非线性动力学期刊档次

《非线性动力学理论与应用的新进展》主要研究工程系统中的非线性动力学、分叉和混沌理论、控制理论及其应用，重点介绍近几年来国内外的最新进展，包括高维非线性系统的多脉冲全局分叉、时滞动力系统、非光滑动力系统等变非线性动力系统、C-L方法、规范形的计算、非线性随机优化控制、后绝对稳定性、网络结构与动力学、非线性色散波、非线性系统大范围运动动力学、碰撞振动系统、微转子系统、轴向运动弦线和梁的非线性动力学。《非线性动力学理论与应用的新进展》可供高等院校力学、机械、数学、物理、航空航天、土木工程等专业的高年级本科生、研究生阅读学习，也可作为教师和科研人员的参考书。

一、耗散结构理论［1～2，21～22］

耗散结构理论是以比利时化学物理学家普利高津（Prigogine）为首的布鲁塞尔学派经过长达20年的研究提出的一种广义热力学理论，并在多个领域得到广泛应用。

耗散结构理论是在深入分析自然界中的两对矛盾和时间不可逆性的基础上产生的。两对矛盾是指牛顿力学与热力学之间的矛盾以及热力学“退化论”与达尔文的“进化论”之间的矛盾。在牛顿经典力学中，时间是可逆的，事物按某一既定规律发展演化，从现在可以完全推知将来，也可从现在推演过去。牛顿力学所描述的图像是一幅静止的、不变的物理图像。热力学虽然描述的是一个演化的、变动的物理图像，时间是不可逆的，但他认为事物的演化总是朝着平衡态方向，即朝着均匀、单一、简单的方向演化，即有序向无序演化，这实质上是一种退化。达尔文的“进化论”则讨论了与热力学完全不同的另一类演化，其演化方是朝着复杂、非平衡进行的，是一种“进化”，当然时间更是不可逆的。对于同一世界会出现这几种互不相容的演化图像，普利高津（Prigogine）等人的研究结果表明，其关键在于系统本身的性质和系统所处的状态不同。系统有孤立系统、封闭系统和开放系统之分。孤立系统是指与外界既无物质交换又无能量交换的系统；封闭系统是指与外界仅有能量交换而无物质交换的系统；开放系统则与外界既存在着物质交换又存在着能量交换。系统性质的不同，决定了其热力学第二定律的表达式也不同。对于不同性质的系统，系统熵变的表达式分别为：

孤立系统：

ds≥0 （1-19）

封闭系统：

非线性岩土力学基础

开放系统：

ds=des+dis （1-21）

式（1-19）～（1-21）中，ds为系统的熵变；Q为热量；T为温度。des是由于系统与外界交换物质和能量而引起的熵变，称为熵交换，des可正、可负或为零。dis是系统内部各种可逆过程产生的熵，称为熵产生。因为熵只能产生不能消灭，所以熵产生具有非负性。式（1-21）表明，在开放系统中，若des＜0，同时｜des｜＞dis，则有：

ds=des+dis＜0 （1-22）

式（1-22）与式（1-19）所表达的熵增加原理完全相反。也即若在开放系统中，由于与外界进行物质和能量交换而产生了负熵流des，并大于系统内自发过程引起的熵产生时，整个系统的熵向减小的方向发展，于是系统便可能产生与孤立系统完全相反的演化图像，由无序向有序演化，产生耗散结构。

系统开放仅是系统“进化”的必要条件，并不是充要条件。开放系统是否能产生有序结构，还与系统所处的演化状态有关。系统按状态可分为平衡态和非平衡态。平衡态是指在没有外界影响下，系统内部各部分长时间不发生任何变化的状态。在非平衡态中还经常用到非平衡定态的概念，但平衡态与非平衡定态有着本质的区别，平衡态不存在任何流和梯度，而非平衡定态存在着稳恒的流和梯度，即通常所说的动态平衡。

在耗散结构理论中，与热力学的熵增加原理相对应，有一个最小熵产生原理。其内容为：只要在非平衡线性区，在稳恒的外界条件下，系统定态的局域熵产生一定比非定态的小。一个耗散结构的形成和维持至少需要以下条件：

