定积分计算论文答辩

自从有了牛顿-莱布尼茨公式 积分学起了巨大变化 只要知道此函数的原函数就可计算出定积分 并非都是连续函数才可用此公式

微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。

摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.

关键词：微积分;背景;作用;函数

一、微积分进入高中课本的背景及必要性

在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。

柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。

从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!

二、微积分在中学数学中的作用

1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.

2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。

3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。

三、国际上一些教材对微积分知识的处理

以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。

当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!

摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。

关键词：微积分;起源;内容;方法

微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：

一、微积分起源的介绍

微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。

介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。

二、介绍微积分内容及方法

微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。

三、为什么要学习高等数学

微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：

微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。

前言

21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。

一、我国微积分教学改革的现状

目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。

首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。

其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。

再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。

二、微积分课改的必要性

随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。

(1)社会高度发展提出的要求

微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。

(2)科技的发展提出的需要

当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。

(3)人类思维发展的需要

微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。

三、微积分课改的内容

根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。

1、课程基本理念的改革

微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。

2、课程内容的改革

根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。

3、课程设计的改革

原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。

4、教学方法的革新

(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。

(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。

5、教学工具的革新。

现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。

四、小结

2017大学数学论文范文

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。

几类特殊函数的性质及应用

【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。

【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分

1.引言

特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。

由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。

特殊函数定义及性质证明

特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。

特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。

2.伽马函数的性质及应用

伽马函数的定义：

伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。

Г函数在区间连续。

事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。

，伽马函数的递推公式

此关系可由原定义式换部积分法证明如下：

这说明在z为正整数n时，就是阶乘。

由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....

用Г函数求积分

贝塔函数的性质及应用

贝塔函数的定义：

函数称为B函数(贝塔函数)。

已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：

贝塔函数的性质

对称性：=。事实上，设有

递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有

即

由对称性，

特别地，逐次应用递推公式，有

而，即

当时，有

此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为

由上式得以下几个简单公式：

用贝塔函数求积分

例

解：设有

(因是偶函数)

例贝塔函数在重积分中的应用

计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，

解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是

通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。

贝塞尔函数的性质及应用

贝塞尔函数的定义

贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。

贝塞尔函数的'递推公式

在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4

特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：

以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。

又因为

以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。

为半奇数贝塞尔函数是初等函数

证：由Г函数的性质知

由递推公式知

一般，有

其中表示n个算符的连续作用，例如

由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。

贝塞尔函数在物理学科的应用：

频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令

称为的Fourier变换。它的逆变换是

若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，

这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是

由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：

以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。

首先建立取样定理

设：

其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：

令

经计算：

利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。

通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：

类似地

经计算：

经计算得：

则有：设是的Fourier变换，

记则由离散取样值

因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。

例，利用

引理：当

当

因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式

首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：

(1)

其中

函数的幂级数展开式为：

则关于幂级数展开式为： (2)

由引理及(2)可得

(3)

由阶修正贝塞尔函数

其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为

(4)

通过(1)(4)比较系数得

又由被积函数为偶函数，所以

公式得证。

3.结束语

本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。

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[12]胡淑荣. 函数及应用[J]. 哈尔滨师范大学学报.2002,18(4):12~15.

