微积分的基本思想及其在经济学中的应用
摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。
关键词：微分 积分 基本思想 应用
微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。
1. 微积分的产生、发展及其作用
微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。
随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。
微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。
2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确
微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。
2.1微分学的基本思想
微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。
2.2积分学的基本思想
积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。
3.微分在经济学中的应用
随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.
3.2弹性分析
在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。
4.积分在经济学中的应用
积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。
5.总结：
微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。
参考文献：
[1] 祁卫红，罗彩玲.微积分学的产生和发展[J].山西广播电视大学学报，2003，（02）. [2] 晏能中.微积分——数学发展的里程牌[J].达县师范高等专科学校学报，2002，（04）. [3] 同济大学数学教研室.高等数学（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1993. [4] [美]托·道林.数学在经济中的应用[M].福州：福建科学技术出版社，1983,4. [5] 蔡芷.财会数学[M].上海：知识出版社，1982,12.
[6] 赵树嫄.经济应用数学基础（一）.微积分.中国人民大学出版社，2002. [7] 杨学忠.微积分[M].中国商业出版社，2001.
[8] 向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）. [9] 髙哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览，2009（7）. [10] 王志平.高等数学大讲堂[M].大连：大连理工大学出版社，2004. [11] 吴赣昌.微积分[M].中国人民大学出版社，2004.
[12] 谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化，2008（4）. [13] 张先荣.谈微积分在经济分析中的应用[J].濮阳职业技术学院学报，2009,22（4） [14] 明清河.数学分析的思想与方法[M].山东大学出版社，2004.
[15] Elizabeth George Bremigan.Ball State University 2005.An Analysis of Diagram Modification and Construction in Students’Solutions to Applied calculus problems.Journal for Research in Mathematics Education,2005Vol.36,No.3:48-277.
[16]Sandra Crespo.Cythia Nicol(2006).Challenging Pre-serviceteachers’Mathematical Understanding:The case of Division by zero.School.
《微积分》考试大纲
第一章：函数与Mathematica入门
1.1 集合 掌握集合运算，理解邻域的概念。
1.2 函数 理解函数的概念,掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性。理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。
1.3 经济学中常用的函数 掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。
第二章：极限与连续
2.1 极限 了解数列极限及函数极限的概念和性质，掌握极限的四则运算法则,会用变量代换求简单复合函数的极限，了解极限存在的两个准则(夹逼准则和单调有界准则)，连续性掌握两个重要极限,并会用它们求相关的极限。
2.2 函数的连续性 理解函数的连续性的概念，了解函数间断点的概念，会判断函数的连续性及间断点的类型。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理和有界性理、零点定理和介值定理)。
2.3 无穷小的比较 了解无穷大量和无穷小量的有关概念及性质，了解无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限。
第三章：导数与微分
3.1 导数的概念 理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
3.2 求导法则和基本初等函数导数公式 掌握基本初等函数的求导公式，掌握导数的四则运算法则和复合函数求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数的导数。了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶,二阶导数的求法,了解几个常见的函数( )的n阶导数的一般表达式。
3.3 微分的概念 理解微分的概念,理解函数的可微性,可导性及连续性的关系,了解微分四则运算法和一阶微分的形式不变性。
第四章：中值定理及导数应用
4.1 中值定理 了解罗尔(Rolle)中值定理,拉格朗日(Lagrange) 中值定理及柯西(Cauchy)中值定理。
4.2 导数的应用 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限，理解函数的极值的概念,掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法。
4.3 泰勒公式 了解泰勒(Taylor)定理及用多项式逼近函数的思想。
4.4 函数的最大值和最小值 会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。
4.5 函数的凹凸性与拐点 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点。
4.6 函数图形的描绘 会描绘一些简单函数的图象(包括水平和铅直渐近线)。
4.7 曲率 知道弧微分及曲率的概念，能利用公式进行简单计算。
第五章：导数在经济问题中的应用
5.1 导数在经济分析中的应用 理解边际函数与弹性函数的概念,会求常用经济函数的边际函数(如边际成本,边际收益.边际利润)或弹性函数(如需求价格弹性等)。
5.2 函数极值在经济管理中的应用举例 会在经济管理问题中进行边际分析,弹性分析,会求解经济管理问题中的最大值与最 小值的应用问题 (如求最大利润或最小成本)，了解库存管理问题及复利问题,会求解简单的应用问题(如最优订购批量.最优订购次数,最优进货周期,连续复利等)。
第六章：不定积分
6.1 不定积分的概念 理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理，掌握不定积分的基本积分公式。
6.2 换元积分法 掌握不定积分的第一、第二换元积分法。
6.3 分部积分法 掌握不定积分的分部积分法。
第七章：定积分
7.1 定积分的概念 理解定积分的概念及几何意义。
7.2 定积分的性质 了解定积分的基本性质和积分中值定理。
7.3 微积分基本公式 理解上限变量函数及其求导定理，掌握牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式。
7.4 定积分的换元法 掌握定积分的换元积分法。
7.5 定积分的分部积分法 掌握定积分的分部积分法。
