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矩阵分解funkSVD:该矩阵分解不像是线代中的，他属于伪分解。其主要思想是，用两个m＊k和k＊n的矩阵代替m＊n的矩阵。因为在推荐系统中，矩阵十分稀疏，分解后的矩阵一般是密集的，且可以通过行列相乘来得到空缺的值。(其预测的是第u个用户对第i个商品的评分)其通过机器学习最小化损失函数来得到矩阵， 其学习方式有两种，一种是随机梯度下降，一种是交替最小二乘。 第一种不说，随处可见。第二种是通过 该式子实现的。 我们先随机化一个Q，因为R是那个稀疏矩阵已知，所以能得到P，我们再反过来用PR求Q。直到模型的误差低于一个阈值。 上面的svd是对于评分的算法，还有svd++等对用户，物品做了偏移项。隐式矩阵分解(最常见)ALS 我们一般的推荐问题不是通过评分推荐，因为评分的产生十分的困难，一般用户没有这个习惯。我们与其预测评分，不如去预测用户行为。如果我们给用户一个页面有十个商品，我们预测到用户会点击哪一个，这不就说明用户喜欢这个。而且基于用户的信息很多。 我们的矩阵由1，0和空缺组成，1表示该用户点击过该商品(即表示用户对它有想法)，0表示用户对它没有想法(怎么是没想法呢，我们定义用户知道他却不想了解他。即我们在所有没有点击该商品的用户中抽样，该商品越火热抽取的人越多。因为热门的东西大家应该都知道，而你却没点击他，说明他不感兴趣) 我们要将该矩阵分解。 我们的损失函数是 Cui是置信度，比如我点击10次当时比只点击一次的喜欢置信度高。对于学习方法，我们使用加权交替最小二乘法初始化Y，我们计算出x，再通过 计算出y。再反复交替，直到小于阈值。该算法目前在spark上有实现。且sparkml将其作为唯一的推荐系统算法。
整理一下自己的理解。对于一个users-products-rating的评分数据集，ALS会建立一个user*product的m*n的矩阵其中，m为users的数量，n为products的数量但是在这个数据集中，并不是每个用户都对每个产品进行过评分，所以这个矩阵往往是稀疏的，用户i对产品j的评分往往是空的ALS所做的事情就是将这个稀疏矩阵通过一定的规律填满，这样就可以从矩阵中得到任意一个user对任意一个product的评分，ALS填充的评分项也称为用户i对产品j的预测得分所以说，ALS算法的核心就是通过什么样子的规律来填满（预测）这个稀疏矩阵它是这么做的：假设m*n的评分矩阵R，可以被近似分解成U*(V)TU为m*d的用户特征向量矩阵V为n*d的产品特征向量矩阵（(V)T代表V的转置，原谅我不会打转置这个符号。。）d为user/product的特征值的数量关于d这个值的理解，大概可以是这样的对于每个产品，可以从d个角度进行评价，以电影为例，可以从主演，导演，特效，剧情4个角度来评价一部电影，那么d就等于4可以认为，每部电影在这4个角度上都有一个固定的基准评分值例如《末日崩塌》这部电影是一个产品，它的特征向量是由d个特征值组成的d=4，有4个特征值，分别是主演，导演，特效，剧情每个特征值的基准评分值分别为（满分为）：主演：（大光头还是那么霸气）导演：特效：剧情：矩阵V由n个product*d个特征值组成对于矩阵U，假设对于任意的用户A，该用户对一部电影的综合评分和电影的特征值存在一定的线性关系，即电影的综合评分=(a1*d1+a2*d2+a3*d3+a4*d4)其中a1-4为用户A的特征值，d1-4为之前所说的电影的特征值参考：协同过滤中的矩阵分解算法研究那么对于之前ALS算法的这个假设m*n的评分矩阵R，可以被近似分解成U*(V)T就是成立的，某个用户对某个产品的评分可以通过矩阵U某行和矩阵V（转置）的某列相乘得到那么现在的问题是，如何确定用户和产品的特征值？（之前仅仅是举例子，实际中这两个都是未知的变量）采用的是交替的最小二乘法在上面的公式中，a表示评分数据集中用户i对产品j的真实评分，另外一部分表示用户i的特征向量（转置）*产品j的特征向量（这里可以得到预测的i对j的评分）在上面的公式中，a表示评分数据集中用户i对产品j的真实评分，另外一部分表示用户i的特征向量（转置）*产品j的特征向量（这里可以得到预测的i对j的评分）用真实评分减去预测评分然后求平方，对下一个用户，下一个产品进行相同的计算，将所有结果累加起来（其中，数据集构成的矩阵是存在大量的空打分，并没有实际的评分，解决的方法是就只看对已知打分的项）参考：ALS 在 Spark MLlib 中的实现但是这里之前问题还是存在，就是用户和产品的特征向量都是未知的，这个式子存在两个未知变量解决的办法是交替的最小二乘法首先对于上面的公式，以下面的形式显示：为了防止过度拟合，加上正则化参数为了防止过度拟合，加上正则化参数首先用一个小于1的随机数初始化V首先用一个小于1的随机数初始化V根据公式（4）求U此时就可以得到初始的UV矩阵了，计算上面说过的差平方和根据计算得到的U和公式（5），重新计算并覆盖V，计算差平方和反复进行以上两步的计算，直到差平方和小于一个预设的数，或者迭代次数满足要求则停止取得最新的UV矩阵则原本的稀疏矩阵R就可以用R=U(V)T来表示了以上公式内容截图来自：基于矩阵分解的协同过滤算法总结一下：ALS算法的核心就是将稀疏评分矩阵分解为用户特征向量矩阵和产品特征向量矩阵的乘积交替使用最小二乘法逐步计算用户/产品特征向量，使得差平方和最小通过用户/产品特征向量的矩阵来预测某个用户对某个产品的评分不知道是不是理解正确了有几个问题想请教一下~
