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陈怀琛与龚杰民两位教授所编写的《线性代数实践与MATLAB入门》由科学计算软件MATLAB入门与线性代数实践两篇共九章所组成。书末有一个附录，对美国国家科学基金项目——“用软件工具增强线性代数教学（ATLAST）”进行了简单的介绍。线性代数是围绕求解线性方程组而发展起来的一门学问，它的基本概念有向量、行列式、矩阵、线性变换、特征值和线性空间等，解析几何是线性方程组的几何背景。随着线性代数的发展，人们发现，使用它的基本概念，许多学科和许多数学分支中的问题有了几何意义，或者几何意义更加丰富凸显，不少深入而复杂的题目可以用简洁的形式来表述；还有，借助于符号的可比性，常常能够启发人们发现有效的求解方法，即算法。在历史上，人们曾经研究过这样一个题目：如果只用直尺，不用圆规，能够解决哪些作图题？今天，在这里，也设想一个问题：如果不准使用线性代数的概念和理论，许多学科将会变得如何的支离破碎，达不到今日的深度。所以我们说不仅理工科专业，甚至大学的几乎所有专业，线性代数是一门必修课，是一门基础课。线性代数由理论和计算两部分所组成。20世纪50年代我国在理工科各专业开设线性代数课程时，以介绍理论部分为主。那时，人们已经认识到，线性代数有广泛的应用，但教材中往往限于讲授在二次型中的应用。这是因为当时计算机和编制相关程序的工作离我国的实际情况甚远。虽然已经认识到计算机能够快速高效地求解线性代数中的各种数字题目，但在教材中只能淡淡地指出这个方向而已。改革开放以来，虽然提倡直接使用国外的教材（也就是说，采用国外的教学大纲），注意计算机的应用，提倡开设使用科学计算软件的数学实验课程，开设某些科学计算软件的师资培训班等，但是除了使用国外教材外，还远没有改变各个课程，线性代数课依然是一片“宁静的沃土”。现在的科学计算软件已经发展到使用非常方便、功能异常强大，一经使用便令人惊叹不已的地步，科学计算软件已经成为科学工作者的高级计算器。实验室和编写程序的良好的环境，加上我国经济迅速发展，计算机广泛普及，让大学各个专业的学生全都学会使用这些软件应该是刻不容缓的事情。本书介绍了大量的实际应用题目，把科学计算软件和线性代数密切结合，充分利用软件的可视化功能产生的图形和动画补充了现行教材的不足。它明显地接受了美国ATLAST计划所产生的先进成果影响，是一本有特色的配套教材；因此，它的出版无疑是非常及时的。值得指出的是，比照美国的实践，我国原有的教材内容和教学水平应该说是落后了十几年。正在或者已经学过线性代数的人员（大学生，研究生，各方工程技术人员），定能从学习本书而加深理解线性代数和软件MATLAB这两门学问的知识以及它们之间联系的重要性，并从大量应用实际问题拓宽思路。本书每章末有足够练习题，读者可以从上机做实验中培养技能和乐趣，提高学习线性代数的积极性。此外，本书还可成为使用软件MATLAB解决有关线性代数问题的人员的上机参考手册。我赞成线性代数理论和实践两部分由同一个教师施教，并相信讲授线性代数的教师对于本书中的各个方面的内容，例如令人深思的学术观点，有趣的历史资料，众多有用的应用题，附录中介绍的美国学者的敬业精神、集体主义和工作经验等，都会产生极大的兴趣。使用本书时可能发生的困难有两点：一是在增加不多的学时中，如何组织这个实验任务。按本书参考文献[1]，美国实施这门课程总共用35学时（他们也喊学时不够），可见理论和实际的结合可能产生事半功倍的效果，这当然有一个探索的过程。二是少数教师可能对使用软件MATLAB进行教学感到困难。我在过去二十多年的教学生涯中，曾经几次随班听课，甚至随班参加考试过高级算法语言Pascal、C。虽然多次企盼自己能够编写某些程序，可是事情就那么困难，几个回合败下阵来，再加工作忙碌，无奈放弃，而后畏难情绪迟迟不能消去。近几年，为科研工作所迫，硬着头皮，熬！摸索三个月，算是开始能为我编制程序服务了。科学计算软件和数学的关系非常密切。有人说大同小异。殊不知，许多时候，所编程序之所以通不过，错误就出在那些小异上。毕竟是要进入一个崭新的学科，我们当然要认真学习；它既是一门科学，当然一定能够学会，而且那么多的人已经学会了。今天的科学计算软件和算法语言已经大不一样了。打一个不那么恰当的比喻：改革开放初期，曾经流行过一本英语教材，叫《英语会话900句》。它分成若干个部分，包含各个场合所常用的句子，问路、学习、买东西，还有开会等。现在流行的科学计算软件也是这么一种模式，它们都有自己的“900句”。由若干个函数库所组成，分别为各个任务提供种种函数和命令。当您拿起一个软件，首先按照教材中的例题，边读边在计算机上试算一些最基本的语句，以初步了解该软件的功能。当您学习线性代数时，无需全面熟悉其他各个分支的语句。