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内事不决问百度 ，外事不决问谷歌，房事不决问天涯。《《杂谈名言》》
二元一次方程组在实际生活中有着广泛的应用，解这类问题时，我们要先弄清题意，设出未知数，用代数式来表示题中的量，再找出其中的等量关系，列出方程组，然后通过解方程组来解决问题。
例析一次函数的常见问题一次函数是初中数学的重要内容之一，在历年的中考中，不仅一些基础题出现，而且一些联系实际的应用题也频频“亮相”。因此，现就有关一次函数的一些常见问题举例分析如下：一、有关字母的取值（取值范围）例1已知y=(k2-1)x2+(k+1)x+k是一次函数，求k的值。简析掌握一次函数的定义“形如y=kx+b(k、b为常数k≠0)的函数，叫做一次函数”是解决这类问题的关键，一定不要忽视了k≠0的隐含条件，否则就会出错。解由题意，得k2-1=0，k+1≠0。∴k=1。二、确定一次函数的表达式例2已知一次函数的图象经过点（3，0）和点（2，5），求这个一次函数的表达式。简析这是一道最常见最基础的确定一次函数关系式的问题，在一次函数y=kx+b(k、b为常数k≠0)中有两个待定系数k和b，需要两个独立的条件，常见的求函数关系式的题型主要有利用定义求表达式，利用一次函数的性质求表达式等。确定一次函数表达式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的一次函数关系式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程（方程组）；（3）解方程（方程组），求出待定系数；（4）把求出的待定系数的值代入所设的关系式。解设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)由题意，得3k+b=0，2k+b=5,解之得k=-5,b=15。∴这个一次函数的表达式为y=-5x+15。三、一次函数的图象所在象限例3一次函数在同一坐标系下的图象是图1中的（）。简析一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它所经过的象限是由k、b的符号决定的，理解掌握它们的关系，才可以轻松熟练的解答此类问题。解选（A）。四、有关一次函数图象的交点（一）与坐标轴的交点问题。（略）。（二）两个一次函数的图象交点问题。例4已知两条直线y=2x-3和y=6-x。①求它们的交点坐标；②利用函数图象解不等式：2x-3＞6-x；③求这两条直线与轴围成的三角形的面积。简析①二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方程组相当于求自变量的取值，使两个函数的值相等；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标。②一次函数与二元一次方程组之间的关系是解决一次函数与一元一次不等式的基础，正确理解交点坐标与自变量、函数值之间的关系，是解决这类问题的关键。③直线与坐标轴围成的三角形的面积是常见的一次函数综合性较强的题目，它涉及了许多关于坐标、函数的基础内容。这里，正确求出两条直线的交点坐标，是解决直线与坐标轴围成三角形的面积的前提。解①解方程组y=2x-3，y=6-x得x=3,y=3。∴直线y=2x-3和y=6-x的交点为（3，3）。②在同一平面直角坐标系中分别画出直线y=2x-3和y=6-x，（如图2），可以看出，两直线的交点为（3，3）。又由图所示，当x＞3时，对于同一个x，直线y=2x-3上的点在直线y=6-x上相应点的上方，这时，2x-3＞6-x，所以不等式的解集为x＞3。③设直线y=2x-3与x轴的交点为A点，直线y=6-x与x轴的交点为B点。令y=0，分别代入两直线表达式得A（3/2，0）、B（6，0），∴AB＝6-3/2=9/2，又由①知两直线的交点为（3，3）∴这两条直线与轴围成的三角形的面积为:S＝12×92×3=274。五由函数图象提供信息的问题例5《邹城日报》2007年9月12日报道了“养老保险执行新标准”的消息。尚河中学课外活动小组根据消息中提供的数据，绘制出邹城企业职工养老保险个人月缴费y（元）随个人月工资x（元）变化的图象，如图3，请你根据图象提供的信息解答下面的问题：（1）赵工程师5月份的工资是3500元，这月他个人应缴养老保险元；（2）小王5月份的工资是550元，这月他个人应缴养老保险元；（3）李师傅5月份个人养老保险56元，求他5月份的工资是多少。简析这是以图象提供信息为特征，考查一次函数的综合应用题。解决这类问题首先应具备阅读图象的能力，然后要有分类的数学思想，要注意“分段”地观察图象，即自变量分成若干“段”，观察各“段”中图象的变化情况，逐一加以分析。解从图象易得（1）填195.2元；（2）填38.99元；（3）设中间线段所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，由图象，知该直线过点（557，38.99）和（2786，195.2）∴2786k+b=195.2,557k+b=38.99。解之得k=7/100，b=0∴y=7x/100。∴当y=56时，x=800，即李师傅5月份的工资为800元。(A)(B)(C)(D)y=2x-3y=6-x118
初三 就写 论文 厉害 佩服啊你可以 按这个 模式 写一下一、目的要求从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系出发，掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。二、内容分析1．本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法。然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法。2．本节课学习一元二次不等式的解法，这是这小节的重点，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。三、教学过程复习提问：1．当x取什么值的时候，3x－15的值（1）等于0；（2）大于0；（3）小于0。（这是初中作过的题目）2．你可以用几种方法求解上题？新课讲解：像3x－15＞0(或＜0）这样的不等式，常用的有两种解法。(1)图象解法：利用一次函数y＝3x－15的图象求解。注：①直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根。②图象在x轴上面的部分表示3x－15＞0。(2)代数解法：用不等式的三条基本性质直接求解。注这个方法也是对比一元一次方程的解法得到的。复习提问：画出函数的图象，利用图象回答：（1）方程的解是什么；（2）x取什么值时，函数值大于0；（3）x取什么值时，函数值小于0。（这也是初中作过的题目）新课讲解：1.结合二次函数的对应值表与图象（表、图略），可以得出，方程的解是x＝－2，或x＝3；当x<－2，或x>3时，y>0，即；当－2