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对于推荐系统来说存在两大场景即评分预测（rating prediction）与Top-N推荐（item recommendation，item ranking）。矩阵分解主要应用于评分预测场景。
推荐系统的评分预测场景可看做是一个矩阵补全的游戏，矩阵补全是推荐系统的任务，矩阵分解是其达到目的的手段。因此，矩阵分解是为了更好的完成矩阵补全任务（欲其补全，先其分解之）。之所以可以利用矩阵分解来完成矩阵补全的操作，那是因为基于这样的假设：假设UI矩阵是低秩的，即在大千世界中，总会存在相似的人或物，即物以类聚，人以群分，然后我们可以利用两个小矩阵相乘来还原它。
矩阵分解就是把原来的大矩阵，近似的分解成小矩阵的乘积，在实际推荐计算时不再使用大矩阵，而是使用分解得到的两个小矩阵。
具体来说就是，假设用户物品的评分矩阵A是m乘n维，即一共有m个用户，n个物品.通过一套算法转化为两个矩阵U和V,矩阵U的维度是m乘k，矩阵V的维度是n乘k。
这两个矩阵的要求就是通过下面这个公式可以复原矩阵A:
说起矩阵分解，我们第一个想起的就是SVD。
SVD分解的形式为3个矩阵相乘，左右两个矩阵分别表示用户/项目隐含因子矩阵，中间矩阵为奇异值矩阵并且是对角矩阵，每个元素满足非负性，并且逐渐减小。因此我们可以只需要前个K因子来表示它。
但SVD分解要求矩阵是稠密的，也就是说矩阵的所有位置不能有空白。有空白时我们的M是没法直接去SVD分解的。大家会说，如果这个矩阵是稠密的，那不就是说我们都已经找到所有用户物品的评分了嘛，那还要SVD干嘛! 的确，这是一个问题，传统SVD采用的方法是对评分矩阵中的缺失值进行简单的补全，比如用全局平均值或者用用户物品平均值补全，得到补全后的矩阵。接着可以用SVD分解并降维。
虽然有了上面的补全策略，我们的传统SVD在推荐算法上还是较难使用。因为我们的用户数和物品一般都是超级大，随便就成千上万了。这么大一个矩阵做SVD分解是非常耗时的。那么有没有简化版的矩阵分解可以用呢？我们下面来看看实际可以用于推荐系统的矩阵分解。
FunkSVD是在传统SVD面临计算效率问题时提出来的，既然将一个矩阵做SVD分解成3个矩阵很耗时，同时还面临稀疏的问题，那么我们能不能避开稀疏问题，同时只分解成两个矩阵呢？也就是说，现在期望我们的矩阵M这样进行分解：
SVD分解已经很成熟了，但是FunkSVD如何将矩阵M分解为P和Q呢？这里采用了线性回归的思想。目标是让用户的评分和用矩阵乘积得到的评分残差尽可能的小，也就是说，可以用均方差作为损失函数，来寻找最终的P和Q。
在实际应用中，为了防止过拟合，会加入一个L2的正则化项。加入了正则化系数，需要调参。对于这个优化问题，一般通过梯度下降法来进行优化得到结果。
在FunkSVD算法火爆之后，出现了很多FunkSVD的改进版算法。其中BiasSVD算是改进的比较成功的一种算法。BiasSVD假设评分系统包括三部分的偏置因素：一些和用户物品无关的评分因素，用户有一些和物品无关的评分因素，称为用户偏置项。而物品也有一些和用户无关的评分因素，称为物品偏置项。这其实很好理解。比如一个垃圾山寨货评分不可能高，自带这种烂属性的物品由于这个因素会直接导致用户评分低，与用户无关。
一个用户给一个物品的评分会由四部分相加：
从左到右分别代表：全局平均分、物品的评分偏置、用户的评分偏置、用户和物品之间的兴趣偏好
BiasSVD增加了一些额外因素的考虑，因此在某些场景会比FunkSVD表现好。
SVD++算法在BiasSVD算法上进一步做了增强，这里它增加考虑用户的隐式反馈。它是基于这样的假设：用户除了对于项目的显式历史评分记录外，浏览记录或者收藏列表等隐反馈信息同样可以从侧面一定程度上反映用户的偏好，比如用户对某个项目进行了收藏，可以从侧面反映他对于这个项目感兴趣，具体反映到预测公式为：
学习算法依然不变，只是要学习的参数多了两个向量：x和y。一个是隐式反馈的物品向量，另一个是用户属性的向量，这样在用户没有评分时，也可以用他的隐式反馈和属性做出一定的预测。