随着学习的进程，每次学习四、五个语句，就能让计算机开始为您服务。当您掌握若干个语句之后，发现某些规律，学习不仅更加容易，而且延展到别的问题往往也能沿着同一思路得到解决。当您找不到现成的语句解决所提的题目，则需要组合若干基本语句来完成。为了我们的教学工作，也为了今后自身的科研工作，花一定时间来逐步掌握一两个科学计算软件，让它们成为自己的一个终生的学术助手和伙伴，无论如何都是值得的。我也是一名数学老师，即便在“熬”的日子里，也不断地从中得到许多的乐趣，现在，在我写书，算题，科研等工作的过程中，面对屏幕显示的结果，不时自言自语地惊叹说：“太好了！”深深感激科学计算软件给我的帮助。本书作者陈怀琛教授是计算机科学、机械、电子和控制等学科的专家。具有丰富的教学实践经验和教学管理经验，对我国21世纪大学工科专业学生如何培养的问题，有许多很有价值的见解。作者对当前国内外的工科线性代数课程的施教情况十分关心。龚杰民教授是软件专家，二十年前就出版了关于C语言的教材。他们不仅亲自执笔编写这本教材，还正面提出了具体改革的见解。听说西安电子科技大学领导已经决定教改立项，将由陈教授亲自负责使用本书书稿，先对该校全体线性代数教师组织培训研讨班，再点面结合地对部分一年级大学生用本教材进行施教，有系统地开展试验，实在是一件大好的事情。祝这项工作成功！秦裕瑗2005年 中秋节于武汉科技大学前 言线性代数的重要性现在比过去任何时候都更加令人刮目相看。在20世纪后半期，线性代数的应用继续扩大到了越来越多的新领域。它在数学课程中的角色已经上升到可与微积分相匹敌。线性代数的这种发展首先是由于人们所研究问题的规模愈来愈大，愈来愈复杂，牵涉的变量成百上千，这样复杂的问题，目前只能把变量之间的关系简化为线性才有可能求解。所以大规模的线性代数问题就成为热门的数学工具。除了上述的“需求牵引”之外，线性代数发展的另一个动力是“技术推动”，那就是计算机技术的推动。几十年来计算机硬软件的飞速发展给线性代数的研究和教学提供了前所未有的空间和机遇，线性代数课程教学上的许多新面貌、新方法都来自于计算机技术的新发展。计算机如何推动了线性代数的应用线性代数是一门应用性很强，但又在理论上进行了高度抽象的数学学科。一方面，中学生就学过了二元一次代数方程的解法，代入法和消去法大概每个人都会记忆一辈子，这就是最简单的线性代数。当把方程的阶次提高到了三元一次以上时，它不但要求较高级的抽象思维能力，而且也要求用十分烦琐的计算步骤才能解决问题。对于数学家，他们重视前者，这无可厚非；但对于大多数工科学生，他们更需要的是能应用它的理论，指导完成实际的计算。事实上，线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算，只是由于计算机的出现才赋予了在应用方面的生命力。举一个典型的例子，Wassily Leontief教授把美国的经济用500个变量的500个线性方程来描述。1949年夏，由于当时大学的计算机（Mark II）能力所限，Leontief把系统简化为42个变量的42个线性方程，编程并用穿孔卡输入程序和数据就用了几个月，最后计算机运行了56小时才求出了解。当Leontief在1973年成为诺贝尔经济学奖得主时，这项工作以“第一个有实际意义的利用计算机求解大规模数学模型”列为其得奖的理由之一。他的成就和获奖成为各国科学界用线性代数建立工程和经济模型的巨大动力，推动了这门科学的迅速发展。可以看出，离开了计算机，线性代数在工程中就很难有用武之地。这也反映在美国的大学工科教育中，表现出对这门课的日益重视；课堂上固然着重讲线性代数理论，但同时给学生加上大作业或课程设计等实践环节。大学中的大型计算机很大程度上也支持了这门课的实践环节，使用的软件主要是FORTRAN或COBOL语言。线性代数的教学不能离开计算机是美国工科教育界的共识。20世纪80年代，出现了个人计算机并迅速普及。新的硬件也带动了新的软件，出现了新颖的科学计算语言，也称为数学软件，因为它具有高效、可视化和推理能力等特点，故在大学教育和科学研究中，迅速地取代了FORTRAN和BASIC语言。这类软件中商品化的有MATLAB、MATHEMATICA、MATHCAD、MAPLE等，它们的功能大同小异，但各有所长。目前在美国大学工科中，流行最广的是MATLAB语言。MATLAB是“矩阵实验室”（Matrix Laboratory）的缩写，它是一种以矩阵运算为基础的交互式程序语言，当然它特别适合于线性代数，并能更广泛地适应科学和工程计算及绘图的需求。与其他计算机语言相比，MATLAB的特点是简捷和智能化，适应科技专业人员的思维方式和书写习惯，使得编程和调试效率大大提高。