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大四的同学还有研究生都要面临一件大事，毕业论文答辩论文，这可是事关毕业这可是头等大事，所以了解导师常问的毕业论文问题异常重要。
1.你为什么选择这个论文题目？为什么选这个题目可以去答它的重要性，比如在研究背景里你肯定是写了很多的政策文件，说明这个主题非常非常重要，之后在讲一下这个题目的研究意义。
2.你这篇文章的创新点在哪里？创新点这个问题大家更多的是回答国内外研究现状这个部分，但是他们的研究里还存在几个没有做的地方，这时候你做了这样的研究，这就是你这篇论文的创新点。
3.你这篇论文的研究方法是什么？这个在第一章的绪论里面大家是应该写出来的，比如你的文章是用了文献研究法、调查问卷法、实验法还是访谈法，这个就根据你所采用的研究方法去答就行了。
4.你这篇论文还有哪些不足之处？大家还是需要谦虚一些，试着去写一下你这篇论文里由于哪些客观和主观上的条件限制，使得哪一部分还有待后人进一步去进行研究。
毕业论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者(撰写毕业论文的作者)三方都要作好充分的准备。在答辩会上，考官要极力找出来在论文中所表现的水平是真是假。而学生不仅要证明自己的论点是对的，而且还要证明老师是错的。
论文答辩的七大问题及解决方法
论文答辩是一种有组织、有准备、有计划、有鉴定的比较正规的审查论文的重要形式。为了搞好毕业论文答辩，在举行答辩会前，校方、答辩委员会、答辩者（撰写毕业论文的作者）三方都要作好充分的准备。以下是我整理的论文答辩的七大问题及解决方法，欢迎阅读。
问题：毕业设计整体比较差。PPT上出现很多错别字，论文没有按照模板排版。问学生中用到了什么数据库，他居然回答说HTML。
建议：态度一定要诚恳，知之为知之不知为不知。回答问题一定要面对着评委，一定要自信，一定要听请问题再回答。
某高校软件学院在这个周末举行了本科生毕业论文答辩，作为答辩评审老师之一全程参与了这个过程。心情的走势越发的觉得和最近股票市场的走势一样，跌宕起伏，变化莫测，让人捉摸不透。
第一天早上“开盘”高开，心里正高兴着，就和其他老师交流，问今年的毕业生毕业论文的水平提高了不少。没有想到盘中出现重大利空，一路狂跌，简直惨不忍睹。下午开盘后，出现短暂的回调，但改变不了下跌的趋势。
第二天相对于第一天也算是高开，而且总体趋势不错，虽然盘中也出现震荡，但总体情况相比昨天会好很多。
据我从其他组了解的情况来看，总体水平还是去年那个熊样，不过是我比较幸运罢了，第二天我那组的学生算是学院里比较优秀的，学习的态度比较端正，对毕业论文还算重视，我想这是第二天能够高开高走的重要原因。
两天的答辩中总共有41名学生参加，比较突出的就3名学生，而这三名学生平时学习算是比较认真的，两个都保研，另外一个和国内的知名企业签了工作。其中有17名左右的同学，毕业论文马马虎虎算过得去，至少他们还是比较认真的，虽然做得不是很好，所做得工作不是很多，但至少能够将自己所做的工作讲清楚。剩下的学生的表现，只能用惨不忍睹来形容。不仅态度不认真，自己做的工作少，甚至直接从其他地方copy过来，连一些基本的概念都搞不懂。
现举几个实例来说明：一个去年答辩没有通过的学生，今年再来参加答辩，不仅论文的字数、格式不符合要求，而且PPT上所讲的内容和论文的居然不一致。问他这一年做什么了，论文怎么还是这么差，他回答说着一年都忙于找工作了，没有时间弄论文。问他工作找到没有，他居然说还没有找到？还有很多做系统的学生，问一些最简单的问题，都回来不上来；这充分说明他的论文根本不是他自己做的；比如做网站的，问他用到了什么技术来实现，他居然都答不上来。还有更搞笑的，问他文中用到了什么数据库，他居然回答说HTML。
造成毕业设计整体比较差的原因，我个人不想追究。但学生自己和部分学生导师确实都存在的问题。学生不重视，这是主要的一个原因，先不说论文的工作是不是你做的，你的论文格式和PPT这些基本没技术含量的东西，你总得认真对待吧。PPT上的所讲的内同和你论文的不一样，PPT上出现很多错别字、论文没有按照模板排版等等这些低级问题，只要你认真对待总能避免。部分导师也有原因，对学生不负责任，学生的毕业论文还有答辩的PPT，导师看都没有看（学生把导师姓名写错的情况，更绝的把自己的学号都写错了），以致造成很多苦笑不得的状况。
很多人都觉得学生不重视论文，都是忙于找工作，以致没有时间做毕业设计和写论文。但在这两天中，我发现一个现象，那些找到工作的和考研的学生的论文情况比那些没有找到工作的学生好的多。如果你因为找工作，而且找到工作了，论文情况稍微差点，还是可以理解的，但是你既不去找工作，又不重视论文，总是抱着侥幸的心里，希望评委们放你一马的心里，这种情形个人觉得是不可原谅。虽然学校最终不能通过答辩的人几乎没有，但至少得让你二答吧。
当然作为学生，尽管你论文状况不好，但你要是有以下的情形，恭喜你，你获得了免死金牌。
第一，考上研究生；
第二，找到工作的；
第三，领导的学生；
第四，教授的学生。
所以当你既不是以上四类人，毕业论文又做得奇差，不让你二答还让谁二答呢？
现在谈谈他们毕业答辩存在的问题以及建议：
一、PPT存在的问题。字体的大小不统一，背景太过鲜艳，连内容都看不清，段落的首行缩进都不统一，内容都不认真检查，出现了一些低级错误，比如存在错别字，或者将概念混淆。
二、将自己不懂的概念写在PPT。一问就被问倒了。
三、态度不够真诚，不懂装懂。问一个基本的问题，就露出破绽。
四、论文的内容以及实验结果都是从网上复制过来的，还带着网络的印记。
五、选的题目与自己的专业无关，而且也做不好，说不清楚。
六、报告的内容，不是自己所做的，都是一些基本的概念，自己做的内容很少提及。
七、提交的论文都没有认真看，存在很多错别字，还有很多抄袭的印记。
建议：
一、答辩之前应该将PPT拷入机器，并且看是否能够正常播放。
我的小组存在个别学生在答辩的过程中PPT打不开，还有更极品的就是，答辩开始一分钟后，发现所用的PPT不是自己要使用的那份。
二、态度一定要诚恳，知之为知之不知为不知。
评委老师都知道自己学院学生的水平，只要诚实老师一般都不会太为难你。
三、一定要自信。
有些男生上去报告，那声音小的可怜。后来一个评委导师打趣说，你的声音和你的论文中的图片一样，是故意让我看不清。
四、对老师要有礼貌。
有些学生在上面报告连最基本的礼仪都不懂，给人印象非常不好。
五、答辩之前一定要认真检查PPT以及论文。
六、回答问题一定要面对着评委。
不然给人的感觉是你不尊重评委。
七、一定要听清问题再回答。
有些学生胡扯了半天，都没有回答到点子上，到底是自己不懂呢，还是没有听清问题就开始胡扯。
扩展： 物流管理专业答辩的问题及回答
1.为什么选择这个课题(或题目)，研究、写作它有什么学术价值或现实意义。 (必知)研究这个课题的意义和目的是什么?