一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。2．教学难点：正确理解根与系数的关系。3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。（2）解方程①，②。观察、思考两根和、两根积与系数的关系。在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。设是方程的两个根。∴ ∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。如果把方程变形为。我们就可把它写成。的形式，其中。从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
本文从以下几方面探讨如何学好二次函数 . 一、理解二次函数的内涵及本质 . 二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 . 二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 . 1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 . 2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” . y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 . 总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 . 3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征； 4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 . 三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 . 1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 . 2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 . 3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 . 四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 . 一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 . 从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 . 五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 . 用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .〖教学目标〗 ◆1,经历一元二次方程概念的发生过程. ◆2,理解一元二次方程的概念. ◆3,了解一元二次方程的一般形式,会辨别一元二次方程的二次项系数,一次项系数及常数项. 〖教学重点与难点〗 ◆教学重点:一元二次方程的概念,包括一般形式. ◆教学难点:例1第4题计算容易产生差错,是本节教学的难点. 〖教学过程〗 合作学习 列出下列问题中关于未知数x的方程 ①正方形的面积为80,边长为x,则可列出方程 . ②某村的粮食年产量,在两年内从60万千克增长到72万千克,问平均每年增长的百分率是多少 设年平均增长率为x,则可列出方程 . 引入新课 观察方程x2=80 和 两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2次,我们把这样的方程叫做一元二次方程,能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根) 练一练:1,判断下列方程是否为一元二次方程:① 2(3x+2)=x2 ② +x+3=0 ③ ④ ⑤ 2,判断未知数的值,,是否是方程的根. 一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式,我们把形如(,,为常数,)称为一元二次方程的一般形式,其中,,分别称为二次项,一次项和常数项.,分别称为二次项系数和一次项系数. 思考:为什么,,可以为零吗 三,范例讲解: 例1:把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数,一次项系数和常数项. ① ② ③ ④ 解:① 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ② 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ③ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. ④ 移项,整理,得 这个二次项系数为,一次项系数为,常数项为. 我们在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的系数从高到低排列,先写二次项,再写一次项,最后是常数项. 四,练习巩固: 1,方程 ① ② ③ ④ 中是一元二次方程的为 (填序号). 2,关于的一元二次方程的一个解是,则 3,判断下列各方程后面的两个数是不是它的解. ① ( ) ② ( ) ③ (3 , 1) ( ) ④ () ( ) 五,小结: 记住一元二次方程的一般形式,并会判断方程是否为一元二次方程; 化成一元二次方程的一般形式后,能说出二次项系数,一次项系数和常数项; 能判断的值是不是方程的解. 作业:见作业本 2.1一元二次方程(2) 【教学目标】 ◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. ◆2.会用因式分解法解一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用因式分解法解一元二次方程. ◆教学难点:例3方程中含有无理系数,需将常数项2看成,才能分解因式,是本节教学的难点. 【教学过程】 复习引入 1,将下列各式分解因式: 教师指出:把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 2,你能利用因式分解解下列方程吗 请中等程度的学生上来板演,其余学生写在练习本上,教师巡视. 之后教师指出:像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.