它用解释方式工作，键入程序立即得出结果，人机交互性能好，易于调试并为科技人员所乐于接受。特别是它可适应多种平台，并且随计算机硬软件的更新及时升级，因此MATLAB语言在国外的大学工学院中，特别是数值计算用得最频繁的电子信息类学科中，已成为每个学生必须掌握的工具。它大大提高了课程教学、解题作业、分析研究的效率。我们学习掌握MATLAB，不仅可以直接帮助学习线性代数，而且也可以说是在科学计算工具上与国际接轨。国内外线性代数教学的差距从美国在线性代数教学中使用计算机的历史可以看出，个人计算机和科学计算软件的普及迅速推动了这门课程的教学方法改善，使得计算机的使用不限于大作业，也可以用于日常课程教学。1990年，美国成立了线性代数课程研究组(Linear Algebra Curiculum Study Group-LACSG)，然后，在国家科学基金会(NSF)资助下组织了数学和工科专家的一次会议，提出了线性代数课程改革的五点建议，简称为LACSG Recommendations（见参考文献[3]），其要点是：(1)首先要满足非数学专业面向应用的需要；（2）要以矩阵运算为基础；（3）要从学生的水平和需求出发；（4）要采用最新的软件工具；（5）对想要数学学位的学生应另开相关课程以提高其抽象性。1992年美国国家科学基金会（NSF）资助了一个ATLAST计划，ATLAST是Augment The Teaching of Linear Algebra through the Use of Software Tools（用软件工具增强线性代数教学）的缩写。该计划在1992年到1997年六个暑期组织了十八个教师研讨班。共有来自各大学的425名教师参加。参加者接受了使用MATLAB软件包的训练，详情可参阅附录B。在使用MATLAB方面，从他们的教材发展来看，在1995年算起的头几年，主要反映在采用MATLAB的习题并介绍MATLAB入门，见参考文献[7]~[9]。到近十年就开始把MATLAB掺合到线性代数的各章中去，主要是对有些理论提供计算机的演示和验证，反映在参考文献[1]~[5]中。当然线性代数的整个理论体系，并不受使用计算机而有所改变。在我国，线性代数课在理工科本科教学的加强开始于改革开放以后，是学习国外先进经验的结晶。当时大学中还没有计算机，虽然利用世行贷款，花了不少钱买了一些大型计算机，但线性代数课并没有用。因为课程内容不作改革，有计算机也用不成，当前的情况就足以为证。如果说以前是出于无奈，那么在个人计算机已经如此普及的情况下，还不用计算机，那就是固步自封了。所以线性代数课中不谈计算机、教线性代数的老师几乎不使用计算机，已经成为我国线性代数教育界与发达国家的明显差距。于是我国的线性代数课程出现了不尽如人意的状况——理论抽象愈来愈深，应用和实际计算很少结合，它成了一门学生感到抽象、冗繁而枯燥的课程。由于缺乏感性的、实践的基础和应用的推动，后续课程又往往怕烦而避开矩阵方程，教出来的学生当然是理论上害怕矩阵、实践中不会用矩阵算题的。可以做一个测试：在学生学完线性代数课以后，让他们解一个四元一次代数方程，看他们用什么工具解？要多少时间？做对的有多少比例？按现在的教材和教法，绝大多数学生解这个题用的完全是中学里学的方法：用计算器一个数一个数地算乘法和加法，谁也不会用线性代数去解。而且计算的效率和正确率极低。要知道，许多后续课程都需要用线性代数，比这个四元一次方程要复杂得多，解这么简单的题目还这样的少慢差费，大学工科后续课程怎么能用线性代数呢？又怎么谈得上为工科教育打好数学基础呢？如果在课程中增加4～6学时的实践内容，情况就会完全不同。像上面的测试题，用计算机解，一分钟就可解决问题，正确率100%。对复杂的问题，提高效率更为明显。通过实践不仅方便了计算，而且对理论和概念的理解也会加深，并节省很多时间。本来，线性代数的理论和实践是应该融合并在一起实施的，因为这门课的特点就应该理论与实际相结合。不过现在在我国实现这个任务似乎还相当艰巨，首先要从上到下达成共识，然后要修改教学计划，接着还要编写新的教材和培养大批合格的师资。本书的内容安排在我国，每年学习线性代数课程的大学生大概有100万人之多，教这门课的老师应该有上万人。要推动“用计算机提高线性代数教学水平”的事业，不是一两年就能做到的，美国还花了六年时间呢！现在我们的线性代数教学水平比美国已经落后了十多年，所以要奋起直追。我的建议是分两步走。第一步是单独开设“线性代数实践课”，与线性代数同步实施。其好处是暂时不影响原来教师们的备课和教材，并且让少量的实践领头老师能集中精力，给更多的学生讲课，也培训现有的老师；这些老师也同时承担实践课的辅导任务，这有利于提高他们的计算机使用水平，为以后全面承担这门课程创造条件。第二步是把实践课与理论课合并实施，除了师资外，最主要的是编一本把理论与实践紧密结合的好教材。