它是基于这样的假设：用户的兴趣或者偏好不是一成不变的，而是随着时间而动态演化。于是提出了timeSVD，其中用户的和物品的偏置随着时间而变化，同时用户的隐含因子也随着时间而动态改变，在此物品的隐含表示并未随时间而变化（假设物品的属性不会随着时间而改变）。
其中，t为时间因子，表示不同的时间状态。
通过之前构建目标函数之后，就要用到优化算法找到能使它最小的参数。优化方法常用的选择有两个，一个是随机梯度下降(SGD)，另一个是交替最小二乘(ALS),在实际应用中，交替最小二乘更常用一些，这也是推荐系统中选择的主要矩阵分解方法。 找到两个矩阵P和Q，让它们相乘后约等于原矩阵R:
P和Q两个都是未知的，如果知道其中一个的话，就可以按照代数标准解法求得，比如知道Q，那么P就可以这样算：
也就是R矩阵乘Q矩阵的逆矩阵就得到了结果，反之，知道了P 再求Q 也一样，交替最小二乘通过迭代的方式解决这个鸡生蛋蛋生鸡的难题： 1)、初始化随机矩阵Q里面的元素值
2)、把Q矩阵当做已知的，直接用线性代数的方法求得矩阵P
3)、得到了矩阵P后，把P当做已知的，故技重施，回去求解矩阵Q
4)、 上面两个过程交替进行，一直到误差可以接受为止
使用交替最小二乘好处： 1.在交替的其中一步，也就是假设已知其中一个矩阵求解另一个时，要优化的参数是很容易并行的； 2.在不是很稀疏的数据集合上，交替最小二乘通常比随机梯度下降要更快的得到结果。
在很多推荐场景中，我们都是基于现有的用户和商品之间的一些数据，得到用户对所有商品的评分，选择高分的商品推荐给用户，这是funkSVD之类算法的做法，使用起来也很有效。但是在有些推荐场景中，我们是为了在千万级别的商品中推荐个位数的商品给用户，此时，我们更关心的是用户来说，哪些极少数商品在用户心中有更高的优先级，也就是排序更靠前。也就是说，我们需要一个排序算法，这个算法可以把每个用户对应的所有商品按喜好排序。BPR就是这样的一个我们需要的排序算法。
BPR根据像交替最小二乘那样完成矩阵分解，先假装矩阵分解结果已经有了，于是就计算出用户对于每个物品的推荐分数，只不过这个推荐分数可能并不满足均方根误差最小，而是满足物品相对排序最佳
得到了用户和物品的推荐分数后，就可以计算四元组的样本中，物品1和物品2的分数差，这个分数可能是正数，也可能是负数，也可能是0。如果物品1和物品2相对顺序为1，那么希望两者分数之差是个正数，而且越大越好；如果物品1和物品2的相对顺序是0，则希望分数之差是负数，且越小越好。 目标函数：
把这个目标函数化简和变形后，和把AUC当成目标函数是非常相似的，也正是因为如此，BPR模型宣称该模型是为AUC而生的。
SVDFeature 是由上海交大Apex Data & Knowledge Management Lab(APEX)开发的一个推荐系统工具包。他们提出了一种基于feature 的矩阵分解的框架。
它的目的是有效地解决基于特征的矩阵分解。新的模型可以只通过定义新的特征来实现。
这种基于特征的设置允许我们把很多信息包含在模型中，使得模型更加与时俱进。使用此工具包，可以很容易的把其他信息整合进模型，比如时间动态，领域关系和分层信息。除了评分预测，还可以实现pairwise ranking任务。
SVDFeature的模型定义如下：
输入包含三种特征<α，β，γ>，分别是用户特征，物品特征和全局特征。
SVD ：要求矩阵是稠密的，时间复杂度高。不推荐使用。 FunkSVD ：不在将矩阵分解为3个矩阵，而是分解为2个低秩的用户项目矩阵，同时降低了时间复杂度。 BiasSVD ：考虑偏置项时使用，也就是用户的爱好。 SVD++ ：考虑用户的隐式反馈时使用。主动点评电影或者美食的用户是少数，也就是说显示反馈比隐式反馈少，这个时候就可以根据用户的隐式反馈推荐。 timeSVD ：考虑时间因素时使用。人是善变的，随着时间的流逝，兴趣也会发生变化。 ALS ：考虑建模时间时使用。强烈推荐使用，这也是社交巨头 Facebook 在他们的推荐系统中选择的主要矩阵分解算法。 BPR ：考虑排序结果时使用。 SVDFeature ：当我们有多个特征时，可以使用。SVDFeature的目的就是解决基于特征的矩阵分解。
矩阵分解算法的缺点 ：都没有解决冷启动问题
准确率表示预测正确的样本数占总样本数的比例。
TP（true positive）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果也为正； FP（false positive）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果却为正； FN（false negative）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果却为负； TN（true negative）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果也为负.
