随机过程课程教学方法论文
一、《随机过程》课程教学中存在的问题
（一）忽视了教学对象和环境的变化
新一代的大学生是被信息数字化包围着的一代，电脑、网路、手机、数字游戏、音响与视频等已成为他们学习与生活中的必备品，数字化改变了他们的生活方式、学习方式、思维方式、心理及个性特点，其学习、思考、处理信息与解决问题的能力与以前的学生已有着很大的不同，也就是说，现在大学的教育对象和教学环境几乎已发生了根本性的变化，而教师的教学模式却几乎没有什么变化，这就很难适应现代学生的个性、心理和学习方式。另一方面，高等教育的大众化，使许多人虽然进入了大学，但并未培养出良好的学习习惯和学习能力，基础知识较差，他们在失去家长的监督和大学宽松的管理方式以及数字化时代的各种诱惑下，往往迷失自我，失去学习的兴趣和动力[1]。此外，当前复杂的外部环境，也使很多学生的学习动机和目的发生了很大变化，许多学生变得浮躁、功利、急于求成。而我们的大学教师却几乎忽视了这一变化，仍然沿用原有的教学理念和教学方式从事课堂教学，这就很难达到预期的教学效果和目的。
（二）课堂教学单一化
虽然教育的对象、环境以及社会对人才的需求已发生了深刻的变化，但教育的理念和方法仍少有变化，课堂教学的单一化仍是当今教学中的一大问题特征，具体表现在：
1.教学方法的单一化，即大多数课堂教学仍是“黑板+粉笔”式的教学方法。例如，教师对于某些抽象的概念的讲解，往往只限于简单的口述和板书，而对于其形成过程或直观背景，缺乏必要的生动形象的讲述或演示，这种舍弃其直观背景，以一种静态的平铺直叙的语言直接抛给学生一连串的概念、定义和法则的做法，不仅使学生感到索然寡味，也常常使他们感到茫然无措，只知其然而不知其所以然。尤其是像《随机过程》这一有着诸多抽象概念和理论的课程，仅仅借助于“黑板+粉笔”进行课堂教学，很难让学生去理解和掌握其中的基本理论知识。
2.教学模式的单一化。大多数课堂教学仍沿用教师讲，学生听；教师写，学生记；教师问，学生答的教学模式，这一教学模式不仅使学生的主体性地位得不到体现，课堂气氛沉闷无生机，也使得学生的思想受到压抑，思维被模式化。
3.教学手段的单一化。多媒体、网络信息平台、影像视频等现代教育技术手段还很少运用于课堂教学之中，利用粉笔和黑板进行授课仍是大多数教师的教学手段，这种看似简单的方式，既费时费力又效率低下，因为教师板书和绘图会占用大量宝贵的课堂时间，尤其是对于复杂的问题及图表绘制，更是如此，既影响课堂效率和授课容量，又使课堂教学单调沉闷，影响学生的学习兴趣。
（三）创新性教学理念缺失
依据不同的教学内容、教学目标、教学对象和社会对人才需求的改变，灵活地采用与合理地创设不同的教学方法，以期达到最佳的教学效果，应是当今教师所应具备的基本教学观。然而，如今大多数的《随机过程》课堂教学并非如此，仍然沿用“以不变应万变”的单一固化的教学模式，这显然是创新性教学理念的缺失。创新性教学理念是培养学生创新意识、创新精神和创新能力，具体地讲，通过教师的创造性劳动，将记忆性的概念、原理和枯燥乏味的逻辑推理变为灵活的、生动的、富有趣味的知识场景，唤醒学生的求知欲，使他们乐学、好学、善学，进而有效地消化吸收这些新知识，并在此过程中逐步培养出他们的创新性思维与能力。这一理念决定了创新性教学是民主化和个性化的教学过程，所采用的是多样化的教学模式和现代化的教学手段。然而，现今大多数《随机过程》课堂教学显然不具备这些特点。
二、《随机过程》的创新性教学方法
创新性教学的核心在于“创新”二字，也就是说，为达到既定的教学目标，要能突破传统以求新意。人们常说的“教学有法，教无定法”，其实也就包含了“创新”这一含义。因此，根据《随机过程》不同章节内容的特点及当前学生的状况，在《随机过程》的教学过程中，除了灵活地采用一些基本的教学方法和多媒体教学手段之外，更应该创造性地设计和采用以下几种教学方法。
（一）趣味性教学
