几类曲线性质研究的论文

圆锥曲线的光学 性质及其应用 历史上第一个考查圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年—325年）；大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线。他们两位对圆锥曲线的研究是很实在的：考察不同倾斜角的平面截圆锥其切口所得到的曲线，也就是说如果切口与底面所夹的角小于母线与底面所夹的角，则切口呈现椭圆；若两角相等，则切口呈现抛物线；若前者大于后者，则切口呈现双曲线。并且，阿波罗尼奥还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如椭圆，他发现如果把椭圆焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭圆镜反射的光线全部通过另一个焦点F。热也和光一样发生反射，所以这时便会被烤焦，这也就是焦点名称的由来。据说这一发现是他在研究椭圆的作法（也就是现行教材中一开始介绍的作法）时得出的。 而圆锥曲线真正从后台走上前台，从学术的象牙塔中进入现实生活的世界里，应归功于德国天文学家开普勒（公元1571年—1630年），开普勒在长期的天文观察及对记录的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第一条是：“行星在包含太阳的平面内运动，划出以太阳为焦点的椭圆”，就这样，梅纳库莫斯和阿波罗尼奥出于数学爱好而研究的曲线在近2000年之后于天文学的舞台上登场了。后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预测到哈雷彗星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷逝世16年之后，哈雷彗星与地球如期而遇，这引起了全欧洲、乃至全世界的轰动，也进一步推动人们对圆锥曲线研究兴趣的提升。 圆锥曲线的光学性质有大致有三点，即椭圆的光学性质、双曲线的光学性质和抛物线的光学性质。 1：椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点。（如图1所示） 在圆锥曲线的定义中的定点，之所以称作为焦点，是源于它们的光学上聚焦性质．设一个镜面的轴截面的廓线是椭圆，那么当你把一个射线源置于定点F1处，所有射线通过椭圆反射后，都会集中到另一个定点F2；反过来也是一样(见图7-78)．射线集中现象在光学上称为聚焦，因此自然称这两个定点F1,F2为焦点了．椭圆的这种光线特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热． 图1 2：双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点F2处，光线或声波射到双曲线靠近F2的一支上，经过反射以后，就从另一个焦点F1处射出来一样。（如图2所示） 双曲线的光学性质同样也有聚焦性质，但它是反向虚聚焦，即置于双曲线一个焦点处的射线源，被双曲线反射后，其反射线的反向延长线，必定经过另一个焦点双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用 图2 3：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。（如图3所示） 把抛物线看作为一个焦点在无穷远处的“椭圆”，椭圆从一个焦点处发出的射线，聚焦到另一个焦点的椭圆的光学特性，表现在抛物线上，形式就与椭圆大不相同了：设想射线源在位于无穷远处的那个焦点处，无穷远处出发的射线，经抛物线反射后，到达位于有限位置的另一个焦点，但无穷远处出发的射线，在处于有限位置的你看来，只能是平行于对称轴的射线束(例如太阳虽然离开地球很遥远，但毕竟还没有在无穷远处，就这样，我们都已经觉得太阳光线是平行的，而不是像灯泡那样是散射的光线．)因此平行于对称轴的射线经抛物线反射，必定聚焦于焦点(见图7-80)．反之把射线源置于抛物线的焦点(它在有限位置处)，经抛物线反射后，所有的射线也要聚到在无穷远处的那个焦点去，因此反射射线也只能是平行于对称轴的，即从焦点发出的射线，经抛物线反射后成为平行于对称轴的射线束． 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样的接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的． 