精确率表示预测为正样本的样本中，正确预测为正样本的概率。
召回率表示正确预测出正样本占实际正样本的概率。
折中了召回率与精确率。
对于评分预测任务，一般都是根据原有的评分数据，利用矩阵分解等方法去拟合原评分，使得优化后的模型可以去预测新的评分，这里就要衡量你预测的评分和实际评分的差异了，指标也很简单，分为RMSE和MSE。 MSE 是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值; MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。 RMSE ：RMSE是MSE的算术平方根。
AUC 这个值在数学上等价于：模型把关心的那一类样本排在其他样本前面的概率。最大是 1，完美结果，而 就是随机排列，0 就是完美地全部排错。 这个非常适合用来评价模型的排序效果，很适合作为BPR的评价指标。得到一个推荐模型后，按照它计算的分数，可以把用户想要的物品排在最前面。
具体的计算过程可看我的另一篇 文章
其中Rel表示与用户 u 相关的商品集（测试集）， Rec表示推荐给用户的前K个列表，二者的交集除以Rec的集合元素个数（其实就是K），得到Precision@K。一般是算出每个用户的Precision@K，然后取平均值。
其中Rel表示与用户u相关的商品集（测试集），Rec表示推荐给用户的前K个列表，二者的交集除以Rec的集合元素个数（也就是测试集中用户u评过分的商品数），得到Recall@K。一般是算出每个用户的Recall@K，然后取平均值。
MAP(Mean Average Precision)：单个主题的平均准确率是每篇相关文档检索出后的准确率的平均值。
主集合的平均准确率(MAP)是每个主题的平均准确率的平均值。
MAP 是反映系统在全部相关文档上性能的单值指标。
系统检索出来的相关文档越靠前(rank 越高)，MAP就可能越高。如果系统没有返回相关文档，则准确率默认为0。 例如：
假设有两个主题，主题1有4个相关网页，主题2有5个相关网页。
某系统对于主题1检索出4个相关网页，其rank分别为1, 2, 4, 7；
对于主题2检索出3个相关网页，其rank分别为1,3,5。
对于主题1，平均准确率为(1/1+2/2+3/4+4/7)/4=。对于主题2，平均准确率为(1/1+2/3+3/5+0+0)/5=。
则MAP= ()/2=。
正确检索结果值在检索结果中的排名来评估检索系统的性能。
其中Q是用户的个数，rank是对于第i个用户，推荐列表中第一个在ground-truth结果中的item所在的排列位置。
举个例子：假如检索三次的结果如下，需要的结果（cat，torus，virus）分别排在3,2,1的话，此系统地MRR为（1/3 + 1/2 + 1)/3 = 11/18
比较复杂，可参考这篇 文章
参考文章：
你的问题，具体是什么？
你的问题到底是什么呢，是关于特征向量和特征值的吗？
沈 阳 工 程 学 院毕业设计（论文）开题报告锐钛型纳米二氧化钛粉体制备方法系 部： 能源与动力工程系 专 业： 应用化学 学生姓名： 张雨 指导教师： 马姗姗 开题时间： 年 月 日 一、总体说明在开题报告中要求给出你对课题的理解，类似的研究在国内外的进展情况，你对系统设计的初步设想，主要需要解决的技术难题和解决思路，同时应给出课题的时间安排。二、开题报告内容1．毕业设计（论文）课题的目的、意义、国内外现状及发展趋势2．课题主要工作（设计思想、拟采用的方法及手段）3．完成课题的实验条件、预计设计过程中可能遇到的问题以及解决的方法和措施4． 毕业设计（论文）实施计划(进度安排)5． 参考文献三、撰写要求1．报告字数不少于3000字2．报告内容一律用A4纸打印3. 上交时间为毕业设计第三周周末。一、毕业设计（论文）课题的意义、国内外现状及发展趋势(可加附页)1.意义纳米二氧化钛主要有两种结晶形态：锐钛型（Anatase）和金红石型（Rutile）。锐钛型二氧化钛在可见光短波部分的反射率比金红石型二氧化钛高，带蓝色色调，并且对紫外线的吸收能力比金红石型低，光催化活性比金红石型高。在一定条件下，锐钛型二氧化钛可转化为金红石型二氧化钛。纳米TiO2还具有很高的化学稳定性、热稳定性、无毒性、超亲水性、非迁移性，且完全可以与食品接触，所以被广泛应用于抗紫外线材料、纺织、光催化触媒、自洁玻璃、防晒霜、涂料、油墨、食品包装材料、制造工业、造纸工业、航天工业中、锂电池、光隔离器和光环行器中。纳米二氧化钛是具有屏蔽紫外线屏蔽功能和产生颜色效应的一种透明物质。由于它透明性和防紫外线功能的高度统一，似的它一经问世，便在防晒护肤、塑料薄膜制品。木器保护、透明耐用面漆、精细陶瓷等多方面获得了广泛应用。