(板书课题) 新课学习 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤: 教师首先指出:当方程的一边为0,另一边容易分解成两个一次因式的积时,用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤:(板书) 若方程的右边不是零,则先移项,使方程的右边为零; 将方程的左边分解因式; 根据若M·N=0,则M=0或N=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 2,讲解例2. (1)解下列一元二次方程: 教师在讲解中不仅要突出整体的思想:把x-2及3x-4和4x-3看成整体,还要突出化归的思想:通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演,示范表述格式,强调两个一元一次方程之间的连结词要用"或",而不能用且. (2)想一想:将第(1),(2),(3)题的解分别代人原方程的左,右两边,等式成立吗 (3)归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型: ①先变形成一般形式,再因式分解: ②移项后直接因式分解. 在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式,然后再考虑化简后能否分解因式. 讲解例3. 解方程 在本例中出现无理系数,要注意引导学生将将常数项2看成,另外对于方程中出现两个相等的根,教师要做好板书示范. 3,补充例4 若一个数的平方等于这个数本身,你能求出这个数吗 首先让学生设出未知数,列出方程(),再让学生求解.根据学生的求解情况强调:对于此类方程不能两边同时约去x,因为这里的x可以是0. 三,巩固练习: 课本第32页课内练习. 四,体会和分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗 先由学生自由发言,教师再投影演示: 1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点:方程的一边是0,另一边可以分解成两个一次因式的积; 2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据:两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0. 4,用分解因式法解一元二次方程的注意点:1.必须将方程的右边化为零;2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 5,数学思想:整体思想和化归思想. 五.课后作业 1.书本作业题 2.作业本 【板书设计】 屏幕 2.1一元二次方程(二) ——因式分解法解一元二次方程 1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: (1)将方程的右边化为零; (2)将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; (3)令每一个因式为零,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想:整体思想和化归思想. 2.2一元二次方程的解法(1) 【教学目标】 ◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. ◆2. 会用开平方法解一元二次方程. ◆3. 理解配方法. ◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:开平方法. ◆教学难点:配方法有一个比较复杂的过程,无论从理解和运用上,对学生来说都有一定的难度. 【教学手段】 用多媒体powerpoint和黑板的形式. 【教学过程】 (一)引入新课 问题1: 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时,遇到高山,需要开掘隧道,为了预计这座山隧道的长度,工程人员测量了山的高度约AB=3千米,坡面的长度约AC=5千米.请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米 从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程,体现方程与几何图形性质的应用,对一元二次方程概念的理解,方程根的检验等起着复习巩固的作用. (二)由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根. 如果把 变形为 ,进而可以理解为x是16的平方根,引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行,再得出开平方法的概念. 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征:1,它适合于什么样的方程 (左边是一个关于x的完全平方,右边为一个非负常数即 ).2:用什么样的方法来解 (方程的两边直接开平方的方法) 然后通过一系列,连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程,既突出本节课的重点,又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程. 例1, (1 ) (2) (3) (4) 通过第4个例题的讲解学生已经了解到,如果左边不是一个直接的完全平方,那么通过观察,变形,把它配成完全平方,就可以用开平方法来解一元二次方程. (三),问题2: 把方程变形:左边是一个含有x的式子的完全平方,而右边是一个非负数. 1:先移项:含有未知数的项移到左边,含有常数的项移到右边. 2:方程两边同加上一个合适的数. 3:左边是一个完全平方,右边是一个非负常数. 4:最后用开平方法来解 即可引出配方法的概念.像这样,把一元二次方程的左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 然后让学生回答:用配方法解一元二次方程关键在哪里 (就是如何在方程左,右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方.) 为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数,可以通过专门的3个练习来得出.即突破本节课的难点. (1) (2) (3) 最后让学生得出结论:1:加上一次项系数一半的平方; 2:前提条件:二次项系数为1 例2, (1) (2) 再次总结:形如 (二次项系数为1时),可以用配方法来解一元二次方程. 具体的步骤有: 第一:移项. 第二:等式两边同加上一次项系数一半的平方. 第三:再用开平方法来解方程. (四)提出挑战题:当二次项系数不是1时,怎么办 为下节课的教学打下了基础. 例3, 课堂小结 让学生回答1:用开平方法,配方法解一元二次方程的概念.2:用这两种方法解方程时,方程的特点.3:用这两种方法解方程时的步骤.4:让学生回答在解方程过程中应注意的事项. 