罗尔定理的研究与推广论文

如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 其中a不等于b； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。罗尔定理描述如下：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

如果函数f(x)满足：在闭区间[a,b]上连续；在开区间(a,b)内可导；在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在区间(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ

当函数f(x)在【a,b】上连续,在（a,b）上可导,且f(a)=f(b),这时候函数f(x)满足罗尔定理的条件,就可以用罗尔定理的结论：至少存在n属于（a,b）,使得f(n)的一阶导等于0；当不满足f(a)=f(b)这个条件时,就用拉格朗日中值定理。

罗尔中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续，（2）在(a,b)内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。法国数学家拉格朗日于1779年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理，并进行了初步证明，因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

1） 罗尔（Rolle）罗尔是法国数学家，1652年4月21日生于昂贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。 罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯托（Giusto Bellavitis）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。2） 拉格朗日（Lagrange）拉格朗日，法国数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵，1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。在探讨“等周问题”的过程中，他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。1766年德国的腓特烈大帝向拉格朗日发出邀请说，在“欧洲最大的王”的宫廷中应有“欧洲最大的数学家”。于是他应邀去柏林，居住达二十年之久。在此期间他完成了《分析力学》一书，建立起完整和谐的力学体系。1786年，他接受法王路易十六的邀请，定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。 3） 柯西(Cauchy)柯西,法国数学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于巴黎附近的索镇。他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1805年进入巴黎综合工科学校；1807年就读于道路桥梁工程学校；1809年成为工程师，随后在运河、桥梁、海港等工程部门工作；1813年回到巴黎，任教于巴黎综合工科学校；1816年取得教授职位，同年被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。4） 罗彼塔（L’hospitale）罗必塔,L’Hospital(1661-1704),法国数学家。L’Hospital出身于法国贵族家庭，使欧洲大陆早期微积分领域的先驱。他与 ,Leibniz和Newton同时得到所谓“最速降线”问题的解答。他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小分析》（1696），这是世界上第一本系统的微分学教科书。该书记载了两年前告诉L’Hospital的一个著名定理，即求一个分数当分子分母都趋于零时的极限法则。事情是这样的：在给L’Hospital侯爵讲授微积分时，把自己的数学发现也传授给了L’Hospital，并允许他使用。后来他根据的传授和未发表的论著及自己的学习心得，撰写了这本书。至于现在一般的微积分教材上用来解决其它未定式求极限的法则，是后人对L’Hospital法则所作的推广。L’Hospital是个豁达大度，气宇不凡的人。由于他与当时欧洲各国主要数学家都有交往，从而成为全欧洲传播微积分的著名人物。牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。 莱布尼兹（Gottfried Wilhelm,Leibniz 1646～1716）德国科学家和哲学家。1646年6月21日生于莱比锡。父为莱比锡大学哲学教授，他的丰富藏书有助于小莱布尼兹博学多才。15岁入莱比锡大学学习哲学与法律律， 18岁以逻辑学论文获哲学学土学位，20岁时以方法论的论文《论组合的艺术》获阿尔道夫大学哲学博士学位。同年获该大学教授席位。30岁起在汉诺威主持德卡图书馆数十年。1716年11月14日逝世。 他用相当多的时间从事外交活动和科学活动，曾建议普鲁士、俄、奥、波兰等国设立科学院（据说还包括致信中国的康熙皇帝）。他有一种不屈于传统观念的探索精神，有“什么都不相信的人”之称。他一贯关心科学的应用和应用数学的发展。他善于结识知名的科学家与数学家，例如惠更斯等人。他继帕斯卡1649年发明机械式计算机以后对机件进行改革，并把法国教士从中国传入的阴阳八卦观念创新为二进制并应用于计算机中，在1671年发明了一台新的机械式计算机，1673年在英国皇家学会演示后被选为皇家学会会员。他独立地发现了微积分学，并于1684～16 86年正式发表。这些成果使他“业余”地成为欧学家和物理学家。 在物理学方面，他从当时研究的热门问题——关于运动的量度中，看出了他人之不足，他认为运动应当用活力（）来量度，提出“活力”（指动能）守恒定律（1686），这是能量守恒定律的第一个表述。 他反对牛顿的超距作用和绝对时空观。 由于在微积分发用的优先权问题上，莱布尼兹与牛顿有过争议，后来又受民族主义影响，英国和欧州大陆之间优先权之争持续到他死后很长时期。 主要著作有：《新物理学假说》、《力学范本》等