1）系统必须是开放系统，孤立系统和封闭系统都不可能产生耗散结构，只有开放系统才有可能引入负熵流，也才具备产生耗散结构的必要条件。

2）系统必须处于远离平衡的非线性区，在平衡态或近平衡态，大量的实验和理论研究都证明其不可能发生质的突变从无序走向有序，也不可能从一种有序走向新的更高级的有序。

3）系统中必须有非线性动力学过程，如正负反馈机制等。这种非线性相互作用，能够使系统内的各要素之间产生协调动作和相干效应，从而使系统从杂乱无章变为井然有序。例如，岩土体系统中各要素相互作用仅仅是线性的，那么无论它们怎样组合，只有量的增减，而不可能有质的变化，也就不会有斜坡失稳，地震和火山的爆发。

4）涨落现象。涨落既可以来自系统内部，也可以来自于外界环境。在系统发生相变时涨落起着重大作用。处在临界点处的系统，原来的定态解失稳，但系统不会自动离开定态解，必须有涨落才能使系统偏离定态解。涨落是系统从原来的均匀定态形成耗散结构的最初驱动力。

正是满足了以上条件，系统的发展过程可以发生突变，通过能量的耗散和系统内非线性动力学机制来形成和维持与过去结构完全不同的宏观时空有序结构。

二、协同学［1～2，24］

协同学是德国理论物理学家哈肯（Haken）于1971年创立的，它是从动力学的角度研究从无序到有序结构演变的规律性。协同学的突出贡献是：发现了在分支点附近慢变量支配快变量的普遍原理并给予了动力学表述，该原理使人们对自组织的形成机制有了更深刻的认识。

协同学研究系统在外参量的驱动下和在子系统之间的相互作用下，以自组织的方式在宏观尺度上形成空间、时间或功能有序结构的条件、特点及其演化规律。协同系统的状态由一组状态参量描述，这些状态参量随时间变化的快慢程度各不相同。当系统逐渐接近于发生显著质变的临界点时，变化慢的状态参量的数目将会越来越少，有时甚至只有一个或少数几个。这些为数不多的慢变化参量完全确定了系统的宏观行为，可表征系统的有序化程度，称为序参量。协同学的主要内容就是用序参量演化方程研究系统的各种非平衡定态和不稳定性。

协同学提出了两个重要原理——伺服原理和最大信息熵原理，伺服原理在低维系统中又称为绝热消去原理。

伺服原理的基本思想是：虽快变量数目众多，但它们对相变的过程和结局不起多大作用；慢变量虽数目较少，但它们决定着演化的进程和结局。因此，可以想办法消掉快变量，用慢变量方程表示系统的演化，这便是绝热消去法，推广到n（n＞2）维则为伺服原理。

最大信息熵原理：任何系统除了受到外界条件约束外，其内部总是具有一定的自由度，这种自由度导致系统内部的各元素处于不同的状态，状态多样性（复杂程度、混乱程度）的定量计量尺度称为熵，系统的熵会争取（或呈现）最大的自由度以实现熵的最大化，因此，系统的总信息在相变点存在极大值。由最大信息熵原理可以从宏观上推断系统从无序走向有序过程中临界点的具体位置。

协同学中求解序参量演化方程的方法主要是解析方法，即用数学解析方法求出序参量的精确的或近似的解析表达式及出现不稳定性的解析判别式。在分析不稳定性时，常常用数学中的分岔理论，在有势存在的特殊情况下也可应用突变理论。协同学也常采用数值方法，尤其是在研究瞬态过程和混沌现象时更是如此。

协同学与耗散结构理论及一般系统论之间存在诸多相通之处，它们之间既有联系又有区别。一般系统论提出了有序性、目的性和系统稳定性的关系，但没有回答形成这种稳定性的具体机制。耗散结构理论则从另一个侧面解决了这个问题，指出非平衡态可成为有序之源。协同学虽然也来源于非平衡态系统有序结构的研究，但它摆脱了经典热力学的限制，进一步明确了系统稳定性和目的性的具体机制。

三、混沌动力学［12～17］

混沌（chaos）一词首先出现在Li和Yorke 1975年发表的论文《周期3则混沌》中［2］。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，但到目前为止，还没有一个很好的关于混沌的可操作的定义。然而不论哪一种混沌定义，都有一个共同的特点：在参数空间的一定范围内，确定性的非线性系统出现长期行为对初值的敏感依赖性。在混沌运动中，初值非常靠近的两条轨道随着时间的发展会指数分离。这也就是说，对轨道的长期行为不可能作出准确的预测。

对于保守系统，满足不同初始条件的解不会同时趋于同一点集；而对于耗散系统，满足不同初始条件的解可能趋于同一点集，这种点集被称为吸引子。混沌运动的吸引子通常具有非整数维，因而也称为奇怪吸引子。

