数学思想来武装，巧思妙解放光芒
一道数学竞赛题的一题多解
一 、引子 北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光
二、题目
北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下：
4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？
题目短小干炼，满分8分。
三、试解
方程中的求知数是x，出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了
cos2x-cosx-1-a=0 ①
如果原方程中 x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了
t2-t-1-a=0 ②
因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以 a≥-(5/4)
故实数a的取值范围是a≥-(5/4)
这个答案对吗？
当a≥-(5/4)时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1，1]，故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。
四、反思
怎么办呢？
如果能保证方程②的实数解t在区间[-1，1]内，则最简三角方程cosx=t就必有实数解x=2kπ±arccost, 好，这样一来，问题就转化为当方程②有位于[-1，1]中的实数根时，求实数a的取值范围什么？
由方程②得：
故当a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]时，原方程有关于x的实数根。
以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解两个无理不等式组成的不等式组，用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了，但运算较繁杂，有没有更好一些的方法？
五、改进
如果记方程②的左端为f(t),即
f(t)=t2-t-1-a
则方程②有[-1，1]中的实数解就等价于二次函数f(t)=t2-t-1-a 的图象抛物线在[-1，1]内与t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。
当抛物线与t轴在[-1，1]内只有一个交点时，当且仅当
f(-1)f(1)≤0即
(1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1； ③
当抛物线与t轴在[-1，1]内有两个交点时，当且仅当
由③④得，当a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]时，y=f(t)与t轴在[-1，1]内有交点，方程②有实数解。
由于f(1)、f(-1)，Δ等的计算比较简便，上述解法是不是比较简捷一点？
六、换个角度看问题
诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们前面的解题思路，都把注意力注意在了“方程有实根”上，跳不出“方程有实根”的如来佛手心，“五”中的解法就渗透了数形转换，已属巧解。如果换个角度看问题，将方程①移项变形得
a=cos2x-cosx-1
视a为x的函数，用逆向思维来思考：x有实数解，则有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]2-(5/4)当cosx=(1/2)时有最小值a最小=-(5/4)；当cos=-1时有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函数值域为 a∈[-(5/4),1]。反之，当a在[-(5/4)，1]中取值时，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有实数解与之对应，你看，a的取值范围不是就求出来了吗？
七、变式
西游记中的孙悟空神通广大，能八九七十二变。好的数学题也会有一些“变式”。从上面的解法中你还能想到些什么？你能改编出一个相应的题目吗？试试看。
无独有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中学生数学竞赛高中一年能初赛试题“二、填空题”的最后一题即第8题如下：“8、若关于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有实数解，求实数a的最大值与最小值的和”
读者诸君欣赏至此，是不是会“会心地笑了。”
八、启示
回顾以上解题过程，我们用到了方程的思想，等价转化的思想，数形结合转化的思想，变换角度看问题及逆向思维的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。比较以上各种解法，你得到了什么样的启示？
【摘要】：在数学学习的过程中，我们发现有些题目存在着很多种解法，就会使我们多这些解法产生想一探究竟的想法。在尝试多种解法来解答问题时，需要从多个角度进行思考。这样，做题的思路得到了拓展，从这个过程中总结出了规律跟解题经验。以后，在解答其它类型的数学问题时，可以作为借鉴。在进行解答同种类型的问题时，有了上次总结的经验和规律，从而达到快速解题的效果。
【关键词】：高中数学、“一题多解”、探索过程与见解。
数学学习最重要的是练习，在解题过程中能够了解自己在某一个知识点上的不足，能起到查缺补漏的效果，并从中总结解题经验。从解题经验可以知道，“题海战术”的效果并不是十分显著，重复地进行解题，学习效率也不高，达不到理想的效果。而在数学解题过程中，需要选择具有代表性的题目，从中总结知识点，从多个角度进行思考，寻找多种解题方法。
一、高中数学解题过程会面对的困难
1、知识点不扎实
数学习题的练习能起到巩固知识点和查缺补漏的作用，能更好地将知识点熟练应用于解题当中。通过数学习题的练习我们知道，基础知识的熟练掌握和了解是十分关键的。在数学学习过程中，知识点逐渐丰富，不断积累数学知识，将以前遗忘的知识点重新温习一遍。知识点不够扎实势必会在解决问题的过程中难以高效地得到解决，学习数学就是将数学知识点逐渐吃透，慢慢将基础知识变薄。
2、不够灵活运用数学相关知识点
数学各类知识点之间有着很重要的联系，在几何运算及代数运算中，需要用到高中数学中的诸多知识点。如学习复数时，往往需要用到三角函数基础知识。在解题运用过程中，熟练掌握数学相关知识点是非常有必要的，更重要的是熟练掌握解题运算方法。由于高中数学知识之间的衔接比较差，再加上知识点分离大，往往只能单独学习部分知识，解题过程中存在不能熟练运用知识点解题的情况，从而导致数学学习成绩不理想。
二、“一题多解”的基本含义
一题多解就是以原有的题目为中心，向其周围的各个核心方面展开深入研究。通过了解各种解题方式可以对题目逐层分析与解决，让我们知道数学基础知识点的重要性，使得我们学得更努力，这样能减轻学习负担，帮助我们进一步学习数学知识点，培养我们多种思维的方式。
三、“一题多解”的心得
1、以三角函数题型为例
例题：已知tana=3/4，求sina、cosa的值。
分析：因为题中有tana、sina、cosa，考虑三者之间的关系，最容易想到的是用三角函数关系式。
方法（1）：根据三角函数关系式：
tana=sina/cosa=3/4 ①，sin²α+cos²α=1 ②
联立①②得：cos²α=16/25，得出：cosa=-4/5或者cosa=4/5，从而：sina=3/5或者sina=-3/5
方法（2）：当a为锐角时，由于tana=3/4，在直角ABC中，如图
设AB与AC的夹角为a，设AC=4x，BC=3x，则AB=5x。所以sina=3/5
cosa=4/5，当a为钝角时，得出sina= -3/5，cosa= -4/5。
在解答该问题时，方法1跟方法2的解题思路完全不同，所运用到的数学知识点也不同，却都能得到计算结果。这就说明在数学问题解答的过程中，充分利用与该问题有联系的知识点，可以开拓思路，从多个角度进行问题的解答，实现“一题多解”。
四、总结
一题多解能够拓宽且发散我们的思维，通过一题多解的方式，再加上高中数学教师的引导，能使得学习数学变得轻松。通过对一题多解学习方式的积极应用让我们了解到更多的知识点，更熟练的应用解题技巧及解题思路，以加快解题速度。
从另一个角度看，一题多解的方式能够打破高中惯有的思维，创新思维方式。
参考文献：
{1}王胜超.“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用.数学大世界（中旬版）.
