关于数学与哲学的论文参考文献

在数学的哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。数学与哲学的关系一是人们谈论的问题。以下是我整理的数学与哲学的论文的相关资料，欢迎阅读!

摘要：在数学哲学中，直觉主义可谓引起引起了现代学术思想的一次革命。虽然直觉主义可以追溯到康德，甚至柏拉图。然而，它是近现代的，20世纪前20年，它作为一个独立的数学哲学思潮而闻名。它是逻辑学哲学中的一次风暴逆袭，是经典数学的有力挑战者。直觉主义强调“构造”，出发于“心智”。直觉主义把整个自然数论视为整个数学的基础，直觉主义拒绝排中律和反证律，抵制实无穷而推崇潜无穷。随着计算机的产生和发展，直觉主义在数字构造中起到了积极的应用。同时，直觉主义对数学哲学的创新 教育 等方面都有着不可忽视的影响。

关键词：数学哲学 直觉主义 传统逻辑 布劳威尔

一、 “存在必须是被构造”——直觉主义的产生

直觉(intuition)一词意为未经充分逻辑推理的，直观的，直接领捂事物本质的思考。与H.柏格森、B.克罗齐、E.胡塞尔等人的直觉主义不同，我们这里所研究的“直觉”并不是指主体对于客观事物的一种直接把握能力，而是指思维的本能上的一种心智活动。在这里，直觉主义提倡的直觉，并非辩证唯物主义的“直观的感觉”，其本意是“先验的心智构造”，以此为出发点，形成了对数学对象“存在性”与“可构造性”等同的要求。[1]直觉主义哲学是一种反理性主义的唯心主义哲学思潮。数学研究中的构造主义是一种有关数学基础的观点，它主张自然数及其某些规律和 方法 ，特别是数学归纳法，是可靠的出发点， 其它 一切数学对象和理论都应该从自然数构造出来。[2]“存在必须是被构造”，这是直觉主义派最著名的 口号 。也因此，直觉主义是一种构造逻辑。直觉派认为，数学中的概念和方法都是必须可以被构造的，非构造性的证明不是直觉主义者能接受的。在数学领域中，集合论悖论的问题不可能通过对已有的数学作某种局部的修改和限制加以解决，而必须依靠一些可信的标准对已有的数学进行全面的审视和改造。直觉主义认为逻辑依赖于数学,而非数学依赖逻辑。数学建立在直觉的基础上。同时，直觉主义认为哲学、逻辑甚至计数等概念都比数学复杂得多,不能作为数学的基础,数学的基础需要更简单、更直接的概念,它就是直觉,直觉是心智的一项基本功能。[3]一位直觉主义数学家阿伦特·海廷(Arend Heyting)在他的论文《数学的直觉主义基础》中指出：“立即处理数学的构造也许是符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一(unity)的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位(units)来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。”[4]61

直觉主义者认为，数学的基础在于数学直觉，在他们看来，建立在数学直觉之上的理论能使“概念和推理十分清楚地呈现在我们面前”，即“对于思想来说是如此的直接，而其结果又是如此的清楚，以致不再需要任何铸的什么基础了”(A·黑丁:《直觉主义导论》)。任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的;不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种;但它不是唯一的一类。直觉主义的基本哲学立场是，数学是人类心智“固有”的一种创造活动，是主体的自身的活动，而不是对外在的描述.数学概念是一种自主的智力活动的结果，智力活动则是研究自明定律所支配的思想构造。[5]

二、颠覆传统逻辑，形式主义的逆袭——直觉主义的特点

直觉主义不承认实无穷，拒绝实际无穷的抽象。也就是说，它不考虑像所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。数学上存在着潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着唯物主义与唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。按照全称和条件量词的标准直觉主义，一个证明就是这样的潜无穷结构，这可能是合理的。(达米特《直觉主义逻辑的哲学基础》)[4]142按照此观点，所有的自然数可以构成一个集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。很显然，直觉主义支持潜无穷的观点，即把无穷集合看成无限延伸着的序列。