图3 这三个圆锥曲线的光学性质在生活中有着很广泛的应用。 一只小灯泡（图4）发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒（图5）里，经适当的调节，就能射出一束比较强的平行光，这是为什么呢？ 原因就是手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，它的形状是抛物面，而它的作用就是能把由焦点发出的光线，以平行光（平行抛物面的轴）射出。探照灯（图6）也是利用这个原理做的。 （图4） （图5） （图6） 再根据光的可逆性，可以设计出用于加热水和食物的太阳灶（图7、图8）。在太阳灶上装有一个可旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。其他如聚光灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等也都是利用抛物线的光学性质原理制成的。 （图7） （图8） 还有，电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，聚光灯泡与片门应分别对应于椭圆的两个焦点处，如下图所示： 由于水波、声波和光波都是波的一种形式，因此有很多类似的性质。如对水波遇到椭圆面、双曲线线面及抛物面的反射情况进行分析： 为了使在展览厅走动的游客们都能听清讲解员的解说，根据圆锥曲线的光学性质及声波的相关原理， 展览厅常设计为椭圆形。 圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且 具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不 乏应用；特别是流行于当前的大型薄壳顶棚建筑， 其纵剖线很多就是圆锥曲线． 圆锥曲线的光学性质即椭圆的光学性质、双曲线的光学性质和抛物线的光学性质，它在生活方面有着极其广泛的应用。我们应该不断深入了解和探索它的性质，利用它的性质为人类造福。科学永无止境！

“拉弗曲线”表明了税收与税率之间的关系：当税率为零时，税收自然也为零；而当税率上升时，税收也逐渐增加；当税率增加到一定点时，税收额达到抛物线的顶点，这是最佳税率，如再提高税率，则税收额将会减少。当年拉弗教授在一次宴会上，为了说服当时福特总统的白宫助理切尼，使其明白只有通过减税才能让美国摆脱“滞胀”的困境，拉弗即兴在餐桌上画了一条抛物线，以此描绘高税率的弊端。后来，“拉弗曲线”理论得到了美国前总统罗纳德·里根的支持。在1980年的总统竞选中，里根将拉弗所提出的“拉弗曲线”理论作为“里根经济复兴计划”的重要理论之一，并以此提出一套以减少税收、减少政府开支为主要内容的经济纲领。里根执政后，其减税的幅度，在美国的历史上实为罕见，经济增长也出现当时少有的景气，可以说“拉弗曲线”理论立下了汗马功劳。中国目前的经济形势与美国当时的情形极为相似，但中国的税收征管却有自己的国情，中国税收还没有实行统一的电子征收，还处在人工征收阶段，因此，对经济主体的偷逃漏税行为，还无法遏制。近年来，偷逃漏税行为愈来愈严重，税收总额实际在减少。造成经济主体偷逃漏税行为的原因是多方面的，既有经济主体法制观念不强的原因，也有征管体制不利的原因。从税率的角度来看，也确实存在税率过高的因素。税率过高不仅会影响中国税收的征管，在税收征管手段落后，不完备，法制观念不强，执法不严的情况下，还可能会促使经济主体冒风险而偷逃漏税。走私为什么屡禁不止，因为关税过高，偷逃关税，可以有高回报；内资企业为什么都纷纷与外商合资，因为，三资企业有国家明确规定的“免二减三”税收政策。有些私营企业、所谓的“集体企业”为什么效益很高，从另一方面看是因为国家税收征管给予的 “优惠”。以企业所得税为例，国家规定的统一税率是33％，也就是说企业净收益所得的三分之一国家要拿走，企业怎能会等闲视之。中国的税率普遍过高，应该降低税率。如在企业所得税方面，应该实行根据企业的净收入高低状况，采取累进税率的办法征收，而不可取统一的比例税率。但税率的减免降低应当通过立法的形式，在法律没有修改之前，不得以任何形式来减免税。对税种的征收、税率的高低的规定应当通过制定《税收基本法》的办法来解决。在税种、税率确定的同时，应加大税收征管手段的改进工作的力度，逐步实行电子征管。