四、分形理论［5～11］

分形是美国科学家Mandelbrot在1977年提出来的，他把海岸线、雪花、混沌等貌似杂乱无章，但具有精细结构的图形统称为分形。这里的精细结构主要指的是自相似结构，即它无统一的特征尺度，但在所有尺度上的图像是整体图像的一个缩影，彼此是相似的。分形的主要描述是分数维，即它的容量维数不是整数而是分数。维数是几何对象的一个重要特征量，它是几何对象中确定一个点的位置所需的独立坐标数目。在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维，平面看成二维，而把直线或曲线看成一维。

分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。

事实上，自然界中的绝大多数分形现象不能严格满足自相似条件，如连绵起伏的山脉轮廓线，曲折蜿蜒的江河，以及材料断裂后展示的断口图像等，它们的自相似是近似的，是统计意义上的自相似。关于统计分形的详细理论可参阅文献［9］。

五、突变理论［1～7，12～18，23］

突变理论是20世纪70年代发展起来的一门数学学科，由法国数学家Thom于1972年正式创立。突变主要是指在事物的发展变化过程中，常常会从一个状态跳跃式地变到另一个状态，或者说经过一段时间缓慢的连续变化之后，在一定的外界条件下，会产生一种不连续的变化。这类突变现象在岩土工程中是普遍存在的，如地震、岩爆、滑坡、崩塌等都是突变现象。

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一种新的判别突变、跳跃的原则，即在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。Thom指出，发生在三维空间和一维时间四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折叠型突变（Fold Catastrophe）、尖点型突变（Cusp Catastrophe）、燕尾型突变（Swallowtail Catastrophe）、蝴蝶型突变（Butterfly Catastrophe）、双曲型脐点（Hyperbolic Umbilic）、椭圆型脐点（Elliptic Umbilic）和抛物型脐点（Parabolic Umbilic）。在七种突变模型中，最常用的是第二种，即尖点突变模型，如图1-5所示。由图1-5可知，三维空间的坐标分别为控制参数a，b和状态变量x。分叉集的图像在控制参数（a，b）控制的平面上为一个半立方抛物线，即平衡曲面上下两叶折屈边界在系统控制参数（a，b）平面上的投影，也就是平衡曲面到控制参数平面的拓扑映射。因此，分岔点集（a，b）将控制参数平面划分成两个区域，一个在叉形三角区域内，另一个在叉形三角区域外。

根据图1-5可总结出突变模型的主要特点有：

1）多模态，系统中可能出现两个或多个不同的状态，也就是说，系统的位势对于控制参数的某些范围可能有两个或多于两个的极小值；

2）不可达性，在平衡曲面折叠的中间部分，有一个不稳定的平衡位置，系统不可能处于此平衡位置（即不可达）。从微分方程解的角度，不可达对应着不稳定解；

3）突跳，控制参量很小的变化会引起状态变量很大的变化，从而导致系统从一个局部极小值临界点突跳到另一个局部极小值临界点。发生突跳时，势能（或状态）会从一个逐渐消失的局部极小值转移到全局或局部极小值的另一个临界点，这种转移是以突变方式完成的，即势能的变化是不连续的；

4）发散，在临界点附近区域，控制参数初值的微小变化（微扰）可能导致终态的巨大差别，这表明对参数的微小扰动将引起系统物理过程或系统状态本质的变化；

5）滞后，任何一个物理系统不能严格地逆向重复某种变化过程时，就会出现滞后现象。例如，尖点突变并不是在分岔集内发生，而是在分岔集线上发生，从底页跳到顶叶与从顶叶落到底页发生的位置不一样；

6）多径性，状态变量在平衡曲面中处于某一状态，可以通过控制参量变化的不同路径来实现。

图1-5 尖点突变模型

由于突变理论在岩土体系统的非线性理论分析中占有重要地位，下面将详细地进行介绍。

1.梯度系统、突变及其条件

在力学系统中，质量为m的质点的牛顿第二定律可以表示为

非线性岩土力学基础

式中， 表示阻尼项；F表示外力项，若外力有位势V，即

非线性岩土力学基础

则牛顿方程（1-24）可表示为

非线性岩土力学基础

如果系统加速度较小，则方程（1-25）可近似写为

非线性岩土力学基础

它表示阻尼力与外力平衡。方程（1-26）称为梯度系统。

设梯度系统的平衡点为x*，它满足：

非线性岩土力学基础

因此，平衡点x*是位势的临界点或驻点，它的稳定性由 在该点的正、负号决定：若 （位势V的极小值点），则平衡点x*是稳定的，它称为梯度系统的吸引子；若 （位势V的极大值点），则平衡点x*是不稳定的，它称为梯度系统的排斥子。归纳起来为：