特别是在80年代末期，这种能产生诱人的“随角异色”效应的效应颜料被成功地用于豪华型高级轿车后面漆之后，引起了世界范围的普遍关注，发达国家如美、日、欧、等国对此研究工作十分活跃，相继投入了大量人力、物力，并定制了长远规划，在国际市场竞争激烈迄今，他们已取得许多令人惊异的成果，并已形成高技术纳米材料产业，生产了这种附加值极高的高功能精细无机材料，收到良好的经济效益和社会效益，纳米氧化物材料也正式为中国产业世界关注的热点。随着纳米材料研究的深入，纳米组装体系、人工组装合成的纳米结构的材料体系越来越受到人们的关注，这意味着纳米材料的研究已可以按照人们的意愿设计、组装、创造新的体系，更有目的地使该体系具有人们所希望的特性，技术上的飞跃，为纳米材料的应用进一步打开市场的大门，在广泛的领域形成了一大批高技术产品。如信息与通讯方面的磁性存储器、光学存储器、液晶显示、光学方面的功能性薄膜；电子方面的原件开发，能源方面的太阳能电源，热敏绝缘体，测量与控制技术方面的传感器；陶瓷方面的结构陶瓷，功能陶瓷以及其他方面的抗老化橡胶、功能油漆、光催化降解剂、保洁抗菌材料、超高磁能衡土水磁体等。又纳米材料集成度高的特点，在光信号的发射、放大、传输、路由等方面有应用前景，具有科学研究意义和应用价值。 2.国内外现状及发展趋势由于纳米TiO2在光隔离器和光环行器等方面具有广阔的应用前景，我国在光隔离器、光环行器和光准直器等方面也有一些进展。光隔离器单级的最小隔离度为30dB最大插入损耗为; 双级的最小隔离度为45dB最大插入损耗为。光环行器的插入损耗≤隔离度≥45dB。光准直器有P级和A级两种典型插入损耗为和回波损耗分别≥65dB和≥60dB。 2. 发展趋势 随着全光通信网络技术的发展对大端口数矩阵光开关的需求会逐渐增加。这种光开关目前在国外的研究也刚刚开始主要是采用光子集成技术的微电子机械开关(MEMS)和热光式开关。这需要光子集成器件、光交换技术以及光纤与波导耦合技术等各方面大力协同努力攻关。同时，在国外技术比较成熟、形成批量生产能力时可以考虑进行技术引进。纳米TiO2是一种新型的无机功能材料，其粒径在1～100nm之间，具有比表面积大、表面活性高、分散性好等特点，表现出独特的物理化学性质［1］。纳米TiO2最初的应用是在精细陶瓷、屏蔽紫外线、半导体材料、光催化材料［2］等方面，由于具有光催化活性高、稳定性好、对人体无毒、价格低廉等优点，其应用领域至今扩展至有机废水降解、重金属离子还原、空气净化、杀菌、防雾等诸多领域［3］。因此，通过控制材料合成条件，开发先进生产工艺，制得纯度高、粒径小、力度分布窄的纳米TiO2已成为当前相关交叉学科研究中最活跃的领域之一。目前，国内外纳米TiO2的合成工艺根据其反应物系的物理形态一般分为气相法、液相法和固相法等三类［4］。本文对目前全世界研究最多、应用最广的纳米TiO2制备技术进行了详细的分析和比较，并展望了该领域今后的发展方向，以期为相关的研究工作提供参考。1气相法气相法一般是通过加热等手段先将金属钛的卤化物、金属有机钛化合物等前体气化，使其在气相条件下发生物理或化学变化，然后在冷却过程中成核、生长，最后形成纳米TiO2。主要包括化学气相沉积法、物理气相沉积法和化学气相水解法。2液相法液相法是以可溶于水或有机溶剂的金属盐类为原料，使金属盐溶解后以离子或分子状态混合均匀，再选择一种合适的沉淀剂或采用蒸发、结晶、升华、水解等过程，将金属离子均匀沉淀或结晶出来，再经过脱水或热分解制得粉体。该法是目前国际上纳米TiO2颗粒制备领域最主要、研究最多的方法，具有原料价格低、来源广、易操作、设备简单等优点，这使得其在实验室研究中被广泛采用。液相法分为溶胶－凝胶法、胶溶法、沉淀法、水热合成法和微乳液法等。3固相法固相法是依靠机械力的作用对固体材料进行研磨粉碎，通过固相到固相的变化来制备TiO2粉体，具有工艺简单，成本低，产率高，可大批量生产等优点［19］，但早期存在难制得1μm以下的超细粉体，过程易引入杂质等缺点，限制了该法的发展。近年来随着机械工艺的改进，固相法在制备纳米材料领域逐渐引起了大家的关注。纵观国外纳米TiO2的生产，存在着以下特点：生产原料主要为四氯化钛、硫酸氧钛，生产方法主要有气相法和液相法，气相法主要有以四氯化钛为原料的氢氧火焰水解法，而液相法主要是以四氯化钛和硫酸氧钛为原料的化学沉淀法，且多数生产厂家为钛白粉生产厂，充分利用了原有氯化法和硫酸法生产装置的中间产物、生产技术、公用工程和生产管理方面的经验。总之，纳米TiO2因其具有的特殊的物理、化学性质及其广阔的应用前景，必将拥有巨大的市场需求。尽管在我国纳米TiO2的市场刚刚形成，但是随着纳米产品的普及以及人们消费观念的改变，以及纳米技术和对纳米TiO2产品应用的不断深入、市场的不断规范和发展，纳米TiO2必将迎来广阔的市场发展空间并带来巨大的社会和经济效益。