矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。实际上，上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义（图形变换）也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景：特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动，伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1，所有属于此特征值的特征向量身形暴长；特征值大于0小于1，特征向量身形猛缩；特征值小于0，特征向量缩过了界，反方向到0点那边去了。注意：常有教科书说特征向量是在矩阵变换下不改变方向的向量，实际上当特征值小于零时，矩阵就会把特征向量完全反方向改变，当然特征向量还是特征向量。我赞同特征向量不改变方向的说法：特征向量永远不改变方向，改变的只是特征值（方向反转特征值为负值了）。特征向量是线性不变量所谓特征向量概念的亮点之一是不变量，这里叫线性不变量。因为我们常讲，线性变换啊线性变换，不就是把一根线（向量）变成另一根线（向量），线的变化的地方大多是方向和长度一块变。而一种名叫“特征向量”的向量特殊，在矩阵作用下不变方向只变长度。不变方向的特性就被称为线性不变量。如果有读者坚持认为负方向的特征向量就是改变了向量的方向的想法的话，你不妨这样看线性不变量：特征向量的不变性是他们变成了与其自身共线的向量，他们所在的直线在线性变换下保持不变；特征向量和他的变换后的向量们在同一根直线上，变换后的向量们或伸长或缩短，或反向伸长或反向缩短，甚至变成零向量（特征值为零时）
佐鉺三鉺洞
