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生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：0.618…而0.618…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：0.618…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了0.618…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的0.618…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的0.618…处会使琴声更柔和甜美。 数0.618…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的0.618处，效率将大大提高，这种方法被称作“0.618法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。 数学离我们很近，它体现在生活中的方方面面，我们离不开数学，数学，无处不在，上面只是两个极普通的例子，这样的例子根本举不完。我认为，生活中的数学能给人带来更多地发现。
几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 几何三大问题是： 1、化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2、三等分任意角； 3、倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
教师的职业是育人的职业，其主要工作是课堂教学，上好每一节课是每个有责任心的教师的追求。那么，怎样的课才称得上是一节好课呢？不同的人有不同的认识，即使同一个人在不同的阶段，由于教育观念、教育评价目标和对教育本质认识的不断深入，也会有不同的具体标准。
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生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：0.618…而0.618…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：0.618…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了0.618…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的0.618…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的0.618…处会使琴声更柔和甜美。 数0.618…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的0.618处，效率将大大提高，这种方法被称作“0.618法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。 数学离我们很近，它体现在生活中的方方面面，我们离不开数学，数学，无处不在，上面只是两个极普通的例子，这样的例子根本举不完。我认为，生活中的数学能给人带来更多地发现。
几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 几何三大问题是： 1、化圆为方——求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2、三等分任意角； 3、倍立方——求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90°、180°三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60°，若能三等分则可以做出20°的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360°/18=20°）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。 1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
初中数学总复习是完成初中三年数学教学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键环节。重视并认真完成这个阶段的教学任务，不仅有利于升学学生巩固、消化、归纳数学基础知识，提高分析、解决问题的能力，而且有利于就业学生的实际运用。同时是对学习基础较差学生达到查缺补漏，掌握教材内容的再学习。因此有计划、有步骤地安排实施总复习教学是初中数学教师的基本功之一。 一、紧扣大纲，精心编制复习计划 初中数学内容多而杂，其基础知识和基本技能又分散覆盖在三年的教科书中，学生往往学了新的，忘了旧的。因此，必须依据大纲规定的内容和系统化的知识要点，精心编制复习计划。计划的编写必须切合学生实际。可采用基础知识习题化的方法，根据平时教学中掌握的学生应用知识的实际，编制一份渗透主要知识点的测试题，让学生在规定时间内独立完成。然后按测试中出现的学生难以理解、遗忘率较高且易混易错的内容，确定计划的重点。复习计划制定后，要做好复习课例题的选择、练习题配套作业筛眩教师制定的复习计划要交给学生，并要求学生再按自己的学习实际制定具体复习规划，确定自己的奋进目标。 二、追本求源，系统掌握基础知识总 复习开始的第一阶段，首先必须强调学生系统掌握课本上的基础知识和基本技能，过好课本关。对学生提出明确的要求：①对基本概念、法则、公式、定理不仅要正确叙述，而且要灵活应用；②对课本后练习题必须逐题过关；③每章后的复习题带有综合性，要求多数学生必须独立完成，少数困难学生可在老师的指导下完成。 三、系统整理，提高复习效率 总复习的第二阶段，要特别体现教师的主导作用。对初中数学知识加以系统整理，依据基础知识的相互联系及相互转化关系，梳理归类，分块整理，重新组织，变为系统的条理化的知识点。例如，初三代数可分为函数的定义、正反比例函数、一次函数；一元二次方程、二次函数、二次不等式；统计初步三大部分。几何分为４块１３线：第一块为以解直角三角形为主体的１条线。第二块相似形分为３条线：（１）成比例线段；（２）相似三角形的判定与性质。（３）相似多边形的判定与性质；第三块圆，包含７条线：（４）圆的性质；（５）直线与圆；（６）圆与圆；（７）角与圆；（８）三角形与圆；（９）四边形与圆；（１０）多边形与圆。