毕达哥拉斯的研究论文

勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！ 勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。 勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。 首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。 1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。 左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是 a^2+b^2=c^2。 这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。 2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，。 容易看出， △ABA’ ≌△AA'C 。 过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。 △ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。 于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC， 即 a2+b2=c2。 至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。 这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念： ⑴ 全等形的面积相等； ⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。 这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。 我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法： ，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。 赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。 西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。 下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。 ， S梯形ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2)， ① 又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2)。 ② 比较以上二式，便得 a2+b2=c2。 这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。 在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。 Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则 △BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。 由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ① 由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ② 我们发现，把①、②两式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，这就是 a2+b2=c2。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法： 设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC， 因为∠C=90°，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2。 这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。

证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上， 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°， BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 A2+B2=C2 证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠QBM = ∠ABC， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C2证法3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c， ∠CJB = ∠CFD = 90°， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ， 同理，RtΔABG ≌ RtΔADE， ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°， ∴∠ABG +∠CBJ= 90°， ∵∠ABC= 90°， ∴G,B,I,J在同一直线上， A2+B2=C2。证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE， 交AB于点M，交DE于点L. ∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD， ∵ ΔFAB的面积等于， ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C2证法5（欧几里得的证法）《几何原本》中的证明 在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第节所提出的证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如下： （1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC ， （3）（BC）2;=CD·AC。 由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；， 图1即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。 图1证法七（赵爽弦图）在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a）2 =c2； 化简后便可得：a2 +b2 =c2; 亦即：c=(a2 +b2 )1/2 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”． 前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。 1 周髀算经， 文物出版社，1980年3月， 据宋代嘉定六年本影印，1-5页。 2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》， 1989年第7卷第1期，255-281页。 3. 李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》， 台湾，1991年7月， 227-234页。 4. 李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。 5. 曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷， 台湾，1996年9月第3期， 20-27页证法8（达芬奇的证法） 达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。 证明： 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。证法9从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下： b ( a + b )= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直 角三角形。 （简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2 - b2 + a2 = c2; a2 + b2 = c2; 注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。证法10在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。 令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d 1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c =(a^2+b^2)/c^2=1 所以a^2+b^2=c^2 得证。编辑本段习题及答案将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的A'，利用阴影部分面积完成勾股定理的证明。∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c；求证：a2+b2=c2. 答案 证明：作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上，连接AA' 、BB'， 延长B'A'交AB于点M。 ∵△A'B'C是由△ABC旋转所得 ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C ∴∠A'B'C=∠ABC 延长B'A'交AB于点M 则∠A'B'C+∠B'A'C=90° 而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等） ∴∠MBA'+MA'B=90° ∴B'M⊥AB ∴Rt△ABC∽Rt△A'BM ∴A'B/AB=A'M/AC 即（a-b)/c=A'M/b ∴A'M=(a-b）·b/c ∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M] =(1/2）·c·[c+(a-b）·b/c] =(1/2)c2+(1/2)(a-b）·b =(1/2)[c2+ab-b2] S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B ∴（1/2)[c2+ab-b2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a2-ab) 则c2+ab-b2=2ab+a2-ab ∴a2+b2=c2. 勾股数