六,布置作业. 2.2一元二次方程和解法(2) 【教学目标】 ◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤. ◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程. ◆教学难点:当二次项系数为小数或分数时,用配方法解一元二次方程. 【教学过程】 一.复习旧知 用适当的方法解下列方程: 1,(x-2)2=3 2, x2+3x+1=0 请学生上来板演,老师点评归纳. 二.新课讲授 1.出示引例:用配方法解方程5x2=10x+1 提出问题:当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时,怎样用配方法来解 经学生讨论后,指定一名学生(中等程度)回答. 教师总结:对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程,只要将方程的两边都除以二次项系数,就转化为我们已经能解决的问题.即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程. 2.讲解例题 例3:用配方法解下列一元二次方程 (1)2x2+4x-3=0 (2) 3x2-8x-3=0 评注(1)本例讲解可由上一课时的复习来引入,先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答,并板书过程,同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生作比较,学生容易发现,两个方程同解.再把6x改成4x,并提出问题:方程3x2+4x-3=0又应该如何解 从而把问题化归. (2)本例中两个小题的解法是相通的,在讲解时,需要让学生明确配上去的值到底应该是多少,即解决的一半是多少这一问题,常用的解决方法是把该数乘以. 教师总结:1:用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时,一般步骤为: (1)x2+px=-q(移); (2)x2+px+() 2=-q+() 2(配); (3)(x+)2= (化); (4)解得x=- (解) 2,当二次项系数不为1时,则在 "移"之前先要有个"除",即两边同除以二次项系数,使二次项系数为1. 练习:用配方法解下列方程 1.2x2-7x+5=0 2.-3n=1 3.x2-x-=0 练习: 一个长方形牧场的面积为8100平方米,长比宽多19米.这个牧场的周长是多少米 三:小结 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程. 本课时的难点是对二次项系数的处理. 四:布置作业 课本""作业本"及习题精选中对应的练习. 2.2一元二次方程的解法(3) 【教学目标】 ◆知识教学点:理解一元二次方程求根公式的推导,会运用公式法解一元二次方程. ◆能力训练点:1.通过求根公式的推导,培养学生数学推理的严密性及严谨性. 2.培养学生快速而准确的计算能力. ◆德育渗透点:1.通过公式的引入,培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识. 2.让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美,简洁美,产生热爱数学的情感. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:求根公式的推导及用公式法解一元二次方程. ◆教学难点:对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解. 【教学过程】 (一)复习引入 1.用配方法解下列方程. (1)x2-7x+11=0,(2)9x2=12x+14. (通过两题练习,使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤,为本节课求根公式的推导做第一次铺垫.) 2.用配方法解关于x的方程 x2+2px+q=0. 解:移项,得x2+2px=-q 配方,得x2+2px+p2=-q+p2 即(x+p)2=p2-q. (教师板书,学生回答,此题为求根公式的推导做第二次铺垫.)3.用配方法推导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根. 解:因为a≠0,所以方程的两边同除以a, ∵ a≠0, ∴4a2>0 当b2-4ac≥0时. 从上面的结论可以发现: (1)一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a,b,c确定的. (2)在解一元二次方程时,可先把方程化为一般形式,然后在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入上式中,可求得方程的两个根. 的求根公式,用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法. (二)师生互动,应用新知 互动1 师:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式中,要求b2-4ac ≥0 , 那么b2-4ac<0时会怎样呢 生:当b2-4ac<0时,没有意义,此时一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数解. 明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分,是求根公式成立的前提条件,这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件.当b2-4ac0, ∴ x1=2,x2=1. 在教师的引导下,学生回答,教师板书,提醒学生一定要先"代"后"算".不要边代边算.引导学生总结步骤 1.确定a,b,c的值.2.算出b2-4ac的值.3.代入求根公式求出方程的根. 例2不是一般形式,所以在利用公式法之前应先化成一般形式,另外注意例2中的b2-4ac=0,方程有两个相同的实数根,应写成x1= 例3用公式法解一元二次方程: (1)X(x-1)=(X-2)2; (2) x2+x+1=0 其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2-4ac<0,方程无实数根. 明确:运用公式法解一元二次方程的步骤:( 1) 把方程化为一般形式, 确定a,b,c的值;(2)求出b2-4ac的值;(3)若b2-4ac≥0,把a,b,c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求出方程的根;若b2-4ac<0,此时方程无解. 练习:P.35课内练习1.熟悉公式法的步骤,训练快速准确的计算能力. 