第四块是作图题，有２条线：（１１）作圆及作圆的内外公切线等；（１２）点的轨迹。这种归纳总结对程度差别不大、素质较好的班级可在教师的指导下师生共同去作，即由学生“画龙”，教师“点睛”。中等及其以下班级由教师归类，对比讲解，分块练习与综合练习交叉进行，使学生真正掌握初中数学教材内容。 四、集中练习，争取最佳效果 梳理分块，把握教材内容之后，即开始第三阶段的综合复习。这个阶段，除了重视课本中的重点章节之外，主要以反复练习为主，充分发挥学生的主体作用。通常以章节综合习题和系统知识为骨干的综合练习题为主，适当加大模拟题的份量。对教师来说，这时主要任务是精选习题，精心批改学生完成的练习题，及时讲评，从中查漏补缺，巩固复习成效，达到自我完善的目的。精选综合练习题要注意两个问题：第一，选择的习题要有目的性、典型性和规律性。如，函数的取值范围可选择如下一组例题： （２）ｙ＝１３－２ｘ （３）ｙ＝３ｘ＋２ｘ－１ （４）ｙ＝１ｘ＋１－１ （５）ｙ＝ｘ＋２ｘ－２第二，习题要有启发性、灵活性和综合性。如，角平分线定理的证明及应用，圆的证明题中圆周角、圆心角、弦心角、圆幂定理、射影定理等的应用都是综合性强且是重点应掌握的题目，都要抓住不放，抓出成效。
数学史上出现的三次数学危机,与其说是“数学的危机”,不如说是“数学哲学的危机”.下面我给你分享三次数学危机论文，欢迎阅读。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机;万物皆数;无穷小;分析方法;集合
一、前言
数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生;第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题;第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产生与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
二、数学史上的第一次“危机”
第一次数学危机是发生在公元前580-568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物旨数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期。上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数!另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。
三、第二次数学危机
第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地――微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零;第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
四、数学史上的第三次危机
1.悖论的产生及意义
(1)什么是悖论
悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立;反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的;如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
(2)悖论产生的意义
疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。
2.第三次数学危机的产生与解决
(1)第三次数学危机的产生
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢?这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
(2)第三次数学危机的解决
罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统(即所谓zF公理系统)，这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。
数学的产生和发展，始终与人类社会的生产和生活有着密不可分的联系。在新教材中，任何一个新概念的引入，都特别强调它的现实背景、数学理论发展背景或数学发展的历史背景，只有这样才能让学生感到知识发展水到渠成。所以特别希望在教学中能不时渗透数学史的相关知识，充分发挥和利用数学史的教育价值，使学生通过了解数学史，而更加全面更加深刻地理解数学、感悟数学。
一、集合论的诞生
一般认为，集合论诞生于1873年底。1873年11月29日，康托尔(G.Gsntor，1845-1918)在给戴德金(JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916)的信中提问“正整数集合与实数集合之间能否一一对应起来?”这是一个导致集合论产生的大问题。几天后，康托尔用反证法证明了此问题的否定性结果，“实数是不可数集”，并将这一结果以标题为《关于全体实代数数集合的一个性质》的论文发表在德国《克莱尔数学杂志》上，这是“关于无穷集合论的第一篇革命性论文”，在其系列论文中，他首次定义了集合、无穷集合、导集、序数、集合运算等，康托尔的这篇文章标志着集合论的诞生。
二、集合论成为现代数学大厦的基础
康托尔的集合论是数学史上最具革命性和创造性的理论，他处理了数学上最棘手的对象——无穷集合，让无数因“无穷”而困扰许久的数学家们在这种神奇的数学世界找回了自己的精神家园。它的概念和方法渗透到了代数、拓扑和分析等许多数学分支，甚至渗透到物理学等其他自然学科，为这些学科提供了奠基的方法。几乎可以说，没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。
集合论诞生的前后20年里，经历千辛万苦，但最终获得了世界的承认，到了20世纪初，集合论已经得到数学家们的普遍赞同，大家一致认为，一切数学成果都可以建立在集合论的基础之上了，简言之，借助集合论的概念，便可以建立起整个数学大厦，就连集合论诞生之初强烈反对的著名数学家庞加莱(JulesHenriPoincaré，1854-1912)也兴高采烈地在1900年的第二次国际数学家大会上宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了。”然而，好景不长，一个震惊数学界的消息传出，集合论是有漏洞的!如果是这样，则意味着数学大厦的基础出现了漏洞，对数学界来说，这将是多么可怕啊!
