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2013年注：下面这篇写关于“特征值和特征向量”的理解，是在本人（紫松同学）考研期间复习线性代数时思考好些天写的（考研数一分数144，大一线代分数100，文章写的很细微，但我觉得值得读）。之前只觉得对以后的学弟学妹比较有用，本人这段时间研究回归分析，发现也需要大量线性代数知识，就拿出来跟更多人分享。文章并未改动，现在读来是有不少疑问的。下面是当时写的文章。
和很多大学生朋友一样，我也一直被线性代数中的矩阵的特征值和特征向量的意义所困。它似乎是先有公式，而后才有定义。就像有人告诉你女人就是那个样子，抽象的你无法探究为什么是这个样子。自己思索了一段时间，又在网上查了哈相关的博客文章，特征值与特征向量的意义渐渐清晰起来。不揣冒昧，权且对特征值和特征向量内涵探索的小打小闹。
也许我需要先提出几个问题。
这是几个大问题，还有一些小问题是在搞懂这些大问题之后产生并需要搞懂的。我们从公式 A·x = cx 入手。A是个矩阵，x也是个矩阵（我们需要把x看作向量更有助于理解，写成矩阵是为了 矩阵乘法运算规则的需要），c是常数系数。我们寻找他们的意义，不可回避的问题是从什么角度上找它的意义。物理，化学，哲学，都可以有意义，但是那是在其他学科中运用后的意义。其实，我们还是应该用数学角度的意义去解释他们，才能更好的运用到其他学科。那么，什么是数学角度呢？我的理解是空间，一个n维空间，一维时已经可以解释所有实数了，二维时可以解释所有复数了，或者一个平面图形了。以此类推，数学就是放在n维空间的基础上去解释问题。那好，先说n维空间本身又具有什么特征呢？必须是n个相互正交的维度。每个维度可以想像成一个坐标轴，有正方向和负方向。向量是什么意义呢?容易想象n维向量就是n维空间中的特定的方向。一个向量就是一个方向。把A乘到x上，得到一个方向未变但在长度上有伸缩改变的向量（方向未变不准确，有可能变反向）。这是让A乘以他的特征向量表现出来的性质。如果让A乘以一个非特征向量y，显然会得到一个跟y方向不同的向量（也许长度也会有伸缩）。这是将矩阵乘到向量上向量所发生的改变。那么，乘以一个矩阵似乎就对应一种变换。我们暂时理解矩阵本质上就是n维空间上的一种变换。显然还不够过瘾，你也许想矩阵怎么不对应空间上一个实物，像向量那样？对，一定对应，只是我们还需要将他找寻。我们喜欢用已知探索未知，也许我可以假设你具备将某种未知先当作一个特殊的已知的思维方式。我们把矩阵先当作一种特殊的向量。我又要提问了，向量a点乘向量b是个什么东西呢？是a在b上的投影（为了方便理解，我们把投影约束为大小，而不具备方向）。我们还需要约束一个重要的概念，我们把方向在其所在维度上归一，也就是一个单位向量。那好，方向就是单位向量。 A·x = cx ，左式即可理解为大小等于A在方向x上的投影并且方向与x相同的向量。c此时就是投影。重复一边，特征值就是投影。矩阵有n个特征值（先假定各不相同），那么就对应n的正交的特征向量，矩阵在各特征向量上都有投影，大小等于特征值。现在可以回答矩阵的实物意义了，那就是它的各特征向量在n维空间上的组合，组合系数就是对应各线性值。细心的朋友可能发现这个定义是在各特征向量皆归一化的基础上的，也发现特征值一定唯一，但特征向量因为标准定义规定的原因可以不唯一，即可在归一化特征向量前面添加任意不为零的系数。我苟且给出一「松式」：n个不同的特征向量的方向 + 特征值大小的投影 = 矩阵。到目前为止，我都假设的是矩阵A有n个不同的特征值。上面的问题，前三个问题基本有了答案，还差第4个问题。
暂没法解答，接着提出几个问题了：
我们都发现这个现象，不关是什么样的矩阵，不同的特征值对应的都是互相线性无关的特征向量。而重根有可能对应线性无关的特征向量，也可能都对应一个方向。这只是对上面问题的解释。现在我们再来审视矩阵的几何意义。特征值只是代表某特征方向上的投影（大小），这样想来他们相不相等没有任何直接关系，完全可以各自对应不同的特征方向，这只是矩阵在他的某几个特征方向上的投影大小相等而已。而重根对应同一个特征方向，又该如何解释了？这个问题，暂时保留探讨。