非线性岩土力学基础

吸引子与排斥子的分岔点满足：

非线性岩土力学基础

它是位势的拐点，常是结构不稳定之处。

2.通用扩展和余维数

为了讨论方便，通常位势V（x，μ）取为x的多项式。不失一般性，将满足条件（1-29）的x*和μ取为（x*，μ）=（0，0），这里μ为控制参数。

设势函数V（x）在μ=0处具有如下型式：

V（x）=a3x3+a4x4+a5x5+…（μ=0） （1-30）

设a3≠0，则在x=0附近，x4、x5等高阶小项可忽略，而且可以通过变换使a3=1/3，则式（1-30）可近似写为

非线性岩土力学基础

扩展式（1-31），Thom提出这种扩展的标准形式为

非线性岩土力学基础

μ=0时，式（1-32）退化为式（1-31）。因为由式（1-32）表征的位势V内只含一个控制参数μ，此时称系统的余维数为1。

以此类推，V（x）= ， ， （μ=0）的通用扩展分别是

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

它们相应的梯度系统的余维数分别是2，3，4。

由式（1-32）、式（1-33）、式（1-34）和式（1-35）构成的梯度系统出现的突变分别称为折叠、尖点、燕尾和蝴蝶突变。下面我们重点说明折叠突变和尖点突变。

3.折叠突变

折叠突变的梯度系统由式（1-32）得到：

非线性岩土力学基础

其位势函数V（x，μ）的图像如图1-6所示，图中黑点代表系统所处的位置。由方程（1-36）可看出，系统在μ＜0时有两个平衡点：

非线性岩土力学基础

图1-6 折叠突变势函数图像

由图1-6（a）可看出， 是位势V的极大值点，是一个排斥子； 是位势V的极小值点，是一个吸引子。方程（1-36）在μ＞0时无平衡点。

系统发生突变时应满足下式，即

非线性岩土力学基础

其解为（x*，μ）=（0，0）。梯度系统（1-36）的解随μ的变化如图1-7所示。从图1-7可看出，随着μ从负到正，原先在μ＜0 的吸引子（稳定解）在μ=0 处消失，然后随着t→+∞，x→-∞。

事实上，由图1-6也可看出，当控制参数μ由μ＜0变到μ＞0时，原来处于位势极小值处的质点，由于位势极小值的逐步抬高，到达μ=0时，质点已处于位势拐点的位置上，质点必然要突然滑下来，进入t→+∞，x→-∞的状态。

在图1-7中，μ＜0的两个平衡点投影到μ轴上被折叠在一起。

图1-7 折叠突变系统的解随控制参数的变化图

4.尖点突变

尖点突变的梯度系统由式（1-33）得到

非线性岩土力学基础

为了更好地分析式（1-39），我们先分析它的两个特殊情况，后分析其一般情况。

（1）μ1=常数（取μ1=0）

此时，式（1-39）化为

非线性岩土力学基础

相应系统的位势函数为

非线性岩土力学基础

其图像如图1-8所示，图中黑点代表系统所处的位置。

非线性岩土力学基础

系统的平衡点可由式（1-40）确定，即

非线性岩土力学基础

μ2＜0时， 是位势V的极大值点，是一个排斥子； 是位势V的极小值点，是两个位势相等的吸引子。μ2＞0时，只有一个平衡点 是位势V的极小值点，是吸引子。

发生突变时应满足下式，即

非线性岩土力学基础

其解为（x*，μ2）=（0，0）。

系统（1-40）的解随控制参数μ2的变化如图1-9所示。从图1-9可看出，随着μ2从负到正，原先在μ2＜0的两个吸引子（稳定解）在μ2=0处合并，它表示原来处于位势极小值处的质点，随着位势极小值的逐步抬高，达到μ2=0时，质点已处于位势的新极小值的位置上。