因为是抽签决定题目的。
选题目的和意义：
目的：我国物流产业兴起于上世纪 90年代，起步虽晚，但发展势头强劲，中国物流与采购联合会、中国物流信息中心最新统计数据显示，2022年一季度中国社会物流总额为万亿元人民币(下同)，按可比价格计算，同比增长，比上年同期增加近19%。初步预计2010全年社会物流总额有望突破百万亿元大关。现代物流越来越受到重视，成为“第三利润泉”，而现代物流的增值服务作为物流的发展趋势和核心竞争力，也应该得到广泛的重视与发展。随着物流市场的发展趋向成熟,超越单一的物流服务,转向为客户提供增值服务,以提升企业的知名度和核心竞争力已经成为物流增值服务企业实现自身价值的新思路。
意义：本论文题目的研究是为了根据现代物流增值服务的现状，探讨发展现代物流增值服务的必要性、途径和方向等。
学术价值：物流的增值服务是物流行业成熟的标志，是未来物流服务发展的方向，结合自身的专业知识，研究和探索现代物流增值服务，有利于知识和现实情况的结合，通过理性的思维，利用科学的数据和逻辑，从物流行业长期发展的角度论述其发展途径和方向。
2.说明这个课题的历史和现状，即前人做过哪些研究，取得哪些成果，有哪些问题没有解决，自己有什么新的看法，提出并解决了哪些问题。(必知)
相关课题，有通过对省市的物流公司所提供服务的类别和如何开展增值服务，通过物流基本服务于增值服务的比较，甚至基于回归模型物流企业开展增值服务的对策分析，结论都是物流的增值服务还仅仅在起步阶段，物流业对其必要性的认识不足，如果物流企业要开展增值服务,要投入巨大人力、物力、财力时,才能得到增值服务收益。
在中国特色主义社会之下，怎样利用政府政策的支持，如何投入最小的人力物力财力得到最小的增值服务收益，怎么因地制宜地企划不同物流公司的增值服务的发展途径 等等。
我认为国家对物流行业的支持和投放主要集中在国企，民营的物流企业难以在国家政策上得到优惠。我国物流行业的进入门槛相对而言较低,企业“小、散、乱”的局面未得到根本改变,还陷在价格战的恶性循环中不能自拔。在现代物价上升，物流成本随之不断提高的现状之下，我国大多数物流企业还处于直接压缩物流基础作业成本的阶段,未能进行物流服务的创新并从物流增值服务中寻求利润。
我认为虽然物流的增值服务是未来物流行业的发展趋势，但是不同的物流企业有不同的情况 应该量力而为，不求大而全 ，选择小而专，定位自己最擅长的领域，如运输、仓储、配送等作为重点发展的核心业务，这样既能在弱肉强食的竞争中生存，也可以形成自身的品牌特色。
3.文章的'基本观点和立论的基本依据。(必知)
基本观点：现代物流的增值服务是物流服务发展的风向标，物流企业应当就自身的现状选择定位适合的发展增值服务的途径，以迎合市场的需求。
基本依据：首先是增值服务的市场需求：(从中国仓储协会组织第三次全国范围内的物流状况调查得知，在物流需求市场期望的物流服务内容中，其中工业企业需要市内配送服务有29%，需要物流信息查询、条码采集、物流系统设计及代为报关各为7%，在商业企业中，需要物流系统设计为20%，需要代结贷款、物流信息查询、市内配送服务各占7%，需要条码采集为13%。这一组数据足以说明我国的物流市场对物流的增值服务有着巨大需求，物流增值服务是可供企业挖掘的一个巨大利润源泉。)
所以，发展现代物流的增值服务这一课题是很有必要性及现实意义的。
4.本文提出的见解的可行性。
我觉得论文提出的观点只是理论，实际工作经验不足仍使得这篇文章存在与实际联系不够紧密的问题。而且因为有论文幅度的限制所以见解更不够全面，企业应该根据自身的优势和市场的需求，因地制宜地发展有自己特色的物流增值服务。
5.定稿交出后，自己重读审查新发现的缺陷。
框架的逻辑性不够强，在文章的开头没有引用学者的有关相关话题的评论，行文不够通畅，某些方面讨论不够深入，论据不充分。
6.写作毕业论文的体会。
写论文不是一个人的事，需要尊重老师的意见，和老师不断探讨交流论文的结构框架和内容等，需要站在前人的肩膀上，不断完善发展，加深自身对相关课题的了解和研究，认识到自己在大学四年学到的知识需要和实际相结合，才能运用到现实生活中去，认识到自己实践能力的
7.本文的优缺点。
优点：结构基本符合逻辑，主题突出，抓住重点，行文通畅，以归纳总结法论证现代物流增值服务的问题、解决策略及其发展方向。
缺点：框架的逻辑性不够强，在文章的开头没有引用学者的有关相关话题的评论，某些方面讨论不够深入，论据不充分，由于论文篇幅的限制，难以对相关课题进行深入的探讨。
论文答辩是毕业前的最后一个环节，答辩时老师一般都会提问题，因为学校不同，老师不同，问题也会不同，下面是为大家整理的相关信息，希望可以给大家带来参考与帮助！ 论文答辩一般会问什么问题 1、 选择这个课题的原因是什么? 首先从主观入手，每篇论文都对应着相应的专业，可从当前该专业的社会大致情况来简要分析，其次可以结合自己的实习经历来分析(实习过程中对该专业有了更深的社会认识，发现了一些问题等)，最后，可以说是与指导老师进行深入沟通交流后选择该课题。 2、该课题研究的意义和目的? 这问题一般在开题中就有提及，正文中也有相关小节说明，只需要对其加以总结提炼即可，需要注意的是，一定要逻辑清楚，条理分明，不可想到哪儿说到哪儿，东拼西凑会给考核老师留下不好的印象。 3、全文各个部分之间的逻辑关系是怎样的? 该问题的回答与论文大纲相结合，比如：全文的逻辑关系是，首先交代大背景——对XXX现状加以论述说明——提出XX当前存在的问题——分析原因——提出相应的对策建议——对全文进行总结说明。 4、论文中的核心概念是什么？ 在答辩的时候，导师最常问的一个问题就是：论文中的核心概念是什么。当老师问到这个问题的时候，同学们千万不要慌，要有条不紊地将论文中的核心概念说出来。 5、论文采用的研究方法有哪些？ 一些专业在初试中可能不会重点考察研究方法问题，但是在研究实践中研究方法却是基础，所以基础研究方法还没掌握的同学可要好好补补课了，不然没有研究方法怎么做毕业论文的研究啊。 6、你觉得你的课题那些地方还需要改进？ 在答辩前，自己想出一些我们课题的改进地方，提前想出对策，老师提问时，我们按照自己心中所想回答就可以。 7、你的论文价值是什么? 论文价值问题一般考察你对于现实的关注以及思考问题的能力，这一部分可以回答一些论文的现实意义，包括对目前研究的领域有什么帮助、提出了什么问题、有什么解决方法等等。 8、你的论文理论基础是什么? 理论基础考查的是专业能力以及基础知识的掌握程度，回答时要逻辑清晰，突出知识性和专业性，用专业的理论知识来阐述你的论文框架和论文内容，切不可用口语化语言。 9、你的文献综述是如何形成的？ 文献综述可以看出你的研究能力以及搜集资料的能力，这个问题可以说是最简单的，阐明获取资料的管道，如知网、学术网站、图书馆等。 10、全文基本结构、框架是怎么设计的? 该问题的回答是对整个文章的一个综合说明，比如：全文按照“总——分——总”的结构展开论述，开头从总体上论述XXX的特点等大背景，之后“提出XXX问题”，再根据问题提出XX对策，最后是总结陈述，各部分相互间存在逻辑联系，相互配合，成为整体的有机组成部分。 论文答辩有哪些注意事项 想要顺利通过答辩，提前了解一些论文答辩的注意事项很有必要。 论文答辩的注意事项主要有： 1、提前熟悉论文内容 大家在答辩前，一定要提前熟悉论文内容。熟悉论文内容，主要指深刻理解论文，清楚掌握好论文各部分的逻辑关系。另外，最好抽点时间，了解和论文相关的专业知识、以及学术热点等。 2、准备好答辩所需的材料 此外，答辩所需要的材料也要提前准备好，答辩一般需要这些材料：纸质版的论文（要先将电子档的论文打印成纸质版的）；学生证；草稿纸；笔；U盘；其他辅助资料、文献等。 3、注意时长 答辩的时候，要把握好时间。如果时间不够的话，要着重讲述重要内容，最后有时间再来补充次要内容。如果实在没有时间的话，就一句话带过就好。 4、控制语速 语速也是很重要的，答辩时的语速要以答辩老师能听清楚为标准。语速一般要适中，还要平稳，音量要适量，让答辩老师能清楚听到就行，不需要太过刻意。 5、多余解释或辩驳 当答辩老师指出错误的时候，要虚心求教，并拿纸和笔进行记录，不要做多余的解释或辩驳。
自从有了牛顿-莱布尼茨公式 积分学起了巨大变化 只要知道此函数的原函数就可计算出定积分 并非都是连续函数才可用此公式
微积分是高等数学的一部分知识，关于微积分的论文有哪些？接下来我为你整理了数学微积分论文的 范文 ，一起来看看吧。
摘要：初等微积分作为高等数学的一部分，属于大学数学内容。在新课程背景下，几进几出中学课本。可见初等微积分进入中学是利是弊已见分晓，其重要性不言而喻。但对很多在岗教师而言，还很陌生，或是理解不透彻。这样不利于这方面的教学。我将对初等微积分进入中学数学背景，作用及教学作简单研究.