互动3 请同学们根据学习体会,小结一下解一元二次方程的几种方法,通常你是如何选择的 请同学们交流,教师鼓励发言. 明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法:直接开平方法,因式分解法,配方法,求根公式法.(1)当方程形如(x-a)2=b(b≥0)时,可用直接开平方法;(2) 当方程左边可以直接简单因式分解时,可选用因式分解法;(3) 配方法是一种重要的解法,尤其要熟悉配方法的整个过程,但解一般方程不选用这种解法;(4) 公式法是一元二次方程最重要的,最常用的解法,任何一元二次方程都可以选用这种解法,我们有时也称它为万能公式. 练习:P.35课内练习2.合理选择解法. (三)达标反馈,深化新知 (1)用公式法解方程4x2+12x+3=0,得到 (A) A.x= B.x= C.x= D.x= (2)关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根,则k的取值范围是 (3)不解方程,你能说出下列方程解的个数吗: x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0, (四)总结及布置作业 引导学生从以下几个方面总结: ≥0). (2)利用公式法求一元二次方程的解的步骤:①化方程为一般式.②确定a,b,c的值.③算出b2-4ac的值.④代入求根公式求根.公式法与配方法都是通法,前者较之后者简单. 2.求根公式是指在b2-4ac≥0对方程的解,如果b2-4ac<0时,则在实数范围内无实数解.渗透一种分类的思想. 2.3一元二次方程的应用(2) 【教学目标】 ◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值. ◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 【教学重点与难点】 ◆教学重点:本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用. ◆教学难点:"合作学习"的问题教为复杂,计算量大,是本节的难点. 【教学过程】 1.复习提问, (1)列方程解应用题的基本步骤 答: ①审题; ②找出题中的量,分清有哪些已知量,哪些未知量,哪些是要求的未知量; ③找出所涉及的基本数量关系; ④列方程; ⑤解方程; ⑥检验. 2.新课讲解, 列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题:(1)变化率问题;(2)市场营销中单价,销量,销售额以及利润之间的相互关系问题;(3)根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题. 如图2-4,有一张长40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折成如图2-5那样的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少 分析 设纸盒的高为x (cm),那么裁去的四个小正方形的边长也是x(cm),这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽,根据纸盒的底面积是450cm,就可以列出方程. 解 设纸盒的高为x(cm),则纸盒底面长方形的长和宽分别为(40-2x)cm,(25-2x)cm.由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 (不合题意,舍去) 答:纸盒的高为5cm. 接下来,同学们来做一下课内练习题1. 围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽. 解: 设公园的一边长为x(m),则另一边长为(140-x)m,由题意,得 化简,整理,得 解这个方程,得 答:略. 合作学习: 一轮船一30km/h的速度由西向东航行(如图2-6),在途中接到台风警报,台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得BC=500km,BA=300km. 如果轮船不改变航向,轮船会不会进入台风影响区 你采用什么方法来判断 如果你认为轮船会进入台风影响区,那么从接到报警开始,经过多少时间就进入台风影响区 建议: ①假设经过t时后,轮船和台风中心分别在cb位置; ②运用数形结合的方法寻找相等关系,并列出方程; ③通过相互交流,检查列方程,计算等过程是否正确; ④讨论:如果把航速改为10km/h,结果该怎样 提示:①几何画版给出演示; ②若从接到台风警报开始,经过t时,轮船到达C'点,台风中心到达B'点,那么船是否受到台风影响与什么有关 ③当B'C'符合什么条件时船受到台风影响 ④你能用关于t的代数式表示B',C'两点之间的距离吗 ⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗 解答(略) 练习 练习:P40——课内练习2 补充练习:P40---作业题5 课堂小结: 体会如何根据图形中的线段长度,面积之间的相互关系建立方程的问题.从中学到了什么
可以给你提供几个要点参考：三者的联系最明显的就是根的判别式，即“△”。二次函数中的“△”可以和二次项系数“a”一起判断图像与X轴的交点个数；在一元二次方程中用于判断方程根的个数；在一元二次不等式中可以通过观察二次函数的图像来确定自变量X的取值范围。总之“△”可以说是用一条线把三者串联起来了。三者的区别在于：二次函数是一个研究因变量Y与自变量X变化关系的过程，其中需要探究函数图像增减性、单调性、对称性以及极值等等；一元二次方程则是探究方程中的未知数是否有解的过程，而一元二次不等式是探究未知数X满足条件的范围的过程，但一元二次不等式和二次函数的联系是非常紧密的，因为其经常要利用二次函数的图像来确定未知数X的范围。综合起来，可以这样说：一元二次方程是寻找二次函数图像上的点；一元二次不等式是截取二次函数图像上的一段，而研究二次函数则是探索无数函数中的一类特殊的函数关系。