毕达哥拉斯学派的美学理论是西方古代美学的开端，西方美学史上的一系列重要范畴如模仿、净化、和谐、比例、观照的形成，是与该学派的数理学科中数学和音乐的研究、以及宗教信仰紧密联系在一起的。遗憾的是，如此重要的美学理论却常常被人忽视。本文试图应用现代美学体系的知识，对该学派的美学理论进行一次有意义的梳理，使该学派的美学理论重新在世人眼中形成体系，重申毕达哥拉斯学派美学理论的重要性。关键词：毕达哥拉斯学派 美学体系 数 和谐一、 关于毕达哥拉斯及其学派毕达哥拉斯（约公元前570——前499年）出生于小亚细亚沿岸希腊人建立的殖民城邦萨摩斯岛。他热衷于研究学术和宗教仪式，曾游历多个国家。40岁时因为不堪忍受当地统治者的残暴，移居到意大利南部城邦克罗岛，在那里建立了一个秘密从事宗教、政治和学术活动的盟会组织，成员大多数是数学家和天文学家。毕达哥拉斯死后，他的门徒奉他为宗师，将他们的思想学说归诸这位宗师，于是就有了毕达哥拉斯学派，并且形成了一个不是纯粹哲学学派，而带有宗教意味的团体。这一学派的活动一直延续到公元前5世纪中叶。如果用最简单的语言来概括毕达哥拉斯学派美学的的内容的话，那就是数的和谐。二、 毕达哥拉斯学派美学理论产生的思想基础1、古希腊最早的哲学流派——米利都学派的自然和谐思想成为毕达哥拉斯学派和谐说的理论先声，成为后者理论的出发点。他们探求了宇宙的物质本源、揭示了宇宙和谐的思想，以哲学的形式托载美学的意韵，把自然的关系、规律、内在结构、运动状态概括为美、以真为美、真美统一，预示了西方古代美学理论的深刻性、理论性特征。2、该学派的美学理论严格来说是属于哲学美学范畴，它主要是建立在数学研究的基础上的，从哲学的角度自上而下地构建美学体系。这点很关键，要真正理解该学派的美学理论，就必须理解毕达哥拉斯及其学派的哲学——美学思想的核心，就是认为“数的本原就是万物的本原”。而为了理解数本原说，要讨论两个相互联系的问题：（1）什么是数；（2）数为什么是万物的本原。对于什么是数这个问题，我们最好不要从现代我们关于数的概念出发，而要直接依据毕达哥拉斯学派的论述。该学派成员菲罗劳斯写道：“由此可见，万物既不仅仅由一种有限构成，又不仅仅由一种无限构成，明显，世界结构和其中的一切都是由无限和有限的结合而形成的，明显的例证是在现实的田野中所看到的情景：田野中由界线（即田埂）组成的一部分限定了地段，由界线和界线以外无限的地段组成的另一部分既限定又不限定地段，而仅仅由无限的空间组成的那些部分则是无限的。”这种有限和无限的结合就是毕达哥拉斯学派所理解的数，并不完全等同于现代科学关于数的抽象概念。无限是不能够被认识的，有限对无限作出限定，被限定的事物可以被认识。数具有认识论意义，他对某个事物作出规定，使它区别于其他事物，从而能够被人的意识和思维所掌握。数是事物生成的原则，是事物的组成原则。按照苏格拉底以前哲学家的说法，数是事物的灵魂。数是一种创造力和生成力。而对于数为什么是万物的本原这个问题。首先是因为该学派认识到万物与数有更多的相似之处。毕达哥拉斯学派所说的万物，已经不是可感的事物，而且包括到正义、理想、灵魂、机会、美等抽象的存在。因此，仅用物质性的元素水、气、火等来解释它们是困难的，只有用抽象的原理才能解释它们。其次，认识到万物之中都存在着某重数量关系。据说毕达哥拉斯是从铁匠铺中铁匠打铁时发出的谐音中得到启发的，通过试验，开始发现音程和弦的频率之间的关系，并把它归结为数，从而认识到数是更高一级的实在。毕达哥拉斯所认识到的数是万物的本原，不仅是从感性的东西、而且也是从非感性的东西的认识中概括出来的。数本身是静止不动的，它是更高一级的实在，从而认为数具有伟大的力量。三、 毕达哥拉斯学派的美本原说该学派成员菲罗劳斯问道：有限和无限是如此不同，它们怎样才能结合在一起形成数呢？它们应该处于什么关系中呢？答案是：它们应该处在和谐的关系之中。所谓和谐，是指一个事物发展到“真“的地步，即它以某中形式确定了自身的界限，形状和尺寸等，从无限的背景中剥离出来。和谐是一种结构，数的结构。它使有限和无限相同一，使事物获得明确的规定性。和谐是从数本原说中自然而然地产生出来的。毕达哥拉斯学派用数的和谐来解释宇宙的构成，创立了宇宙美学理论。其主要内容是”宇宙是最重要的审美对象。审美对象不仅是可以看到的，可以触摸的，而且是造型明确的、几何形状固定的，这一切是由数来安排的。而具体可感的宇宙则是最高的美。这就是毕达哥拉斯美学理论中所包含的美本原说，一切都是围绕数的和谐而展开的。毕达哥拉斯还以为对立也是万物的本原。那么除了数的和谐可以成为美的本原外，可以推导出数的对立也是美的本原。