三、罗素(BertrandRussell，1872-1970)悖论导致第三次数学危机
1903年，英国数学家罗素在《数学原理》一书上给出一个悖论，很清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础，导致了数学危机的产生，史称“第三次数学危机”。
罗素构造了一个所有不属于自身(即不包含自身作为元素)的集合R，现在问R是否属于R?如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不属于自身，即R不属于R。另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R，这样，不论任何情况都存在矛盾，这就是有名的罗素悖论(也称理发师悖论)。
罗素悖论不仅动摇了整个数学大厦的基础，也波及到了逻辑领域，德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿而即将付印时，收到了罗素关于这一悖论的信，他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟，他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”这样，罗素悖论就影响到了一向被认为极为严谨的两门学科——数学和逻辑学。
四、消除悖论，化解危机
罗素悖论的存在，明确地表示集合论的某些地方是有毛病的，由于20世纪的数学是建立在集合论上的，因此，许多数学家开始致力于消除矛盾，化解危机。数学家纷纷提出自己的解决方案，希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
在20世纪初，大概有两种方法。一种是1908年由数学家策梅洛(Zermelo，ErnstFriedrichFerdinand，1871～1953)提出的公理化集合论，把原来直观的集合概念建立在严格的公理基础上，对集合加以充分的限制以消除所知道的矛盾，从而避免悖论的出现，这就是集合论发展的第二阶段：公理化集合。
解铃还须系铃人，在此之前，危机的制造者罗素在他的著作中提出了层次的理论以解决这个矛盾，又称分支类型化。不过这个层次理论十分复杂，而策梅洛则把这个方法加以简化，提出了“决定性公理(外延公理)、初等集合公理、分离公理组、幂集合公理、并集合公理、选择公理和无穷公理”，通过引进这七条公理限制排除了一些不适当的集合，从而消除了罗素悖论产生的条件。后来，策梅洛的公理系统又经其他人，特别是弗兰克尔(A.A.Fraenkel)和斯科伦(T.Skolem)的修正和补充，成为现代标准的“策梅洛——弗兰克尔公理系统(简称ZF系统)”，这样，数学又回到严谨和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——《基础数学》迅速发展。
五、危机的启示
从康托尔集合论的提出至今，时间已经过去了一百多年，数学又发生了巨大的变化，而这一切都与康托尔的开拓性工作密不可分，也和数学家们的艰辛努力密不可分。从危机的产生到解决，我们可以看到，数学的发展跟提出问题和面对困难是离不开的，期间要经历无数的挫折和失败，但是只要坚持，终会走向成功。
矛盾的消除，危机的化解，往往给数学带来新的内容，新的变化，甚至革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史性动力的基本原理。正如数学家克莱因(FelixChristianKlein1849-1925)在《数学——确定性丧失》中说：“与未来的数学相关的不确定性和可疑，将取代过去的确定性和自满，虽然这次悖论已经找到解释，危机也已化解，但是更多的还是未知，因为只要仔细分析，矛盾又将会被认识更为深刻的研究者发现，这种发现不应该被认为是‘危机’，而应该感到，下一个突破的机会来到了。”
参考文献：
1.《普通高中课程标准实验教科书——数学必修1》教师教学用，人民教育出版社
2.胡作玄，《第三次数学危机》
中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，以下是我搜集的一篇关于三次数学危机探讨的论文范文，供大家阅读参考，
从我国数学的发展看三次数学危机。
1 引言
数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
2 三次数学危机
第一次数学危机发生在古希腊，源于毕达哥拉斯的以数为基础的宇宙模型和数是可公度的信条。毕达哥拉斯认为，事物的本质是由数构成的，并以数为基础，构造了宇宙模型[1].在毕达哥拉斯看来，数就是整数或整数之比。但这一信条后来遇到了困难。因为有些数是不可公度的。这一矛盾，导致了毕达哥拉斯关于数的信条的破产，并进一步导致了毕达哥拉斯以数为基础的宇宙模型的破产。这在当时产生的震动太大了，因此历史上称之为第一次数学危机。
17、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机[2].在17世纪晚期，形成了微积分学。牛顿和莱布尼茨被公认为微积分的奠基者。他们的功绩主要在于把各种有关问题的解法统一成微积分，有明确的计算步骤，微分法和积分法互为逆运算[3].由于新诞生的微积分方法中隐含着逻辑推理上的严重缺陷，导致了无穷小悖论[4].当时牛顿等人不能自圆其说，而且，其后一百年间的数学家也未能有力的回答贝克莱的质问，由此而引起数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成第二次数学危机.