国家应通过立法统一规定每个人的银行账号，在具体措施上，可以由银行去做，由银行根据每个人的身份证号码，在男性身份证号码后面加“2”，在女性身份证号码后面加“1”来确定每个人的银行账号。统一的个人银行账号的实施，有利于税收的征管。20 世纪30 年代的世界经济大危机使凯恩斯主义得以流行，其需求管理政策被西方不少国家长期奉为“国策”。但是,“玫瑰色的繁荣期”过去后，到20 世纪70 年代， 服用凯恩斯主义药方的国家却纷纷得了相同的后遗症：“滞胀”，即经济停滞与通货膨胀并存。如何医治“滞胀”这个恶疾，便成为现代西方经济学家研究的重点。这时， 南加利福尼亚商学院教授阿瑟·拉弗提出了“拉弗曲线”理论。拉弗曲线并不是严肃的经济学家精心研究的结果，而是拉弗1974 年为了说服当时福特总统的白宫助理切尼, 使其明白只有通过减税才能让美国摆脱“滞胀”的困境,即兴在华盛顿一家餐馆的餐巾纸上画的一条抛物线，这就是著名的“拉弗曲线”，所以被戏称为“餐桌曲线”。这个理论得到同来赴宴的《华尔街日报》副主编、综合经济分析公司总经理贾德·万尼斯基极大的赞赏, 他利用记者身份在报纸上大肆宣传， 很快“减税主张”便博得社会各界的认同， 最终被里根政府所采纳，从此其影响遍及欧美大陆。“拉弗曲线”理论是由“供给学派”代表人物、美国南加利福尼亚商学研究生院教授阿瑟·拉弗提出的。该理论之所以被称之为“供给学派”是因为它主张以大幅度减税来刺激供给从而刺激经济活动。“拉弗曲线”的基本含义是，税收并不是随着税率的增高在增高，当税率高过一定点后，税收的总额不仅不会增加，反而还会下降。因为决定税收的因素，不仅要看税率的高低，还要看课税的基础即经济主体收入的大小。过高的税率会削弱经济主体的经济活动积极性，因为税率过高企业只有微利甚至无利，企业便会心灰意冷，纷纷缩减生产，使企业收入降低，从而削减了课税的基础，使税源萎缩，最终导致税收总额的减少。当税收达到100％时，就会造成无人愿意投资和工作，政府税收也将降为零。从另一方面来看，税率过高不仅使企业微利甚至无利，企业会心灰意冷，而且还可能促使企业偷逃税收，从而导致税收总额的减少（笔者注）。如果用开口朝下的一个抛物线的高度表示税收，两个底端的连接线表示税率，把横竖两条直线交叉成一个直角坐标，这便构成一个标准的“拉弗曲线”。“拉弗曲线”表明了税收与税率之间的关系：当税率为零时，税收自然也为零；而当税率上升时，税收也逐渐增加；当税率增加到一定点时，税收额达到抛物线的顶点，这是最佳税率，如再提高税率，则税收额将会减少。当年拉弗教授在一次宴会上，为了说服当时福特总统的白宫助理切尼，使其明白只有通过减税才能让美国摆脱“滞胀”的困境，拉弗即兴在餐桌上画了一条抛物线，以此描绘高税率的弊端。后来，“拉弗曲线”理论得到了美国前总统罗纳德·里根的支持。在1980年的总统竞选中，里根将拉弗所提出的“拉弗曲线”理论作为“里根经济复兴计划”的重要理论之一，并以此提出一套以减少税收、减少政府开支为主要内容的经济纲领。里根执政后，其减税的幅度，在美国的历史上实为罕见，经济增长也出现当时少有的景气，可以说“拉弗曲线”理论立下了汗马功劳。我国目前的经济形势与美国当时的情形极为相似，但我国的税收征管却有自己的国情，我国税收还没有实行统一的电子征收，还处在人工征收阶段，因此，对经济主体的偷逃漏税行为，还无法遏制。近年来，偷逃漏税行为愈来愈严重，税收总额实际在减少。造成经济主体偷逃漏税行为的原因是多方面的，既有经济主体法制观念不强的原因，也有征管体制不利的原因。从税率的角度来看，也确实存在税率过高的因素。税率过高不仅会影响我国税收的征管，在税收征管手段落后，不完备，法制观念不强，执法不严的情况下，还可能会促使经济主体冒风险而偷逃漏税。走私为什么屡禁不止，因为关税过高，偷逃关税，可以有高回报；内资企业为什么都纷纷与外商合资，因为，三资企业有国家明确规定的“免二减三”税收政策。有些私营企业、所谓的“集体企业”为什么效益很高，从另一方面看是因为国家税收征管给予的“优惠”。以企业所得税为例，国家规定的统一税率是33％，也就是说企业净收益所得的三分之一国家要拿走，企业怎能会等闲视之。这种不分经济主体的收入状况大小，而一律征收统一的税率，显然有失公平。再以国家税务总局1995年 9月8日发布的《关于中国人民保险公司所属分支机构缴纳企业所得税问题的通知》的规定为例，按照该通知规定：“中国人民保险公司所属分支机构的国内保险业务净收入，暂以省、自治区、直辖市和计划单列市分公司为企业所得税纳税人，按55％税率汇总纳税”，企业的一半净收入，国家要拿走。如再加上不合理的重复征税，经济主体怎能承受得了。