{2}朱扬得.“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用.中学生数理化（学研版）
从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维
龚友运
（华南师范大学
增城学院公共课教学部，广东
广州
511363）
摘要：发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式，是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例，给出发散思维在高等数学中的应用实例.
关键词：发散思维；收敛思维；一题多解；不定积分
发挥典型习题功能 培养发散思维能力
心里学表明，“发散思维是创造性思维中的一种，它是从不同角度和方法去解决某一问题的前提”。作为一个数学教师，怎样去培养学生的发散思维能力呢？莫过于在典型习题的“选、挖”上下功夫，也就是精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，通过对习题展开全方位的探索，从中培养学生的发散思维能力。下面以两道习题为例，进行一次有益尝试。
一、典型习题
例1、求证：A（3，1）、B（-2，-3）、C（8，5）三点共线。
思路一：不难作出图形，由图可知，要证三点共线，只要证两线段长度之和等于第三条线段的长度。依两点间距离公式即可得证。
思路二：由分比知识，看是否有一点是其它两点确定的线段的分点，事实如此。
∴θ=0，故A、B、C三点共线。
思路七：求出经过两点A、B和A、C的直线方程，由两直线重合的充要条件，可知三点共线。
因为经过A、B的直线方程是4x-5y-7=0，经过A、C的直线方程是4x-5y-7=0，由两直线重合的充要条件知：AB、AC两直线重合，即A、B、C三点共线。
思路八：利用复数知识，求得A、B、C三点在复平面内所对应的复数分别为：
二、小结与启示
通过上以两道题的解答，不难发现，第一题的每一种思路较简单，但涉及到的知识面较广，几乎把《解析几何》中的直线部分知识都用上了，也沟通了各知识点的联系，拓宽了学生解题的思路。第二题的解法思路较抽象，既要启发学生从宏观上的观察，又要从微观上入手，既要以被发现的问题为突破口，也要把思维视角进一步放开，帮助学生点拨，开启学生思路。这两道习题均发挥了习题的功能。所以，我们只要精选习题，挖掘习题中蕴含的数学思想方法、知识结构，牢牢抓住习题的功能，对习题展开全方位的探索，久而久之，学生的发散思维能力就能得到培养。
个人理解，不做官方解答，仅供思考。
从小学开始我就比较喜欢一题多解。不为别的，只为耍酷！~
不过后来学习的慢慢加深才知道一题多解的重要性。
随着我们学的越多，我们工具（定理啊，知识面啊之类的）也越多，但是题目却越来越做不出来了？感觉上越来越难了？呵呵，相信很多人有这样的感觉。
其实你有没有想过，我们真的把前面的只是都学透了？以前的工具是不是我们学了新的东西就可以抛弃掉？
我们小学就学过等高三角形面积比等于底的比例。可是就这么一个简单的定理，却同样可以用在三角形比例计算上，甚至可以直接取代一群人拿来炫耀的梅内劳斯定理，赛瓦定理。深奥和简单仅仅在于我们会不会把以前的工具拿来用。
思考本源，这是一题多解最重要的事情。
工具多了，同一道题多用几遍以前的知识解题（用同一章不同方法解题并不算一题多解.），既能熟悉已学过的知识，又能以熟悉的角度观察新知识。
高中最后一道题，一般称作压轴题，考圆锥曲线的最多。圆锥曲线也几乎是高中学生失分最多的题。但是，我这里却要告诉你，50%以上的圆锥曲线证明题实际上是几何证明题拿来给你证。而很遗憾的是大部分学生（几乎是全部）都只看到了圆锥曲线代数的一面，却忽视了它本来是属于几何层面的......代数只不过是近百来年才研究的而已。
O(∩_∩)O~，罗嗦了将近600字了，能明白多少看你自己了。
