1、数和负数
2、有理数
1.2.1有理数的分类
有理数(从定义) (1)正有理数——正分数、正整数
(2)0
(3)负有理数——负分数、负整数
有理数(从正负) (1)整数——正整数、0、负整数
(2)分数——正分数、负分数
1.2.2数轴：规定了原点正方向和长度单位的直线叫数轴。
1.2.3相反数
一、定义：1.像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数，叫互为相反数。2.若a+b=0，则称a.b互为相反数。3.绝对值相等，符号相等的两个数叫相反数。
二、特征：1.互为相反数的两个和为0。2.相反数是成对出现的。3.在数轴上，相反数与原点的距离相同，是对称的。
三、计算法则：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4绝对值
一、定义 一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
二、绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。(文字叙述)当a是正数时，|a|=a；当a是负数时，|a|=a；当a=0时，|a|=0。（字母表示）
三、一个数的绝对值总是一个非负数，即|a|≥0。
四、比较有理数大小法则：1.正数都大于0，0大于负数，正数大于负数。2.两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
一、法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2.异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3.互为相反数的两个数相加得0。4.一个数同0相加仍得这个数。
二、运算律：1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。（a+b=b+a）
2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
1.3.2有理数的减法
一、法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。字母表示：a－b=a+(－b)。
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
一、法则：1、（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。
2、（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。（2）几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。
二、数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
三、1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这个数相乘，再把积相加。
四、去括号法则：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。
1.4.2 有理数的除法
一、法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。（a÷b=a×b≠0）
一、1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
一、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。
二、乘方的性质（法则）1.正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2.0的正整数次幂是0。
1.5.2 科学记数法
一、概念：把一个数N表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数的形式，叫做科学记数法）
1.5.3 近似数和有效数字
一、准确数 与实际完全相符的数是准确数。
二、精确度 一般的，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位.所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量。
三、有效数字 在近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到由四舍五入所得的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数。
四、近似数的混合运算
(1) 近似数的加减运算 法则：先确定结果精确到哪一个数位；再把已知数中超过这个数值的数字四舍五入到这个数位的下一位；然后进行计算，并且把算得的数的末位四舍五入。
(2)近似数的乘除运算 法则：先确定结1、数和负数
2、有理数
1.2.1有理数的分类
有理数(从定义) (1)正有理数——正分数、正整数
(2)0
(3)负有理数——负分数、负整数
有理数(从正负) (1)整数——正整数、0、负整数
(2)分数——正分数、负分数
1.2.2数轴：规定了原点正方向和长度单位的直线叫数轴。
1.2.3相反数
一、定义：1.像2和－2，5和－5这样，只有符号不同的两个数，叫互为相反数。2.若a+b=0，则称a.b互为相反数。3.绝对值相等，符号相等的两个数叫相反数。
二、特征：1.互为相反数的两个和为0。2.相反数是成对出现的。3.在数轴上，相反数与原点的距离相同，是对称的。
三、计算法则：在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
1.2.4绝对值
一、定义 一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
二、绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。(文字叙述)当a是正数时，|a|=a；当a是负数时，|a|=a；当a=0时，|a|=0。（字母表示）
三、一个数的绝对值总是一个非负数，即|a|≥0。
四、比较有理数大小法则：1.正数都大于0，0大于负数，正数大于负数。2.两个负数，绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法
1.3.1有理数的加法
一、法则：1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2.异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。3.互为相反数的两个数相加得0。4.一个数同0相加仍得这个数。
二、运算律：1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。（a+b=b+a）
2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
1.3.2有理数的减法
一、法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。字母表示：a－b=a+(－b)。
1.4有理数的乘除法
1.4.1有理数的乘法
一、法则：1、（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0。
2、（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。（2）几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0。
