例析一次函数的常见问题
一次函数是初中数学的重要内容之一，在历年的中考中，
不仅一些基础题出现，而且一些联系实际的应用题也频频“亮
相”。因此，现就有关一次函数的一些常见问题举例分析如下：
一、有关字母的取值（取值范围）
例1已知y=(k2-1)x2+(k+1)x+k是一次函数，求k的值。
简析掌握一次函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数k≠
0)的函数，叫做一次函数”是解决这类问题的关键，一定不要忽
视了k≠0的隐含条件，否则就会出错。
解由题意，得k2-1=0，k+1≠0。∴k=1。
二、确定一次函数的表达式
例2已知一次函数的图象经过点（3，0）和点（2，5），求这
个一次函数的表达式。
简析这是一道最常见最基础的确定一次函数关系式的
问题，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中有两个待定系数
k和b，需要两个独立的条件，常见的求函数关系式的题型主要
有利用定义求表达式，利用一次函数的性质求表达式等。
确定一次函数表达式的一般步骤：
（1）设出含有待定系数的一次函数关系式；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得
到关于待定系数的方程（方程组）；
（3）解方程（方程组），求出待定系数；
（4）把求出的待定系数的值代入所设的关系式。
解设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)
由题意，得3k+b=0，2k+b=5,解之得k=-5,b=15。
∴这个一次函数的表达式为y=-5x+15。
三、一次函数的图象所在象限
例3一次函数在同一坐标系下的图象是图1中的（）。
简析一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它所经
过的象限是由k、b的符号决定的，理解掌握它们的关系，才可
以轻松熟练的解答此类问题。解选（A）。
四、有关一次函数图象的交点
（一）与坐标轴的交点问题。（略）。
（二）两个一次函数的图象交点问题。
例4已知两条直线y=2x-3和
y=6-x。①求它们的交点坐标；②利用函
数图象解不等式：2x-3＞6-x；③求这两
条直线与轴围成的三角形的面积。
简析①二元一次方程组都对应两
个一次函数，于是也对应两条直线。从
“数”的角度看，解方程组相当于求自变
量的取值，使两个函数的值相等；从“形”
的角度看，解方程组相当于确定两条直
线的交点坐标。
②一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决一次函
数与一元一次不等式的基础，正确理解交点坐标与自变量、函
数值之间的关系，是解决这类问题的关键。
③直线与坐标轴围成的三角形的面积是常见的一次函数
综合性较强的题目，它涉及了许多关于坐标、函数的基础内容。
这里，正确求出两条直线的交点坐标，是解决直线与坐标轴围
成三角形的面积的前提。
解①解方程组y=2x-3，y=6-x得x=3,y=3。
∴直线y=2x-3和y=6-x的交点为（3，3）。
②在同一平面直角坐标系中分别画出
直线y=2x-3和y=6-x，（如图2），可以看出，两直线的交点
为（3，3）。又由图所示，当x＞3时，对于同一个x，直线y=2x-3
上的点在直线y=6-x上相应点的上方，这时，2x-3＞6-x，所以不
等式的解集为x＞3。
③设直线y=2x-3与x轴的交点为A点，直线y=6-x与x
轴的交点为B点。
令y=0，分别代入两直线表达式得A（3/2，0）、B（6，0），
∴AB＝6-3/2=9/2，
又由①知两直线的交点为（3，3）
∴这两条直线与轴围成的三角形的面积为:
S＝1
2×
9
2×
3=2
7
4。
五由函数图象提供信息的问题
例5《邹城日报》2007年
9月12日报道了“养老保险执
行新标准”的消息。尚河中学课
外活动小组根据消息中提供的
数据，绘制出邹城企业职工养
老保险个人月缴费y（元）随个
人月工资x（元）变化的图象，
如图3，请你根据图象提供的信息解答下面的问题：
（1）赵工程师5月份的工资是3500元，这月他个人应缴
养老保险元；
（2）小王5月份的工资是550元，这月他个人应缴养老保
险元；
（3）李师傅5月份个人养老保险56元，求他5月份的工资
是多少。
简析这是以图象提供信息为特征，考查一次函数的综合
应用题。解决这类问题首先应具备阅读图象的能力，然后要有
分类的数学思想，要注意“分段”地观察图象，即自变量分成若
干“段”，观察各“段”中图象的变化情况，逐一加以分析。
解从图象易得（1）填195.2元；（2）填38.99元；
（3）设中间线段所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
由图象，知该直线过点（557，38.99）和（2786，195.2）
∴2786k+b=195.2,557k+b=38.99。解之得k=7/100，b=0
∴y=7x/100。
∴当y=56时，x=800，即李师傅5月份的工资为800元。
(A)(B)(C)(D)
y=2x-3
y=6-x
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求解一次函数表达式
求一次函数表达式是一次函数中常见的问题.下面把此类问题的常见题型归纳如下,供同学们参考.
一、定义型
例1 已知函数y=(m-2)xm2-3+5是一次函数,求其表达式.
解 由一次函数的定义,知m-2≠0且m2-3=1,所以m=-2.
所以这个一次函数的表达式为y=-4x+5.
点拨 利用一次函数定义求表达式时,要注意两点:一是自变量的系数不为0;二是自变量的次数是1,这两点必须同时满足,所以本题在保证次数m2-3=1的同时还要保证系数m-2≠0.
二、代入型
例2 已知一次函数y=kx-3的图像过点(-2,1),求这个函数的表达式.
