当f(x)=x时,x的取值称为不动点,不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。(相关网站推荐:中国知网) 推导过程: a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
令x=(ax+b)/(cx+d) ,即 ,cx2+(d-a)x-b=0 。
令此方程的两个根为x1,x2,
若x1=x2 ,
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ,
其中P可以用待定系数法求解,然后再利用等差数列通项公式求解。
扩展资料:
常见类型
累加法
递推公式为
,且f(n)可以求和
例:数列{an},满足a1=1/2,an+1 = an + 1/(4n2-1),求{an}通项公式
解:an+1 = an + 1/(4n2-1)=an+[1/(2n-1)-1/(2n+1)]/2
∴an = a1 +(1-1/3+1/3-1/5+……+1/(2n-3)-1/(2n-1))
∴an = 1/2+1/2 (1-1/(2n-1) )=
累乘法
递推公式为
且f(n)可求积
例:数列{an }满足
,且a1=4,求an
解:
an = 2n(n+1)
参考资料来源:百度百科--不动点法
参考资料来源:百度百科--数列通项公式