19世纪末分析严格化的最高成就--集合论，似乎给数学家们带来了一劳永逸摆脱基础危机的希望。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学大会上宣称：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了![5]但就在第二年，一场摇撼整个数学大厦基础的暴风雨来临了，英国数学家罗素以一个简单明了的集合论悖论打破了人们的上述希望，引起了关于数学基础的新争论。他把关于集合论的一个着名悖论用故事通俗地表述出来。
它和其它一些集合论悖论一样，对数学发展的影响是十分深刻、巨大的，甚至可以说是动摇了整个数学的基础，并导致了第三次数学危机。
3 从我国数学的发展看三次数学危机
中华人民共和国的诞生，为中国数千年的文明史揭开了新的篇章，我国数学科学的研究出现了生机勃勃的景象，这是我们国家社会主义建设的需要，也是我们党和国家非常重视科学技术的结果，
数学论文《从我国数学的发展看三次数学危机。中国科学院于1950年开始筹建数学研究所，1952年正式成立。全国各高等院校普遍设置了数学系，《数学学报》和《数学通报》复刊。1958年~1960年的大跃进时期，在极左思潮影响下，数学基础理论研究受到很大冲击，积极的一面是明确了向世界先进水平看齐的奋斗目标，也重视理论联系实际，线性规划得到大力推广并创造了切实可行的图上作业法,运筹学由此在我国发展起来。在发展我国高科技过程中，例如1965年9月17日，我国科学工作者在世界上首次用人工方法合成结晶牛胰岛素。
我们不能不承认，数学对于现实生活的影晌正在与日俱增。许多学科都在悄悄地经历着一场数学化的进程。现在，已经没有哪个领域能够抵御得住数学方法的渗透。因此，对于数学，特别是现代数学加以普及，使得数学和数学家的工作能对现实生活产生应有的积极影响，这已成为人们日益重视的课题。
4 总结
综上所述三次数学危机对数学的发展影响是巨大的。第一次数学危机中产生的欧几里德几何对树立天文学的发展起了很大的推动作用，第一次数学危机使古希腊数学基础发生了根本性的变化，使古希腊的数学基础转向几何。第二次数学危机中波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西指出无穷小量和无穷大量都是变量，并且定义了导数和积分;狄利克雷给出了函数的现代定义;美国数理逻辑学家罗宾逊又利用无穷小量引进超实数的概念，建立了非标准分析，同样也能精确的描述微积分，解决无穷小悖论。第三次数学危机建立了实数理论，且在此基础上建立了极限的基本定理，使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，康托尔创立了集合论。而且还产生了公理化方法论和数理逻辑等一批新颖学科。我国以至世界各国的数学发展也都依赖于三次数学危机中产生的数学的新内容。整个数学的发展是一个层层深入、层层递进的过程。
参考文献：
[1]人民教育出版社中学数学室着.现代数学概论[M].北京：人民教育出版社，2003.
[2]张光远.现代化知识文库：二十世纪数学史话[M].知识出版社，1984.2
[3]袁小明.数学史话[M].山东教育出版社，1985.
[4]于寅.近代数学基础[M].华中理工大学出版社，1999.3.
综述：论文发表的字数当然会有所要求的，根据作者发表的期刊级别的不同，所以要求的字数也是不同的，其次就是投稿的期刊的不同，每本期刊的要求也不一样。一般在3000-6000字左右。
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一、论文标题
1、建议将论文标题分割为正标题和副标题。正标题和副标题至少应该由四个名词(或词组)组成，其中三个是普通名词或专有名词，一个是动词的名词形式。
2、三个普通名词或专有名词的作用是将论文所要讨论的内容细化。一个名词作为主名词限定论文的主旨、主要内容或该研究所使用的最重要的原始材料，另外两个名词进一步限定主名词的范围，或是指明与主名词相关联的内容。
3、动词的名词形式应该能够表示出该论文的研究方法或者切入方向;在理想的情况下，该动词的名词形式应该能够暗示论文所采用的理论构架或结论大致的范围。