解 因为一次函数y=kx-3的图像过点(-2,1),所以1=-2k-3,解得k=-2.
故这个一次函数的表达式为y=-2x-3.
点拨 本题依据函数的性质:函数图像经过一点,则该点坐标满足此函数关系式.这也是解决此类问题的关键.
例3 已知一次函数的图像过点(2,1)且与y轴的交点坐标为(0,3),则这个函数的表达式为.
解 设这个一次函数的表达式为y=kx+b,依题意,得2k+b=1,b=3,解得k=-1,b=3.
所以这个一次函数的表达式为y=-x+3,故填y=-x+3.
评注 这是一道典型的用待定系数法求表达式的问题,此法最为有效,应用也很广泛,同学们要用心揣摩,以领悟其本质.
三、平移型
例4 将直线y=3x-1向上平移3个单位长度所得直线的表达式为.
解 设平移后的表达式为y=kx+b,因为平移前后两直线平行,所以k=3,直线y=kx+b与y轴的交点到原点的距离为3-1=2,所以b=2,所以平移后的表达式为y=3x+2,故填y=3x+2.
评注 解决这类平移问题还可以采用数形结合的方法,大致画出图像,根据题意再进行平移.
四、面积型
例5 已知直线y=kx+6与两坐标轴围成的三角形的面积等于12,求此函数的表达式.
解 易求直线与x轴的交点为(-6k,0),与y轴交点为(0,6),所以有12•6k•6=12,解得|k|=32,即k=±32.所以该直线的表达式为y=32x+6或y=-32x+6.
评注 一定要注意这类问题中满足条件直线有两种情况:直线上升时(即k>0)和下降时(k<0),很多同学在求这类问题时常常考虑不全没有加绝对值,而导致出错.
1.一次函数只是自变量与因变量成线性比,在平面坐标系下的图像一般是一条直线.
2.一元一次方程是一个等式,即自变量或因变量等于0的情形.一般其解为(平面坐标系下的)直线与x,y轴的交点.
3.一元一次不等式,自变量与因变量之间是以不等号连接的.其解一般是一个面域(即在平面坐标系下,其解一般是图像为直线的上半部分或者是其下半部分)
拓展课 论文
——有关生活中的函数
一、问题的提出
在现实生活中，人们的生活越来越趋向于经济化，合理化．但怎样才能达到这样的目的呢？
一天，我就遇到了这样一道实际生活中的问题：
某报纸上报道了两则广告，甲商厦实行买东西满50元付5元即有抽奖机会，抽奖奖金如下：
特等奖10000元1名
一等奖1000元2名
二等奖100元10名
三等奖5元200名
而乙商厦则实行九五折优惠销售。请你想一想；哪一种销售方式更吸引人？哪一家商厦提供给销费者的实惠大？
二、问题的分析
面对问题我们并不能一目了然。我做了一个假设，假如有16人，其中8人愿意去甲家，6人喜欢去乙家，还有两人则认为去两家都可以。调查结果表明：甲商厦的销售方式更吸引人，但事实是否如此呢？
在实际问题中，甲商厦每组设奖销售的营业额和参加抽奖的人数都没有限制。所以我们认为问题应该有几种答案。
三、问题的解决
1、苦甲商厦确定每组设奖，当参加人数较少时，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人们会认为获奖机率较大，则甲商厦的销售方式更吸引顾客。
2、若甲商厦的每组营业额较多时，它给顾客的优惠幅度就相应的小。因为甲商厦提供的优惠金额是固定的，4415元（10000＋2000＋1000＋1000-50*213+5*213=4415）。假设两商厦提供的优惠都是4415元，则可求乙商厦的营业额为88300元（4415÷5％=88300）。
甲的优惠=奖金总数-人数*抽奖需付的5元
乙的优惠=顾客买东西所花的总额*5%
所以由此可得：
（l）当顾客为213人时，即两商厦的营业额都为88300元时，两家商厦所提供的优惠同样多．
（2）当顾客小于213人时，即甲商厦的营业额不足88300元时，乙商厦的优惠则小于4415元，所以这时甲商厦提供的优惠仍是4415元，优惠较大。
（3）当顾客大于213人时，即两家的营业额都超过88300元时，乙商厦的优惠则大于4415元，而甲商厦的优惠仍保持4415元时，乙商厦所提供的实惠大。
四、由问题而想到的
像这样的问题，我们在日常生活中随处可见。
例如。有两家液化气站，已知每瓶液化气的质和量相同，开始定的价也相同．为了争取更多的用户，两站分别推出优惠政策．甲站的办法是实行七五折错售，乙站的办法是对客户自第二次换气以后以7折销售。两站的优惠期限都是一年．你作为用户，应该选哪家好？
这个问题与前面的问题有很大相同之处。只要通过你所需要的罐数来分析讨论，这样，问题便可迎刃而解了。
随着市场经济的逐步完善，人们日常生活中的经济活动越来越丰富多彩．买与卖，存款与保险，股票与债券，……都已进入我们的生活．同时与这一系列经济活动相关的数学，利比和比例，利息与利率，统计与概率。运筹与优化，以及系统分析和决策，都将成为数学课程中的“座上客”。
五、后记
作为跨世纪的中学生，我们不仅要学会数学知识，而且要会应用数学知识去分析、解决生活中遇到的问题。这样才能更好地适应社会的发展和需要。