直觉主义反对排中律，这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并称为形式逻辑的三大基本规律。传统逻辑首先把排中律当作事物的规律，意为任一事物在同一时间里具有某属性或不具有某属性，而没有其他可能。排中律同时也是思维的规律，即一个命题是真的或不是真的，此外没有其他可能。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。但是，对于排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。

直觉主义主要对抗的是形式主义。多个世纪以来，对数学规律的无懈可击的精确性的信念的依据是数学哲学研究的主要对象。直觉主义表示，精确性存在于人类心智之中，形式主义者认为，存在于纸面上。[4]90

直觉主义具有非逻辑性和整体性。数学直觉是作为逻辑的对立面而介定的一种认识方法,因此非逻辑性是数学直觉的最主要特性。可以说数学直觉的其他特性都是由它的非逻辑性所决定的,这是许多哲学家、科学家的共同见解。[6]直觉主义认为，数学是心灵的创造活动，心灵是丰富的，逻辑则是贫乏的。因此，坚决不能用贫乏的逻辑规则来全面准确地规划丰富的心灵活动。直觉主义的另一位代表人物阿伦特?海廷(Arend Heyting)说：“逻辑属于应用数学”。在对于直觉主义整体性上，一个日本数学家有如下精辟的解释：当一个人已经长期而持续地从事了研究并已成为一个完全成熟的研究人员时,他就已经在自己的头脑中形成了一种相对稳定的知识体系。经过他自己的努力,这种知识体系已被综合成为一种特殊的,确定的形式。而且自己综合的工作当然本身就是一种极有价值的 经验 。[7]

彭加勒在《数学中的直觉和逻辑》一文中写道：

哲学家告诉我们，纯逻辑永远也不能使我们得到任何东西;它不能创造任何新东西，任何科学也不能仅仅从它产生出来。在某种惫义上，这些哲学家是对的;要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑之外，还需要其他东西。为了称呼这种东西，我们只好使用直觉这个词。可是，在这同一谕后，潜藏着多少不同的意思呢?比较一下这四个公理:(1)等于第三个最的两个量相等;(2)若一定理对数1为真，假定它对N为真，如果我们证明它对N+1为真，则它对所有整数均为真;(3)设在一直线上，C点在A与B之间，D点在A与C之间，则D点将在A与B之间;(4)通过一个定点仅有一条直线与已知直线平行。所有这四个公理都归之于直觉，不过第一个阐明了形式逻辑诸法则中的一个法则;第二个是真实的先验综合判断，它是严格的数学归纳法的基础;第三个求助于想象:第四个是伪定义。直觉不必建立在感觉明白之上;感觉不久便会变得无能为力。[8]

值得注意的是，直觉主义不是神秘主义。直觉的“不可解释性”并不等于直觉的“神秘性”，尽管直觉是“不可解释”的，但它却有着确定的本质。我们认为，直觉是认识过程中的一种飞跃，因此它就不是一种经验的认识，而是原来的思想路线的中断，不可能按照通常的 思维方式 ，用结论和推理的环节把它连接起来，所以直觉是“不可解释的”。[9]

三、从Kant到Dummett，直觉主义派的主要人物及其思想

伊曼努尔·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，从某种意义上来说，直觉主义是由哲学家康德开始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大学教物理和数学，他认为我们所有的感觉都来自于一个预先假定的外部世界。虽然这些感觉不能提供任何知识，但是被感知到的物体间相互作用就产生了知识。心智将这些感觉梳理清楚，得到对空间和时间的直觉。康德说，感性直觉有两个纯形式，它们是先天知识的原则，这两个纯形式就是空间和时间。空间是外直觉的纯形式，而时间是内直觉的纯形式，它们都不是从外邻经验得来的，而是必然的、先天的观念。空间和时间不是客观存在的，而是心智的创作。心智理解经验，经验唤醒心智。虽然康德的思想有着直觉主义的影子，但是依旧没有直观地提出直觉主义，就数学基础的方法而言，直觉主义是现代的。[10]