二、课题预期目标及主要工作（设计思想、拟采用的方法及手段）（一）预期目标1、撰写毕业论文2、得到二氧化钛试验产品（二）主要工作该设计制备过程是将四氯化钛加入到盐酸溶液中，得到四氯化钛的盐酸溶液；然后将四氯化钛的盐酸溶液加入到碱性物质的水溶液中，控制体系的PH值为7-8，生成白色的氢氧化钛沉淀，过滤，清洗，得到沉淀产物氢氧化钛；再将其转化为有机盐，之后控制煅烧温度及时间得到锐钛型型纳米二氧化钛。本设计涉及溶液的配制与浓度标定、沉淀反应合成、过滤、洗涤、煅烧、分析、表征。训练学生应用化学基本理论进行化学分析、化学合成、化学实验的能力。主要研究内容包括：TiCl4溶液的配制与标定；碱性溶液的配制；沉淀反应合成；过滤、清洗、干燥、煅烧与分析表征。具备实验场所，购买相关药品和器皿；外协分析。（三）主要实验流程：1.步骤钛源（100ml/组）→加到盐酸溶液得到四氯化钛的盐酸溶液，其中四氯化钛为溶质，盐酸为溶剂，得到溶液的浓度为：1mol/L。（原理：四氯化钛遇到水会剧烈水解，加到盐酸溶液中是为了降低反应的剧烈程度，Ticl4+H2O↔Ti(OH)4+Hcl，加入盐酸反应逆向进行，从而减少四氯化钛的水解程度。）→加入碱性物质氨水水解生成氢氧化钛。（若不加碱性物质会使生物颗粒不均一，而且得到的颗粒非常细而无法结晶和过滤，加碱性物质相当于加成核剂，其反应原理： Ticl4+H2O↔Ti(OH)4+Hcl；Ti(OH)4↔Ti4++4OH-,若使Ti4+完全沉淀需要加OH-促进反应反向进行生成沉淀。其浓度可根据氢氧化钛的离子积Ksp=[ Ti4+][ OH-]4来计算，当使氢氧化钛完全沉淀时Ti4+浓度小于或等于10-5mol/dm-3,从而计算出需要加入OH-的浓度，可以确定加入氨水的量。）→洗涤和过滤（加三遍酒精和三遍纯净水交替洗涤。原因：生成Ti(OH)4的溶液中含有大量的cl-和NH4+，结晶后的氯化铵也易在水中溶解，用水和酒精能够清洗掉。）→用硝酸银滴定滤液，检测氯离子是否清洗干。2.实验具体条件（1）溶解四氯化钛所用的盐酸溶液的摩尔浓度为3mol/L。调节pH所用的碱性物质为氨水，氨水与钛的质量比初定为。过滤时先用酒精再用清水交替清洗三遍。煅烧：在600摄氏度下煅烧两个小时得到产品锐钛型型纳米为氧化钛。（2）仪器 100mL烧杯、500mL烧杯、滴管、玻璃棒、移液管、光催化反应器、500mL 容量瓶、25mL容量瓶、研钵、瓷坩埚、马弗炉、烘箱、天平、磁力搅拌器、离心机、722型分光光度计、紫外可见分光光度计、X射线衍射仪、透射电镜。（3）药品钛源（四氯化钛）、盐酸、氨水酒精、硝酸银、有机酸。3．本实验的侧重点是对所用钛源（四氯化钛）提纯后的纯度分析。由XRD来分析样品的晶型与颗粒大小；由光催化实验来确定所制备纳米二氧化钛的催化性能，从而确定出最为合适的制备方法。最后对该制备方法进行差热分析，并对所制备的样品进行透射电镜分析，从而可以深入理解该方法最为优良的原因三、预计设计过程中可能遇到的问题以及解决的方法和措施1.有机酸的选取及其浓度的确定是比较关键的一项，在这里我初步将其定为甲酸，而对于浓度的选取还需在试验中进一步完善2、四氯化钛被氧化。在隔绝空气的条件下将四氯化钛加到盐酸溶液中，可以采用注射器抽取四氯化钛溶液加到盐酸中。3、四氯化钛与盐酸的混合液pH控制不合理。采用不同的碱性试剂来调节。如用氢氧化钠、氨水、碳酸钠或有机碱性试剂。4、得到的氢氧化钛沉淀量较少或得不到沉淀。从新调节pH值，或改变陈化条件观察得到白色沉淀量的变化。5、得到的氢氧化钛沉淀过滤非常困难。采用不同的碱性试剂，或与碱性试剂反应时的温度或者搅拌速度。6、得到锐钛型型二氧化钛粉体不符合产品规格要求。调节控制煅烧温度，和与碱反应的温度，或者增加清洗过滤沉淀的次数。四、进度安排第一周：阅读文献确定实验思路，列出所用器皿和药品明细。第二周：撰写开题报告，翻译英文资料（不少于3000字）。第三~五周：根据实验思路分析资料，进行初步试验，对实验溶液进行配置和标定。第六~十周：制备锐钛型型纳米二氧化钛，对制备工艺和影响因素进行研究和调整。第十一周：准备论文所需要的材料，撰写毕业论文。第十二周：答辩。五、参考文献（1） 钛乙醇盐合成以其水解制备微分的研究，功能材料。, , 278-281（2） 纳米二氧化钛的制备及其表征，纳米技术与精密工程。, (2005), 19-21（3） 溶胶凝胶法合成多孔二氧化钛粉体及光催化性能的研究，化工技术和开发，, (2011), 13-15（4） 液相水解法制备纳米二氧化钛粉体及其工艺研究，应用化工，, (2007), 1-3（5） 相转移法制备二氧化钛粉体的工艺研究，沈阳工程学院院报，, (2012), 362-364（6）张立德,牟季美. 纳米材料和纳米结构[M] . 北京:科学出版社,2001六、指导教师意见指导教师签名：年 月 日