税率过高，在相关监管措施和制度没有跟上的情况下，也将会导致税务人员违法征税和腐败的产生。税务人员在经济主体各种形式的利诱下，由于缺乏必要有效的监管措施，可能被拖下水，随意的减税、免税，甚至共同犯罪，这样的例子举不胜举。20 世纪30 年代的世界经济大危机使凯恩斯主义得以流行, 其需求管理政策被西方不少国家长期奉为“国策”。但是,“玫瑰色的繁荣期”过去后, 到20 世纪70 年代, 服用凯恩斯主义药方的国家却纷纷得了相同的后遗症:“滞胀”, 即经济停滞与通货膨胀并存。如何医治“滞胀”这个恶疾, 便成为现代西方经济学家研究的重点。这时, 南加利福尼亚商学院教授阿瑟·拉弗提出了“拉弗曲线”理论。拉弗曲线并不是严肃的经济学家精心研究的结果, 而是拉弗1974 年为了说服当时福特总统的白宫助理切尼, 使其明白只有通过减税才能让美国摆脱“滞胀”的困境,即兴在华盛顿一家餐馆的餐巾纸上画的一条抛物线, 这就是著名的“拉弗曲线”, 所以被戏称为“餐桌曲线”。这个理论得到同来赴宴的《华尔街日报》副主编、综合经济分析公司总经理贾德·万尼斯基极大的赞赏, 他利用记者身份在报纸上大肆宣传, 很快“减税主张”便博得社会各界的认同, 最终被里根政府所采纳, 从此其影响遍及欧美大陆。拉弗曲线的一般形状如图1 所示, 可以理解为: 在原点O 处税率为零时, 将没有税收收入; 随着税率增加, 税收收入达到最高额ON;当税率为100% 时, 没有人愚蠢到还要去工作,所以也没有税收收入, 因此曲线是两头向下的倒U 型。拉弗曲线说明, 当税率超过图中E 点时, 挫伤积极性的影响将大于收入影响。所以尽管税率被提高了, 但税收收入却开始下降。图中的阴影部分被称为税率禁区, 当税率进入禁区后, 税率与税收收入呈反比关系, 要恢复经济增长势头, 扩大税基, 就必须降低税率。只有通过降低税率才可以鱼与熊掌兼而得之——收入和国民产量都将增加。

附件10：论文（设计）管理表一 昌吉学院本科毕业论文（设计）开题报告论文（设计）题目 圆锥曲线切线的几个性质及其应用探究系（院） 数学与应用数学 专业班级 09级数本（2）班 学科 理科学生 姓名 成骏 指导教师 姓名 徐权年学号 0925809070 职称 教授一、 选题的根据（1、内容包括：选题的来源及意义，国内外研究状况，本选题的研究目标、内容创新点及主要参考文献等。2、撰写要求：宋体、小四号。）1.选题的来源及意义圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，又是高中数学的重点和难点，因而成为高考中必不可少的考查内容。圆锥曲线的主要内容之一是圆锥曲线切线的相关问题，课本中虽然没有对该类问题进行深入探究。但在考试中却常常出现与圆锥曲线切线相关的题目。而国内外的参考文献中涉及到这方面的研究大都只给出抽象的性质和证明，很少给出性质的相关应用，实际处理具体问题时学生难于灵活运用这些性质，因此，本选题具有十分重要的实际价值和意义2.国内外研究状况从目前参考道德文献资料中所了解的信息看，对圆锥曲线切线的性质，近几年研究者们从各自的角度出发，进行了一定的探讨，得到一系列结果。比如：在《圆锥曲线的一个性质的证明与推广》一文中张留杰得出了准线上任意一点与焦点弦的两端点，焦点弦所在直线的斜率之间的关系的性质：在《圆锥曲线切点弦的一个性质》一文中周伟林得出了圆锥曲线切点弦的共通性质：在《圆锥曲线的一个几何特征》一文中黄堰创得出了圆锥曲线的切线，对称轴以及顶点在圆锥曲线上的三角形的内在性质：在《圆的重要性质在圆锥曲线上的推广》一文中吴翔雁得出了切线长的性质：在《圆锥曲线的一个性质》一文中张家瑞得出了切线，割线间的关系的性质：在《圆锥曲线的一个性质及应用》一文中潘德党得出了圆锥曲线的焦点，准线与切线三者间的位置关系的性质及应用：在《高中几何学习指导》一文中李铭祺得出了切线长相等的性质等等。3.研究目标通过探讨从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线以及割线，引一条切线和过该点的法线的相关性质及应用，揭示圆锥曲线隐藏的统一特性。4.本文创新点在现有的参考文献的基础上，通过从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线以及割线，引一条切线和过该点的法线，对圆锥曲线切线进行研究，得到了圆锥曲线切线的5个性质并加以应用，以揭示圆锥曲线切线隐藏的统一性质。5.主要参考文献[1]郑观宝.圆锥曲线的一个公共性