亨利·彭加勒(常译作庞加莱，Henry Poincare，1854-1912)，当代语境中的数学直觉主义的先驱。后人评价为数学哲学与当代数学直觉主义之间的一座桥梁。逻辑主义对于数学基础的理解是虚幻的。它使数学失去基础。然而数学的基础是存在的，它就是我们的直觉。它赋予数学以意义，从而给数学以对象。彭加勒指明了一座(本来就)架在人类精神和数学存在之间的桥梁，那便是我们的数学直觉。[11]彭加勒主张自然数是最基本的直觉，认为数学归纳法是一种包含直观的思维方法，是不能简单地归结为逻辑的。他主张使用有限个词能定义的概念，主张数学对象的可构造性。他还在另一种意义上理解和强调数学直觉，将其看做选择和发明的工具。彭加勒认为，我们有多种直觉。然而，最重要的可以归结为两类：一是“纯粹直觉”，即他通常所说的“纯粹数的直觉”、“纯粹逻辑形式的直觉”、“数学次序的直觉”等，这主要是解析家的直觉;二是“可觉察的直觉”，即想象，这主要是几何学家“形”的直觉。对于这两类直觉，他认为都是必要的，各自发挥着不同的作用。他认为，这两类直觉“似乎发挥出我们心灵的两种不同的本能”，它们像“两盏探照灯，引导陌生人相互来往于两个世界”。[12]

布劳威尔(，1881-1966)，直觉主义真正的创始人和奠基人是布劳威尔。布劳威尔在数学上的直觉主义立场来源于他的哲学。1907年他在博士论文《数学基础》中提出直觉主义观点,认为数学的基础是先验的初始直觉。数学是起源于和产生于头脑的人类活动，不存在于头脑之外，因此，是独立于真实世界的。布劳威尔认为数学思维是智力构造的一个过程，它建造自己的天地，独立于经验，并且只受到必须建立于基本的数学直觉之上的限制。[10]布劳维尔发表的《数学基础》表明直觉主义的立场是强调“直觉”，这并不是说否认数学的逻辑性和严谨性,而只是突出直觉、灵感和创造力在数学中的地位。直觉主义者认为数学不仅是最讲究严格性的科学,也是最富有创造性的科学。布劳维尔认为数学的基础是先验的初始直觉,他和他的学生说他们所说的直觉正是人心对于它本身所构造的东西的清晰理解。[13]布劳维尔修改了康德的先验时空学说，放弃了“外直觉的纯形式”的先验时空概念，以适应非欧几何的发展;池把数学的基本直觉建立在“内直觉的纯形式”的先验时间概念的基础之上。[14]布劳威尔还提出了“二·一原则”(tow-oneness)。他认为这是数学的基本直觉。即假设N成立，则N+1成立。这个过程可以无限重复，创造了一切有限序数，因为“二·一原则”的元素之一可以被认为是一个新的“二·一原则”。布劳威尔认为，在这个数学的基本直觉中，联通和分离、连续和离散得到统一，并直接引出了线性连续统的直觉，即“介于”(between)的直觉。(布劳威尔《直觉主义和形式主义》)[4]93

阿伦特·海廷(Arend Heyting，1898-1980)，他是布劳威尔的学生。继承了布劳威尔有关数学直觉主义的思想。他认为，直觉主义是从一定的、多少有点任意的假设出发的。它的主题是构造性的数学思想。这使得它处于经典数学之外。形式主义和直觉主义的差别在于，直觉主义的进行独立于形式化，形式化只能追随在数学构造的后面。逻辑不是直觉主义的立足点，数学构造在头脑中是很直接的，结论也应该是很清楚的，所以不需要任何基础。海廷主张，在描述直觉主义数学时，应当在日常生活中去理解。比如，在注视那边树木时，我确信我看到树木，而实际上光波达到我眼中，使我构造出树木这一信念需要相当的训练。这种观点是自然的。两个人说话，我向你灌输意见，实际制造了空气的震动。这是理论的构造。(阿伦特·海廷《论辩》)[4]77-88

