张洪武教授长期从事工程力学和计算力学的研究工作，主持承担了重要科研课题20余项，包括国家自然科学基金创新研究群体基金、杰出青年科学基金、重点基金与面上基金、国家科技部“973”项目、“863”项目、教育部优秀青年教师基金、骨干教师资助计划、辽宁省学科拔尖人才基金等。20世纪80年代后期开始从事多相多孔介质非线性耦合问题分析数值方法的研究工作，开发了结构与饱和土壤动力相互作用分析程序系统DIASS，完成大型地下建筑结构抗冲击分析；其后发展了含液多孔材料应变局部化分析的基本理论框架，给出了含液多孔材料应变局部化分析的解的唯一性、内凛尺度预测与分叉解，建立含液多孔介质广义塑性本构模型计算的一致性算法；90年代初期开始进行弹塑性接触问题非线性计算的研究工作，发展了基于参数变分原理的非线性问题分析的参数二次规划算法，建立三维有摩擦弹塑性接触问题的规划迭代算法等；做为主要负责人之一进行了有自主知识产权有限元分析与优化设计软件JIFEX的开发工作，研究成果与所开发的软件在航空航天结构、透平机械构件、高速与重载列车、柴油机机体、涡轮增压器、连杆结构、轮轴、轮轨、齿轮、气缸盖－气缸套组件等结构的强度分析与优化设计中得到成功应用。近年来的研究工作开始向计算纳米力学与计算多尺度力学方面拓展。张洪武教授已发表的学术论文被SCI收录88篇，被EI收录138篇，与合作者合著《参变量变分原理及其在工程中的应用》、《中国机械设计大典》第1卷第4篇《有限元设计》、《有限元分析与CAE技术基础》等著作。获国家科技攻关重大成果奖2项、部级自然科学二等奖1项、科技进步二等奖3项、三等奖1项。3项CAE软件产品获得国家版权局软件版权。张洪武教授目前主要研究领域和方向为：计算力学与工程科学计算、计算多场多相介质耦合力学、计算纳米与生物力学、CAE软件研发与工程应用。
挺难的。
医学类有限元分析对专业的要求很高，如果专业性不强的话，挺难发表文章的。医学有限元分析是骨科生物力学诸多研究方法中很重要的一种，研究方法一般分为理论分析、实验探究和数值模拟，单独的某一种都可以发文章，其中数值模拟是其中发文章较难的。
在之前的几篇文章中，我们介绍了非线性有限元分析中的超弹模型，同时也详细介绍了Arruda-Boyce和neo-Hookean两个经典模型。今天我们就来介绍另一个经典的超弹模型：Mooney-Rivlin。
Mooney-Rivlin分别以两位力学家M. Mooney和R. S. Rivlin的姓氏组合来命名。1940 年，Mooney在著名的Journal of Applied Physics期刊发表一篇名为A theory of large elastic deformation的论文，8年后的1948年，Rivlin在Philosophical Transactions of the Royal Society of London期刊上发表了名为Large elastic deformations of isotropic materials的文章。于是就有了今天的Mooney-Rivlin模型，曾一度统领橡胶力学研究的整壁江山。同时，也为其他以应变张量不变量（invariant）为核心的模型奠定了基础。另一类超弹模型是以主拉伸（principal stretches）为核心的模型，如Ogden模型，我们会在以后的文章中介绍到。
1893年，Mooney出生于美国密苏里州的堪萨斯城，24岁时获得密苏里大学的本科学位，30岁时获得芝加哥大学的博士学位。曾是美国国家研究委员会的的会士（National Research Council Fellow）,也曾经在西部电气公司和美国橡胶公司担任物理学家。和我们之前介绍的Rivlin一样，Mooney博士将一生的工作和研究都贡献给了高分子材料力学。当然Mooney要比Rivlin年长个20多岁。关于Rivlin博士已经在上一篇文章中有介绍，这里就不再赘述了。
和其他超弹模型一样，我们用弹性应变能来表征力学性能。Mooney-Rivlin根据阶数高低，常见的有4种：2参数，3参数，5参数，和9参数应变能。
Mooney-Rivlin 2参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 3参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 5参数的弹性应变能为：
Mooney-Rivlin 9参数的弹性应变能为：
从上面的4个弹性应变能公式可以看出：
1. 高阶数的应变能模型可以模拟更加复杂的应力-应变曲线，但也意味着需要更多的计算量，实验，以及参数拟合。同时增加了非线性求解器的负担，可能会导致更难收敛。
2. Mooney-Rivlin模型是多项式（Polynomial）模型的特殊形式。当N=1时，多项式模型缩减为2参数Mooney-Rivlin，当N=2时，多项式模型缩减为5参数Mooney-Rivlin；当N=3时，多项式模型缩减为9参数Mooney-Rivlin。
3. 2参数模型中，当参数C01为零时，简化为Neo-Hookean模型（C10系数2倍关系）。非零的C01项使得单轴拉伸受力下的变形预测更为准确，但该模型还不能准确模拟多轴受力数据。或者由某种变形试验得到的数据，不能用来预测其它类型的变形。
4. 2参数模型的剪切模量为定常系数\mu=2（C10+C01），不适合用来模拟炭黑填料硫化橡胶。C10和C01均为正定常数。对于大多数橡胶，C10/C01≈0.1~0.2时，在应变150%以内可得合理的近似。
5. 三项或多项Mooney-Rivlin模型可以描述非定常剪切模量。然而，引入高次项后需小心计算，因其可能会产生不稳定应变能值，得到超出试验范围的非物理结果。
这四种函数的Mooney-Rivlin模型实际仿真中应该选用哪个呢？往往根据材料实验的应力-应变曲线来确定。如单曲率（没有拐点）应力应变曲线，可以使用2或3参数。双曲率（含有一个拐点）可以使用5参数。三曲率（含有2个拐点）可需选用9参数模型。
同时为了产生有效且正确的超弹材料特性，Mooney-Rivlin参数须满足特定的正定性要求。如不能满足这些约束条件，可能导致求解无法收敛。对于不同参数的Mooney-Rivlin，满足正定性的参数约束要求如图所示。
总体来说，Mooney-Rivlin模型得到了广泛的认可和应用。尤其是在小应变范围内（0~100%拉伸和30%压缩）能够较好的表征橡胶材料的力学行为。不同参数的模型也提供给用户针对不同工况更多的选择。然而，Mooney-Rivlin也有一些局限性：
1. 不适合用于变形超过150%的工况。
2. 高阶Mooney-Rivlin由于参数较多，参数相对比较难从手册或文献中获得，需要通过对实验数据的曲线拟合来得到。
3. 不适用于可压缩超弹材料，如泡沫材料的分析。
4. 对所输入数据范围以外的实验数据的预测误差较大。
本例中，我们将使用5参数Mooney-Rivlin对橡胶材料的压缩状态进行分析。
定义Mooney-Rivlin超弹材料
这里我们模拟橡胶材料，并输入参数为：C10=-0.55 MPa, C01=0.7 MPa, C20=1.7 MPa, C11=2.5 MPa, C02=-0.9 MPa, D1=0.001 MPa^-1。
建立模型
建立一个直径为10mm，高为10mm的圆柱体。划分网格。固定底部约束。并对顶部面施加向下5mm的位移。
求解
由于非线性较强，我们设置30个子步。并点击求解按钮。
查看结果
等效应力分布如图所示。可以发现在等步位移工况下，应力呈非线性分布递增。
下面送上操作视频，供大家参考。