4、为进一步限定论文的范围，在标题中使用适度、适量的形容词是很有必要的。
5、使用前人诗句作为标题是学术论文的大忌;绝对不要引用前人诗句作为论文的标题。
二、摘要
1、摘要的总字数不宜超过250字，一定要少于300字。
2、摘要的第一句应该使用更为准确的语言将论文的标题重复一遍，并尽量写明标题中每个名词的准确意思。
3、摘要的第二、三、四句(假设论文除前言和结论外只有三个小节的话)应该用简明的语言概括论文每节的内容，但尽量避免直接引用前人的文字。
4、摘要的最后一句应该给出论文结论的大致方向或范围;在条件允许的情况下，或许可以考虑完全说破论文的结论。
三、关键词
1、关键词一般需要4个或7个名词;形容词尽量不要出现在关键词中。
2、关键词一般可以包括论文标题中的名词。
3、除论文标题中的名词之外，其它的关键词一般是论文中出现频率最高的几个专有名词(或词组)，一般也可以是人名、书名、官职称谓、地理位置等等。
4、每个关键词不宜超过五个字的长度。
四、前言(或引言)
1、前言的第一段需要说明本篇论文的研究意义。
2、前言的第一段的第一句话可以在内容上重复摘要的第一句话，即使用更为准确的语言将论文的标题重复一遍，并尽量写明标题中每个名词的准确意思。
3、前言的第一段内需要解释标题中出现过的关键的名词(如果名词的定义太过复杂，则应该将名词的解释放入正文内)。
4、前言的第一段内应该有比较简单的背景介绍(例如研究的历史背景、人物生平，或者研究所使用的最重要的原始材料等等)。
5、前言的第二段的第一句话应该直接说明选题的原因(在这句话中最多可以使用两个逗号)。
6、前言的第二段的之后几句应该更进一步地阐述第一句话的意思，并简单说明本论文与其它研究成果的关系。
7、前言的第二段的结尾处要能表现出自己与前人研究的最根本的差别或突破。
8、前言的第三、四、五段是关于前人研究的文献综述，需要按照逻辑顺序，由大到小叙述前人相关研究的范围、内容和主要观点，并最终落实到自己论文的切入点。
9、写作文献综述务必要有自己对于前人研究成果的评论性的句子，绝对要避免简单的资料堆叠(这里未必需要将所有的前人研究成果全部展示，而是应该选择一些和自己论文有关的、或是影响较大的前人的研究成果来进行评论)。
10、前言的第六段需要陈述自己采用的研究方法或援引的研究理论，在可能的情况下，暗示大致可能出现的结论，或者采用设问的方式，将以下每一节要讨论的内容变为问句逐个发问。
11、如果需要的话，前言的最后一段可以简略地描述一下文章的结构，即以下每一节、每一小节要探讨的内容。
五、正文的节、小节、段落
1、假设：正文分为三节，每节分为三个小节;用简练的语言为每节和每小节起小标题(以名词为主)，且一般不需要副标题。
2、使用前人诗句作为小标题是学术论文的大忌;绝对不要引用前人诗句作为论文的小标题。
3、每一节的第一小节都应该是综述性的：介绍本节主要要讨论的内容、要解答的问题，或者是解答问题的方法、角度等。
4、每一小节的第一个段落都应该具有承接上文、引出下文的性质。
5、每一小节的最后一个段落都应该适当总结本小节所探讨的主要内容，在有可能的情况下，用最后一句引出下文。
6、每一个段落的第一句话都应该能够清楚地展现该段落所要讨论的主要内容。
7、作者在具体写作时应该做到：当读者阅读了每一个段落的第一句话之后就能够对于论文的具体内容有一个整体的认识。
8、段落与段落之间不能存在逻辑断档，检查是否有逻辑断档的方式是：一、看上一个段落中出现最为频繁的主语(名词)或宾语(名词)是否是下一个段落的主语或宾语;二、看上一个段落中出现最为频繁的动词的名词化形式是否是下一个段落的.主语或宾语。
9、检查句与句之间是否存在逻辑断档的方式同此理。
六、引文与脚注
1、直接引用一般有两种方式，即在正文段落中直接加入字、词、句的形式(需要引号，不需要换字体)，或在正文段落结束后另起一段引文的方式(不需要引号，整体段落需要缩进，并更换字体，一般为楷体)。
2、间接引用一般是用自己的语言转述或概述他人的观点。
3、任何形式的引用，都需要加脚注;直接和间接引用一般将脚注符号加在该引文结束的句号之后(句号之外)。
4、如果直接引用的是较短、且较重要的字、词、句，脚注符号可以加在该字、词、句的后引号之后(后引号之外)。