1罗尔（Mochel Rolle 1652-1719,法国） 提到对微积分学的攻击，人们自然会认为那都是不懂数学的人干的，至少很少有学生知道，那个以“罗尔定理”扬名的数学家干过。罗尔生于奥弗涅省的昂贝尔，他与法国陆军部有联系，在几何学和代数学方面均有著述。他的“罗尔定理”常用来导出很多有用的“微分中值定理”，可是他是微积分的最有影响的批评家之一，并且他竭力证明：这门科学给出错误的结果，而且奠基于不完善的推理之上，一度称微积分为“一套天才的谬论”，他警告人们对微积分不要使用。就他本人也极力避免使用微积分，在解决问题时，他宁肯用繁难的代数方法而不用微积分这一方便工具。“罗尔定理”不是他直接运用微积分法得到的，而是用纯代数的方法推演出来的。后人还是冠以他的名字。他对微积分的攻击如此之猛烈，以致法国科学院有几次认为有必要干涉。在他晚年态度趋于缓和，承认微积分是有用的。 2拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1735~1813） 法国力学家、数学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。 拉格朗日20岁以前在都灵炮兵学校教数学课。1756年被选为柏林科学院外籍院士。1766年去柏林科学院接替L．欧拉，担任物理数学部主任，直到1787年离开柏林到巴黎定居为止。1789年法国革命后，他从事度量衡米制改革，担任法国经度局委员，并讲授课程。1795年巴黎综合工科学校成立，他和该校创立者G．蒙日（1746~1818）一起担任主要的数学教员。他被拿破仑任命为参议员，封为伯爵。死后葬于巴黎先贤祠。拉格朗日是分析力学的奠基人。他在所著《分析力学》（1788）中，吸收并发展了欧拉、达朗贝尔等人的研究成果，应用数学分析解决质点和质点系（包括刚体、流体）的力学问题。拉格朗日继欧拉之后研究过理想流体运动方程，并最先提出速度势和流函数的概念，成为流体无旋运动理论的基础。他在《分析力学》中从动力学普遍方程导出的流体运动方程，着眼于流体质点，描述每个流体质点自始至终的运动过程，这种方法现在称为拉格朗日方法，以区别着眼于空间点的欧拉方法，但实际上这种方法欧拉也应用过。1764~1778年，他因研究月球平动等天体力学问题曾五次获法国科学院奖。在数学方面，拉格朗日是变分方法的奠基人之一；他对代数方程的研究为伽罗瓦群论的建立起了先导作用。 3柯西,法国数学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于巴黎附近的索镇。他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。1805年进入巴黎综合工科学校；1807年就读于道路桥梁工程学校；1809年成为工程师，随后在运河、桥梁、海港等工程部门工作；1813年回到巴黎，任教于巴黎综合工科学校；1816年取得教授职位，同年被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的职位。后被前国王召到布拉格，协助宫廷教育，1838年回到巴黎，继任巴黎综合工科学校教授，并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。 柯西主要的贡献在微积分、复变函数和微分方程三个领域。4罗彼塔法则5牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。1642年12月25日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727年3月20日在伦敦病逝。 牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年任卢卡斯教授直到1701年。1696年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。1706年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。 牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。6莱布尼兹 莱布尼兹（Gottfried Wilhelm,Leibniz 1646～1716）德国科学家和哲学家。1646年6月21日生于莱比锡。父为莱比锡大学哲学教授，他的丰富藏书有助于小莱布尼兹博学多才。15岁入莱比锡大学学习哲学与法律律， 18岁以逻辑学论文获哲学学土学位，20岁时以方法论的论文《论组合的艺术》获阿尔道夫大学哲学博士学位。同年获该大学教授席位。30岁起在汉诺威主持德卡图书馆数十年。1716年11月14日逝世。 他用相当多的时间从事外交活动和科学活动，曾建议普鲁士、俄、奥、波兰等国设立科学院（据说还包括致信中国的康熙皇帝）。他有一种不屈于传统观念的探索精神，有“什么都不相信的人”之称。他一贯关心科学的应用和应用数学的发展。他善于结识知名的科学家与数学家，例如惠更斯等人。他继帕斯卡1649年发明机械式计算机以后对机件进行改革，并把法国教士从中国传入的阴阳八卦观念创新为二进制并应用于计算机中，在1671年发明了一台新的机械式计算机，1673年在英国皇家学会演示后被选为皇家学会会员。他独立地发现了微积分学，并于1684～16 86年正式发表。这些成果使他“业余”地成为欧学家和物理学家。 在物理学方面，他从当时研究的热门问题——关于运动的量度中，看出了他人之不足，他认为运动应当用活力（）来量度，提出“活力”（指动能）守恒定律（1686），这是能量守恒定律的第一个表述。他反对牛顿的超距作用和绝对时空观。 由于在微积分发用的优先权问题上，莱布尼兹与牛顿有过争议，后来又受民族主义影响，英国和欧州大陆之间优先权之争持续到他死后很长时期。 主要著作有：《新物理学假说》、《力学范本》等。