关键词：微积分;背景;作用;函数
一、微积分进入高中课本的背景及必要性
在数学发展史上，自从牛顿和莱布尼茨创建微积分以来，数学中的很多问题都得以解决。微积分已成为我们学习数学不可或缺的知识。其在经济、物理等领域的大量运用也使之成为解决生活实际问题的重要工具。但牛顿和莱布尼茨创建的微积分为“说不清”的微积分，也就是连他们自己也说不清微积分的理论依据，只是会应用。这使得很多人学不懂微积分，更不用说让中学生来学习微积分。
柯西和维尔斯特拉斯等建立了严谨的极限理论，巩固了微积分基础，这是第二代微积分，但概念和推理繁琐迂回，对高中生更是听不明白。近十年来，在大量的数学家如：张景中，陈文立，林群等的不懈努力下，第三代微积分出现了相比前两代说得清楚，对高中生而言，也更容易理解。这为其完全进入高中课本奠定了基础。从内容来看，新一轮的课改数学教材在微积分部分增加了定积分的 概念及应用(求曲边梯形面积，旋转体体积，以及在物理中的应用)，可能考虑到中学生的认知能力，人教版新教材与北师大版在这方面有所不同。即利用定积分求简单旋转体体积在北师大版教材中出现了，但人教版没有。
从课标和考试大纲(参考2011年高考考试大纲)上看，初等微积分所占比重也是越来越重。回顾历届高考，微积分相关题型分值越来越高。但就我个人观点，初等微积分在中学数学中的作用还没有真正全面发挥。我认为，它是学生中学数学和教师教学的一条线索，它是我们研究中学函数问题的统一 方法 ，也是联系中学与大学数学知识的纽带!
二、微积分在中学数学中的作用
1.衔接性与后继作用。微积分本是大学高等数学范畴，是大学开设的课程。让现在中学生提前学习部分微积分知识，这便为其以后升入大学学习微积分打下良好的基础，这也使数学知识从小学到大学从内容上衔接得更加紧密。也不会再出现很多大学生认为的大学数学知识在高中数学教学中没有任何作用的观点.
2.解决数学相关知识的作用。高中数学函数在整个中学数学内容中，不论从高考所占比重还是自身难度来说都应该排在首位。对学生来说永远是最难学的，得分率也相对比较低。很多学生讨厌数学就是讨厌函数，提到数学中的函数就头晕。由于应试 教育 的关系，学生又不得不学习函数，而函数思想本身也是高中数学学习的一条线索。微积分的进入对学生学习函数问题找到了统一的方法。高中阶段我们所研究的函数问题一般是以一些基本初等函数为媒介研究函数的定义，图像和性质，当然也有应用。但随着课改的深入，函数应用问题逐渐在淡化。而初等微积分知识即研究函数的重要工具，如：微积分可以求函数的单调性，最值。最重要的是它可以画出函数的图像，其实，当函数图像画好后，几乎函数所有性质都可以解决。学生只要学好微积分便掌握了研究函数的统一方法，那么高中阶段的二次函数，指数函数，对数函数，三角函数等所有初等函数的学习就可以统一，既节约了教学时间又学习了先进的数学思想。对提高学生的数学修养打下坚实的基础。我相信还可以激发其学习数学的兴趣。另外，在高中阶段，初等微积分还可以解决不等式问题，求二次曲线的切线问题，求曲边梯形的面积等很多数学问题。利用微积分不仅可以使问题简化，并能使问题的研究更为深入、全面。
3.提高数学在其他学科的应用能力。作为自然学科的数学本身已应用于社会经济、技术等各个领域。而作为中学数学，它对中学 其它 学科的推动作用也是毋庸置疑的。如物理，化学，地理等学科也离不开数学。在高中阶段往往会因为数学的教学进度而影响其它学科的进度。如地理中要学习地球的经度，纬度等知识就需要先学习数学中球体相关知识和解三角形相关知识。当微积分进入中学数学后，数学这个学科的作用就更加重要了。特别像物理中匀加速直线运动位移，瞬时速度，加速度等问题利用微积分的导数求解起来更加简单，容易理解。新课程人教版数学教材选修2-2中专门加入了利用定积分求变速直线运动的路程一节。另外，微积分解决生活中的优化问题也进入中学课本。可见，微积分进入中学教材，对促进学科间知识的整合起到了至关重要的作用。
三、国际上一些教材对微积分知识的处理
以苏联中学为例，苏联中小学为十年制，从九年级(1)(相当于我国高中一年级)中讲了数学归纳法和排列组合以后，就介绍无穷数列和极限。然后介绍函数极限和导数，所有这些都在讲解三角函数，幂函数，指数、对数函数之前。随即介绍导数在近似计算，几何(求切线)和在物理中的应用(研究速度，加速度)以及导数在研究函数问题中得应用(求函数极值，最值，单调性等)。到九年级末及十年级(2)再讲三角函数， 利用导数可以研究三角函数的性质。然后介绍不定积分和定积分。接着在指数函数，对数函数和幂函数一章介绍指数函数的导函数，再利用反函数求得对数函数的导函数。在十年级(3)中利用微积分知识研究几何问题，用积分推导锥体，球体等的体积公式。还把球的表面积定义为球的体积V(R)对R的导数，从而立即求得球的表面积公式。可见，苏联课本中及早分散引入导数及积分的概念和计算，而不是到最后整块讲解。这样处理，可以使微积分知识结合研究函数问题，几何问题以及研究物理问题中都得到应用。
当然，还有比如台湾中学教材对微积分处理和我过现行教材区别不大，就不再介绍。而上诉对微积分的处理情况是一种在欧洲中学教材中较普遍的处理方式。其优点主要就是充分发挥了微积分在中学数学教学中的作用。使中学数学知识更加连贯，更加易懂!
摘 要：微积分是高等院校管理类专业的重要数学基础课，第一堂课是上好微积分的关键。通过三个方面就如何上好微积分绪论课做些探讨。
关键词：微积分;起源;内容;方法
微积分是门基础课，这门课的学习直接影响到今后专业课的学习，而绪论课对这门课的学习有着引导的作用，在整门课中有特殊的地位和作用。绪论课应包含下面几个部分的内容：
一、微积分起源的介绍
微积分包括两方面的内容：微分与积分。微积分的创立源于处理17世纪的科学问题。先引入微积分学的创始人之一费马研究的一个问题：假设一个小球正向地面落去，求下落后第5秒时小球的速度?若是匀速运动，则速度等于路程除以时间，然而这里的速度是非均匀的，那能不能把非均匀速度近似看成均匀速度?用什么方法?这就是微分学问题，再引入古希腊人研究的面积问题：计算抛物线y=x2与坐标轴x轴在0≤x≤1间所围成的面积。能不能将面积切割成n个小面积，再将小面积用小矩形来代替，由n个小矩形的面积得到所求面积?这里所用的方法就是积分问题。很早以前就有人研究过微分与积分，而微积分的系统发展是在17世纪开始的，从此逐渐形成了一门系统完整且逻辑严密的学科。微积分通常认为是牛顿和莱布尼茨创立的。这一系统发展关键在于认识到微分和积分这两个过程实际上是彼此互逆地联系着。
介绍提及的人物牛顿和莱布尼茨的相关轶事，例如创建微积分优先权的争论。牛顿于1665～1687年把研究出的微积分相关结果告诉了他的朋友，并将短文《分析学》送给了巴罗，但期间没有正式公开发表过微积分方面的工作。莱布尼茨于1672年访问巴黎，1673年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。1684年莱布尼茨正式公开发表关于微积分的著作。于是有人怀疑莱布尼茨知道牛顿具体的工作内容，莱布尼茨被指责为剽窃者。在两个人死了很久后，调查证明：牛顿很多工作是在莱布尼茨前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。
二、介绍微积分内容及方法
微积分学研究的对象是函数，极限是最主要的推理方法，它是微积分学的基础。微积分内容有四类：一是已知物体移动的距离是时间的函数，怎样由距离得到物体在任意时刻的速度和加速度;反过来，已知物体的加速度是时间的函数，怎样求速度和距离。二是求曲线的切线。三是求函数的最大最小值问题。四是求曲线的长度、平面曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心。
三、为什么要学习高等数学
微积分在自然科学、经济管理、工程技术、生命科学等方面都有应用，是各门学科强有力的数学工具。学好微积分，可以增加语言的严密性、精确性，可以从中锻炼人的 理性思维 ，并感受到美的艺术。例如黄金分割，无理数的■与π的表达式：
微积分的绪论课是整个教学的第一课，绪论教学能使学生对这门课有个快速大致的认识与了解，好的绪论课可以引导学生主动、积极地学习。
前言
21世纪，科学、技术和社会都发生了巨大的变化。高等数学作为高等院校的基础课程之一，在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。尤其是微积分教学，是目前数学教育的一大课题。
一、我国微积分教学改革的现状
目前的数学实验中，微积分教学改革的现状中仍然存在一些主要问题。
首先，优秀人才的培养重视不够。在微积分教学中，重视的是教育大众化的人才，而一些顶尖的、优秀的人才的培养却重视不够。
其次，过度应试化。过度重视应试教育在微积分教学中越来越明显，轻能力重考试已成为一种倾向。