7.7 广义积分 了解两类反常积分及其收敛性的概念和计算。
第八章：定积分的应用
8.1 平面图形的面积 理解并掌握实际问题中建立定积分表达式的元素法（微元法），会建立简单的平面图形的面积的定积分表达式。
8.2 体积 会建立简单的旋转体体积的定积分表达式。
8.3 平面曲线的弧长 知道平面曲线弧长的计算方法。
8.4 定积分在经济问题中的应用举例 会用定积分求解经济应用问题（如：由边际函数求总量函数）。
第九章：微分方程
9.1 微分方程基本概念 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。
9.2 一阶微分方程 掌握可分离变量微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程的求解方法。
9.3 可降阶的高阶微分方程 会用降阶法解下列三种类型高阶微分方程： , , 。
9.4 二阶常系数线性微分方程 了解二阶线性微分方程解的结构，会求解二阶常系数齐次线性微分方程。
9.5 差分方程简介 了解差分方程的有关基本概念，会解一阶常系数齐次线性差分方程,会解简单的一阶常系数非齐次线性差分方程，会解二阶常系数差分方
9.6 微分方程在经济分析中的应用举例 会建立微分方程、差分方程的模型，解决简单的经济应用问题。
第十章：无穷级数
10.1 常数项级数 理解无穷级数收敛、发散的概念以及收敛级数和的概念，了解无穷级数的基本性质和收敛的必要条件。
10.2 正项级数的敛散性判别法 了解正项级数的比较审敛法，掌握几何级数和P一级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法和根值审敛法。了解交错级数的莱布尼兹定理，了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。
10.3 幂级数 会求简单幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域，了解幂级数在其收敛域内的基本性质，会求简单的幂级数的和函数。
10.4 泰勒级数 会用 的马克劳林(Maclourin)展开式，将一些简单的函数展开成幂级数。了解无穷级数在经济学中的应用。
第十一章：多元函数微积分学
11.1 空间解析集合 了解空间直角坐标系的有关概念，会求空间两点间的距离。了解曲面及其方程的概念和常用二次曲面及其图形，了解平面及其方程。
11.2 多元函数 理解二元函数的概念及几何意义，了解多元函数的概念。了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上二元连续函数的性质。
11.3 偏导数 理解二元函数偏导数的概念，掌握偏导数计算方法。
11.4 全微分 理解二元函数全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，掌握全微分的计算方法。
11.5 复合函数求导法则和隐函数求导公式 掌握多元复合函数一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数。会求由一个方程确定的多元隐函数的一阶偏导数。
多元函数偏导数的应用 理解二元函数极值与条件极值概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解简单的最大值和最小值问题。
二重积分 了解二重积分的概念、几何意义及二重积分性质，掌握二重积分在直角坐标下的计算方法，会在极坐标下计算简单的二重积分。会用多元函数的微积分知识解决简单的经济问题。
点击查看更多福建招生考试网信息(http://www.fjzsksw.com)
微积分在不等式中的应用
［摘要］本文应用微积分讨论了一些不等式的解法和证明，进一步揭示了微积分作为一种实用性很强的数学方法和工具，在求解不
等式中的作用。
［关键词］微积分高等数学不等式
不等式是数学研究的一个基本问题,是属于初等数学的重要内容。
不等式的证明方法多种多样，初等数学中常用的方法有恒等变形，使用
重要不等式，用数学归纳法等，这些方法往往需要极高的技巧和超强的
变形能力。
微积分是高等数学的核心，微积分思想方法是高等数学乃至整个
数学的典型方法，微积分思想方法的引入为解决不等式证明的难题找
到了突破口，用这来解不等式可使解题思路变得简单。下面就通过实例
分析微积分在证明不等式中的应用。
1、用导数的定义证明不等式
例1．设f(x)=a1sinx+a2sin2x+…+ansinnx，已知f(x)≤sinx，
求证：a1+2a2+…+nan≤1。
证明：方法1：因为f(0)=0，
由已知f
(x)-f(0)
x-0≤
sinx
x(
x≠0)
∴lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0≤
1圯f'(0)≤1
即a1+2a2+…+nan≤1。
导数的定义是微积分的基础，此题还可运用两个重要极限及变形
进行证明。
方法2：由f(x)≤sinx，得f
(x)
x≤
sinx
x(
x≠0)，即
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
sinx
x
两端同时取x→0时的极限得
lim
x→0
a1s
inx
x+
a2s
in2x
x+
…+ans
innx
x≤
lim
x→0
sinx
x
由重要极限及其变形知：lim
x→0
sinkx
x=
k
∴a1+2a2+…+nan≤1,证毕。
2、利用函数的单调增减性
定理1：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导
（1）若在（a,b）内，f'(x)>0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加；
（2）若在（a,b）内，f'(x)<0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少。
由定理1我们总结出运用单调性证明不等式的一般方法与步骤：
（1）移项，使不等式一端为“0”，另一端即为所作的辅助函数f(x)；
（2）求出f'(x)，并判断f(x)在指定区间的增减性；
（3）求出区间端点的函数值，作出比较即得所证。
例2．设b>a>0，证明：lnb
a>
2(b-a)
a+b。
分析：当b>a>0时，lnb
a>
2(b-a)
a+b圳
(lnb-lna)(a+b)>2(b-a)
证明：令f(x)=(lnx-lna)(a+x)-2(x-a)(x≥a)
∵f'(x)=1
x(
a+x)+(lnx-lna)-2
f''(x)=-a
x2+
1
x=
x-a
x2≥
0(x≥a)
所以f'(x)单调增加，又f'(a)=0，于是f'(x)≥0(x≥a)
因而f(x)单调增加，又f(a)=0，故当b>a>0时，有f(b)>f(a)=0
即(lnb-lna)(a+b)-2(b-a)>0，亦即lnb
a>
2(b-a)
a+b。
3、用微分中值定理证明不等式
定理2（罗尔定理）：设函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（3）f(a)=f(b)；
则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。
定理3（拉格朗日中值定理）：设函数f(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=f
(b)-f(a)
b-a。
什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。
牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。
（l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。
（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。
（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。
牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。
牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。
莱布尼茨使微积分更加简洁和准确
而德国数学家莱布尼茨（G．W．Leibniz 1646－1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。
莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。
牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。