关于特征值为0时，为什么有特征方向？我们能说（0,y,z）就是（y,z）吗？显然不能，前者说明在三个方向上定义某物，尽管其中一个方向上没有作用，后者却只探讨某物在两个方向的作用。定义的基础都不一样，自然不能完全一样。矩阵的定义也是如此，可以看出方向较之投影是先行特征，方向是与投影无关的一种特性。
到这里了，大部分问题已经解决了。也许，聪慧的朋友们可以用上面的理解来解释问题或者做题了。或者跟着我继续看看这些理解能怎么做题。
前提：Ci是A的特征值，Xi是对应的特征向量。
最后，我来总结一下。简单点： 线性无关的方向 + 相应的投影 = 矩阵 = 变换 如果将人生各阶段当作不同的维度 ： n个不同人生阶段 + 相应的能量 = 人生
本文写于2011-11-11 紫松
date: 2013-11-18 14:42:27 author:
挺有用的。谢了
date: 2014-06-02 23:57:11 author:
A*x应该是在A坐标系下对应各行向量为坐标轴的投影为x吧，同是考研党，还望指正
date: 2014-09-13 14:04:35 author: 何求
理解很多性质都很有用，谢啦！
date: 2015-04-06 16:22:26 author: 当代
作者很强大，佩服你的高见。能将矩阵A分两个不同的层面（变换和特殊矩阵）进行解释特征向量和特征值，很有新意。全文都是为了解释何为特征向量和特征值，却通过从不同的侧片来看矩阵A自然地引出特征向量和特征值，又没让人觉得太突然，很好的博文。
date: 2015-04-06 16:49:51 author: zisong
@何求 我当初靠着这些理解，解题的确快和准了很多。
这么专业的问题还是自己解决，最好能找个英语老师指导下。 翻译下第一句 Research And Application Of Eigenvalue And Eigenvector Problem Of Matrices
上节课主要介绍了线性方程组的两种迭代求解算法，一个是Jacobi迭代（同步更新），一个是高斯塞德尔迭代（异步更新）。对于特殊的三对角系统，一种更简单快捷的Thomas算法也可以用来求解。之后介绍了向量范数与矩阵范数的概念，线性系统数值解的相对误差可以通过条件数来判定。本节课主要介绍矩阵的特征值，特征向量，以及其中涉及到的几种数值算法。
给定 维矩阵 ，满足下式的数 称作矩阵 的一个特征值： 而对应的向量 称作对应特征值 的一个特征向量。上述运算可以推广到更一般的形式，而不仅仅是针对矩阵运算。假设 是一个关于 的连续函数， 表示微分运算，则 就可以表示为： 这是特征值问题的一种更广泛的表现形式。 特征值与特征向量在工程与科学中有着非常重要的作用。例如，在振动研究中，特征值表示系统或组件的固有频率，而特征向量表示这些振动的模式。 为了求解一个矩阵的特征值与特征向量，根据定义，可以得到： 假设 是非奇异矩阵，则上式只有零解，不满足求解要求，因此，想要求解特征值，需要 ， 该式称作特征方程，特征方程的根即为矩阵 的特征值。 例： 其特征方程为 求解可得特征值为 然而，对于阶数比较高的矩阵，特征值的求解不会这么简单，需要使用数值求解方法。
这节主要介绍如何使用幂法和反幂法分别求解一个矩阵所有特征值中模最大和模最小的值。给定矩阵 ，假设其有 个实特征值 其对应的特征向量为 。幂法是通过迭代法来计算最大特征值 ，首先随机选取初始向量 ， 迭代计算 ， 进一步计算 , 可以看到，其迭代公式为: 注意到 是最大的特征值，因此 ，当 充分大时，有 。具体实现时，并没有 和 的值，因此，迭代计算 后，规范化 即可（有待进一步验证，采用向量范数并不合理）。注意：最大特征值是指模最大的那个特征值 MATLAB实现：