在我们的方案中，实践课的计划是一个学分，按16学时计算。考虑到我国线性代数课程大都放在大学一年级，此前大一新生未必学过MATLAB，而且以线性代数作为学习MATLAB的切入点有很大的好处，所以把线性代数实践与MATLAB入门合成一门课实施比较合适。初步安排讲课约10～12学时，其中介绍MATLAB语言入门约4学时，讲解线性代数实践原理和程序6~8学时，上机时间预计10～12小时。我们根据这样一个思路编写了这本教材。这本书虽然有实践的部分，但它是从实际应用的角度对线性代数的概念进行了整体的剖析和归纳，并与工程实践有大量的联系，其范围超出了一般的数学实验，故取名为“线性代数实践”。本教材中MATLAB入门部分基本上就是参考文献[4]、[5]两本书中的语言篇，对于线性代数实践而言，主要用到的是第2章和第4章4.2节；虽然书的篇幅多了一些，但这样可以维持MATLAB基本函数的完整性，使这本书兼有MATLAB的手册功能，同时也便于利用本书作者的一套四小时讲课光盘，让老师不必花时间为MATLAB备课。实验课安排的时间最好在线性代数开课一个月以后，这样衔接比较好。这门课程可促进学生用计算机的经常化，故不要速战速决，以拉开到八周以上为好。线性代数部分则是参考国外2000年后新出版的教材（见参考文献[1]~[4]）和2003年出版的ATLAST Manual（见参考文献[7]）等资料编写的，其中也利用了作者在多本著作中用矩阵建模和解决难题的实例（见参考文献[10]~[12]）。为了尽量加强与线性代数理论部分的衔接，能帮助学生既避免烦琐刻板的四则运算，又能真正体会到线性代数中的推理思路，我们设计了一些简单的MATLAB子程序，来完成高斯消元、行阶梯简化、行交换等任务。为了加强线性代数的几何形象教学，我们又设计了一些快速简便绘制直线和平面图形的函数；另外，还采用了ATLAST Manual提供的某些矩阵生成子程序和演示程序。因为全国各大学的差别很大，例如专业不同、上课的学期不同（大一上、大一下、大二上都有），造成学生的基础不同，所以书中的实例就不得不取宽一些，并尽量避开微积分。实例并不需要全讲，有的可留给后续课程中让学生自学，书中的小字部分在初学时也可跳过。我们认为，工科大学生能用计算机和MATLAB解线性代数方程的问题，那么这门实践课的主要目标可以说基本达到了。本书由陈怀琛负责总的策划与编写，龚杰民担任国外教材资料的翻译及部分习题的选编。由于我们还没见过同类书名的书籍和教材，写书时很难找到可以直接参考的体系，这个新生事物，还缺乏实践经验，再加上要赶上2005级部分新生进行试点，编写时间紧迫。我们的想法和做法，肯定有很多不当之处，欢迎批评指正。更希望各方面的专家和读者通过自己的教学实践向我们提出改进的建议。我们的电子邮件地址为致谢本书荣幸地由武汉科技大学秦裕瑗教授审阅，作为一位在欧美7国14校进行过讲学、有多部专著的我国数学界前辈，他不但博学，而且其严肃认真的治学态度和不断接受新事物的进取精神给我们以很大的激励。在年逾80之际，他仍在孜孜不倦地学习科学计算软件（Mathematica和MATLAB）并把它用到自己的著作《运筹学简明教程》中，实在令人肃然起敬。与此相反，我们看到有些年纪不过四五十岁的中年教师，已经不想学计算机了。在这里，我们特别希望广大的线性代数课老师，能以秦教授为榜样，把自己用科学计算语言武装起来，尽快把我国的线性代数课程用计算机武装起来，创造一个崭新的教学局面。作 者2005-8-28于西安电子科技大学
代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有 n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。 九章算术线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。
《线性代数》教学的一些思考中华硕博网 2009年02月13日 点击数： 1 来源：中国论文下载中心中华硕博网核心提示: [摘要]《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与熟悉，提出《线性代数》教学抽象概念的[摘要]《线性代数》是工科高校中颇为重要的一门课，也是较抽象难学的一门课程。本文从理论与实践两方面以作者的体会与熟悉，提出《线性代数》教学抽象概念的讲解应注重的几点问题，阐释了如何进行《线性代数》课程的课堂教学，并且能收到良好的教学效果。[关键词]线性代数数学概念教学方法《线性代数》是高等院校理、工类专业重要的数学基础课。它不但广泛应用于概率统计、微分方程、控制理论等数学分支，而且其知识已渗透到自然科学的其它学科，如工程技术、经济与社会科学等领域。