学习兴趣和学习情感是密切联系的，对有兴趣的事物，人们总是想方设法地接近它、认识它、探究它和获取它，并对它产生愉快的情绪。兴趣是最好的老师，是学习最有效的动力，因而也是达成教学目的最有效的手段。趣味性教学法就是基于使课堂教学充满趣味性这一观点，来积极营造有趣的、引人入胜的课堂氛围，使学生在学习中感到乐趣、产生兴趣，从而自主而积极学习的一种教学方法。《随机过程》课程是一门抽象性很强且难度很大的课程，教师很难利用传统的灌输方式提高学生的学习兴趣，这就需要教师在教学中，精心构思，合理布局，创设合适的情境，选择恰当的教学手段和教学语言，来提高和激发学生的学习兴趣。例如，利用随机过程发展史中的人物、典故和故事来激趣，既可丰富学生的数学历史知识，又可培养学生对随机过程的学习兴趣，使学生学习其中的创新精神。《随机过程》的课程内容有很多直观背景，用直观背景激趣，应是《随机过程》课程教学的.主要方法之一。比如，在讲Markov链时，教师可以先创设这样一个情境（图片）：有一只蚂蚁在一个等距网格图上从某一结点处开始爬行，它每爬到一个网格的结点，就会随机地选择一条从该结点发出的网线爬向邻近的一个结点，然后引导着学生把该蚂蚁在不同时刻时所处的结点位置用一个随机变量列表示出来，并详细地分析它们有什么特性，借助于这个有着直观背景情趣的问题，引出并讲解有关Markov链的基本概念和性质，将会激发学生学习和探究的兴趣，进而达到教师预期的教学效果。
（二）问题式教学
问题是教学的核心，创新性教学的首要任务并不是直接地灌输和传授现成的知识，而是给学生设计出有思考或探讨价值的问题，并创设多角度、多层次的思考点，引导学生积极地分析问题、探讨问题，努力探求解决问题的方法或途径，使学生在分析和解决问题的过程中，逐步达到新旧知识的融汇，进而形成自己整合的和结构化的知识体系。如果没有问题，仅仅是索然寡味的灌输和传授，很难激发出学生的求知欲望和兴趣，教学也就很难取得任何真正的实效。问题式教学法，就是这样一种以教师设问为出发点，以学生分析问题和解决问题为线索，进而达到使学生掌握新知识为目的的教学方法，它改变了教师“以讲为主，以讲居先”的格局，调动了学生学习的积极性和主动性，强化了学生的自学能力和积极探索精神的培养和锻炼，提高了学生运用知识的能力和水平。因此，根据《随机过程》的课程内容特点，精心设计安排一些问题式的课堂教学方案进行知识传授，将会有效地调动和培养学生学习这门课的兴趣和积极性，提高他们多方面的能力。
（三）探究式教学
探究式教学是指在课堂教学时，教师只给学生一些事例和问题，然后让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握其中的原理和结论的一种方法。它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索解决问题的途径和方法，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和内部联系，从中找出规律，形成自己的概念。这一教学方法突出了学生的主体作用，它把学生从被动地接受教育的客体中解放了出来，使学生从消极地接受知识和简单的模仿学习转变为积极、主动、创造性地进行探究性的学习，有利于培养学生的创造性思维和独立自主完成学习过程的能力。在《随机过程》中，有许多教学内容都可以设计成探究式教学模式。例如，对于鞅的停时定理这部分内容，教师可以基于鞅{Mn，n≥0}的性质EMn=EM0及教材中的一个博赌案例，让学生探讨这样一个问题：通常赌博者并不能确定在某一时刻之前停止赌博，但可以保证这场赌博不会无限期地延续下去，他可以选择在任一时刻（T）停止赌博，这一时刻T是随机的，如果让T替代EMn=EM0中的n，是否成立？若不成立，在什么情况下成立？针对这个探究问题，可以在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探究解决问题的方法，从中找出等式成立的条件，形成一个合理的结论。这不仅能够加深学生对课本知识的理解和掌握，对开发学生的智力，培养学生的自学能力和创造性思维也具有重要作用。
（四）实践式教学