给定矩阵 ，假设其有 个实特征值 其对应的特征向量为 。 是最小特征值，首先注意到如果 ，则 , 即 ，因此有 。可以看到，当 为矩阵 的最小特征值时， 将是 的最大特征值，此时运用幂法求解 的最大特征值，取倒数，即为 的最小特征值。反幂法中，需要注意的是，当最小特征值为0时，其倒数是没有定义的，反幂法求解的是第二小的特征值，且需要采用移位反幂法。 MATLAB实现
幂法与反幂法是用来求解矩阵的最大特征值与最小特征值，想要求解矩阵所有特征值，可以使用QR分解法。假设 是一个 的矩阵，有 个互不相同的实特征值。QR分解的理论保证是， 如果对矩阵 做如下相似变换： ，则特征值保持不变。 这是因为如果 ，则取 ，就有 ，进一步有 ，因此 也是 的特征值。对 进行QR分解的算法流程：
MATLAB实现
在每次迭代中，对矩阵进行QR分解的操作是通过使用一种特殊的矩阵Householder矩阵来实现的，其形式为 其中 ， 与 为列向量， 为向量的2范数。 矩阵是对称的，是正交的。 这就意味着 与 是相似的。下面详细说明，如何通过 矩阵将 分解为一个正交阵和一个上三角阵的乘积。
MATLAB实现：
这节课主要介绍了矩阵特征值与特征向量的概念，对于低阶矩阵，可以通过特征方程求解出矩阵特征值；对于高阶矩阵，可以使用幂法与反幂法求解出矩阵的最大特征值与最小特征值，要求出矩阵的所有特征值，则可以对矩阵进行QR分解，将矩阵 相似化为一个上三角矩阵，上三角矩阵的对角线元素即为矩阵 的特征值。
矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。注意：常有教科书说特征向量是在矩阵变换下不改变方向的向量，实际上当特征值小于零时，矩阵就会把特征向量完全反方向改变，当然特征向量还是特征向量。我赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。特征向量是线性不变量所谓特征向量概念的亮点之一是不变量，这里叫线性不变量。因为我们常讲，线性变换啊线性变换，不就是把一根线（向量）变成另一根线（向量），线的变化的地方大多是方向和长度一块变。而一种名叫“特征向量”的向量特殊，在矩阵作用下不变方向只变长度。不变方向的特性就被称为线性不变量。如果有读者坚持认为负方向的特征向量就是改变了向量的方向的想法的话，你不妨这样看线性不变量：特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）
这题目的意义就是要求你的文章能够说明怎么能够迅速找出特征值和特征向量以及他们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方
λxx是非零向量解λ，即解：|A-λE|=0这个n次特征方程。 2.λ1λ2……λn=|A|λ1+λ2+……+λn=a11+a22+....+ann3. 0+2+x=y+2-1 ①-1×2×1=y×2×（-1）②由②，得-2=-2yy=1代入①，得x=0
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
因为宋朝的文化到达顶峰，宋朝的对文人的重视程度也是前所未有的。诗文、书画、制造都有很多的典型特点的东西出现。
宋代瓷器我国陶瓷发展史上一个非常繁荣昌盛的时期。现时已发现的古代陶瓷遗址分布于全国170个县，其中有宋代窑址的就有130个县，占总数的75%。陶瓷史家通常将宋代陶瓷窑大致概括为6个瓷窑系，它们分别是：北方地区的定窑系、耀州窑系、钧窑系和磁州窑系；南方地区的龙泉青瓷系和景德镇的青白瓷系。这些窑系一方面具有因受其所在地区使用原材料的影响而具有的特殊性，另一方面又有受帝国时代的政治理念、文化习俗、工艺水平制约而具有的共同性。宋朝瓷器从胎釉上看，宋北方窑系的瓷胎以灰或浅灰色为主，釉色却各有千秋。