再次，学生差异大，素质下降。学生人数的激增带来学生差异的强化，面对这一情况，如何规划班级，如何区别对待学生是微积分教学面临的问题。
二、微积分课改的必要性
随着高等数学改革的不断深入，微积分教学的改革成为其中的重要部分。微积分教学的改革并不是空穴来风，而是一种必然。
(1)社会高度发展提出的要求
微积分作为高等数学的一部分，对技术文明的推动有重要作用，许多数学细想和数学的建树都离不开微积分。可以说，微积分在推进数学思想，推进社会进步，推进科学发展上有举足轻重的作用，是不可或缺的，它是人类思维的伟大成果，不仅是高等数学。而且是其他行业，其他专业，在不同范围和不同程度上对微积分的认识都是必要的。设想一下，如果取消对微积分的学习，那么技能的进步只是一句空谈，社会不会发展，智慧不会被充分开掘。所以，微积分教学的改革是十分必要的。
(2)科技的发展提出的需要
当今世界，是一个科学技术突飞猛进的时代，军事、贸易等激烈的竞争和市场经济，如果没有科技的推进，则会落后于他人。如何促进科学的发展呢?微积分起着重要的作用，它不仅为科学提供了精密的数学思想，也为科学的提供了理论支撑，它不但改变了数学面貌，还是其他学科的工具和方法，微积分在自然学科的各个方面都有运用。随着科技发展的时代，提高微积分教学的质量是势在必行的。
(3)人类思维发展的需要
微积分中蕴藏着很多重要思想，比如辩证的思想，常量与变量，孤立与发展，静止变化，有限与无限等，还有“直”与“曲”，“局部”与“整体”的辩证关系，其实。哲学最处就是与数学密切相关的，所以，数学，尤其是微积分思想充满了逻辑与辩证，微积分的学习。不仅是知识、理论的学习，更是一种思维的训练。因此，微积分教学的完善有利于培养人类思维，使人类思维获得一个飞跃，更有效地解决问题。
三、微积分课改的内容
根据新的教学大纲的修改，微积分教学重新设计了课程内容、教学理念、 教学方法 等，以学生为主体，更直观形象，而且在教学方法上也进行了革新。全面促进了微积分教学的改革。
1、课程基本理念的改革
微积分教学的改革能否成功关键在于观念的转变，过去是偏重理论，现在则要注重应用激发初学者的学习兴趣，尽早把握微积分的基础知识，把抽象难懂的微积分理论转变为学生容易接受、容易理解的微积分教学方式，比如说，极限是微积分知识中的难点，极限概念、运动、辩证思想等对于学生来说是十分抽象，不容易理解，从而没有激发学生的学习兴趣，课堂变得枯燥无味，理论严谨，逻辑性很强，学生上手难。微积分教学大纲的修订也体现出教学理念的更新，新的微积分教学中，适当降低了难点知识。重视对微积分本质的认识，以直观、实例来提高学生的微积分学习兴趣和学习效率，使学生学习的主动性回归到自身，体现以人为本的思想，重视学生的情感态度、生活价值的培养，根据学生自身的特点因材施教，为学生提供更好的学习条件和基础。
2、课程内容的改革
根据《标准》大纲的修订，微积分教学首先是对课程内容和教学大纲的精简、增加、删改。修订后的教学内容比原来的教学大纲更精练，更科学。比如，原来12学时的“极限”在修订大纲中被大面积的删减。并在修订大纲中，引入导数这一很有判断意义的概念，因为导数是微积分初步了解的第一个概念，对导数概念的理解起到基础性的作用。而且，修订的课本内容中，对导数的讲解时直观形象的，应用性很强，又有许多实例来帮助学生加深理解。因此，微积分教学的新课改减轻了学生的学习负担，降低了概念的理解难度。
3、课程设计的改革
原来的课程是从极限、连续、导数、导数应用，再到不定积分、定积分这样的次序设计的，并在“导数和微分”的前面一章给“极限”设计了许多定义，以及对“极限”的求法和运算做了讲解。修订后的大纲对课程设计做了调整，尤其是微积分讲解的路线，发生了变化，从瞬间速度，变化率，导数、导数应用再到定积分。对人文社科方面的高校微积分课程的设置，则多数是作为选修课来处理的，并与生活十分贴近，应用性很强，使非数学专业也对数学有一定的基础了解和学习兴趣。
4、教学方法的革新
(1)数学思想方法的渗透与运用。数学思想方法是多种多样的，在生活中也取得有效地运用。微积分耶是高等数学的一个方面，因此，在微积分教学中引入数学思想方法是科学的。其中，数学分析，也叫微积分，是17世纪出现的十分重要的数学思想，不仅在17世纪有非常重要的地位，即使是在今天，这种思想方法在成功解决无限过程的运算方面，即极限运算有很大的帮助。数学思想的运用已成为各国比较重视一项革新项目。
(3)加强实例分析和应用性。数学是一种逻辑推理。但也是来源于生活的，也最终给应用于生活，因此，数学的教学不能和现实相脱离。修订后的微积分教学大纲明显注重了实际应用性。即使是书上一个很简单的概念，也时刻穿插一些实用性的图片，在习题的练习中，也是紧密结合生活实际，不是空中楼阁。比如说，用指数函数来看银行存款和人口问题，还有对数函数中涉及放射性、分贝、地震级的问题。微积分数学应用于生活中实际问题的解决。
5、教学工具的革新。
现代教育技术，尤其是多媒体技术在微积分教学中的应用，对很好的实现教学理念，完善教学思想和教学方法很有意义，例如，作为重点和难点的“极限”概念和理论一直是教学中难以攻克的，因为它的抽象，所以老师再怎么讲解也难免有学生不理解，而多媒体教学的应用解决了这一难题，教师可用直观形象的动画来表现比如“无限逼近”的理论，给学生一个直观、感性的认知，还可运用多媒体设计可变参数的动画，让学生积极参与，自己动手设计，加深理解。又如导数概念的理解需要借助曲线来表现其某个点在某个时刻的瞬时速度，可以充分利用多媒体技术，画具有艺术性的示意图，设计动画，让学生在动画中领悟微积分的实质和导数的概念。值得注意的是，在运用多媒体技术时，要遵循学科本身的规律，反复渗透，循序渐进，结合教材，积极引导。
四、小结
2017大学数学论文范文
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。但是特殊函数往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。下面是我整理的关于几类特殊函数的性质及应用的数学论文范文，欢迎大家阅读。
几类特殊函数的性质及应用
【摘要】本文将对数学分析中特殊函数，诸如伽玛函数、贝塔函数贝塞尔函数等超几何数列函数，具有特殊的性质和特点，在现实中得到大量的运用的函数。本文主要以简单介绍以上三种特殊函数性质，及其在其它领域的应用，诸如利用特殊函数求积分，利用特殊函数解相关物理学问题。本文首先以回顾学习几类常见特殊函数概念、性质，从而加深读者理解，然后以相关实例进行具体分析，从而达到灵活应用的目的。
【关键词】特殊函数;性质;应用;伽马函数;贝塔函数;贝塞尔函数;积分
1.引言
特殊函数是指一些具有特定性质的函数，一般有约定俗成的名称和记号，例如伽玛函数、贝塔函数、贝塞尔函数等。它们在数学分析、泛函分析、物理研究、工程应用中有着举足轻重的地位。许多特殊函数是微分方程的解或基本函数的积分，因此积分表中常常会出现特殊函数，特殊函数的定义中也经常会出现积分。传统上对特殊函数的分析主要基于对其的数值展开基础上。随着电子计算的发展，这个领域内开创了新的研究方法。
由于特殊函数是数学分析中的一种重要工具，因此特殊函数的学习及应用非常重要。本文归纳出特殊函数性质、利用特殊函数在求积分运算中的应用、特殊函数在物理学科方面的应用，利用Matlab软件画出一些特殊函数的图形，主要包含内容有：定义性质学习，作积分运算，物理知识中的应用，并结合具体例题进行了详细的探究和证明。
特殊函数定义及性质证明
特殊函数学习是数学分析的一大难点,又是一大重点,求特殊函数包含很多知识点,有很多技巧,教学中可引导学生以探究学习的方式进行归纳、总结;一方面可提高学生求函数极限的技能、技巧;另一方面也可培养学生的观察、分析、归类的能力,对学生的学习、思考习惯,很有益处。
特殊函数性质学习及其相关计算，由于题型多变，方法多样，技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径主要在于熟练掌握特殊函数的特性和一些基本方法。下面结合具体例题来探究特殊函数相关性质及应用。
2.伽马函数的性质及应用
伽马函数的定义：
伽马函数通常定义是：这个定义只适用于的区域，因为这是积分在t=0处收敛的条件。已知函数的定义域是区间，下面讨论Г函数的两个性质。
Г函数在区间连续。
事实上，已知假积分与无穷积分都收敛，则无穷积分在区间一致收敛。而被积函数在区间D连续。Г函数在区间连续。于是，Г函数在点z连续。因为z是区间任意一点，所以Г函数在区间连续。
，伽马函数的递推公式
此关系可由原定义式换部积分法证明如下：
这说明在z为正整数n时，就是阶乘。
由公式(4)看出是一半纯函数，在有限区域内的奇点都是一阶极点，极点为z=0,-1,-2,...,-n,....