二、数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
三、1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
3.乘法分配律：一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同这个数相乘，再把积相加。
四、去括号法则：括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同。
括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。
1.4.2 有理数的除法
一、法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。（a÷b=a×b≠0）
一、1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
一、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数。
二、乘方的性质（法则）1.正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2.0的正整数次幂是0。
1.5.2 科学记数法
一、概念：把一个数N表示成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数的形式，叫做科学记数法）
1.5.3 近似数和有效数字
一、准确数 与实际完全相符的数是准确数。
二、精确度 一般的，把一个数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到了那一位.所以，精确度是描述一个近似数的近似程度的量。
三、有效数字 在近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到由四舍五入所得的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字.一共包含的数字的个数，叫做有效数字的个数。
四、近似数的混合运算
(1) 近似数的加减运算 法则：先确定结果精确到哪一个数位；再把已知数中超过这个数值的数字四舍五入到这个数位的下一位；然后进行计算，并且把算得的数的末位四舍五入。
(2)近似数的乘除运算 法则：先确定结果有几个有效数字；再把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中需要的个数多一个；然后进行计算，并把算得的数四舍五入到与先确定的有效数字的个数相同。果有几个有效数字；再把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中需要的个数多一个；然后进行计算，并把算得的数四舍五入到与先确定的有效数字的个数相同。
感悟数学
曾听一位奥数老师说过这么一句话：学数学，就犹如鱼与网；会解一道题，就犹如捕捉到了一条鱼，掌握了一种解题方法，就犹如拥有了一张网；所以，“学数学”与“学好数学”的区别就在与你是拥有了一条鱼，还是拥有了一张网。 数学，是一门非常讲究思考的课程，逻辑性很强，所以，总会让人产生错觉。 数学中的几何图形是很有趣的，每一个图形都互相依存，但也各有千秋。例如圆。计算圆的面积的公式是S=∏r²，因为半径不同，所以我们经常会犯一些错。例如，“一个半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼等于一个半径为15厘米的比萨饼”，在命题上，这道题目先迷惑大家，让人产生错觉，巧妙地运用了圆的面积公式，让人产生了一个错误的天平。 其实，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼并不等于一个半径为15厘米的比萨饼，因为半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼的面积是S=∏r²=9²∏+6²∏=117∏，而半径为15厘米的比萨饼的面积是S=∏r²=15²∏=225∏，所以，半径为9厘米和一个半径为6厘米的比萨饼是不等于一个半径为15厘米的比萨饼的。 数学，就像一座高峰，直插云霄，刚刚开始攀登时，感觉很轻松，但我们爬得越高，山峰就变得越陡，让人感到恐惧，这时候，只有真正喜爱数学的人才会有勇气继续攀登下去，所以，站在数学的高峰上的人，都是发自内心喜欢数学的。 记住，站在峰脚的人是望不到峰顶的。
人类是动物进化的产物,最初也完全没有数量的概念.但人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步.这样,在漫长的生活实践中,由于记事和分配生活用品等方面的需要,才逐渐产生了数的概念.比如捕获了一头野兽,就用1块石子代表.捕获了3头,就放3块石子."结绳记事"也是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事.我国古书《易经》中有"结绳而治"的记载.传说古代波斯王打仗时也常用绳子打结来计算天数.用利器在树皮上或兽皮上刻痕,或用小棍摆在地上计数也都是古人常用的办法.这些办法用得多了,就逐渐形成数的概念和记数的符号.
数的概念最初不论在哪个地区都是1、2、3、4……这样的自然数开始的,但是记数的符号却大小相同.
古罗马的数字相当进步,现在许多老式挂钟上还常常使用.
实际上,罗马数字的符号一共只有7个：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）.这7个符号位置上不论怎样变化,它所代表的数字都是不变的.它们按照下列规律组合起来,就能表示任何数：
1．重复次数：一个罗马数字符号重复几次,就表示这个数的几倍.如："III"表示"3"；"XXX"表示"30".
2．右加左减：一个代表大数字的符号右边附一个代表小数字的符号,就表示大数字加小数字,如"VI"表示"6","DC"表示"600".一个代表大数字的符号左边附一个代表小数字的符号,就表示大数字减去小数字的数目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495".
3．上加横线：在罗马数字上加一横线,表示这个数字的一千倍.如：""表示 "15,000",""表示"165,000".
我国古代也很重视记数符号,最古老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号,不过难写难认,后人没有沿用.到春秋战国时期,生产迅速发展,适应这一需要,我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法--筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍,也有骨制的.按规定的横竖长短顺序摆好,就可用来记数和进行运算.随着筹算的普及,算筹的摆法也就成为记数的符号了.算筹摆法有横纵两式,都能表示同样的数字.
从算筹数码中没有"10"这个数可以清楚地看出,筹算从一开始就严格遵循十位进制.9位以上的数就要进一位.同一个数字放在百位上就是几百,放在万位上就是几万.这样的计算法在当时是很先进的.因为在世界的其他地方真正使用十进位制时已到了公元6世纪末.但筹算数码中开始没有"零",遇到"零"就空位.比如"6708",就可以表示为"┴ ╥ ".数字中没有"零",是很容易发生错误的.所以后来有人把铜钱摆在空位上,以免弄错,这或许与"零"的出现有关.不过多数人认为,"0"这一数学符号的发明应归功于公元6世纪的印度人.他们最早用黑点（·）表示零,后来逐渐变成了"0".