例如钧窑釉，喻为海棠红、玫瑰紫，灿如晚霞，变化无穷如行云流水；汝窑釉含蓄莹润、积堆如凝脂；磁州窑烧出的则是油滴、鹧鸪斑、玳瑁等神奇的结晶釉。南方窑系的胎质则以白或浅灰白居多，景德镇窑的青白瓷色质如玉、碧如湖水；龙泉窑青瓷翠绿莹亮如梅子青青；哥窑的青瓷其釉面开出断纹，如丝成网，美哉天成，是一种独特的缺陷美；还有定窑瓷，其图案工整，严谨清晰的印花让人叹为观止；耀州窑瓷，其犀利潇洒的刻花给人们以流动的韵律美。追求釉色之美、追求釉质之美，宋人在制瓷工艺上达到了一个新的美学境界。从造型的角度分析，宋瓷的器形较之前代更为丰富多彩。宋朝瓷器，几乎包括了人民日常生活用器的大部分：碗、盘、壶、罐、盒、炉、枕、砚与水注等，其中最为多见的是玉壶春瓶。总的说来，民间用瓷的造型大部分是大方朴实、经济耐用；而宫廷用瓷则端庄典雅、雍容华贵。最能反映皇家气派的是哥、官、钧、汝与定窑口烧制的贡瓷，最能体现百姓喜乐的是磁州、耀州窑口烧制的民间瓷品。 从纹饰上讲，宋瓷的纹饰题材表现手法都极为丰富独特。一般情况下，龙、凤、鹿、鹤、游鱼、花鸟、婴戏、山水景色等常作为主体纹饰而突现在各类器形的显著部位，而回纹、卷枝卷叶纹、云头纹、钱纹、莲瓣纹等多用作边饰间饰，用以辅助主题纹饰。工匠们用刻、划、剔、画和雕塑等不同技法，在器物上把纹样的神情意态与胎体的方圆长短巧妙结合起来，形成审美与实用的统一整体，另人爱不释手。如婴戏纹，或于碗心、或于瓶腹，将肌肤稚嫩，情态活泼的童子置于花丛之中，或一或二，或三五成群，攀树折花，追逐嬉戏，真切动人，生活气息甚为浓厚。宋朝瓷器，以其古朴深沉、素雅简洁，同时又千姿百态、各竞风流的气象为我们中华民族在世界工艺发展史上矗立起一座让世人景仰的丰碑。主要有以下几个特点： 1、突破“南青北白”的局面 2、品类繁多，器型多样。最受还应的有“梅瓶”、“玉壶春”等 3、釉色优美，以典雅含蓄，高贵朴实，有类玉的效果，以单色瓷为主（除钧窑）。体现了儒文化所提倡的简洁素雅之美，有明显的民族精神体现。 4、装饰方法有印花、画花、刻花、剔花、贴花、镂花等，图案以花鸟虫鱼等为主，造型，色彩，纹样追求完整、意境、气韵。
一直以来，人们似乎有一个共识：宋代是中国陶瓷艺术史上最辉煌灿烂的时代，“宋瓷”代表了中国瓷器艺术中最高的审美境界。这样一个认识，通过教科书或大众读物无限制地进行着一种简单的复制，让人觉得这几乎就是一个无需质疑的真理。但问题在于，这种判断的标准在哪里，我们有没有真正从学理上对其进行思考？因此，对于这个问题的反思，其意义也是相当明确的。一方面，有助于理解陶瓷艺术创作中的境界问题；另一方面，可以扭转我们简单的思维习惯或认识偏见。 平淡：宋代社会审美理想 宋代大文豪苏轼曾说：“大凡为文，当使气象峥嵘，五色绚烂，渐老渐熟，乃造平淡。”他认为文章由绚烂到达平淡，这才是成熟的标志，才是艺术上最高的境界。简单地说，平淡就是天真自然，不雕琢，不拘泥于法则。而实际上，苏轼的话反映出了宋代典型的士大夫审美趣味。在文风上，从韩愈的古文运动开始，之前绮丽的文风受到人们的抵制，转而崇尚平易的行文风格。在书法艺术中，宋人面对唐楷的气势与法度，转而追求晋人的高风绝尘，正如苏轼所推崇的“萧散简远”之淡泊境界。在绘画上，虽然雄浑的山水画与艳丽的院体画同样存在，但在苏轼和米芾的推动下，崇尚天真平淡的文人画开始兴起。而正是从宋代开始，“逸”格成为历代品评绘画乃至视觉艺术的最高标准，它代表了这种反对法度与雕琢、崇尚清新与自然的平淡之美。 宋代，重文轻武。文人的审美趣味很容易便影响到了整个社会，当时的大众也很自然地接受了这样的情趣。于是，“平淡”很快就成为当时社会的一种风尚，瓷器的生产也同样反映出这样的时代精神。宋代是瓷器生产相当繁荣的一个时代，有众多的瓷器生产地，仍然是“清淡秀雅”的艺术风格占据统治地位。即使是大量运用印花技术的耀州窑，其胎色也是相当淡雅的，呈现的是一种单色美。当然，将这样的风尚发挥到极致的当属北方的汝窑和南方的龙泉窑。汝窑生产的瓷器大都造型简练，呈淡雅的天青色，又因其烧制过程中温度较低，瓷胎未真正烧结，故釉色大多失透，显得宁静而自然。