用Г函数求积分
贝塔函数的性质及应用
贝塔函数的定义：
函数称为B函数(贝塔函数)。
已知的定义域是区域，下面讨论的三个性质：
贝塔函数的性质
对称性：=。事实上，设有
递推公式：，有事实上，由分部积分公式，，有
即
由对称性，
特别地，逐次应用递推公式，有
而，即
当时，有
此公式表明，尽管B函数与Г函数的定义在形式上没有关系，但它们之间却有着内在的联系。这个公式可推广为
由上式得以下几个简单公式：
用贝塔函数求积分
例
解：设有
(因是偶函数)
例贝塔函数在重积分中的应用
计算，其中是由及这三条直线所围成的闭区域，
解：作变换且这个变换将区域映照成正方形：。于是
通过在计算过程中使用函数，使得用一般方法求原函数较难的问题得以轻松解决。
贝塞尔函数的性质及应用
贝塞尔函数的定义
贝塞尔函数：二阶系数线性常微分方程称为λ阶的贝塞尔方程，其中y是x的未知函数，λ是任一实数。
贝塞尔函数的'递推公式
在式(5)、(6)中消去则得式3，消去则得式4
特别，当n为整数时，由式(3)和(4)得：
以此类推，可知当n为正整数时，可由和表示。
又因为
以此类推，可知也可用和表示。所以当n为整数时，和都可由和表示。
为半奇数贝塞尔函数是初等函数
证：由Г函数的性质知
由递推公式知
一般，有
其中表示n个算符的连续作用，例如
由以上关系可见，半奇数阶的贝塞尔函数(n为正整数)都是初等函数。
贝塞尔函数在物理学科的应用：
频谱有限函数新的快速收敛的取样定理，.根据具体问题，利用卷积的方法还可以调节收敛速度，达到预期效果，并且计算亦不太复杂。由一个函数的离散取样值重建该函数的取样定理是通信技术中必不可少的工具，令
称为的Fourier变换。它的逆变换是
若存在一个正数b，当是b频谱有限的。对于此类函数，只要取样间隔，则有离散取样值(这里z表示一切整数：0,)可以重建函数，
这就是Shannon取样定理。Shannon取样定理中的母函数是
由于Shannon取样定理收敛速度不够快，若当这时允许的最大取样间隔特征函数Fourier变换：
以下取样方法把贝塞尔函数引进取样定理，其特点是收敛速度快，且可根据实际问题调节收敛速度，这样就可以由不太多的取样值较为精确地确定函数。
首先建立取样定理
设：
其中是零阶贝塞尔函数。构造函数：
令
经计算：
利用分部积分法，并考虑到所以的Fourier变换。
通过函数卷积法，可加快收敛速度，使依据具体问题，适当选取N，以达到预期效果，此种可调节的取样定理，计算量没有增加很多。取：
类似地
经计算：
经计算得：
则有：设是的Fourier变换，
记则由离散取样值
因为，故该取样定理收敛速度加快是不言而喻的，通过比较得，计算量并没有加大，而且N可控制收敛速度。
例，利用
引理：当
当
因为不能用初等函数表示，所以在求定积分的值时，牛顿-莱布尼茨公式不能使用，故使用如下计算公式
首先证明函数满足狄利克雷充分条件，在区间上傅立叶级数展开式为：
(1)
其中
函数的幂级数展开式为：
则关于幂级数展开式为： (2)
由引理及(2)可得
(3)
由阶修正贝塞尔函数
其中函数，且当为正整数时，取，则(3)可化为
(4)
通过(1)(4)比较系数得
又由被积函数为偶函数，所以
公式得证。
3.结束语
本文是关于特殊函数性质学习及其相关计算的探讨，通过对特殊函数性质的学习及其相关计算的归纳可以更好的掌握特殊函数在日常学习中遇到相关交叉学科时应用，并且针对不同的实例能够应用不同的特殊函数相关性质进行证明、计算，从而更加简洁，更加合理的利用特殊函数求解相关问题。有些特殊函数的应用不是固定的，它可以通过不止一种方法来证明和计算，解题时应通过观察题目结构和类型，选用一种最简捷的方法来解题。
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我有那么多的想法，如果那些比我更敏锐的人有一天深入其中，把他们绝妙的见解同我的努力结合起来，这些想法或许有些用处。 ——莱布尼茨 (一) 德国的莱布尼茨（，公元1646～1716年），是一位当之无愧的“万能大师”。 数学和哲学，是莱布尼茨显示其杰出天才的诸多领域之一。他在法律、管理、历史、文学、逻辑等方面都作出过卓越贡献，因其在这些领域显赫的成就，人们永远纪念他。用“全才”这个词形容莱布尼茨，可以说并不夸张。 1646年7月1日，莱布尼茨出生于德国莱比锡。他的祖父以上三代人均曾在萨克森政府供职；他的父亲是莱比锡大学的伦理学教授。莱布尼茨的少年时代是在官宦家庭以及浓厚的学术气氛中度过的。 莱布尼茨在6岁时失去父亲，但他父亲对历史的钟爱已经感染了他。虽然考进莱比锡学校，但他主要是靠在父亲的藏书室里阅读自学的。8岁时他开始学习拉丁文，12岁时学希腊文，从而广博地阅读了许多古典的历史、文学和哲学方面的书籍。 13岁时，莱布尼茨对中学的逻辑学课程特别感兴趣，不顾老师的劝阻，他试图改进亚里士多德的哲学范畴。 1661年，15岁的莱布尼茨进入莱比锡大学学习法律专业。他跟上了标准的二年级人文学科的课程，其中包括哲学、修辞学、文学、历史、数学、拉丁文、希腊文和希伯莱文。1663年，17岁的莱布尼茨因其一篇出色的哲学论文《论个体原则方面的形而上学争论——关于“作为整体的有机体”的学说》，获得学士学位。 莱布尼茨需在更高一级的学院，如神学院、法律学院或医学院学习才能拿到博士学位。他选择了法学。但是，法律并没有占据他全部的时间，他还广泛地阅读哲学，学习数学。例如他曾利用暑期到耶拿听韦尔的数学讲座，接触了新毕达哥拉斯主义——认为数是宇宙的基本实在，以及一些别的“异端”思想。 1666年，20岁的莱布尼茨已经为取得法学博士学位做了充分的准备，但是莱比锡的教员们拒绝授予他学位。他们公开的借口是他太年轻，不够成熟，实际上是因为嫉妒而恼怒——当时莱布尼茨掌握的法律知识，远比他们那些人的知识加在一起还要多！ 于是，莱布尼茨转到纽伦堡郊外的阿尔特多夫大学，递交了他早已准备好的博士论文，并顺利通过答辩，被正式授予博士学位。阿尔特多夫大学还提供他一个教授的职位，他谢绝了。他说他另有志向——他要改变过学院式生活的初衷，而决定更多地投身到外面的世界中去。 1666年是牛顿创造奇迹的一年——发明了微积分和发现了万有引力；这一年也是莱布尼茨作出伟大创举的一年——在他自称为“中学生习作”的《论组合术》一书中，这个20岁的年轻人，试图创造一种普遍的方法，其间一切论证的正确性都能够归结为某种计算。同时，这也是一种世界通用的语言或文字，其间的符号甚至词语会导致推理，而除了那些事实以外的谬误，只能是计算中的错误。 形成和发明这种语言或数学符号是很困难的，但不借助任何字典看懂这种语言却是很容易的事情。这是莱布尼茨在20岁时所做的“万能符号”之梦——其时为17世纪60年代，而它的发扬光大则是两个世纪之后的事——19世纪40年代格拉斯曼的“符号逻辑”。 莱布尼茨的思想是超越时代的！ (二) 1667年，21岁的莱布尼茨在德国纽伦堡加入一个炼金术士团体任秘书。通过这个团体，他结识了政界人物博因堡男爵，男爵将他推荐给迈因茨选帝侯，担任其法律顾问的助手，后来，莱布尼茨很快被提拔到上诉法院陪审法官的职位，从而登上政治舞台。 莱布尼茨试图重新编纂法规，希望通过使用少数几个基本法律概念，定义所有的法律概念；从很少的一套自然、正义且不容置疑的原则中，演绎出所有的具体法规，从而把法规整理好。他想把自然法规结为一个体系，为此他发表了《法学教学新法》。 1669年，通过阅读英国皇家学会《会刊》，莱布尼茨了解到荷兰物理学家惠更斯，正在与别人讨论有关“碰撞”问题，促使他开始思考力和能量等自然科学问题。 1671年莱布尼茨写出《物理学新假说》一书，包括献给英国皇家学会的“具体运动原理”和献给巴黎科学院的“抽象运动原理”。 从1671年开始，莱布尼茨利用外交活动广泛开展同外界的联系，而通信为其获取外界情况、与别人进行思想交流的主要方式。从这年开始，他与英国皇家学会秘书奥顿伯格和巴黎科学院的著名学者们进行书信往来长达数十年之久。 1671～1672年，莱布尼茨受迈因茨选帝侯之托，着手准备制止法国进攻德国的计划。1672年，他作为一名外交官出使巴黎，拟游说法国国王路易十四放弃进攻，却始终未能与法王见面，这次外交活动以失败告终。 但是，在1672～1676年留居巴黎期间，即将步入“而立之年”的莱布尼茨，开始了自己的学术生涯。当时巴黎是欧洲的科学文化中心。莱布尼茨学习法语，结识了科学界、哲学界许多著名人士，使他的思想和行动开始越出德国走向世界。 例如，1673年1月，为了促使英国和荷兰之间和解，他前往伦敦斡旋未果，但他趁机与英国学术界知名学者建立了联系，见到了已通信3年的奥顿伯格，结识了胡克、玻意耳等人。1673年3月他回到巴黎，4月即被推荐为英国皇家学会会员。又如，1676年10月，他在荷兰见到了列文虎克。列文虎克使用显微镜第一次观察了细菌、原生动物和精子，这些对莱布尼茨的哲学思想曾产生影响。莱布尼茨对自然科学日益感兴趣。他一生中的许多科学成就和科学思想，都是在这一时期获得和萌发的。 早在1671～1672年间，莱布尼茨就着手设计和创造一种机械计算机——能够进行加、减、乘、除及开方运算。1673年他到伦敦，随身携带的木制计算机引起了人们的极大兴趣，他自己也为这一发明深感自豪。 1674年，莱布尼茨在生物学家马略特的帮助下，制成一架计算机，并将之呈交巴黎科学院验收，后来他还当众做演示。