和指标的过程，有两个问题值得注意。 一是变量和属性不能混淆。 属性表示变量在类型或程度上的差异，总是有伴生的可比概念,而变量是相对独立概念。比如，性别是变量,属性有“男”,还有伴生的“女”。在一篇论文中,不能将同一概念既当作变量又当作属性处理。比如文章前面设定了“颜值”为变量,“漂亮”或“很漂亮”是属性,后面就不能又将“漂亮”视为变量,并赋予一套关于漂亮的属性。不过,这种混淆变量和属性的情况在学位论文中时有发生。 二是从名义变量转换到可直接测度的指标，要论证各环节的有效性， 有的论文涉及名义变量如“企业创新型”“企业绩效”等,在实证测度此变量时，却简单地依靠问卷中的一个认识性问项：“你认为本企业的创新性(绩效)属于：很强(很好)，强(好)，一般，差，很差。”面对这样的问题和选项，企业职工只能凭借个人印象给出答案。这些答案汇集成的数据，其有效性就难以令人信服 文章来源 | MBA学位论文研究及写作指导 文章作者 | 李怀祖
进行方差齐性化、曲线直线化、变量正态化，从而使数据的计算更具有统计学意义，计算也更简便准确。
国内：现如今二重积分基础理论的研究已经相当成熟，在实际应用中的研究还比较少，任何一门学问在历史发展过程中都会与时俱进，所以二重积分的发展趋势会在现有的基础上日益完善，尤其是在物理学、经济学等应用方面的研究会越来越深入，整个微积分体系会越来越完备
根据你的问题给出几个答案希望可以给你帮助：1.首先你不需要从专科考起可以直接报考本科，只是需要加试几门（除经济学、管理学类考生可以直接报考）其他学科门类的专科及专科以上毕业生报考此专业须加考的科目！所以你不需要报考专科而且也不是必须要此专业才可报考！无需多虑直接报考即可！2.你可以从现在就开始考起，不一定要毕业以后！现在虽然你没有毕业也没有毕业证但是作为你本科的第二专业来修自考的专业，你可以从现在开始考，因为自考一个专业的科目有一般十几门那么你可以和你本科同时进行只要在你申请毕业的时候你本科的毕业证有就可以了！这样可以减少时间，只要你有本科毕业证就可以申请自考毕业了，报考自考第一次报名的时候不要任何学历证明！所以可以放心报考，本人就吃了时间亏，所以在此提醒！3.因为你是本科生所以你可以看公共课中如果有你已经修过的课程可以办理免考！附上天津的免考政策：天津市高等教育自学考试课程免考实施办法（2005年修订）发布时间： 07年-4月 -30日第一条 属于国民教育系列的各类高等院校和高等教育自学考试专科及专科以上毕业生参加天津市高等教育自学考试，符合本实施办法规定的条件，可提出课程免考申请。第二条 高等教育自学考试的公共政治课程为：马克思主义哲学原理、邓小平理论概论、法律基础与思想道德修养、马克思主义政治经济学原理、毛泽东思想概论；公共基础课程为：高等数学（专）、高等数学（工专）、高等数学（工本）、高等数学（一）、高等数学（二）（包含线性代数和概率论与数理统计两部分内容）、工程数学、复变函数与积分变换、概率论与数理统计（二）、经济应用数学、线性代数、普通物理、物理（工）、大学语文、大学语文（4学分）、大学语文（专）、计算机应用基础和公共外语课程的英语、英语（一）、英语（二）、日语、俄语、德语、法语、西班牙语等。第三条 各类高等学校和高等教育自学考试本科或本科以上毕业生报考高等教育自学考试专科或本科专业，可免考公共政治课程、已学过的公共基础课程和名称一致、学分（学分数以普通高校教学计划相应课程授课总时数计算，一般为18学时折合1学分，下同）和内容要求同于或低于原所学专业的其他课程。第四条 各类高等学校、高等教育自学考试专科毕业生报考高等教育自学考试专科专业，可免考公共政治课程、已学过的公共基础课程和名称一致、学分和内容要求同于或低于原所学专业的其他课程。第五条 各类高等学校专科毕业生报考高等教育自学考试本科专业，可免考已学过的公共政治课程。高等教育自学考试专科毕业生报考高等教育自学考试本科专业，可免考已学过的公共政治课程、公共基础课程和名称、学分和内容要求同于或低于原所学专业的其他课程。第六条 各类高等院校的本科结业生、疑业生，报考高等教育自学考试专科或本科专业，可免考已学过且成绩合格的公共政治课程，公共基础课程和名称一致、学分和内容要求同于或低于原所学专业的其他课程。第七条 各类高等院校和高等教育自学考试专科或专科以上毕业生，报考高等教育自学考试专科或本科专业，还可免考与本人所学专业相对应的公共政治课程或公共基础课程。即：1．经济学、管理学类专业毕业生可以免考马克思主义政治经济学原理课程。2．数学类专业毕业生可以免考高等数学（专）、高等数学（工专）、高等数学（工本）、高等数学（一）、高等数学（二）、工程数学、复谱函数与积分变换、概率论与数理统计（二）、经济应用数学、线性代数课程。