本文使用 Sketchfab 数据 和 经典 ALS 优化算法，构造出一个 WRMF 的实战模型 在研究隐式反馈推荐系统时，最好的起点是使用经典论文“ 隐式反馈数据集的协同过滤 ”中概述的模型“。这个模型可以将其称为加权正则化矩阵分解（WRMF），它往往是一个经常使用的名称。该模型具有以下优点： 确定隐式反馈的独特特征是至关重要的，因为隐式反馈会阻碍使用那些考虑显式反馈的算法。 以下是论文列出的主要特征： 显式反馈矩阵分解的损失函数如下：隐式反馈矩阵分解的损失函数如下：步骤分为以下几步： 在最后，可以通过输入模型，得到推荐的其他模型 如： 输入模型： 推荐的相似的型号： 博客： 论文：
我会的，要自创的吗？论文——称谢 论文的辅导者、技术协助者、供给特别试剂或器件者、经费赞助者和提出过首要建议者都归于称谢方针。论文称谢应当是真挚的、真实的，不要庸俗化。不要泛泛地称谢、不要只谢教授不谢旁人。写论文称谢前应征得被称谢者的赞同，不能拉大旗作虎皮。
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则[2] 。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词[3] 。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（）于1898年给出的[2] 。1854年时法国数学家埃尔米特（）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具[4] 。
我的毕业论文题目是矩阵的乘法及其应用~个人感觉相当简单~我是数学与应用数学专业
好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！
相乘的形式设为A*B，A的行对应B的列，对应元素分别相乘；相乘的结果行还是A的行、列还是B的列；A的列数必须等于B的行数。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。
可以说是最简单的矩阵分解方法，将矩阵A分解成L（下三角）矩阵和U（上三角）矩阵的乘积。其实就是高斯消元法的体现，U矩阵就是利用高斯消元法得到的，而消元过程用到的初等变换矩阵乘积就是L矩阵。需要注意的是，L矩阵可以是置换过的矩阵，即一个下三角矩阵和一个置换矩阵的乘积（可以参考MATLAB中LU分解的函数lu）。
加油吧，少年
怎么写开题报告呢？首先要把在准备工作当中搜集的资料整理出来，包括课题名称、课题内容、课题的理论依据、参加人员、组织安排和分工、大概需要的时间、经费的估算等等。第一是标题的拟定。课题在准备工作中已经确立了，所以开题报告的标题是不成问题的，把你研究的课题直接写上就行了。比如我曾指导过一组同学对伦教的文化诸如“伦教糕”、伦教木工机械、伦教文物等进行研究，拟定的标题就是“伦教文化研究”。第二就是内容的撰写。开题报告的主要内容包括以下几个部分：一、课题研究的背景。 所谓课题背景，主要指的是为什么要对这个课题进行研究，所以有的课题干脆把这一部分称为“问题的提出”，意思就是说为什么要提出这个问题，或者说提出这个课题。比如我曾指导的一个课题“伦教文化研究”，背景说明部分里就是说在改革开放的浪潮中，伦教作为珠江三角洲一角，在经济迅速发展的同时，她的文化发展怎么样，有哪些成就，对居民有什么影响，有哪些还要改进的。当然背景所叙述的内容还有很多，既可以是社会背景，也可以是自然背景。关键在于我们所确定的课题是什么。二、课题研究的内容。课题研究的内容，顾名思义，就是我们的课题要研究的是什么。比如我校黄姝老师的指导的课题“佛山新八景”，课题研究的内容就是：“以佛山新八景为重点，考察佛山历史文化沉淀的昨天、今天、明天，结合佛山经济发展的趋势，拟定开发具有新佛山、新八景、新气象的文化旅游的可行性报告及开发方案。”三、课题研究的目的和意义。课题研究的目的，应该叙述自己在这次研究中想要达到的境地或想要得到的结果。比如我校叶少珍老师指导的“重走长征路”研究课题，在其研究目标一栏中就是这样叙述的：1、通过再现长征历程，追忆红军战士的丰功伟绩，对长征概况、长征途中遇到了哪些艰难险阻、什么是长征精神，有更深刻的了解和感悟。2、通过小组同学间的分工合作、交流、展示、解说，培养合作参与精神和自我展示能力。3、通过本次活动，使同学的信息技术得到提高，进一步提高信息素养。四、课题研究的方法。在“课题研究的方法”这一部分，应该提出本课题组关于解决本课题问题的门路或者说程序等。