不仅如此，这门课程对提高学生的数学素养、练习与提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力都有重要作用。但由于“线性代数”本身的特点，对其内容学生感到比较抽象，要深入理解与把握代数的基本概念与基本理论学生感到相当吃力、难以理解。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。一、加强基本概念的教与学线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、线性表示、线性相关、特征值与特征向量等抽象概念根植于客观的现实世界，有着深刻的实际背景，即是比较直接抽象的产物。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。新生刚进入大学，其思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。在概念的教学中，教师要研究概念的熟悉过程的特点和规律性，根据学生的熟悉能力发展的规律来选择适当的教学方式。因此，在概念教学中应注重以下几点。1。合理借助概念的直观性尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。2。充分利用概念的实际背景和学生的经验教师在教学中应充分利用学生已有的数学现实和生活经验，引导和启发学生进行概念发现和创造。如在讲解n阶行列式，首先从学生已把握的二元、三元一次方程组的求解入手，然后求出方程组的解由二阶、三阶行列式表示，分析二阶、三阶行列式的特点。二阶行列式，不难看出：它含有两项，若不考虑符号，每项均是来自不同行不同列的两个元素的乘积，那么会提出这样的问题：右边各项之前所带的正负号有什么规律？同样的，三阶行列式若不考虑符号，它含有3！=6项，每项也是来自不同行不同列的三个元素的乘积，并且包含了所有由不同行不同列的三个元素的组合。为解决n阶行列式，又引出排列的概念、性质，介绍奇偶排列后，又回到我们提出的问题上，可以发现，行标按自然排列，列标排列为奇排列时，该项为负；列标排列为偶排列时，该项为正（问题得到解决）。经过这一过程，学生对n阶行列式已有接触和了解，此时可给出n阶行列式定义，这样一来，学生就轻易理解和把握n阶行列式的性质了。3。注重概念体系的建立R。斯根普指出：“个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。”数学中的概念往往不是孤立的，理解概念间的联系既能促进新概念的引入，也有助于接近已学过概念的本质及整个概念体系的建立。如矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行（列）满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。二、学生要把握科学的学习方法学习重在理解，学生必须在理解、领悟其深刻含义的基础上记忆定义、定理及一些结论，才能收到理想的效果。线性代数的最大特点就是：知识体系是一环扣一环，环环相连的。前面的知识是后面学习的基础，如用初等变换求矩阵的秩熟练与否，直接影响求向量组的秩及极大无关组，进一步影响到求由向量组生成的向量空间的基与维数；又如求解线性方程组的通解熟练与否，会影响到后面特征向量的求解，以及利用正交变换将二次型化为标准型等。因此，学习线性代数，一定要坚持温故而知新的学习方法，及时复习巩固，为此，教师课前的知识回顾以及学生提前预习是十分必要的。三、加强对学生解题的基本练习一定量的典型练习题能有助于学生深化对所学知识的理解，培养学生一题多解的能力，解题后反思，及时总结解题思路和方法。如证实抽象矩阵的可逆，就有很多方法，一是用定义。二是用秩的有关命题。三是借助于特征值理论。四是证实矩阵的行列式不为零等。四、培养与激发学生的学习爱好爱好是最好的老师。教师一方面在传授知识，另一方面要鼓励学生有针对性的设计他们的目标，这样，他们才肯自觉钻研，乐于钻研。同时，课堂教学中可选择近年来研究生入学考题及一些与实际联系较紧的题目讲解或练习，以激发学生的学习欲望，并给他们带来成功的满足。此外，还可以适当介绍一些有趣的应用典范或教学史来激发学生的学习热情，提高他们的学习爱好。五、发挥多媒体优势，增强教学效果多媒体教学成为当前高校教学模式的重要手段。教师只有把传统教学手段、教师自己的特色和多媒体辅助教学三者有机结合起来，才能真正发挥多媒体课堂教学的效果。总之，教师在教学中所做的一切，其目的应在于既教会他们有用的知识，又教会学生有益的思考方式及良好的思维习惯。参考文献：[1]张向阳．线性代数教学中的几点体会．山西财经大学学报（高等教育版），2006。[2]于朝霞．线性代数与空间解析几何．北京：中国科学技术出版社，2003。