图1-9 系统（1-40）的解随控制参数μ2的变化图

（2）μ2=常数（取μ2=-3）

系统（1-39）化为：

非线性岩土力学基础

此时系统的位势函数为：

非线性岩土力学基础

其图像如图1-10所示，图中黑点代表系统所处的位置。

系统的平衡点可由方程（1-44）确定，即

x3-3x+μ1=0 （1-46）

而且平衡点的个数取决于：

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当｜μ1｜＞2时，D＞0，位势V只有一个极小值（吸引子，图1-10（a）和（e））；当｜μ1｜ ＜2时，D＜0，位势V有一个极大值（排斥子，图1-10（c））和两个极小值（吸引子，图1-10（c））。在｜μ1｜=2处，D=0，会发生突变（图1-10（b）和（d））。

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根据式（1-45），突变点应满足如下条件：

非线性岩土力学基础

其解为（x*， ）=（±1，±2）。

系统（1-44）的解随着控制参数μ1的变化如图1-11所示。从图1-11可看出：若原来质点处于Q′的左边时，位势只有一个极小值，进入Q′点以后到P点以前，位势有一个极大值和两个极小值，但质点仍处在原来极小的位置上，到达P点时，质点原在的极小值位置变成了拐点。只要μ1稍稍大于2，质点将突变跳到另一个极小值的位置Q。反之，随着参数μ1由大变小，状态由Q沿QP′线达到P′，质点突变跳到Q′。这就是系统（1-44）所表征的突变现象。而且μ1由小到大和由大到小的突变发生在不同的位置上，这个现象即为滞后性。

图1-11 系统（1-44）的解随控制参数μ1的变化图

（3）μ1和μ2为变量的情况

对方程（1-33）求导，由 和 确定突变点，即

非线性岩土力学基础

其中第一式也是平衡点的方程。消去x得到

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图1-12 系统（1-33）的尖点突变

在控制参数平面（μ2，μ1）上， 的图像如图1-12所示，它是在（μ2，μ1）=（0，0）处形成尖点的两条曲线。正由于此，这种突变称为尖点突变。这两条曲线将参数平面（μ2，μ1）分成D＜0（两曲线之间）和D＞0（两曲线之外）的两个区域。在D＜0的区域，位势有两个极小值（吸引子）和一个极大值（排斥子），而在D＞0的区域，位势V只有一个极小值（吸引子）。而在D=0的线上，位势V只有一个极小值和一个拐点，在这里会出现突变现象。

六、协同性与Haken受控原理

在系统的分岔和突变现象分析中，系统的行为受到许多控制参量的影响，随着控制参量的变化，系统呈现多样化的运动，并最终显示有序的特征。Haken认为这是非线性开放系统的各子系统共同协作的结果，称为协同性［24］。

Haken同时还认为，在这种开放的耗散系统中，由于内部的相互作用，只要用极少数的几个控制参量（称为序参量）即可确定系统的演化。序参量的演变过程用梯度系统及相应的位势描述最为合适，这是开放的非线性耗散系统的普适规律，Haken称它为受控原理，数学上称为中心流形定理。下面举例说明。

对下述非线性系统

非线性岩土力学基础

显然，系统（1-51）只有一个平衡点：

（x*，y*）=（0，0） （1-52）

其Jacobi矩阵为

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矩阵的特征值为

非线性岩土力学基础

因此，平衡点（x*，y*）=（0，0）为鞍-结点。对应于s1=-β的特征向量（满足JX=-βX）为（x=0，y任意）。由式（1-51），令x=0求得：

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y（t）=y（0）e-βt（1-56）

所以，（x=0，y任意）为一稳定流形M*，它以e-βt的方式趋于平衡点。但对应于s2=0在平衡点附近的流形就较为复杂了。由式（1-51）有

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在平衡点附近，应用幂级数解法，令

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将其代入方程（1-57），并比较系数求得：

非线性岩土力学基础

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这就是由s2=0求得的不变流形，它就是中心流形Mc，如图1-13所示。

图1-13 系统（1-51）的流形

将式（1-60）代入式（1-51）第一式有

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在x=0附近，上式近似为

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由此可知，中心流形x（t）以 的方式（相应y（t）以 的方式）趋于平衡点。

综上分析可知，非线性系统稳定流形（x=0）上的点以e-βt的方式趋于平衡点，而中心流形上的点以 和 的方式趋于平衡点。两者比较即知，式（1-51）第二式是快变量方程，第一式是慢变量方程。这样，经过较短时间 就已很小，可设快变量方程（1-51）第二式中 ，求得

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慢变量方程（1-51）第一式可以写为

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上式就是确定系统（1-51）演变的控制方程。方程（1-65）是一个梯度系统，其位势为

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nonlinear dynamic是中科院Q4区。

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