一般来说，研究性学习的课题研究方法有：实地调查考察法(通过组织学生到所研究的处所实地调查，从而得出结论的方法)、问卷调查法（根据本课题的情况和自己要了解的内容设置一些问题，以问卷的形式向相关人员调查的方法）、人物采访法（直接向有关人员采访，以掌握第一手材料的方法）、文献法（通过查阅各类资料、图表等,分析、比较得出结论）等等。在课题研究中，应该根据自己课题的实际情况提出相关的课题研究方法，不一定面面俱到，只要实用就行。五、课题研究的步骤。课题研究的步骤，当然就是说本课题准备通过哪几步程序来达到研究的目的。所以在这一部分里应该着重思考的问题就是自己的课题大概准备分几步来完成。一般来说课题研究的基本步骤不外乎是以下几个方面：准备阶段、查阅资料阶段、实地考察阶段、问卷调查阶段、采访阶段、资料的分析整理阶段、对本课题的总结与反思阶段等。六、课题参与人员及组织分工。这属于对本课题研究的管理范畴，但也不可忽视。因为管理不到位，学生不能明确自己的职责，有时就会偷懒或者互相推诿，有时就会做重复劳动。因此课题参与人员的组织分工是不可少的。最好是把所有的参与研究的学生分成几个小组，每个小组通过民主选举的方式推选出小组长，由小组长负责本小组的任务分派和落实。然后根据本课题的情况，把相关的研究任务分割成几大部分，一个小组负责一个部分。最后由小组长组织人员汇总和整理。七、课题的经费估算。一个课题要开展，必然需要一些经费来启动，所以最后还应该大概地估算一下本课题所需要 的资金是多少，比如搜集资料需要多少钱，实地调查的外出经费，问卷调查的印刷和分发的费用，课题组所要占用的场地费，有些课题还需要购买一些相关的材料，结题报告等资料的印刷费等等。所谓“大军未动，粮草先行”，没有足够的资金作后盾，课题研究势必举步维艰，捉襟见肘，甚至于半途而废。因此，课题的经费也必须在开题之初就估算好，未雨绸缪，才能真正把本课题的研究做到最好。
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好写哦！科技论文，专业性这么强，写出来，也是只有专业人员才能明白。首先，序言：把矩阵的乘法原理，加以介绍、解释和说明，这些就是书上现成的东西。接着介绍其应用都有哪些，具体在哪些方面。最后说明本文主要介绍哪些方面的具体应用及事例。进入正文，集中写清楚，你要介绍的应用及事例。字数要多，就多写，写详细一些；字数一般，就写得一般，就可以啦。。。祝成功！
在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合[1] ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。矩阵的研究历史悠久，拉丁方阵和幻方在史前年代已有人研究。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。在消元过程中，使用的把某行乘以某一非零实数、从某行中减去另一行等运算技巧，相当于矩阵的初等变换。但那时并没有现今理解的矩阵概念，虽然它与现有的矩阵形式上相同，但在当时只是作为线性方程组的标准表示与处理方式。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则[2] 。矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法。1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词[3] 。英国数学家凯利被公认为矩阵论的奠基人。他开始将矩阵作为独立的数学对象研究时，许多与矩阵有关的性质已经在行列式的研究中被发现了，这也使得凯利认为矩阵的引进是十分自然的。他说：“我决然不是通过四元数而获得矩阵概念的；它或是直接从行列式的概念而来，或是作为一个表达线性方程组的方便方法而来的。”他从1858年开始，发表了《矩阵论的研究报告》等一系列关于矩阵的专门论文，研究了矩阵的运算律、矩阵的逆以及转置和特征多项式方程。凯利还提出了凯莱-哈密尔顿定理，并验证了3×3矩阵的情况，又说进一步的证明是不必要的。哈密尔顿证明了4×4矩阵的情况，而一般情况下的证明是德国数学家弗罗贝尼乌斯（）于1898年给出的[2] 。1854年时法国数学家埃尔米特（）使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。无限维矩阵的研究始于1884年。庞加莱在两篇不严谨地使用了无限维矩阵和行列式理论的文章后开始了对这一方面的专门研究。1906年，希尔伯特引入无限二次型（相当于无限维矩阵）对积分方程进行研究，极大地促进了无限维矩阵的研究。在此基础上，施密茨、赫林格和特普利茨发展出算子理论，而无限维矩阵成为了研究函数空间算子的有力工具[4] 。