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。2、目录：目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。5、论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是：（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
[1] 北京大学数学系几何与代数教研代数小组 编《高等代数》（第二版）北京高等出版社，1988[2] 熊廷煌 主编《高等代数简明教程》武汉湖北教育出版社，1987[3] 霍元极 主编《高等代数》北京师范大学出版社，1988[4] 丘维声 主编《高等代数》（上册）高等教育出版社，1996[5] 关治，陈精良《数学计算方法》北京清华大学出版社，1990[6] 邓建中，刘之行 《计算方法》西安交通大学出版社，2001[7] 张元达 《线性代数原理》上海教育出版社，1980[8] 蒋尔雄，等《线性代数》人民教育出版社，1978
大学高数小论文
在学习和工作的日常里，大家对论文都再熟悉不过了吧，通过论文写作可以提高我们综合运用所学知识的能力。那么一般论文是怎么写的呢？以下是我整理的大学高数小论文，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
【摘要】本文结合自己对高等数学的教学实践，以及高等数学的教学特点，给出了培养学生主动学习高数的方法和途径。
【关键词】高数；自学能力；会学；乐学
同志曾说：“会学比学会更重要，学会思考比学会知识更重要”。人们常说的“授之以鱼，不如授之以渔。”也就是这个道理。教是为了不教，学是为了会学。因此如何培养学生自学能力，使之找到适合学生自己的独立学习方法尤为重要。笔者结合自己高等数学的教学实践，以及针对石大商学院学生的特点，谈谈教师如何在教学中培养学生自主学习的能力。
一、是明确目标，端正学习态度，认识学习高数的重要性。
刚上大学，有的学生觉得学习数学一下子变得困难起来，开始怀疑自己的能力，有的甚至认为自己没有数学细胞，觉得数学越学越难学，越学越糟糕。其实，同学们没有找到真正的原因。与初高中相比，大学数学内容丰富，推理论证性强，抽象，教学难度大，学习要求明显提高。对于非数学专业的学生来说，感觉高数对自己以后找工作也没用，就是一门基础学科，学与不学都一样，另外再加上原来是文科的学生来说，更感觉是天书，一遇到学习困难就缴械投降，失去了学习的兴趣，从此就不再愿意学习数学。那么这个时候，带课教师的正确引导就变的更为重要。带课教师在高等数学教学前，非常有必要针对这门新课程进行入学教育，结合学生的专业，做些简单的介绍，使学生初步了解这门课程的内容、重要性、学习目的、学习方法及课程大致的教学安排。了解这些是为避免学生开始时就不自觉地进入被动的学习，在学之前就知道为何要学、如何去学。这也为以后的自主学习开了个好头。
二、是努力让学生对高数爱学，乐学，会学。
教学水平的高低通过学生来检验，教学效果优良的课程，学生一定由爱学到会学。其实也就是逐渐培养学生的自学能力，变被动学习为主动学习的一个过程。那么这个过程该如何体现呢？
（1）认真开列自学提纲
主要由教师根据某一单元的教学内容，抓住教学的重难点，给学生列出自学提纲。列题纲的目的就是为了激发学生的兴趣和体现学生积极主动性学习。同时，为了提出高质量的自学提纲，教师就必须要吃透课本，很好的把握教材的重难点。如在讲《线性代数》的矩阵概念和运算这一节的内容时，可以给学生列出这样的提纲。
1、什么是矩阵？也就是矩阵的概念。
2、矩阵与行列式的区别在哪？从形式上有什么区别？
3、矩阵都有哪些运算？具体的'每一种运算都是如何来进行的？在数k乘矩阵的运算与数k乘行列式的运算的区别在哪？在此基础上，学生就可以自学来解决这些疑问。
（2）提高学生的数学阅读能力
提高学生的数学阅读能力是培养学生自学能力的关键。自学能力的核心是数学阅读能力，数学阅读能力提高了，也会促进其他能力的发展。由于大多学生受传统教学的影响，习惯听老师讲，思维上养成惰性，被动的接受，从来不去自己主动的学习，老师讲多少就听听多少。这也是一部分学生对数学经常有“一讲就懂，一看就会，一做就错”的原因。只会用公式去套题，或用题去套公式，没有正确的解题思路，不会思考，更不善于思考，也就不能举一反三。因此，要让学生学会自学，必须学会阅读，这就需要教师加强对数学阅读的指导。把握数学阅读的“四种读法”。“四种读法”是指：