实践式教学是相对于理论教学而言的，它是巩固理论知识和加深对理论认识的有效途径，是培养具有创新意识的高素质人才的重要环节，是理论联系实际、培养学生掌握科学方法和提高动手能力的重要平台。《随机过程》课程内容虽然抽象难懂，但却有着较广的应用范围和较强的应用背景，而目前的教学过程，几乎完全是课堂理论教学，没有实践教学，这很不利于提高教师的教学效果，也不利于学生能力的培养，因此，针对《随机过程》的课程内容特点，适当增加一定课时的实践教学课，既很有必要又很重要。对实践教学模式的选择，可采用实践基地模式和实验室模式。对于实践基地模式，教师可以针对教学内容，选择和联系好一些合适的实践基地，让学生根据教师所给的问题和要求，去调查试验，收集必要的数据，用学过的概率统计方法和随机过程知识，去验证随机过程中的一些理论和规律性问题或解决一些实际问题。例如，可让学生到某一车站，从某一时刻开始，观察记录每位旅客到达车站的时刻，然后利用统计方法，验证旅客到达车站人数是否是一个Poisson过程、旅客到达的时间间隔是否服从指数分布以及旅客到达的时刻是否服从伽玛分布等问题。《随机过程》课程的实验室教学模式主要以计算机模拟实验为主。教师也可以根据教学内容，设置出一些实验题目，在教师的讲解和指导下，让学生自主地去完成有关实验。通过实验可以帮助学生理解该课程中一些抽象的概念和理论，提高学生分析问题和解决问题的能力，达到教学的目的。例如，给定一个随机过程，让学生绘制出该随机过程的图像及其均值、方差和自相关函数的图像；给定相关函数（功率谱）和概率分布，让学生通过计算机模拟分析产生相应的随机过程，然后再通过该随机过程的实际相关函数（功率谱）和概率分布，验证实验的有效性等。通过这两个实验，既能加深学生对随机过程及其均值、方差和自相关函数的理解和掌握，又能提高学生利用计算机技术处理实际问题的能力。
（五）网络辅佐教学
网络辅佐教学方法是指教师充分利用现代网络信息技术所提供的全新的沟通机制和丰富的学习环境资源。建立一个开放的交流平台，如建立一个QQ和微信平台，通过这个平台与学生交流互动、答疑解惑、传授知识、指导学习，同时，对学生在此平台上所提的问题、建议、意见、心得和体会，进行收集整理，反馈或补充到课程资源中。利用这种教学方式，对于教师，既可及时发现课堂教学中的问题与不足，又可及时了解到学生学习中存在的问题并予以及时反馈和指导；而对于学生，则可以在这样一个开放的空间中，自由地向老师和其他同学学习并提出自己的问题与疑惑。因此，此种课堂辅助教学法，不仅突出了学生的主体地位，丰富了学生的学习资源，提高了学生的学习兴趣和效率，也有效地提高了教师的教学效果，弥补了其他教学方式中不能及时相互反馈的问题。
三、结论
《随机过程》的课程内容有其繁多、抽象、应用背景强的特点，也有其独特的理论和方法。利用传统的单一而僵化的灌输式教学方式进行教学，不仅很难达到预期的教学目标，也很难培养出适应于现代社会需要的创新型人才。针对本课程中不同章节的内容特点和现代大学生的特性，依据现代教育技术和创新性教学理念，采用或创造性地构建不同的教学方法进行教学，将会有效地提高学生的学习积极性、主动性和效率，有助于培养学生的创新精神和创新能力，也将会大大提高教师的教学水平和教学效果，进而实现教师的教学目的。
摘 要 研究了沪深300指数日收益率时间序列，经检验其具有马氏性，并建立了马尔可夫链模型。取交易日分时数据，根据分时数据确定状态初始概率分布，通过一步转移概率矩阵对下一交易日的日收益率进行了预测。对该模型分析和计算，得出其为有限状态的不可约、非周期马尔可夫链，求解其平稳分布，从而得到沪深300指数日收益率概率分布。并预测了沪深300指数上涨或下跌的概率，可为投资管理提供参考。
关键词 马尔可夫链模型 沪深300指数 日收益率概率分布 平稳分布
1 引言
沪深300指数于2005年4月正式发布，其成份股为市场中市场代表性好，流动性高，交易活跃的主流投资股票，能够反映市场主流投资的收益情况。众多证券投资基金以沪深300指数为业绩基准，因此对沪深300指数收益情况研究显得尤为重要，可为投资管理提供参考。
取沪深300指数交易日收盘价计算日收益率，可按区间将日收益率分为不同的状态，则日收益率时间序列可视为状态的变化序列，从而可以尝试采用马尔可夫链模型进行处理。马尔可夫链模型在证券市场的应用已取得了不少成果。参考文献[1]、[2]、[3]和[4]的研究比较类似，均以上证综合指数的日收盘价为对象，按涨、平和跌划分状态，取得了一定的成果。但只取了40～45个交易日的数据进行分析，历史数据过少且状态划分较为粗糙。参考文献[5]和[6]以上证综合指数周价格为对象，考察指数在的所定义区间（状态）的概率，然其状态偏少（分别只有6个和5个状态），区间跨度较大，所得结果实际参考价值有限。参考文献[7]对单只股票按股票价格划分状态，也取得了一定成果。