3．物理类专业毕业生可以免考普通物理、物理（工）课程。4．汉语言文文学类、秘书类专业毕业生可以免考大学语文（专）、大学语文（4学分）课程。5．外国语言文学类专业毕业生可以免考相应的公共外语课程英语（一）、英语（二）、英语、日语、俄语、德语、法语、西班牙语。6．计算机科学与技术类专业毕业生可以免考计算机应用基础课程。第八条 取得大学英语四级及其以上证书者，可免考高等教育自学考试英语（二课程，取得三级及其以上证书者，可免考高等教育自学考试专科公共英语或英语（一）课程。第九条 取得全国公共英语等级考试（PETS）二级及其以上笔试合格成绩者，可免考高等教育自学考试专科公共英语或英语（一）课程。取得全国公共英语等级考试（PETS）三级及其以上笔试合格成绩者可以免考高等教育自学考试英语（二）课程。第十条 取得全国计算机等级考试（NCRE）一级及其以上证书者，可免考高等教育自学考试计算机应用基础或计算机应用技术；取得全国计算机等级考试（NCRE）二级C语言程序设计（笔试和上机）合格证书者，可以免考高等教育自学考试中的高级语言程序设计；取得全国计算机等级考试（NCRE）三级PC技术（笔试和上机）合格证书者，可以免考高等教育自学考试中的微型计算机及其接口技术和微型计算机原理及应用。第十一条 各类高等院校和高等教育自学考试毕业生按第二至第十条规定办理课程免考，可同时免考与免考课程相应的实践考核课程。第十二条 各类高等院校专业教学计划中的考查课程不属于免考范围。第十三条 申请免考应按下列程序办理：考生在规定时间内向本人报名的区、县自学考试管理部门提出申请，同时提供毕业证书原件和复印件及由原毕业学校学籍管理部门或单位人事部门盖章的课程成绩单，填写《天津市高等教育自学考试免考课程审批表》，经区、县自学考试管理部门核验盖章后，报市高等教育自学考试委员会办公室审批。第十四条 伪造、涂改和提供假证明材料者，按《国家教育考试违规处理办法》的规定处理。第十五条 本实施办法自发布之日起施行，原我委有关课程免考文件停止使用。第十六条 本实施办法由天津市高等教育自学考试委员会负责解释。4.本人是天津考生，天津是一年四次考试一月四月七月和十月，其中公共课一年考四次专业课一年考一次，可根据自己情况每次选择所考的课程！一下是天津此专业的信息介绍：专业信息介绍专业代码：590 专业名称: 旅游管理（本） 查看主考院校开考方式: 面向社会开考 查看助学机构课程代码 课程名称 学分 课程类别 考试方式0553 毛泽东思想概论 2 必考 笔试0020 财务管理学 6 必考 笔试0101 管理系统中计算机应用 4 必考 笔试0105 管理学原理 6 必考 笔试0279 听力 8 必考 笔试0441 组织行为学 4 必考 笔试0653 专业外语 12 必考 笔试0654 旅游资源规划与开发 5 必考 笔试0655 消费者行为学 4 必考 笔试0656 中外民俗 5 必考 笔试0657 客源国概况 4 必考 笔试0658 旅游企业人力资源管理 5 必考 笔试4579 英语口语 8 必考 实践4611 旅游管理毕业论文 通过 实践专接本加考课课程代码 课程名称 学分 课程类别 考试方式0009 政治经济学（财经类） 6 加考 笔试0197 旅游学概论 5 加考 笔试0700 旅游与饭店会计 6 加考 笔试0705 旅游市场学 4 加考 笔试0706 旅行社经营与管理 5 加考 笔试报考条件：1、学科门类为经济学(02)、管理学(11)类的专科及专科以上毕业生，可直接报考。2、其他学科门类的专科及专科以上毕业生报考本专业，须加考：“政治经济学(财经类)”、“旅游学概论”、“旅游与饭店会计”、“旅游市场学”、“旅游社经营与管理”五门课程中任选两门。最后附上天津教育考试院自考的网址上面有所以自考信息的查询：
【免费定制个人学历提升方案和复习资料： 】广西大学自考机电一体化工程本科专业一共需要考19门课程(含选修课)， 分别为：中国近代史纲要、马克思主义基本原理概论、物理(工)、英语(二)、复变函数与积分变换、概率论与数理统计(二)、模拟、数字及电力电子技术、机械工程控制基础、传感器与检测技术、工业用微型计算机、计算机软件基础(一)、工程经济、现代设计方法、机电一体化系统设计、管理系统中的计算机应用、管理系统中计算机应用(实践)、企业管理概论、公文写作与处理、毕业论文(设计)。自考本科专业下方免费学历提升方案介绍： 2015年10月自考02126应用文写作真题试卷 格式：PDF大小： 2017年04月自考02365计算机软件基础（二）真题试卷 格式：PDF大小：自考/成考考试有疑问、不知道自考/成考考点内容、不清楚自考/成考考试当地政策，点击底部咨询猎考网，免费获取个人学历提升方案：