我有那么多的想法，如果那些比我更敏锐的人有一天深入其中，把他们绝妙的见解同我的努力结合起来，这些想法或许有些用处。 ——莱布尼茨 (一) 德国的莱布尼茨（，公元1646～1716年），是一位当之无愧的“万能大师”。 数学和哲学，是莱布尼茨显示其杰出天才的诸多领域之一。他在法律、管理、历史、文学、逻辑等方面都作出过卓越贡献，因其在这些领域显赫的成就，人们永远纪念他。用“全才”这个词形容莱布尼茨，可以说并不夸张。 1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国莱比锡。他的祖父以上三代人均曾在萨克森政府供职；他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授。莱布尼茨的少年时代是在官宦家庭以及浓厚的学术气氛中度过的。 莱布尼茨在6岁时失去父亲，但他父亲对历史的钟爱已经感染了他。虽然考进莱比锡学校，但他主要是靠在父亲的藏书室里阅读自学的。8岁时他开始学习拉丁文，12岁时学希腊文，从而广博地阅读了许多古典的历史、文学和哲学方面的书籍。 13岁时，莱布尼茨对中学的逻辑学课程特别感兴趣，不顾老师的劝阻，他试图改进亚里士多德的哲学范畴。 1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律专业。他跟上了标准的二年级人文学科的课程，其中包括哲学、修辞学、文学、历史、数学、拉丁文、希腊文和希伯莱文。1663年，17岁的莱布尼茨因其一篇出色的哲学论文《论个体原则方面的形而上学争论——关于“作为整体的有机体”的学说》，获得学士学位。 莱布尼茨需在更高一级的学院，如神学院、法律学院或医学院学习才能拿到博士学位。他选择了法学。但是，法律并没有占据他全部的时间，他还广泛地阅读哲学，学习数学。例如他曾利用暑期到耶拿听韦尔的数学讲座，接触了新毕达哥拉斯主义——认为数是宇宙的基本实在，以及一些别的“异端”思想。 1666年，20岁的莱布尼茨已经为取得法学博士学位做了充分的准备，但是莱比锡的教员们拒绝授予他学位。他们公开的借口是他太年轻，不够成熟，实际上是因为嫉妒而恼怒——当时莱布尼茨掌握的法律知识，远比他们那些人的知识加在一起还要多！ 于是，莱布尼茨转到纽伦堡郊外的阿尔特多夫大学，递交了他早已准备好的博士论文，并顺利通过答辩，被正式授予博士学位。阿尔特多夫大学还提供他一个教授的职位，他谢绝了。他说他另有志向——他要改变过学院式生活的初衷，而决定更多地投身到外面的世界中去。 1666年是牛顿创造奇迹的一年——发明了微积分和发现了万有引力；这一年也是莱布尼茨作出伟大创举的一年——在他自称为“中学生习作”的《论组合术》一书中，这个20岁的年轻人，试图创造一种普遍的方法，其间一切论证的正确性都能够归结为某种计算。同时，这也是一种世界通用的语言或文字，其间的符号甚至词语会导致推理，而除了那些事实以外的谬误，只能是计算中的错误。 形成和发明这种语言或数学符号是很困难的，但不借助任何字典看懂这种语言却是很容易的事情。这是莱布尼茨在20岁时所做的“万能符号”之梦——其时为17世纪60年代，而它的发扬光大则是两个世纪之后的事——19世纪40年代格拉斯曼的“符号逻辑”。 莱布尼茨的思想是超越时代的！ (二) 1667年，21岁的莱布尼茨在德国纽伦堡加入一个炼金术士团体任秘书。通过这个团体，他结识了政界人物博因堡男爵，男爵将他推荐给迈因茨选帝侯，担任其法律顾问的助手，后来，莱布尼茨很快被提拔到上诉法院陪审法官的职位，从而登上政治舞台。 莱布尼茨试图重新编纂法规，希望通过使用少数几个基本法律概念，定义所有的法律概念；从很少的一套自然、正义且不容置疑的原则中，演绎出所有的具体法规，从而把法规整理好。他想把自然法规结为一个体系，为此他发表了《法学教学新法》。 1669年，通过阅读英国皇家学会《会刊》，莱布尼茨了解到荷兰物理学家惠更斯，正在与别人讨论有关“碰撞”问题，促使他开始思考力和能量等自然科学问题。 1671年莱布尼茨写出《物理学新假说》一书，包括献给英国皇家学会的“具体运动原理”和献给巴黎科学院的“抽象运动原理”。 从1671年开始，莱布尼茨利用外交活动广泛开展同外界的联系，而通信为其获取外界情况、与别人进行思想交流的主要方式。从这年开始，他与英国皇家学会秘书奥顿伯格和巴黎科学院的著名学者们进行书信往来长达数十年之久。 1671～1672年，莱布尼茨受迈因茨选帝侯之托，着手准备制止法国进攻德国的计划。1672年，他作为一名外交官出使巴黎，拟游说法国国王路易十四放弃进攻，却始终未能与法王见面，这次外交活动以失败告终。 但是，在1672～1676年留居巴黎期间，即将步入“而立之年”的莱布尼茨，开始了自己的学术生涯。