根据亚里士多德的记载，毕达哥拉斯学派中的另一些人说有十对本原：“有限——无限、奇——偶、一——多、右——左、雄——雌、静——动、直——曲、明——暗、善——恶、正方——长方”，并明确规定它们是相反的东西；相反是事物的本原。所以该学派成员菲罗劳斯说：“和谐总是来自对立，因为和谐是不同因素的同一，以及是相反的因素的协调。”这表明该学派的美学思想含有辨证法的因素。他们正是以这种辨证的观点来探讨从个人到国家乃至整个宇宙的和谐。四、 和谐的数量关系与宇宙美的生成机制毕达哥拉斯学派认为，数量关系是先于现实世界而存在，是一种超验的存在，是属于彼岸世界的东西。它为现实是和艺术世界提供原则、数据、模式、范形，使之生成和谐之美。也就是说，在毕达哥拉斯学派那里，此岸是和彼岸世界的同构性、对应性统一，是一种根本性的、整体性的和谐，是审美的极致。而彼岸世界的数的原则、数量关系是神规定的，此岸世界的事物具备协调、适宜的数量关系是神的安排与旨意。在毕达哥拉斯学派的美学理论体系中，神的概念超越数的概念成为最高层次，成为和谐的终极根源。于是，和谐的数量关系就潜在地框架与预定了万物的和谐。这点，其实是在谈万物和数的关系：万物究竟是如何由数派生的？神规定了数，而数又是万物的范型，万物是数的摹本。一定的数目，构成一定数量关系的框架，成为和谐的数目范型，供万物模仿，进而造成万物的贺喜饿。如：5：8的数量关系构成一种和谐的数目范式即黄金分割定律的范式，它物一经模仿就生成了和谐。具有和谐的数量关系的数目范式，作为一种文化的、审美的原型，是先于摹本而存在的，这点与后来柏拉图的理念说说有很大的相似之处。于上，我们可以知道，毕达哥拉斯学派认为：数量关系的和谐是造就一切美、一切和谐事物的普遍规律。自然的、人的、艺术的以及审美主体与审美对象的和谐莫不如是。五、 毕达哥拉斯学派美学的基本审美形态现代美学认为，所谓审美形态就是人在审美实践活动中所创造的境界的感性表现形式与存在状态。在毕达哥拉斯学派的美学体系中，由和谐派生出各种审美形态，使和谐这一本质走向特殊、走向丰富、走向具体，从而不同程度地发展了和谐的一般本质。1、完满。完满是数量关系合理适宜、协调的具体形态，是包含一切又把一切安排得恰当的形体。除了用“10”的数字代表完满外，毕达哥拉斯学派还人圆形、球形是完满的，并依据此说：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”2、比例。这是毕达哥拉斯学派对美学的重要贡献。它从和谐的比例的角度，探讨了现代涵义上的艺术问题。和谐的比例的审美本质在于，它说明了部分和整体以及统一的整体中部分与部分之间的关系，只有比例适度，才能构成恰当的数量关系，组成整体的和谐之美，如黄金分割定律在人身体上的应用。而对于毕达哥拉斯学派的比例学说，2世纪怀疑论者恩披里柯作过一个总的说明：“没有比例任何一门艺术都不会存在，而比例在于数中，因此，一切艺术都借助数而产生……于是，雕塑中存在着某种比例，就像在绘画中一样；由于遵受比例，艺术作品获得正确的式样，它们的每一种因素都达到协调。一般说来，每门艺术都是由理解所组成的系统，这个系统是数。因此，“一切模仿数”，也就是说，一切模仿与构成万物的数相同的判断理性，这种说法是恰当的。这就是毕达哥拉斯学派的主张。”3、均衡、对称。毕达哥拉斯学派认为：均衡是事物各部分、诸元素在数量关系上大致相等，分布匀称，有着一种合理的数量关系，因而能生成和谐之美。而身体的美则跟诸如双腿、双手对称有关。4、中和。中和是均衡的一种形态，是达到均衡的一种手段。毕达哥拉斯学派多在道德领域中谈中和，如诗人要公平等信条与主张，这是对古希腊社会的审美理想的反映。5、调和。调和同样既是和谐的一种情态，又是实现和谐的一种手段。在毕达哥拉斯学派那里，调和含有把差异导向同一，把对立导向一致，把无序导向有序，把不协调导向协调的意味。它和均衡、中和、对称一起，成为静态和谐的典型审美形态，代表了毕达哥拉斯学派的和谐说以及古希腊早期和谐说的特色。6、对立组合。对立组合造成矛盾性与统一性匹配均衡的和谐形态。在毕达哥拉斯学派的和谐美学理论体系中，它有着突破静态和谐向动态和谐演进的意味，代表着理论体系的发展方向。7、层次、秩序、主从。如各天体习惯年成丰富的层次和秩序，各按自己的轨道，形成主次分明之意，从而构成和谐之美。8、节奏、韵律。毕达哥拉斯学派认为“高低、长短、大小的声音有序地出现，合理地搭配，习惯年成复杂而协调的数量关系，就构成了音乐的节奏与韵律，生成了和谐乐章。对于其他事物，同样也是这样。

数的起源与发展_古人计数

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