a、“泛读”：要求对本节课的大致内容有初步了解，了解基本内容；
b、“细读”：要求对所读内容有全面的一个了解，弄清定理、公式的性质，明确公式、例题的渐进梯度和知识关联的范围；
c、“精读”：在泛读的基础上，对与重点、难点有关的内容进行阅读，着重掌握数学内容的知识体系，既要知其然，又要知其所以然；
d、“熟读”：要求学生通过阅读，总结规律，融会贯通，基本内容烂熟于心。
（3）注重练习，及时的进行归纳总结
数学课不同于其它课，最大的窍门在于多练，孰能生巧。只有通过大量的做练习题，才能更好地巩固本节课的知识点，才能掌握更多的解题技巧，才能把失误降到最低点。平时练习太少，计算能力太差，考试的时候一做就错。另外，在做完题后及时的进行总结。就拿行列式的计算来说，只有多多练习，在做完题后，及时针对不同的行列式进行方法总结，你才能掌握求解行列式的技巧，比如定义法，目标行列式法，降阶法，升阶法，归纳法等等。掌握了方法后，在做题的时候，才能根据行列式的特点选择正确的计算方法。
（4）引导学生做好预习、复习，培养自学习惯
为了培养学生的自学能力，预习和复习也是非常重要的。通过预习，学生才能更清楚的知道自己对本节的哪个知识点看不懂，带着问题听课，听课的时候有所侧重，这也在某种程度上起到一种激发学生学习的兴趣，正因为不会，上课才要更好好的听老师讲，使学生“乐学”。学生一旦有了学习兴趣，特别是直接兴趣，学习活动对他来说就不是一种负担，而是一种享受、一种愉快的体验，学生会越学越想学、越学越爱学，有兴趣的学习事半功倍。相反，如果学生对学习不感兴趣，情况就大相径庭了，学生在逼迫的状态下被动学习，学习的效果必定是事倍功半。当然课后复习也特别的重要，学生往往不太重视对概念的理解，以致导致学生课堂上啥都听懂了，下去做题问题就出现了，其实这是学生对概念没吃透，稍微变下题型就不知道从哪下手。复习不是翻开书走马观花，要找到自己不会的地方，增强记忆。因此这一方面，老师一定引导学生围绕学习重点，理解相关的内容，在概念，理论以及方法上下功夫。
（5）创造良好的课堂氛围
大量的教学实践证明，要求学生循规蹈矩，洗耳恭听的课堂学习环境是不可能吸引学生好奇、自由想象和大胆质疑的，学生在这种环境中，学的被动，学的压抑，当然不可能调动起学习积极性。因此我们要营造良好的学习氛围，才能使学生愉快地、主动地参与到学习中来。要摒弃传统的“注入式”教学模式，给学生一定的时间和空间，启发诱导学生积极思考，主动参与，鼓励学生发表不同的见解，活跃氛围，让他们真正体会到他们是学习的主人。教师在讲课过程中要吸引学生眼球。教师讲课的内容要承前启后，突出重点，讲透难点；讲课的语言要规范，准确，力求生动；讲课的声音不仅要洪亮，而且要悦耳；语调要抑扬顿挫，有起伏，有高潮，还可以适当采取诙谐幽默的语言。教师在讲课时目光一定要关注学生的表情，看学生是否听课，注意力是否集中，是否听懂，切不可背向学生念讲稿。在教学的过程中，教师要调动学生的思维，可以恰当的在课堂中提问，或自问自答，或组织学生当堂讨论，或者给学生上台展示的机会，或者是如果课时容许的情况下辅导学生备课主讲某节内容，然后教师讲评，最后教师把学生讲的不到位的地方，再加以补充，效果很好。
在课堂练习中，让个别同学在黑板上做，做完教师并不要急于评价谁是谁非，而让其他学生自己来评讲，解错了，要分析原因，找出错误的症结，再重新做一遍。这样做，不但使得练中有思，而且锻炼和培养了学生的思维品质，正确的该怎么做；解对了，要想有没有更好的解法，鼓励学生采用多种方法解决问题；这样大家集思广议，不但把问题解决了，而且还可以拓宽大家的思路，使他们相互启发，共同进步。
（6）充分利用现代化高科技的教学手段
充分利用现代化教学手段，提高学生自学的能力。两方面，一方面是老师要根据该课程的特点，高数内容多且抽象，若能采取多媒体+适当板书的讲授，定能事半功倍。另外在课件的制作过程中可以使用动画，图案的效果，达到吸引学生的注意力。另一方面就是学生要利用网络优势，学会查找学习资料以及充分利用相关媒体资源。特别要注意网上学习资料的下载和学习，比如本学校的网络教学平台，任课教师一般会在教学平台上传该课程的教学大纲，教学日历，以及相关的学习课件，练习题。
这是笔者借鉴同行以及自己在教学过程中的一些体会，目的在于培养大学生学习数学的一种自学能力，或者说一种兴趣，要培养学生爱学，乐学数学；不要一提起数学，大家都很头疼的。总之，只有转变教学观念，只有以学生为中心，充分发挥学生的主体作用，通过教师适当的点拨引导，才能全方位地提高学生的综合素质，达到培养和提高自学能力的目的。
参考文献:
[1]徐振华.关注学生差异,提升有效教学[J].教育研究与实验,2010(12).
[2]马德炎.谈创新与大学数学教育[J].大学数学,2003(1).
