谈勾股定理的应用 勾股定理是数学中的一条重要定理,在解决直角三角形问题中,可以说它无处不在.但是,在实际解题过程中,常常受思维限制,造成错解,以下三例供大家参考,以免误入歧途.
例1、如图1,点 分别把正方形ABCD四边AB、CD、BC、DA分成m:n两段.若AB=1,则四边形 的面积是( )
A、m2+n2 B、 2 C、 2 D、
错解:选(A).
剖析:本题出错的原因是把"一点将线段分成m:n两段"错误理解成"一点把一条线段分成长为m、n两段"了,于是就得出了四边形ABCD的面积是m2+n2这样一个错误的结果.
正解:选(D)
这是因为,由题意知AB=1,且AA/:BB/=m:n,则AA/=
A/B= ,故A/B/ 2= + =
例2、在梯形ABCD中,AD//BC,AC= ,BD= ,中位线MN= ,求梯形ABCD的面积.
错解:过点D作AC的平行线交BC的延长线于E.(如图2)
∵AD//CE,DE//AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC= ,CE=AD
∴BE=BC+CE=BC+AD=2MN=
∵△BDE的三边长分别为 , , ,
∴△BDE是一个直角三角形.
又∵△ADB中AD边上的高与△DCE中CE边上的高相等.
∴S△ABD=S△DCE
∴S梯形ABCD=S△BDE= BD DE= .
剖析:在上述解答中,有△BDE的三边长分别是 , , 推得△BDE是直角三角形是错误的,因为 + ≠ 这种错误的形成主要是因为有了"三边是3、4、5的三角形是直角三角形"的印象,以致得出了错误的结果.
正解:
过点D作AC的平行线交BC的延长线于E.(如图2)
∵AD//CE,DE//AC
∴四边形ACED是平行四边形
∴DE=AC= ,CE=AD
∴BE=BC+CE=BC+AD=2MN=
作DF⊥BE垂足为F,则DF2=DB2-BF2=DE2-EF2,
即 - = -EF2
∴EF= ,于是DF= .
又∵△ADB中AD边上的高与△DCE中CE边上的高相等.
∴S△ABD=S△DCE
∴S梯形ABCD=S△BDE= BE DF= .
例3、设直角三角形三条边之比为1:2k : 3k2,求k的值.
错解:设直角三角形三边长分别为x,2kx,3k2x,则由勾股定理,得:
X2+4k2x2=9k4x2,即9k4-4k2-1=0
解得:k2= 或k2=
∴ k= 或k= <0(舍去)
∴k= 即为所求.
剖析:错解仅认为3k2x为斜边,忽略了2kx , x 也可能是斜边的情况.
正解:设直角三角形三边长分别为x,2kx,3k2x,则:
(1) 当3k2x为斜边时,同错解.
(2) 当2kx为斜边时,有X2+9k4x2=4k2x2,即9k4-4k2+1=0,此方程无解.
(3) 当x为斜边时,有 x2=9k4x2+4k2x2,即9k4+4k2-1=0,
解得:k2= 或k2= <0(舍去)
∴ k= 或k= <0(舍去)
∴综上所述,k的值应为 或 .
总之,解题时,需要仔细观察题目的特点,深入挖掘其内涵条件,构造出符合条件的直角三角形,力求得到简便、巧妙的解答. 好了 就那么多
《我的数 学 小 论 文——探索平行四边形的奥秘》
今天，老师给我们布置了一个任务，要求我们做一个图形道具，比如做一个活动的平行四边形，找找它的规律。回到家，我用剪刀把牙膏盒剪成四个长条，当成四边形的四条边（两个对边一样长），再用四个暗扣把每两个边的两头固定到一起，做成了一个活动的平行四边形。我拿着自己做的道具，左拉拉右拉拉，仔细观看它的图形变化（如下面的图1、图2）。经过观察，我从中发现了一些奥秘，这个活动的平行四边形无论怎么变换形状，都还是一个平行四边形。
我感到很奇怪，心想;随着这个图形的变换，它的周长和面积会不会也发生变化呢?我仔细地思考着，想不明白。于是我又重新变化图形，一边变化着图形，一边又仔细地观察起来。我发现在变化的过程中，它的四条边长并没有变化，也就是说，图形的周长没变，可面积就不一样了，把Ab边向右移动，AE就随着图形而逐渐变化，平行四边形的面积等于bC *AE,图形的面积也就随之而变。我用尺子量了量，不管怎样变化，图2的这个平行四边形中始终是Ab>AE,于是我得出这样一个结论，无论图形怎样变，都会是这样的：⑴由于四条边长不变，图形的周长是不变的；⑵两条对边不但相等，而且始终都保持平行的状态；⑶无论怎样变化，它都是一个平行四边形。⑷由于底边不变，∠AbC的度数越接近90度，图形的高越长，它的面积也逐渐越大；当∠AbC的度数大于90度而小于180度，图形的高也越来越短，它的面积也就越来越小。当∠AbC的度数等于90度时，图形的高是最长的，此时它的面积也是最大的。
通过这次数学小实验，不但锻炼了我自己的动手能力，而且让我对平行四边形的理解也越加深刻了，也使原来复杂的问题，变得更加通俗易懂了，更增添了我对数学的兴趣和学好数学的信心。
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分
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判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④对角线互相平分的四边形是平行四边形；
⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
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注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形
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平行四边形边的特征：平行四边形的特点是对边平行且相等，对角相等且相邻角互补，还有是两条对角线相互平分。平行四边形是生活中常见的一种图形，其实平行四边形是属于中心对称图形，它是存在着一个中心点，而这个中心点的寻找是比较简单的，那就是对角线交叉之后所重叠的这个点就是它的中心点。，另外平行四边形还有一个特色，那就是通过中心点的直线是能够将平行四边形直接分成两个全等的图形。还有像是矩形，菱形，正方形，这些也是属于平行四边形，但是是平行四边形中比较特殊的一些形状。