当时巴黎是欧洲的科学文化中心。莱布尼茨学习法语，结识了科学界、哲学界许多著名人士，使他的思想和行动开始越出德国走向世界。 例如，1673年1月，为了促使英国和荷兰之间和解，他前往伦敦斡旋未果，但他趁机与英国学术界知名学者建立了联系，见到了已通信3年的奥顿伯格，结识了胡克、玻意耳等人。1673年3月他回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会会员。又如，1676年10月，他在荷兰见到了列文虎克。列文虎克使用显微镜第一次观察了细菌、原生动物和精子，这些对莱布尼茨的哲学思想曾产生影响。莱布尼茨对自然科学日益感兴趣。他一生中的许多科学成就和科学思想，都是在这一时期获得和萌发的。 早在1671～1672年间，莱布尼茨就着手设计和创造一种机械计算机——能够进行加、减、乘、除及开方运算。1673年他到伦敦，随身携带的木制计算机引起了人们的极大兴趣，他自己也为这一发明深感自豪。 1674年，莱布尼茨在生物学家马略特的帮助下，制成一架计算机，并将之呈交巴黎科学院验收，后来他还当众做演示。莱布尼茨设计的这种新型计算机，其用于加法和减法的固定部分，沿用的是帕斯卡加法器，但乘法器和除法器，特别是两排齿轮（被乘数轮和乘数轮）则是莱布尼茨首创的。这架计算机中的许多装置后来成为技术的标准，那些齿轮被称为“莱布尼茨轮”。 莱布尼茨充分认识到计算机的重要性，指出：“这是十分有价值的。把计算交给机器去做，可以使优秀人才从繁重的计算中解脱出来。”他还预言：“我所说的关于该机器的建造和未来的应用，将来一定会更完善，并且，我相信对于将来能见到它的人，会看得更清楚。” (三) 1676年底，30岁的莱布尼茨离开在此已经生活了5年的法国巴黎，转道英国伦敦回到德国汉诺威，担任不伦瑞克公爵府的法律顾问兼图书馆馆长。从此，他以汉诺威为永久居住地达40年，直至1716年70岁时去世。 在汉诺威定居后，莱布尼茨广泛地研究了哲学和各种科学与技术问题。他的哲学思想逐渐走向成熟。同时，他也从事多方面的学术文化和社会政治活动。不久他就成为宫庭议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕。 1682年，莱布尼茨与门克创办拉丁文科学杂志《教师学报》（又译做《学术记事》）。他的数学、哲学文章大都刊登在该杂志上。 1679年3月15日，莱布尼茨题为“二进位算术”的论文，对二进位制进行了相当充分的讨论，并与十进位制进行了充分的比较。他不仅完整地解决了二进制的表示问题，而且给出了正确的二进位制加法与乘法规则。 16年后，1695年5月，鲁道夫·奥古斯特大公在与莱布尼茨的一次谈话中，对他的二进位制非常感兴趣，认为“一切数都可以由0与1创造出来”这一点，为基督教《圣经》所讲的创世纪提供了依据。莱布尼茨利用大公的这一想法争取人们关注他的二进位制。1697年，他在致大公的信中，将他设计的象征二进位制的纪念章图案当作新年礼品奉献给大公。纪念章的正面是大公图像，背面是象征创世纪的故事——水面上笼罩着一片黑暗，顶部太阳光芒四射，中间排列着二进位制和十进位制数字对照表，两侧是加法与乘法的实例。 1701年，莱布尼茨将自己关于二进位制的论文送交法国巴黎科学院，但要求暂时不要发表。两年后，他将修改补充后的论文再次给巴黎科学院，并要求公开发表，于是，在1703年，二进位制公之于众。 莱布尼茨发明了十进制的计算机，又发明了二进制，但他却没有把二进位制用于计算机，这是因为在当时的条件下，一个二进位制的机器会增加技术上的困难。只有随着现代技术的发展，人们才得以将二者有效地结合起来。那种认为莱布尼茨是为计算机而发明二进制的说法，是违背历史事实的。 (四) 1684年，38岁的莱布尼茨在他创办的《教师学报》上第一次发表他的微分学论文，比牛顿的《自然哲学的数学原理》（1687年）早了3年时间，这使得该文成为世界上最早公开出版的微积分文献。 莱布尼茨的微分学论文全文仅6页纸，但题目却很长，一般简译为《一种求极大极小和切线的新方法》，其中含有现代微分符号和基本微分法则，给出极值的条件dy＝0及拐点的条件d2y＝0等重要结果。 1686年，40岁的莱布尼茨又在同一杂志上第一次发表他的积分学论文《深奥的几何与不可分量和无限的分析》，同样首次在印刷品中出现沿用至今的积分符号。在这篇论文中，他还用积分表示了超越曲线的例子，如∫a2±x2dx 。 