线性代数是高等代数的一大分支。我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。行列式和矩阵在十九世纪受到很大的注意 , 而且写了成千篇关于这两个课题的文章。向量的概念 , 从数学的观点来看不过是有序三元数组的一个集合 , 然而它以力或速度作为直接的物理意义 , 并且数学上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度 , 散度 , 旋度就更有说服力。同样 , 行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx 在数学上不过是一个符号 , 表示包括△y/△x的极限的长式子 , 但导数本身是一个强有力的概念 , 能使我们直接而创造性地想象物理上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语言或速记，但它的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。 线性代数学科和矩阵理论是伴随着线性系统方程系数研究而引入和发展的。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在 1683 年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，意思是 “ 解行列式问题的方法 ” ，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家， 微积分学奠基人之一 莱布 尼 兹 （ Leibnitz ， 1693 年） 。 1750 年 克莱姆（ Cramer ） 在他的《线性代数分析导言》（ Introduction d l'analyse des lignes courbes alge'briques ）中 发表了求解线性系统方程的重要基本公式（既人们熟悉的 Cramer 克莱姆法则）。 1764 年 , Bezout 把确定行列式每一项的符号的手续系统化了。对给定了含 n 个未知量的 n 个齐次线性方程 , Bezout 证明了系数行列式等于零是这方程组有非零解的条件。 Vandermonde 是第一个对行列式理论进行系统的阐述 ( 即把行列 ' 式理论与线性方程组求解相分离 ) 的人。并且给出了一条法则，用二阶子式和它们的余子式来展开行列式。就对行列式本身进行研究这一点而言，他是这门理论的奠基人。 Laplace 在 1772 年的论文《对积分和世界体系的探讨》中 , 证明了 Vandermonde 的一些规则 , 并推广了他的展开行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它们的余子式的集合来展开行列式，这个方法现在仍然以他的名字命名。 德国数学家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年总结并提出了行列式的系统理论。另一个研究行列式的是法国最伟大的数学家 柯西 (Cauchy) ，他大大发展了行列式的理论，在行列式的记号中他把元素排成方阵并首次采用了双重足标的新记法，与此同时发现两行列式相乘的公式及改进并证明了 laplace 的展开定理。相对而言，最早利用矩阵概念的是 拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的双线性型工作中体现的。拉格朗日期望了解多元函数的最大、最小值问题，其方法就是人们知道的拉格朗日迭代法。为了完成这些，他首先需要一阶偏导数为 0 ，另外还要有二阶偏导数矩阵的条件。这个条件就是今天所谓的正、负的定义。尽管拉格朗日没有明确地提出利用矩阵。 高斯（ Gauss ） 大约在 1800 年提出了高斯消元法并用它解决了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。（这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名，但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用“高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 - 约当消去法则最初是出现在由 Wilhelm Jordan 撰写的测地学手册中。许多人把著名的数学家 Camille Jordan 误认为是“高斯 - 约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。 1848 年英格兰的 J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855 年矩阵代数得到了 Arthur Cayley 的工作培育。 Cayley 研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定义，使得复合变换 ST 的系数矩阵变为矩阵 S 和矩阵 T 的乘积。他还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley- Hamilton 理论即断言一个矩阵的平方就是它的特征多项式的根，就是由 Cayley 在 1858 年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的字母 A 来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公式 det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。 数学家 Cauchy 首先给出了特征方程的术语，并证明了阶数超过 3 的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值；研究了代换理论， 数学家试图研究向量代数，但在任意维数中并没有两个向量乘积的自然定义。第一个涉及一个不可交换向量积（既 v x w 不等于 w x v ）的向量代数是由 Hermann Grassmann 在他的《线性扩张论》（ Die lineale Ausdehnungslehre ） 一 书中提出的。 (1844) 。他的观点还被引入一个列矩阵和一个行矩阵的乘积中，结果就是现在称之为秩数为 1 的矩阵，或简单矩阵。在 19 世纪末美国数学物理学家 Willard Gibbs 发表了关于《向量分析基础》 ( Elements of Vector Analysis ) 的著名论述。其后物理学家 P. A. M. Dirac 提出了行向量和列向量的乘积为标量。我们习惯的列矩阵和向量都是在 20 世纪由物理学家给出的。 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。到 19 世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。现代向量空间的定义是由 Peano 于 1888 年提出的。二次世界大战后随着现代数字计算机的发展，矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。
关于线性代数，首先搞清楚线代都能干什么:求Ax=B的时候，我们不是基于求解具体的解，而是先研究A的各种特性，看看这些特性是如何影响Ax=B的解的。所有的特性就是行列式，矩阵，秩，特征向量和特征值，等等。这就是线性代数的主要内容。它的应用就是对于向量和方程作正交分解(对角化，特征向量)，达到降低方程组维数的作用，使得经典方法那一求解的问题变得可解，应用在图像处理，天气预测等诸多领域。具体的你可以看看我的blog的讲解。--------------------------------------漫谈高数(二)方程和矩阵的物理含义漫谈高数(三)线性相关和秩的物理意义漫谈高数(四)特征向量物理意义漫谈高数(七)正交,相关,消元漫谈高数(八)正交分析和谱分析
1、论文题目：要求准确、简练、醒目、新颖。2、目录：目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录）3、提要：是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。4、关键词或主题词：关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。 每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。5、论文正文：（1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。 引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、 论证过程和结论。主体部分包括以下内容：a.提出-论点；b.分析问题-论据和论证；c.解决问题-论证与步骤；d.结论。6、一篇论文的参考文献是将论文在和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期）：作者--标题--出版物信息所列参考文献的要求是：（1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。（2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。