崇尚老庄的宋徽宗当时对汝窑的瓷器爱不释手，也在一定程度上为当时的瓷器生产树立了一个标准。靖康之变后，随着政治经济中心的南迁，南方的龙泉窑以其青玉般的釉色、简练沉静的造型、朴素典雅的气质，将“平淡”的审美理想发展到了极致。 艺术：“境界”判断与权力话语 舒斯特曼认为，审美教育是一种阴谋，它教育人们“自由”地去接受某种趣味。他的观点也许有些偏激，但已经很清楚地为人们揭示了审美格调判断中的人为因素。也许用福柯的思想来解释这种现象会更加贴切。在这位法国思想家看来，“真理意志” 与“权力意志”在根底上是二位一体的，真理的产生与认定渗透着权力因素，权力的运作有赖于真理话语的确立。①在任何社会的话语流通中都存在着有关何为理智、何为合理与真实的潜在话语标准，它在具体思想和知识问题的真假判断发生之前即已划定了关于真的可能边界，也就是说，发生在知识内部的真假只是真理在现实中成立的必要条件而非充要条件。②因此，“知识（真理）与其说是有真伪之分，不如说只有合法与否之分。”③如果我们用这种认识来看待长期以来人们对“宋瓷”的推崇，其背后的权力关系就相当明显了。 从魏晋开始，中国汉族文人实际上主要继承了老庄道家的审美理想。这是一种清静无为、天真自然的审美理想。正如老子所言，“五色令人目盲。五音令人耳聋。五味令人口爽。驰骋畋猎，令人心发狂，难得之货，令人行妨。”老子反对过于繁复的声和色，主张淡与素。而庄子则要求人从任何外在的束缚中解脱出来，从而获得自身的自由，这也是一种自然的审美境界，正所谓“彷徨乎尘垢之外，逍遥乎无为之业”。正如前文所言，道家的这种审美精神对中国汉族知识分子的影响在魏晋之后的历史中占据主导地位。当然，由于宋代社会浓厚的尚文风气，文人的情趣能够迅速地推广到整个社会中去，因此，相对于其他时期，宋瓷最能够体现出汉族文人的审美理想。 也正是因为这个原因，近代以来中国的知识分子都把“宋瓷”理所当然地断定为中国历史上最高审美品格的代表，认定它体现了最高的审美境界。原因很简单，因为“宋瓷”代表了他们所钟爱的审美情趣。这样一种判断由于出自于知识分子之口，出自于学术机构的判断，于是很自然的就披上了“真理”的外衣。却从来没有人去反思为什么“平淡”就一定高于“雕琢”，为什么文人情趣就一定高于市井情趣。实际上，人们已经习惯了屈从于权力的判断。这里的权力并非我们日常理解中的政治权力或统治权力，而是一种话语权。它在无形之中束缚了我们的思考，在无形之中也将所有的其他观点与思想断定为“谬论”与“非真理”。 共识：永远无法企及的地平线 相对于宋代的瓷器，唐代及元明清的瓷器增添了不少民族趣味或市民审美因素。尤其是明清的瓷器，受到市民文化的影响，其瓷器的艺术风格倾向于繁琐的装饰趣味。从明中叶的“青花”到“斗彩”“五彩”和清代的“珐琅彩”“粉彩”等等，无不体现了这样的趣味。此时，它们正好和西方的洛可可艺术相映成趣。而且事实也证明，两者之间的相互影响是相当明显的，因此在西方，洛可可风格也被称为“瓷器”风格。其实，在西方国家，洛可可风格也长期受到所谓学者阶层的轻视，认为它是一种相当轻浮与柔媚的艺术风格。与之受到贬低的艺术风格还包括原始艺术、中世纪艺术、巴洛克艺术等等。传统的西方学者们一直都将古希腊罗马以及文艺复兴时期的古典艺术当成了最高的审美理想，认为这是一种高雅而崇高的艺术风格，与之相比的其他艺术风格都显得逊色。 不过，在多元论思想的影响下，如今西方社会已经认识到了这种判断的偏见与无知。中世纪艺术的深沉与神圣，巴洛克艺术的恢宏与动感……这些都是西方古典艺术所缺少的精神内涵，它们同样值得称道。事实上，每一种艺术风格或审美情趣都有它自己的拥护者与爱好者，若根据其拥护者的地位与阶层来判断审美情趣的高低，这无疑是一种相当霸道的标准。我们可以批评某艺术品的题材或主题不合情理或触犯了公共道德的要求，却不可评判哪一种审美情趣低下。因为审美本身仅仅是一种心理感受，我们不能用高低来对其进行界定。