莱布尼茨设计的这种新型计算机，其用于加法和减法的固定部分，沿用的是帕斯卡加法器，但乘法器和除法器，特别是两排齿轮（被乘数轮和乘数轮）则是莱布尼茨首创的。这架计算机中的许多装置后来成为技术的标准，那些齿轮被称为“莱布尼茨轮”。 莱布尼茨充分认识到计算机的重要性，指出：“这是十分有价值的。把计算交给机器去做，可以使优秀人才从繁重的计算中解脱出来。”他还预言：“我所说的关于该机器的建造和未来的应用，将来一定会更完善，并且，我相信对于将来能见到它的人，会看得更清楚。” (三) 1676年底，30岁的莱布尼茨离开在此已经生活了5年的法国巴黎，转道英国伦敦回到德国汉诺威，担任不伦瑞克公爵府的法律顾问兼图书馆馆长。从此，他以汉诺威为永久居住地达40年，直至1716年70岁时去世。 在汉诺威定居后，莱布尼茨广泛地研究了哲学和各种科学与技术问题。他的哲学思想逐渐走向成熟。同时，他也从事多方面的学术文化和社会政治活动。不久他就成为宫庭议员，在社会上开始声名显赫，生活也由此而富裕。 1682年，莱布尼茨与门克创办拉丁文科学杂志《教师学报》（又译做《学术记事》）。他的数学、哲学文章大都刊登在该杂志上。 1679年3月15日，莱布尼茨题为“二进位算术”的论文，对二进位制进行了相当充分的讨论，并与十进位制进行了充分的比较。他不仅完整地解决了二进制的表示问题，而且给出了正确的二进位制加法与乘法规则。 16年后，1695年5月，鲁道夫·奥古斯特大公在与莱布尼茨的一次谈话中，对他的二进位制非常感兴趣，认为“一切数都可以由0与1创造出来”这一点，为基督教《圣经》所讲的创世纪提供了依据。莱布尼茨利用大公的这一想法争取人们关注他的二进位制。1697年，他在致大公的信中，将他设计的象征二进位制的纪念章图案当作新年礼品奉献给大公。纪念章的正面是大公图像，背面是象征创世纪的故事——水面上笼罩着一片黑暗，顶部太阳光芒四射，中间排列着二进位制和十进位制数字对照表，两侧是加法与乘法的实例。 1701年，莱布尼茨将自己关于二进位制的论文送交法国巴黎科学院，但要求暂时不要发表。两年后，他将修改补充后的论文再次给巴黎科学院，并要求公开发表，于是，在1703年，二进位制公之于众。 莱布尼茨发明了十进制的计算机，又发明了二进制，但他却没有把二进位制用于计算机，这是因为在当时的条件下，一个二进位制的机器会增加技术上的困难。只有随着现代技术的发展，人们才得以将二者有效地结合起来。那种认为莱布尼茨是为计算机而发明二进制的说法，是违背历史事实的。 (四) 1684年，38岁的莱布尼茨在他创办的《教师学报》上第一次发表他的微分学论文，比牛顿的《自然哲学的数学原理》（1687年）早了3年时间，这使得该文成为世界上最早公开出版的微积分文献。 莱布尼茨的微分学论文全文仅6页纸，但题目却很长，一般简译为《一种求极大极小和切线的新方法》，其中含有现代微分符号和基本微分法则，给出极值的条件dy＝0及拐点的条件d2y＝0等重要结果。 1686年，40岁的莱布尼茨又在同一杂志上第一次发表他的积分学论文《深奥的几何与不可分量和无限的分析》，同样首次在印刷品中出现沿用至今的积分符号。在这篇论文中，他还用积分表示了超越曲线的例子，如∫a2±x2dx 。 1年以后，即1687年，44岁的牛顿发表了科学巨著《自然哲学的数学原理》，首次公布了他的微积分方法——流数法，在此处，牛顿加有这样一段评注： “10年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼茨的信中曾指出：我发现了一种方法，可用以求极大值与极小值、作切线及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法写给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。” 莱布尼茨也高度评价牛顿的数学成就。1701年，在柏林王宫的一次宴会上，当普鲁士王后问到对牛顿的评价时，莱布尼茨说： “纵观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。” 但是，由于瑞士数学家法蒂奥德迪耶于1699年向皇家学会递交一篇论文，其中肯定牛顿是微积分的第一发明者，而莱布尼茨可能是剽窃，这就引发了英国和欧洲大陆之间一场旷日持久的关于微积分的优先权之争。出于狭隘的民族偏见，英国数学家迟迟不肯接受莱布尼茨优良的符号系统，拘泥于牛顿的流数术，因而在微积分学之后的进展中相对地落后了。而欧洲大陆的数学家很快就接受了莱布尼茨的优越符号，在伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的努力下很快取得了丰硕成果，引导了近代数学的发展。 1700年前后，莱布尼茨热衷于组织科研团体的工作。从1695年起，他就一直为在柏林建立科学院而四处奔波，为此1698年他亲往柏林；1700年，莱布尼茨应召做柏林普鲁士王后的家庭教师，这时他建立科学院的宿愿终于实现，并且成为柏林科学院的首任院长。其后10多年间，他又奔走于奥地利、俄国，鼓吹建立科学院，这些主张在他生前未果，但后来维也纳科学院、彼得堡科学院先后建立起来。传说莱布尼茨还曾写信，建议康熙皇帝在北京建立科学院。 不过，莱希尼茨为他的雇主也花费了不少时间和精力，如为不伦瑞克家族追寻和编写家谱，以证明这个家族对欧洲王权有继承的权利，但这个家族在通婚史上的混乱不堪，以至于万能的莱布尼茨也无法使它“天衣无缝”。在为此项工作的调查过程中，莱布尼茨经常坐在颠簸透风、格格作响的破旧马车里，忽此忽彼地奔跑在17世纪欧洲的牛车道上。然而，他竟能在这样的环境中连续不断地思考、阅读，甚至写作。他遗留下来的学术著作手稿，纸张大小不一，质量不等，但却闪烁着智慧的光辉。 (五) 莱布尼茨是名副其实的“万能大师”。在化学方面，1677年他写成了《磷发现史》；在物理学方面，除1671年的《物理学新假说》外，他的学术成果还有1684年关于材料力学的论文《固体受力的新分析证明》、1686年在力的量度方面的论文《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》；在地质学方面，他于1693年出版了《原始地球》一书等。 在生命的最后20多年间，莱布尼茨把兴趣转向了哲学，并以此作为主要精神寄托。他同他的弟子沃尔夫所创立的莱布尼茨－沃尔夫体系，极大地影响了德国哲学的发展。 莱布尼茨在哲学史上，与亚里士多德齐名。他提出的“单子论”，是唯心主义唯理论的主要代表之一，其中含有一些辩证法的因素，如认为单子是一与多的统一，单子是本身具有能动性的实体。他把真理分为必然真理和偶然真理，既承认必然性又承认偶然性。他的哲学著作《形而上学谈话》、《人类理智新论》、《神正论》、《单子论》、《以理性为基础的自然和神恩的原则》等，是欧洲哲学两大派别——经验主义与理性主义对峙中，理性主义的重要代表。费尔巴哈曾说：“近代哲学领域继笛卡儿和斯宾诺莎之后，内容最为丰富的哲学乃是莱布尼茨。”莱布尼茨开创了德国的自然哲学，他影响了康德、黑格尔乃至20世纪的罗素。 同牛顿一样，莱布尼茨终生未婚。同牛顿不同的是，莱布尼茨从未在大学执教，他平时也从不进教堂，他于1716年11月14日70岁时，因痛风和胆结石去世，教士以此为借口不予理睬，宫庭也不过问，无人前往吊 。与牛顿死后厚葬于威斯敏斯特大教堂形成鲜明对照，莱布尼茨下葬于一个无名墓地，仅仅是他的私人秘书和带着铁锹的工人前往。不过，他死后七八十年，人们于1793年在汉诺威为他建立了纪念碑；于1883年在莱比锡的一个教堂附近为他竖起了一座立式个人雕像；1983年，人们在汉诺威照原样重修了被毁于第二次世界大战的“莱布尼茨故居”供后人瞻仰。 莱布尼茨那样地认真思考他发表过的文章和尚未发表手稿中所有的问题，对常人来说，似乎不可思议。 据说，作为一个对骨相学家和解剖学家感兴趣的研究题目，莱布尼茨的头颅骨曾被掘出测量过，人们发现其竟然比正常成人的头颅骨要小。虽然不知这一说法可靠与否，但这或许有些道理。 （摘自大众科技报 王渝生）参考资料：
把二重积分化成二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。你可以找一本高等数学书看看。。
你这个题目积分区域中，x,y并不成函数关系，要是积分区域是由比如说1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所围成的话，那么就要先对y积分其中上下限就是f(x),g(x),要看谁的图形在上谁就是上限，这时候的x就当做一个常数来看待（只含有x的项可以像提出常数一样提到积分号外面来）。这个第一次积分得到一个关于x的函数（这个结果是第二次积分的表达式），然后再对x积分，这时候上下限就是2和1。这样就得到积分值了。
利用极坐标计算二重积分,有公式 ∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθ ,其中积分区域是一样的. I=∫dx∫(x^2+y^2)^-1/2 dy x的积分上限是1,下限0 y的积分上限是x,下限是x² 积分区域D即为直线y=x,和直线y=x²在区间[0,1]所围成的面积,转换为极坐标后,θ的范围为[0,π/4],下面计算r的范围： 因为y=x²的极坐标方程为：rsinθ=r²cos²θ r=sinθ/cos²θ 因为直线y=kx和曲线y=x²的交点为(0,0),(k,k²),所以在极坐标中r的取值范围为[0,sinθ/cos²θ],则积分I化为极坐标的积分为 I＝∫dθ∫1/√(rcosθ)²+(rsinθ)²rdr =∫dθ∫dr (θ范围[0,π/4],r范围[0,sinθ/cos²θ]) =∫(sinθ/cos²θ)dθ(θ范围[0,π/4]) =∫(-1/cos²θ)dcosθ =|1/cosθ|(θ范围[0,π/4]) =1/cos(π/4)-1/cos0 =√2-1