1年以后，即1687年，44岁的牛顿发表了科学巨著《自然哲学的数学原理》，首次公布了他的微积分方法——流数法，在此处，牛顿加有这样一段评注： “10年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值与极小值、作切线及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法写给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。” 莱布尼茨也高度评价牛顿的数学成就。1701年，在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王后问到对牛顿的评价时，莱布尼茨说： “纵观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。” 但是，由于瑞士数学家法蒂奥德迪耶于1699年向皇家学会递交一篇论文，其中肯定牛顿是微积分的第一发明者，而莱布尼茨可能是剽窃，这就引发了英国和欧洲大陆之间一场旷日持久的关于微积分的优先权之争。出于狭隘的民族偏见，英国数学家迟迟不肯接受莱布尼茨优良的符号系统，拘泥于牛顿的流数术，因而在微积分学之后的进展中相对地落后了。而欧洲大陆的数学家很快就接受了莱布尼茨的优越符号，在伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快取得了丰硕成果，引导了近代数学的发展。 1700年前后，莱布尼茨热衷于组织科研团体的工作。从1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波，为此1698年他亲往柏林；1700年，莱布尼茨应召做柏林普鲁士王后的家庭教师，这时他建立科学院的宿愿终于实现，并且成为柏林科学院的首任院长。其后10多年间，他又奔走于奥地利、俄国，鼓吹建立科学院，这些主张在他生前未果，但后来维也纳科学院、彼得堡科学院先后建立起来。传说莱布尼茨还曾写信，建议康熙皇帝在北京建立科学院。 不过，莱希尼茨为他的雇主也花费了不少时间和精力，如为不伦瑞克家族追寻和编写家谱，以证明这个家族对欧洲王权有继承的权利，但这个家族在通婚史上的混乱不堪，以至于万能的莱布尼茨也无法使它“天衣无缝”。在为此项工作的调查过程中，莱布尼茨经常坐在颠簸透风、格格作响的破旧马车里，忽此忽彼地奔跑在17世纪欧洲的牛车道上。然而，他竟能在这样的环境中连续不断地思考、阅读，甚至写作。他遗留下来的学术著作手稿，纸张大小不一，质量不等，但却闪烁着智慧的光辉。 (五) 莱布尼茨是名副其实的“万能大师”。在化学方面，1677年他写成了《磷发现史》；在物理学方面，除1671年的《物理学新假说》外，他的学术成果还有1684年关于材料力学的论文《固体受力的新分析证明》、1686年在力的量度方面的论文《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》；在地质学方面，他于1693年出版了《原始地球》一书等。 在生命的最后20多年间，莱布尼茨把兴趣转向了哲学，并以此作为主要精神寄托。他同他的弟子沃尔夫所创立的莱布尼茨－沃尔夫体系，极大地影响了德国哲学的发展。 莱布尼茨在哲学史上，与亚里士多德齐名。他提出的“单子论”，是唯心主义唯理论的主要代表之一，其中含有一些辩证法的因素，如认为单子是一与多的统一，单子是本身具有能动性的实体。他把真理分为必然真理和偶然真理，既承认必然性又承认偶然性。他的哲学著作《形而上学谈话》、《人类理智新论》、《神正论》、《单子论》、《以理性为基础的自然和神恩的原则》等，是欧洲哲学两大派别——经验主义与理性主义对峙中，理性主义的重要代表。费尔巴哈曾说：“近代哲学领域继笛卡儿和斯宾诺莎之后，内容最为丰富的哲学乃是莱布尼茨。”莱布尼茨开创了德国的自然哲学，他影响了康德、黑格尔乃至20世纪的罗素。 同牛顿一样，莱布尼茨终生未婚。同牛顿不同的是，莱布尼茨从未在大学执教，他平时也从不进教堂，他于1716年11月14日70岁时，因痛风和胆结石去世，教士以此为借口不予理睬，宫庭也不过问，无人前往吊 。与牛顿死后厚葬于威斯敏斯特大教堂形成鲜明对照，莱布尼茨下葬于一个无名墓地，仅仅是他的私人秘书和带着铁锹的工人前往。不过，他死后七八十年，人们于1793年在汉诺威为他建立了纪念碑；于1883年在莱比锡的一个教堂附近为他竖起了一座立式个人雕像；1983年，人们在汉诺威照原样重修了被毁于第二次世界大战的“莱布尼茨故居”供后人瞻仰。 莱布尼茨那样地认真思考他发表过的文章和尚未发表手稿中所有的问题，对常人来说，似乎不可思议。 据说，作为一个对骨相学家和解剖学家感兴趣的研究题目，莱布尼茨的头颅骨曾被掘出测量过，人们发现其竟然比正常成人的头颅骨要小。虽然不知这一说法可靠与否，但这或许有些道理。 （摘自大众科技报 王渝生）参考资料：