用向量法研究三角形的性质论文

课本上的证明方法，你学会了吗？

BC=AC-ABBC^2=(AC-AB)^2=AC^2-2AC*AB+AB^2a^2=b^2-2bccosA+c^2

比如三角形的三边对应的三个向量a，b，ca·b=b·c=c·a，可以用4种方法判断它的形状1．（根据对称性）条件a?b=b?c=c?a中a，b，c是对称的，从而判断其为等边三角形。2.因为a+b=c，所以由a?c=b?c得a?(a+b=b?(a+b))，从而a^2=b^2，即。同理可得b=c,所以是等边三角形。3.由a?c=b?c得(a-b)?c=0，即a-b垂直于c。在该直角三角形中由勾股定理得a^2+c^2=4b^2。同理可得a^2+b^2=4c^2。两式相减并化简可得b=c.同理.所以是等边三角形。4.由a?c=b?c得，。而在三角形中有余弦公式b^2=a^2+c^2-2bccosB,a^2=b^2+c^2-2bccosA。由这三个等式可得。同理.所以是等边三角形。

ab/|ab|表示ab边的单位向量，ac/|ac|表示ac边的单位向量，所以(ab/|ab|+ac/|ac|)表示的向量在角bac的角平分线上，因为(ab/|ab|+ac/|ac|)*bc=0，所以角bac的角平分线垂直于边bc，所以△abc是以角a为顶角的等腰三角形，ab/|ab|*ac/|ac|=1*1*cosa=cosa=1/2，所以角a=60°，等腰△abc中一角为60°，所以△abc为等边三角形。

证明：令三角形ABC的三个角分别为∠A、∠B、∠C，其中∠A对应的边长为a，∠B对应的边长为b，∠C对应的边长为c。

那么在三角形ABC中，向量BC=向量AC-向量AB，且|AB|=c，|AC|=b，|BC|=a

则BC·BC=(AC-AB)·(AC-AB)，

那么|BC|^2=|AC|^2+|AB |^2-2AC·AB，

又因为AC·AB=|AC|*|AB|*cosA，

a^2=b^2+c^2-2bccosA。

同理可用向量证明得到，

b^2=a^2+c^2-2bccosB，

c^2=b^2+a^2-2bccosC。

上述即用向量证明了三角形的余弦定理。

扩展资料：

1、向量的运算

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c(x3,y3)则向量的运算法则如下。

（1）数量积

对于向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，且a，b之间的夹角为A，那么

a·b=b·a、(λa)·b=λ(a·b)、（a+b)·c=a·c+b·c。

a·b=|a|·|b|·cosA，

（2）向量的加法

a+b=b+a、(a+b)+c=a+(b+c)

（3）向量的减法

a+(-b)=a-b

2、正弦定理应用

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，

那么a/sinA=b/sinB=c/sinC。

且三角形面积S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

参考资料来源：百度百科-向量