迈克尔·达米特(又译米歇尔·杜麦特Michael Dummett，1925-2011)，当代数学直觉主义学派的代表人物。达米特认为，数学首先是先验的，然后是分析的。达米特曾经从语言学角度和意义理论角度为直觉主义辩护。直觉主义关于数学陈述意义的解释避免了以真概念为核心概念的意义理论的不足，它把说话者关于数学陈述的理解与说话者使用这个陈述的实际能力结合在一起，因此具有很大的优点。从直觉主义关于数学陈述的意义说明出发，达米特提出了以证实为核心概念的新的意义理论的构想。[15]202达米特指出：“对于直觉主义逻辑来说，排中律的双重否定是有效的语义原则，就像二值逻辑认为排中律本身是有效的一样：断言任何陈述既不真也不假是不一致的。”[4]132

四、直觉主义的意义以及合理性

直觉主义对古典逻辑中的排中律和双重否定律等原理中的部分原则以及非构造性的结论持否定态度，也不承认数学中的实无限的对象和方法。数学的历史也表明，数学知识与理论不仅无法脱离对外部世界的永恒的依存关系，而且数学的错误不是通过限制数学，如排斥非构造数学和传统逻辑而得到克服的。数学真理的积累以及对谬误的抛弃是通过数学知识的不断增长和理论的不断完善获得的。一句话、数学的生命在于生生不息的创造过程中。庆幸的是，直觉主义由十其思想体系中某种先天的弱点而末成为数学的统治思想。但也应看到其构造思想的重要价值。[16]123-124可以说，直觉主义学派在本质上是主观和荒谬的，以直觉上的可构造性为由来绝对的肯定直觉派数学是不能真正解决问题的。但是，直觉主义揭示了经典逻辑只具有相对的真理性，在具体的数学工作中具有重要意义。

首先，数学哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，推动了现代递归函数论的建立和发展，这无疑对数学的进步起到了很积极的作用。其次，直觉主义者倡导的构造性的能行性的研究方法,促进了人工智能和计算机科学的发展。这种积极探讨可行性方法在计算机数学以及计算机科学中具有重大的现实意义。第三，直觉主义数学哲学的思想方法在素质教育理论研究与实践上，具有宝贵的参考价值。在数学教育中，逻辑的作用很明显，其特征为，从已知知识出发,依据逻辑规则进行推导和演算,一步一步地达到对研究对象的认识。而直觉主义可以跳跃式地认知，虽然能一步得到正确答案，却无法说清楚其中的步骤。直觉主义虽排斥传统逻辑，但与逻辑关系十分密切，对培养良好的数学逻辑观念有着不可忽视的作用。另外，直觉主义有助于培养数学教育中大胆猜测的思维习惯。这种创新和探索精神有利于数学的进步和发展。

参考文献：

[1] 傅敏.直觉主义数学哲学研究及其对数学素质教育的启示[J].西北师范大学学报(自然科学版)，1996(1).

[2] 诸葛殷同.对传统逻辑的有力挑战——评《经典逻辑与直觉主义逻辑》[J].哲学动态，1990(4).

[3] 柯华庆.直觉主义数学哲学的两个阶段[J].学术研究，2005(2).

[4] 保罗·贝纳塞拉夫(美)，希拉里?普特南(美).数学哲学[M].北京：商务印书馆，2003.

[5] 黄秦安.数学哲学与数学 文化 [M].西安：陕西师范大学出版社，1999.

数学和哲学之间的关系，一直受到人们的探讨，有很多的论文都对数学和哲学作出了深刻的描写。以下是我精心整理的数学和哲学的关系论文的相关资料，希望对你有帮助!