说起"0"的出现,应该指出,我国古代文字中,"零"字出现很早.不过那时它不表示"空无所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思.如"零头"、"零星"、"零丁"."一百零五"的意思是：在一百之外,还有一个零头五.随着阿拉数字的引进."105"恰恰读作"一百零五","零"字与"0"恰好对应,"零"也就具有了"0"的含义.
如果你细心观察的话,会发现罗马数字中没有"0".其实在公元5世纪时,"0"已经传入罗马.但罗马教皇凶残而且守旧.他不允许任何使用"0".有一位罗马学者在笔记中记载了关于使用"0"的一些好处和说明,就被教皇召去,施行了拶（zǎn）刑,使他再也不能握笔写字.
但"0"的出现,谁也阻挡不住.现在,"0"已经成为含义最丰富的数字符号."0"可以表示没有,也可以表示有.如：气温0℃,并不是说没有气温；"0"是正负数之间唯一的中性数；任何数（0除外）的0次幂等于1；0!=1（零的阶乘等于1）.
除了十进制以外,在数学萌芽的早期,还出现过五进制、二进制、三进制、七进制、八进制、十进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法.在长期实际生活的应用中,十进制最终占了上风.
现在世界通用的数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人们称之为阿拉伯数字.实际上它们是古代印度人最早使用的.后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中去,又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲,逐渐演变成今天的阿拉伯数字.
数的概念、数码的写法和十进制的形成都是人类长期实践活动的结果.
随着生产、生活的需要,人们发现,仅仅能表示自然数是远远不行的.如果分配猎获物时,5个人分4件东西,每个人人该得多少呢?于是分数就产生了.中国对分数的研究比欧洲早1400多年!自然数、分数和零,通称为算术数.自然数也称为正整数.
随着社会的发展,人们又发现很多数量具有相反的意义,比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西.为了表示这样的量,又产生了负数.正整数、负整数和零,统称为整数.如果再加上正分数和负分数,就统称为有理数.有了这些数字表示法,人们计算起来感到方便多了.
但是,在数字的发展过程中,一件不愉快的事发生了.让我们回到大经贸部2500年前的希腊,那里有一个毕达哥拉斯学派,是一个研究数学、科学和哲学的团体.他们认为"数"是万物的本源,支配整个自然界和人类社会.因此世间一切事物都可归结为数或数的比例,这是世界所以美好和谐的源泉.他们所说的数是指整数.分数的出现,使"数"不那样完整了.但分数都可以写成两个整数之比,所以他们的信仰没有动摇.但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时,发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它.如果设这个数为X,既然,推导的结果即x2=2.他画了一个边长为1的正方形,设对角线为x ,根据勾股定理x2=12+12=2,可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数,这个数肯定是存在的.可它是多少?又该怎样表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后认定这是一个从未见过的新数.这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊,动摇了他们哲学思想的核心.为了保持支撑世界的数学大厦不要坍塌,他们规定对新数的发现要严守秘密.而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露了出去.据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼.然而真理是藏不住的.人们后来又发现了很多不能用两整数之比写出来的数,如圆周率 就是最重要的一个.人们把它们写成 π、等形式,称它们为无理数.
有理数和无理数一起统称为实数.在实数范围内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富的程度.这时人类的历史已进入19世纪.许多人认为数学成就已经登峰造极,数字的形式也不会有什么新的发现了.但在解方程的时候常常需要开平方如果被开方数负数,这道题还有解吗?如果没有解,那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁.于是数学家们就规定用符号"i "表示"-1"的平方根,即i＝,虚数就这样诞生了."i "成了虚数的单位.后人将实数和虚数结合起来,写成 a＋bi的形式（a、b均为实数）,这就是复数.在很长一段时间里,人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量,所以虚数总让人感到虚无缥缈.随着科学的发展,虚数现在在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用,在掌握和会使用虚数的科学家眼中,虚数一点也不"虚"了.
数的概念发展到虚和复数以后,在很长一段时间内,连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了,数学家族的成员已经都到齐了.可是1843年10月16日,英国数学家哈密尔顿又提出了"四元数"的概念.所谓四元数,就是一种形如的数.它是由一个标量 （实数）和一个向量（其中x 、y 、z 为实数）组成的.四元数的数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用.与此同时,人们还开展了对"多元数"理论的研究.多元数已超出了复数的范畴,人们称其为超复数.
由于科学技术发展的需要,向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生,把数学研究推向新的高峰.这些概念也都应列入数字计算的范畴,但若归入超复数中不太合适,所以,人们将复数和超复数称为狭义数,把向量、张量、矩阿等概念称为广义数.尽管人们对数的归类法还有某些分歧,但在承认数的概念还会不断发展这一点上意见是一致的.到目前为止,数的家庭已发展得十分庞大.