然而收益率是证券市场研究得更多的对象。本文以沪深300指数日收益率为对考察对象进行深入研究，采用matlab7.1作为计算工具，对较多状态和历史数据进行了处理，得出了沪深300指数日收益率概率分布，并对日收益率的变化进行了预测。
2 马尔可夫链模型方法
2.1 马尔可夫链的定义
设有随机过程{Xt，t∈T}，T是离散的时间集合，即T={0，1，2，L}，其相应Xt可能取值的全体组成状态空间是离散的状态集I={i0，i1，i2，L}，若对于任意的整数t∈T和任意的i0，i1，L，it+1∈I，条件概率则称{Xt，t∈T}为马尔可夫链，简称马氏链。马尔可夫链的马氏性的数学表达式如下：
P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，L，Xn=in}=P{Xn+1=in+1|Xn=in} （1）
2.2 系统状态概率矩阵估计
马尔可夫链模型方法的基本内容之一是系统状态的转移概率矩阵估算。估算系统状态的概率转移矩阵一般有主观概率法和统计估算法两种方法。主观概率法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用。本文采用统计估算法，其主要过程如下：假定系统有m种状态S1，S2，L，Sm根据系统的状态转移的历史记录，可得到表1的统计表格。其中nij表示在考察的历史数据范围内系统由状态i一步转移到状态j的次数，以■ij表示系统由状态i一步转移到状态的转移概率估计量，则由表1的历史统计数据得到■ij的估计值和状态的转移概率矩阵P如下：
■ij=nij■nik，P=p11 K p1mM O Mpm1 L pmn（2）
2.3 马氏性检验
随机过程{Xt，t∈T}是否为马尔可夫链关键是检验其马氏性，可采用χ2统计量来检验。其步骤如下：（nij）m×m的第j列之和除以各行各列的总和所得到的值记为■.j，即：
■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik（3）
当m较大时，统计量服从自由度为（m-1）2的χ2分布。选定置信度α，查表得χ2α（（m-1）2），如果■2>χ2α（（m-1）2），则可认为{Xt，t∈T}符合马氏性，否则认为不是马尔可夫链。
■2=2■■nijlog■ij■.j（4）
2.4 马尔可夫链性质
定义了状态空间和状态的转移概率矩阵P，也就构建了马尔可夫链模型。记Pt（0）为初始概率向量，PT（n）为马尔可夫链时刻的绝对概率向量，P（n）为马尔可夫链的n步转移概率矩阵，则有如下定理：
P（n）=PnPT（n）=PT（0）P（n）（5）
可对马尔可夫链的状态进行分类和状态空间分解，从而考察该马尔可夫链模型的不可约闭集、周期性和遍历性。马尔可夫链的平稳分布有定理不可约、非周期马尔可夫链是正常返的充要条件是存在平稳分布；有限状态的不可约、非周期马尔可夫链必定存在平稳过程。
3 马尔可夫链模型方法应用
3.1 观测值的描述和状态划分
取沪深300指数从2005年1月4日~2007年4月20日共555个交易日收盘价计算日收益率（未考虑分红），将日收益率乘以100并记为Ri，仍称为日收益率。计算公式为：
Ri=（Pi-Pi-1）×100/Pi-1（6）
其中，Pi为日收盘价。
沪深300指数运行比较平稳，在考察的历史数据范围内日收益率有98.38％在[-4.5，4.5]。可将此范围按0.5的间距分为18个区间，将小于-4.5和大于4.5各记1区间，共得到20个区间。根据日收益率所在区间划分为各个状态空间，即可得20个状态（见表2）。
3.2 马氏性检验
采用χ2统计量检验随机过程{Xt，t∈T}是否具有马氏性。用前述统计估算法得到频率矩阵（nij）20×20。