摘要：本文首先介绍柏拉图的数学哲学思想，接着讲述一下数学哲学，再介绍必然性和先天性知识，接着介绍三大主义，以及数学哲学的现代发展，最后简单 总结 数学哲学。 关键词： 柏拉图 数学哲学 先天性 必然性知识 三大主义

正文：

一：柏拉图的数学哲学思想

柏拉图的数学哲学思想主要体现在数学本体论的问题上，而在数学的本体论问题上他采取了实在论的立场，即认为数学的对象是他所说的“理念世界”中的真实存在。柏拉图的这一认识是建立在对数学绝对真理性的信念之上的。他认为数学对象就是一种独立的、不依赖于人类思维的客观存在。

除去实在论的观点外，柏拉图还强调了数学认识活动的先天性。按柏拉图的观点，理念世界是理性认识的对象，而且，这种认识只能通过“对先天的回忆”得到实现;由于对象也是理念世界中的存在，因此，在柏拉图看来，数学就从属于研究理念的科学——“辨证法”，即是一种先天的认识。

另外，除去数学的先天性以外，柏拉图还强调数学认识在一般的理性认识中的作用：由于数学对象被说成是感性事物与理念之间的“中介对象”，因此，数学的认识也就具有一种“桥梁”作用，它能刺激人们，从而引起灵魂对“先天知识”的回忆。柏拉图说：“几何会把灵魂引向真理，产生哲学精神„„。”

二：数学哲学

数学在形式化和抽象化方向上的发展，数理逻辑和数学基础研究的进展，以及悖论的发现，开创了数学哲学的研究的新时期。

数学家们认为，数学是建立在一系列自明原则基础上的。一个数学家的责任是尽可能完全地发现由这些原则所得出的结论。他应该坦率地承认这些原则本身是一些明显的洞察，因而它们形成一个无可懈击的、永恒的基础。与此相反，哲学家会听任数学家去探索由这些原则得出结论;他对这些结论并不感兴趣。然而他必须对下述事实作出解释，即我们具有供我们使用的、此类自明性所适用的一些洞察力，他还需要说明与这些洞察有关的对象。他们同意数学的对象不属于物质世界，数学洞察不可能以 经验 作为依据，因为适合于数学原则的这类自明性决不属于我们的经验知识而是数学原则所特有的。

三：必然性和先天性知识

数学哲学在很大程度上是认识论——在哲学中处理认知和知识的部分——的一个分支。但是，数学至少表面上与其他求知的努力不同。特别是与科学追求的其他方面不同。数学命题，像7+5=12有时被当做必然真理的范例，简直不可能有其他情况。

科学家会乐意承认她的较为基本的论题可能是假的。这种谦恭被科学革命的历史所印证，在革命中，长期存在且深信不疑的信念被推翻了。数学也能严肃地支持这种谦恭吗?能怀疑数学归纳法对自然数成立吗?能怀疑5+7=12吗?有没有数学革命，其结果是推翻长期存在的核心的数学概念?恰恰相反，数学 方法 论似乎并不像科学那样是或必然性的。与科学不同，数学通过证明展开，一个成功的、正确的证明扫除了所有基于理性的怀疑，不仅仅

是所有有理由的怀疑。一个数学证明要表明它的前提逻辑地蕴涵它的结论。前提为真而结论为假是不可能的。

“先天”这个词的意思差不多是“先于经验”或“独立于经验”。它是一个认识论的概念，如果知识不是基于任何“关于现实世界中事件的特殊过程的经验”，那一个命题就定义为先天获知的。

有些哲学家认为不存在先天知识，而对其余的哲学家来说典型的先天知识包括“所有红色物体是有颜色的”和“没有什么东西能在同一时刻既是完全红的又是完全绿的”。数学似乎不像科学一样基于观察之上，而基于证明之上。

因此任何完整的数学哲学有义务说明数学的至少表面看起来的必然性和先天性。 四：三大主义

关于数学的逻辑及认识论的基础问题至今尚未完全解决。这问题无论对数学家或者哲学家都是至关紧要的，因为在“一切科学中最可靠的科学”的基础中，任何一点不确凿都将是令人极度不安的。迄今为解决这个问题而做出的各种努力中。还没有一种能称得上已经解决了所有困难。这些努力主要是沿着三个方向：以罗素为主要倡议者的逻辑主义，布劳威尔所提倡的直觉主义，和希尔伯特的形式主义。