在这里，我们也可以借用沃尔夫林的观点来进行论证，他在阐述巴洛克艺术的时候说：“巴洛克艺术（或称之为近代艺术）的兴衰都不是由于古典艺术，它是一种完全不同的艺术。近代西方文化的发展不能简单地归结为一条兴起、高潮、衰落的曲线……”④沃尔夫林反对将古典艺术作为西方艺术的定点，认为不同的时代具有不同的风格，表现的是各自的“时代精神”，而不能简单地说后代是前代的衰落。⑤ 从认识论讲，“整体性”思维本质上是事先预设一种本质或终极的本源，然后将其表象和再现。从现实来讲，它通过“权力”来产生一种真理，从而排斥、压制甚至摧残异端，最终完成了对“权力”的维护。在这里，笔者赞同利奥塔的观点，他反对哈贝马斯关于对话可以获得“共识”的观点，认为“共识是一条永远无法企及的地平线”，因此现在必须强调“歧见”。⑥所以，从这个意义上说，唐代的异国风情，宋代的平淡，或是明清的繁琐……它们仅仅是体现出自己时代或受众的审美趣味而已，并不能说明孰高孰低，谁是顶峰谁是低谷。
宋朝瓷器工艺尚不成熟，现在人们事实上已经吹捧过头了，瓷器制作工艺到了明朝才是真正成熟起来，器形、色彩、绘画才是真正到了巅峰。宋朝很多金包瓷实际上看起来是很俗气的，没必要无限制吹捧宋朝。
求矩阵特征值的方法如下：
任意一个矩阵A可以分解成如下两个矩阵表达的形式：
其中矩阵Q为正交矩阵，矩阵R为上三角矩阵，至于QR分解到底是怎么回事，矩阵Q和矩阵R是怎么得到的，你们还是看矩阵论吧，如果我把这些都介绍了，感觉这篇文章要写崩，或者你可以先认可我是正确的，然后往下看。
首先我们有A1=A=QR，则令A2=RQ,则有：
由式（22）可知，A1和A2相似，相似矩阵具有相同的特征值，说明A1和A2的特征值相同，我们就可以通过求取A2的特征值来间接求取A1的特征值。
扩展资料：
矩阵特征值性质
若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。
设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1，2，…，m)，则x1，x2，…，xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关 。
参考资料来源：百度百科-矩阵特征值
把特征值代入特征方程，运用初等行变换法，将矩阵化到最简，然后可得到基础解系。求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：
第一步：计算的特征多项式；
第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；
第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量。
求特征向量：
设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
判断矩阵可对角化的充要条件：
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量；
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
若矩阵A可对角化，则其对角矩阵Λ的主对角线元素全部为A的特征值，其余元素全部为0。（一个矩阵的对角阵不唯一，其特征值可以换序，但都存在由对应特征向量顺序组成的可逆矩阵P使P⁻¹AP=Λ）。
参考资料来源：百度百科-矩阵特征值
根据|xE-A|=0 求出特征值 x1，x2，x3 把xi分别带入 (xiE-A)x=0 就出基础解系就是特征向量
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
你的问题，具体是什么？
数学领域中的一些著名悖论及其产生背景
这题目的意义就是要求你的文章能够说明怎么能够迅速找出特征值和特征向量以及他们在解题解决一些复杂问题方面有较其他方法更为方便实用的地方