由（3）式和（4）式可得：■.j=■nij■■nik，且■ij=nij■nik，■2=2■■nijlog■ij■.j=446.96，令自由度为k=（m-1）2即k=361，取置信度α=0.01。由于k>45，χ2α（k）不能直接查表获得，当k充分大时，有：
χ2α（k）≈■（zα+■）2（7）
其中，zα是标准正态分布的上α分位点。查表得z0.01=2.325，故可由（1）、（7）式得，即统计量，随机过程{Xt，t∈T}符合马氏性，所得模型是马尔可夫链模型。
3.3 计算转移概率矩阵及状态一步转移
由频率矩阵（nij）20×20和（1）、（2）式得转移概率矩阵为P=（Pij）20×20。考察2007年4月20日分时交易数据（9：30~15：30共241个数据），按前述状态划分方法将分时交易数据收益率归于各状态，并记Ci为属于状态i的个数，初始概率向量PT（0）=（p1，p2，L，pt，L，p20），则：
pj=Cj/241，j=1，2，K，20（8）
下一交易日日收益率分布概率PT（0）={p1（1），p2（1），L，pi（1），L，p20（1）}，且有PT（1）-PT（0）p，计算结果如表3所示。
3.4 马尔可夫链遍历性和平稳分布
可以分析该马尔可夫链的不可约集和周期性，从而进一步考察其平稳分布，然而其分析和求解非常复杂。本文使用matlab7.1采用如下算法进行求解：将一步转移概率矩阵P做乘幂运算，当时Pn+1=Pn停止，若n>5 000亦停止运算，返回Pn和n。计算发现当n=48时达到稳定，即有P（∞）=P（48）=P48。考察矩阵P（48）易知：各行数据都相等，不存在数值为0的行和列，且任意一行的行和为1。故该马尔可夫链{Xt，t∈T}只有一个不可约集，具有遍历性，且存在平稳分布{πj，j∈I}，平稳分布为P（48）任意一行。从以上计算和分析亦可知该马尔可夫链是不可约、非周期的马尔可夫链，存在平稳分布。计算所得平稳分布如表4所示。
3.5 计算结果分析
表3、表4给出了由当日收益率统计出的初始概率向量PT（0），状态一步预测所得绝对概率向量PT（1）和日收益率平稳分布，由表3和表4综合可得图1。可以看出，虽然当日（2007年4月20日）收益率在区间（1.5，4.5）波动且在（2.5，4.5）内的概率达到了0.7261，表明在2007年4月20日，日收益率较高（实际收盘时，日收益率为4.41），但其下一交易日和从长远来看其日收益率概率分布依然可能在每个区间。这是显然的，因为日收益率是随机波动的。
对下一交易日收益率预测（PT（1）），发现在下一交易日收益率小于0的概率为0.4729，大于0的概率为0.5271，即下一交易日收益率大于0的概率相对较高，其中在区间（-2，-1.5）、（0.5，1）和（1，1.5）概率0.2675、0.161和0.1091依次排前三位，也说明下一交易日收益率在（-2，-1.5）的概率会比较高，有一定的风险。
从日收益率长远情况（平稳分布）来看，其分布类似正态分布但有正的偏度，说明其极具投资潜力。日收益率小于0的概率为0.4107，大于0的概率为0.5893，即日收益率大于0的概率相当的高于其小于0的概率。
4 结语
采用马尔可夫链模型方法可以依据某一交易日收益率情况向对下一交易日进行预测，也可得到从长远来看其日收益率的概率分布，定量描述了日收益率。通过对沪深300指数日收益率分析和计算，求得沪深300指数日收益率的概率分布，发现沪深300指数日收益率大于0的概率相对较大（从长远看，达到了0.5893，若考虑分红此概率还会变大），长期看来沪深300指数表现乐观。若以沪深300指数构建指数基金再加以调整，可望获得较好的回报。
笔者亦采用范围（-5，5）、状态区间间距为1和范围（-6，6）、状态区间间距为2进行运算，其所得结果类似。当采用更大的范围（如-10，10等）和不同的区间大小进行运算，计算发现若状态划分过多，所得模型不易通过马氏性检验，如何更合理的划分状态使得到的结果更精确是下一步的研究之一。在后续的工作中，采用ANN考察所得的日收益率预测和实际日收益率的关系也是重要的研究内容。马尔可夫链模型方法也可对上证指数和深证成指数进行类似分析。
参考文献
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