就是把函数当成数，就几乎变成了小儿科。
二重积分计算方法：化为二次积分。
1、直角坐标系中
当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为，
由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。
①X型区域
设积分区域是由两条直线x=a，x=b（a 特点：穿过D内部且平行于y轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。 如图，对任意取定的x0∈[a，b]，过点（x0，0，0）作垂直于x轴的平面x=x0，该平面与曲顶柱体相交所得截面是以区间 为底，z=f（x0，y)为曲边的曲边梯形。 由于x0的任意性，这一截面的面积为 。 其中y是积分变量在积分过程中视x为常数。上述曲顶柱体可看成平行截面面积S（x）从a到b求定积分的体积，从而得到： ②Y型区域 积分区域 称为Y型区域。 特点：穿过D内部且平行于x轴的直线，与D的边界交点数不多于两点。 称D为Y型区域，此时可采用先对x，后对y积分的积分次序，将二重定积分化为累次积分： 2、在极坐标中 有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等，或被积函数为 等形式时，采用极坐标会更方便。 在直角坐标系xOy中，取原点为极坐标的极点，取正x轴为极轴，则点P的直角坐标系（x，y）与极坐标轴（r，θ）之间有关系式： 在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。 为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D， 设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为 ，可得到二重积分在极坐标下的表达式： 扩展资料 二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。 参考资料：百度百科-二重积分 定积分可以使用“分项积分法”进行计算。 如一个函数在不同的定义域有不同的表达式，那么表达式一样的函数，也可以分成一段段的来表示积分，当然前提要满足函数的可积法。 定积分的几何定义：可以理解为在 Oxy坐标平面上，由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b以及x轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。 首先分析积分区间是否关于原点对称，其次考虑被积函数是否具有周期性，再次考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项等。 分析积分区间是否关于原点对称，即为[-a,a]，如果是，则考虑被积函数的整体或者经过加减拆项后的部分是否具有奇偶性，如果有，则考虑使用“偶倍奇零”性质简化定积分计算。 考虑被积函数是否具有周期性，如果是周期函数，考虑积分区间的长度是否为周期的整数倍，如果是，则利用周期函数的定积分在任一周期长度的区间上的定积分相等的结论简化积分计算。 考察被积函数是否可以转换为“反对幂指三”五类基本函数中两个类型函数的乘积，或者是否包含有正整数n参数，或者包含有抽象函数的导数乘项，如果是，可考虑使用定积分的分部积分法计算定积分。 定积分基本公式： 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。 主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。 定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。 这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有。 一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。 参考资料来源：百度百科-定积分 看几道例题就会明白的，简单的说就是反导例如：（X）'=1,那么两边都加不定积分号，那么∫dx=X，对于定积分，就是先求出不定积分，也就是刚刚求的∫dx，然后在积分号上面有两个数字，把两个数都的带进分别带进X，然后带上面的数字就为正，带下面的数字就为负，然后再把这个相加，就求出定积分了 定积分的计算公式：f= @(x，y)exp(sin(x))*ln(y)。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
希望能帮助你还请及时采纳谢谢 微积分的基本思想及其在经济学中的应用 摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。 关键词：微分 积分 基本思想 应用 微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。 1. 微积分的产生、发展及其作用 微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。 随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。 微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。 2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确 微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。 微分学的基本思想 微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。 积分学的基本思想 积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。 3.微分在经济学中的应用 随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性. 弹性分析 在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。 4.积分在经济学中的应用 积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。 5.总结： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。 参考文献： [1] 祁卫红，罗彩玲.微积分学的产生和发展[J].山西广播电视大学学报，2003，（02）. [2] 晏能中.微积分——数学发展的里程牌[J].达县师范高等专科学校学报，2002，（04）. [3] 同济大学数学教研室.高等数学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1993. [4] [美]托·道林.数学在经济中的应用[M].福州：福建科学技术出版社，1983,4. [5] 蔡芷.财会数学[M].上海：知识出版社，1982,12. [6] 赵树嫄.经济应用数学基础（一）.微积分.中国人民大学出版社，2002. [7] 杨学忠.微积分[M].中国商业出版社，2001. [8] 向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）. [9] 髙哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览，2009（7）. [10] 王志平.高等数学大讲堂[M].大连：大连理工大学出版社，2004. [11] 吴赣昌.微积分[M].中国人民大学出版社，2004. [12] 谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化，2008（4）. [13] 张先荣.谈微积分在经济分析中的应用[J].濮阳职业技术学院学报，2009,22（4） [14] 明清河.数学分析的思想与方法[M].山东大学出版社，2004. [15] Elizabeth George State University Analysis of Diagram Modification and Construction in Students’Solutions to Applied calculus for Research in Mathematics Education,. [16]Sandra Nicol(2006).Challenging Pre-serviceteachers’Mathematical Understanding:The case of Division by . 