5、凡是直接引用的，且单独成为段落的文字，紧接其后的一段正文中务必是作者用自己的语言解释该段引文。
6、如果间接引用较长，且其中穿插有直接引用，且所有引文的出处为同一作者的同一作品，则可以将之整合为单独的段落，只在段落结尾处加一个脚注即可;脚注符号可以加在该段落结束的句号之后。
7、脚注的基本格式为(如果为单册书，则无需“册”的信息)：
作者，《书名》(出版地：出版社名称，出版年)，第n册，页n–n。
作者，《书名》，编者一、编者二编，《丛书名》(出版地：出版社名称，出版年)，第n册，页n–n。
作者一、作者二，《文章题》，载编者一、编者二编，《书名 / 集刊名》(出版地：出版社名称，出版年)，第n册，页n–n。
作者，《文章题》，载《期刊名》，第n期(出版年)：页n–n。
8、某一篇文献在脚注中第一次出现时务必要有全部的信息(如上所示)，而同样的文献在脚注中第二次出现时，可以简化为：
作者，《书名 / 文章题》，页n–n。
9、注意区分减号(-)、短划线(–)、长划线(—);使用短划线连接两个页码(例如：页233–666。)或两个年份(例如：1711–1799);使用逗号区分不同页码(例如：页2，22，222。);使用分号区分不同册(例如：第2册，页22;第4册，页66–88，135。);最后一个页码之后一定要加句号。
七、结论
1、结论的第一段应该以概括性的语言总结全文的主要内容;基本上，每一节的内容应该用一句话来概括。
2、结论的第二段是对第一段内容的提升;应该适当涉及一些基于文章内容、但超越了文章内容的问题，探讨这些问题对于整体学科的发展有何意义。
3、结论的第三段(以及之后的几个段落)即自由发挥，可以在第二段的基础上，涉及一些与文章内容无关的问题，但通过逻辑的推理，将无关的问题和文章内容本身相联系。
4、结论的第三段(以及之后的几个段落)也可以采用提问的方式，提出一些更宏大、更推进的问题;但作者不需要给出明确的答案，而是给出一个解决问题的思路或方法。
5、文章水平的高下很大程度上取决于结论的第三段(以及之后的几个段落)，而其根本前提则是之前的所有推论在逻辑上没有漏洞。
八、参考书目
1、参考书目必须和脚注相对应;凡出现在脚注中的文献必须被放入参考书目。
2、在研究过程中被阅读过，但没有被直接或间接引用的文献是不能放入参考书目的。
3、参考书目的基本格式为(如果为单册书，则无需“册”的信息)：
作者，《书名》，共n册。出版地：出版社名称，出版年。
作者，《书名》，编者一、编者二编，《丛书名》，第n–n册，页n–n。出版地：出版社名称，出版年。
作者一、作者二，《文章题》，载编者一、编者二编，《书名 / 集刊名》，页n–n。出版地：出版社名称，出版年。
作者，《文章题》，载《期刊名》，第n期(出版年)：页n–n。
4、页码的出现在参考书目与脚注的区别是：参考书目中给出的页码信息是文献的范围;脚注中给出的页码信息是文献的具体引用位置。
九、附录
1、附录中收集的内容大致分为三类：一、原始文献的分类整理或翻译，二、基于原始文献归纳总结出的数据图表，三、与本论文有间接关系的专题论述。
2、在有多个附录的情况下，附录序号的编排应该使用英文大写字母，而不是使用数字。
3、在有多个附录的情况下，需要按照附录在正文中出现的顺序来编排。
十、文档格式
1、此文档格式参考了北京师范大学的《毕业论文写作规范》。
2、论文题目：三号黑体字。
3、摘要、前言、结论、节的标题：小三号黑体字(Word文档“段落”中的“大纲级别”为第1级)。
4、小节的标题：四号黑体字(Word文档“段落”中的“大纲级别”为第2级)。
5、正文：小四号宋体字(英文为12号 Times New Roman字体)。
6、引文：小四号楷体，悬挂缩进。
7、脚注：五号宋体字(英文为10号 Times New Roman字体)。
8、行间距：1.25倍(注意：一定要在Word文档“段落”中取消对于“文档网格”的定义)。
9、空行：前言、结论、每节结束后空一行;每小节结束后不空行;段落之间不空行。
10、对齐方式：除论文题目为“居中对齐”之外，一律为“左对齐”(包括各级标题、正文、引文、脚注)。
11、页边距：每一页面的上边距和左边距侧(订口)分别留边25mm，下边距和右边距(切口)应分别留边20mm。