数学基础的最重要问题之一是数学与逻辑的关系。逻辑主义的理论是数学能归约为逻辑，据此，数学无非是逻辑的一部分。逻辑主义的论点可以分为两部分，一是数学概念能通过明确的定义从逻辑概念中导出。另一部分是数学定理能通过纯粹的逻辑演绎从逻辑公理中推导出来。

直觉主义数学家建议把数学工作作为他的智力的一种自然功能，作为思想的一种自由的有生气的活动。在他看来，数学是人类精神的产物。他运用语言，不论是自然的或形式化的，只是为了交流思想，也就是使别人或自己能懂得他自己的数学想法。这个语言伴随物不是数学的代表，更不是数学本身。

立即处理数学的构造也许是最符合直觉主义者的积极态度了。这个构造的最重要基石是一的概念，它是整数序列所依赖的构造原则。整数必须作为单位来看待，这些单位仅仅由于在这个序列中的位置而相互区别。

希尔伯特证明论的主导思想是，即使经典数学的陈述从内容上说竟然是错误的，然而经典数学含有一个内在封闭的程序，这程序是按所有数学家都知道的固定规则操作的，它基本上在于相继地构造原始符号的一些组合，而这些组合被认为是“正确性”或“已被证明的”。而且这个构造程序是“有限性的”和直接构造性的。

五：数学哲学的现代发展

自20世纪50年代起数学哲学便进入了一个新的发展时期，与数学基础研究相比，这一新的发展表现出了一些显著的不同特点。

(1)研究立场的转移，即由严重脱离实际数学活动转移到了与其密切结合。具体地说，在数学基础研究中，尽管逻辑主义等学派提出了不同的主张，但他们所实际从事的都是一种趋于规范性的工作。现代数学哲学认为，数学哲学应当是数学家们工作中的“活的哲学”，即研究人员、教师和使用数学者对他们所从事的工作的哲学见解。

研究立场的转移直接导致了新的数学观念。例如，正是基于对数学家实际言行及数学史上实例的考察，经验主义才得以在现代数学哲学中“复兴”。

(2)研究的内容和方法表现出了明显的开放性，特别是由一般科学哲学中吸取了不少重要的研究问题和有益的思想，这就和以往的封闭式的数学基础研究大相径庭。

例如，I. Lakatos 所倡导的拟经验的数学观事实上就是将K. Popper 的证伪主义科学哲学理论推广应用到了数学的领域。又如，在T. Kuhn 的科学哲学研究的影响下，出现了关于数学的社会—— 文化 研究。显然，这关于数学的动态研究是与先前的研究传统，亦即单纯着

眼于数学知识的逻辑结构的静态分析大相径庭的。

另外，新的研究的又一重要特点则是突出强调了数学研究的社会性。最后，与实际的数学活动的密切联系也可看成为现代数学哲学研究开放性的一个重要表现。特别是，作为对于思想方法的研究，数学方法论的研究在现代得到了新的发展。

六：总结

数学和哲学是同门异户，声息相通的，你敲开一家门，另一家就会立刻向你敞开窗户。 数学哲学是在不断变化的，随着时代的发展，会有不同的表现，人们研究也会跟以前不一样。

参考文献

(1)《西方数学哲学》 夏基松 郑毓信 著

人民出版社 1986年1月出版 p10--p13

(2)《数学哲学译文集》自然科学哲学问题译丛 林夏水 主编

知识出版社 1986年7月出版 p24--p25

(3)《数学哲学--对数学的思考》西方数学文化理念传播译丛 丛书主编 汪宁

【美】斯图尔特·夏皮罗 著 郝兆宽 杨督之 译

复旦大学出版社 2009年2月出版 p20--p23

(4)《数学哲学》 【美】保罗·贝纳塞拉夫 希拉里·普特南 编

商务印书馆 2003年2月出版 p47--p76

(5)《徐利治读数学哲学》 徐利治 著

大连理工大学出版社 2008年1月出版 p73--p82

2012年4月6日