扇形面积 S = (1/2)αR^2, 当 α 减少 30', dα = ° = -π/360, dS = (1/2)R^2dα = -(1/2)100^2 · π/360 = 平方厘米扇形面积减少约 平方厘米；当 R 增加 1 厘米, dR = 1 dS = αRdR = 100 · 1 · 60π/180 = 平方厘米扇形面积增加约 平方厘米。 研究了乘法当然要研究除法哦 大家都知道，AI (神经网络) 连加减法这样的简单算术都做不好：可现在，AI已经懂得微积分，把魔爪伸向你最爱的高数了。 它不光会求不定积分：还能解常微分方程：一阶二阶都可以。这是Facebook发表的新模型，1秒给出的答案，超越了Mathematica和Matlab这两只付费数学软件30秒的成绩。 团队说，这是Seq2Seq和Transformer搭配食用的结果。 用自然语言处理 (NLP) 的方法来理解数学，果然行得通。 这项成果，已经在推特上获得了1700赞。许多小伙伴表示惊奇，比如： “感谢你们！在我原本的想象中，这完全是不可能的！”而且，据说算法很快就要开源了：到时候让付费软件怎么办？巨大数据集的生成姿势要训练模型做微积分题目，最重要的前提就是要有大大大的数据集。 这里有，积分数据集和常微分方程数据集的制造方法：函数，和它的积分首先，就是要做出“一个函数&它的微分”这样的数据对。团队用了三种方法： 第一种是正向生成 (Fwd) ，指生成随机函数 (最多n个运算符) ，再用现成的工具求积分。把工具求不出的函数扔掉。 第二种是反向生成 (Bwd) ，指生成随机函数，再对函数求导。填补了第一种方法收集不到的一些函数，因为就算工具求不出积分，也一定可以求导。 第三种是用了分部积分的反向生成 (Ibp) 。前面的反向生成有个问题，就是不太可能覆盖到f(x)=x3sin(x)的积分： F(x)=-x3cos(x)+3x2sin(x)+6xcos(x)-6sin(x) 因为这个函数太长了，随机生成很难做到。 另外，反向生成的产物，大多会是函数的积分比函数要短，正向生成则相反。 为了解决这个问题，团队用了分部积分：生成两个随机函数F和G，分别算出导数f和g。 如果fG已经出现在前两种方法得到的训练集里，它的积分就是已知，可以用来求出Fg： ∫Fg=FG-∫fG 反过来也可以，如果Fg已经在训练集里，就用它的积分求出fG。 每求出一个新函数的积分，就把它加入训练集。 如果fG和Fg都不在训练集里，就重新生成一对F和G。 如此一来，不借助外部的积分工具，也能轻松得到x10sin(x)这样的函数了。一阶常微分方程，和它的解从一个二元函数F(x,y)说起。 有个方程F(x,y)=c，可对y求解得到y=f(x,c)。就是说有一个二元函数f，对任意x和c都满足：再对x求导，就得到一个微分方程：fc表示从x到f(x,c)的映射，也就是这个微分方程的解。 这样，对于任何的常数c，fc都是一阶微分方程的解。 把fc替换回y，就有了整洁的微分方程：这样一来，想做出“一阶常微分方程&解”的成对数据集，只要生成一个f(x,c)，对c有解的那种，再找出它满足的微分方程F就可以了，比如：二阶常微分方程，和它的解二阶的原理，是从一阶那里扩展来的，只要把f(x,c)变成f(x,c1,c2) ，对c2有解。 微分方程F要满足：把它对x求导，会得到：fc1,c2表示，从x到f(x,c1,c2)的映射。 如果这个方程对c1有解，就可以推出另外一个三元函数G，它对任意x都满足：再对x求导，就会得到：最后，整理出清爽的微分方程：它的解就是fc1,c2。 至于生成过程，举个例子：现在，求积分和求解微分方程两个训练集都有了。那么问题也来了，AI要怎么理解这些复杂的式子，然后学会求解方法呢？将数学视作自然语言积分方程和微分方程，都可以视作将一个表达式转换为另一个表达式，研究人员认为，这是机器翻译的一个特殊实例，可以用NLP的方法来解决。 第一步，是将数学表达式以树的形式表示。 运算符和函数为内部节点，数字、常数和变量等为叶子节点。 比如 3x^2 + cos(2x) - 1 就可以表示为：再举一个复杂一点的例子，这样一个偏微分表达式：用树的形式表示，就是：采用树的形式，就能消除运算顺序的歧义，照顾优先级和关联性，并且省去了括号。在没有空格、标点符号、多余的括号这样的无意义符号的情况下，不同的表达式会生成不同的树。表达式和树之间是一一对应的。 第二步，引入seq2seq模型。 seq2seq模型具有两种重要特性： 输入和输出序列都可以具有任意长度，并且长度可以不同。 输入序列和输出序列中的字词不需要一一对应。 因此，seq2seq模型非常适合求解微积分的问题。 使用seq2seq模型生成树，首先，要将树映射到序列。 使用前缀表示法，将每个父节点写在其子节点之前，从左至右列出。 比如 2 + 3 * (5 + 2)，表示为树是：表示为序列就是 [+ 2 * 3 + 5 2]。 树和前缀序列之间也是一一映射的。 第三步，生成随机表达式。 要创建训练数据，就需要生成随机数学表达式。前文已经介绍了数据集的生成策略，这里着重讲一下生成随机表达式的算法。 使用n个内部节点对表达式进行统一采样并非易事。比如递归这样的方法，就会倾向于生成深树而非宽树，偏左树而非偏右树，实际上是无法以相同的概率生成不同种类的树的。 所以，以随机二叉树为例，具体的方法是：从一个空的根节点开始，在每一步中确定下一个内部节点在空节点中的位置。重复进行直到所有内部节点都被分配为止。不过，在通常情况下，数学表达式树不一定是二叉树，内部节点可能只有1个子节点。如此，就要考虑根节点和下一内部节点参数数量的二维概率分布，记作 L(e,n)。接下来，就是对随机树进行采样，从可能的运算符和整数、变量、常量列表中随机选择内部节点及叶子节点来对树进行“装饰”。 最后，计算表达式的数量。 经由前面的步骤，可以看出，表达式实际上是由一组有限的变量、常量、整数和一系列运算符组成的。 于是，问题可以概括成： 最多包含n个内部节点的树 一组p1个一元运算符（如cos，sin，exp，log） 一组p2个二进制运算符（如+，-，×，pow） 一组L个叶子值，其中包含变量（如x，y，z），常量（如e，π），整数（如 {-10，…，10}） 如果p1 = 0，则表达式用二叉树表示。 这样，具有n个内部节点的二叉树恰好具有n + 1个叶子节点。每个节点和叶子可以分别取p1和L个不同的值。 具有n个二进制运算符的表达式数量就可以表示为：如果p1 > 0，表达式数量则为：可以观察到，叶子节点和二元运算符的数量会明显影响问题空间的大小。△不同数目运算符和叶子节点的表达式数量胜过商业软件实验中，研究人员训练seq2seq模型预测给定问题的解决方案。采用的模型，是8个注意力头（attention head），6层，512维的Transformer模型。 研究人员在一个拥有5000个方程的数据集中，对模型求解微积分方程的准确率进行了评估。 结果表明，对于微分方程，波束搜索解码能大大提高模型的准确率。而与最先进的商业科学计算软件相比，新模型不仅更快，准确率也更高。在包含500个方程的测试集上，商业软件中表现最好的是Mathematica。 比如，在一阶微分方程中，与使用贪婪搜索解码算法（集束大小为1）的新模型相比，Mathematica不落下风，但新方法通常1秒以内就能解完方程，Mathematica的解题时间要长的多（限制时间30s，若超过30s则视作没有得到解）。而当新方法进行大小为50的波束搜索时，模型准确率就从提升到了97%，远胜于Mathematica（） 并且，在某一些Mathematica和Matlab无力解决的问题上，新模型都给出了有效解。△商业科学计算软件没有找到解的方程邀请AI参加IMO这个会解微积分的AI一登场，就吸引了众多网友的目光，引发热烈讨论。网友们纷纷称赞：鹅妹子嘤。 有网友这样说道： 这篇论文超级有趣的地方在于，它有可能解决复杂度比积分要高得高得高得多的问题。还有网友认为，这项研究太酷了，该模型能够归纳和整合一些sympy无法实现的功能。不过，也有网友认为，在与Mathematica的对比上，研究人员的实验设定显得不够严谨。 默认设置下，Mathematica是在复数域中进行计算的，这会增加其操作的难度。但作者把包含复数系数的表达式视作“无效”。所以他们在使用Mathematica的时候将设置调整为实数域了？我很好奇Mathematica是否可以解决该系统无法解决的问题。 30s的限制时间对于计算机代数系统有点武断了。但总之，面对越来越机智的AI，已经有人发起了挑战赛，邀请AI挑战IMO金牌。Facebook AI研究院出品 这篇论文有两位共同一作。 Guillaume Lample，来自法国布雷斯特，是Facebook AI研究院、皮埃尔和玛丽·居里大学在读博士。他曾于巴黎综合理工学院和CMU分别获得数学与计算机科学和人工智能硕士学位。 2014年进入Facebook实习。 Franois Charton，Facebook AI研究院的客座企业家（Visiting entrepreneur），主要研究方向是数学和因果关系。传送门 ————编辑 ∑Gemini来源：新浪科技毕业论文定积分的计算
不定积分解题研究论文