1、一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从根本上讲，则是为了解决实际问题的需要，比如在几何、物理及其他学科中，许多问题都要化归到一元二次方程问题来解决．2、列一元二次方程解应用题的一般步骤是(1)审题．分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系．(2)设未知数．一般采取直接设法，有的要间接设．(3)列出方程．要注意方程两边的数量相等．方程两边的代数式的单位相同．(4)解方程．应注意一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、掌握常见相关问题的数量关系及其表示方法(1)三连续整数：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－1，x＋1．三连续偶数(奇数)：若设中间的一个为x，则另两个分别为x－2，x＋2．(2)三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a、b、c，则这个三位数为100a＋10b＋c．(3)增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为a(1＋x)，二次增长后的值为a(1＋x)2．降低率问题：若基数为a，降低率为x，则一次降低后的值为a(1－x)，二次降低后的值为a(1－x)2．(4)三角形、梯形、特殊的平行四边形的面积公式也是列一元二次方程的依据．4、在列方程解应用题的过程中，审题是解决问题的基础，找出相等关系列方程是解决问题的关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步．
把一元二次方程的解法写下来。
一元二次方程解法：
一、直接开平方法
形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。
二、配方法
1、二次项系数化为1
2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。
3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。
4、利用直接开平方法求出方程的解。
三、公式法
现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。
四、因式分解法
如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。
判别式
一般地，式子b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b^2－4ac。
1、当Δ>0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
2、当Δ＝0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
3、当Δ<0时，方程ax^2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根。
一、教学目标1．掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数；2．通过根与系数的教学，进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力；3．通过本节课的教学，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。教学重点和难点：二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：根与系数的关系及其推导。2．教学难点：正确理解根与系数的关系。3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系。4．解决办法；在实数范围内运用韦达定理，必须注意这个前提条件，而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程，即二次项系数，因此，解题时，要根据题目分析题中有没有隐含条件和。三、教学步骤（一）教学过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。（2）解方程①，②。观察、思考两根和、两根积与系数的关系。在教师的引导和点拨下，由沉重得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。设是方程的两个根。∴ ∴以上一名学生板书，其他学生在练习本上推导。由此得出，一元二次方程的根与系数的关系。（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果的两个根是，那么。如果把方程变形为。我们就可把它写成。的形式，其中。从而得出：结论2．如果方程的两个根是，那么。结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便。练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：0.618…而0.618…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：0.618…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了0.618…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的0.618…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的0.618…处会使琴声更柔和甜美。 数0.618…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的0.618处，效率将大大提高，这种方法被称作“0.618法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。 数学离我们很近，它体现在生活中的方方面面，我们离不开数学，数学，无处不在，上面只是两个极普通的例子，这样的例子根本举不完。我认为，生活中的数学能给人带来更多地发现。不过估计现在也没有用了。那么少的分要写那么多字。
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。” “任何数除以0即为没有意义。”这是小学至中学老师仍在说的一句关于0的“定论”，当时的除法（小学时）就是将一份分成若干份，求每份有多少。一个整体无法分成0份，即“没有意义”。后来我才了解到a/0中的0可以表示以零为极限的变量（一个变量在变化过程中其绝对值永远小于任意小的已定正数），应等于无穷大（一个变量在变化过程中其绝对值永远大于任意大的已定正数）。从中得到关于0的又一个定理“以零为极限的变量，叫做无穷小”。 “105、203房间、2003年”中，虽都有0的出现，粗“看”差不多；彼此意思却不同。105、2003年中的0指数的空位，不可删去。203房间中的0是分隔“楼（2）”与“房门号（3）”的（即表示二楼八号房），可删去。0还表示…… 爱因斯坦曾说：“要探究一个人或者一切生物存在的意义和目的，宏观上看来，我始终认为是荒唐的。”我想研究一切“存在”的数字，不如先了解0这个“不存在”的数，不至于成为爱因斯坦说的“荒唐”的人。作为一个中学生，我的能力毕竟是有限的，对0的认识还不够透彻，今后望（包括行动）能在“知识的海洋”中发现“我的新大陆”。生活中的数学 有一个谜语：有一样东西，看不见、摸不着，但它却无处不在，请问它是什么？谜底是：空气。而数学，也像空气一样，看不见，摸不着，但它却时时刻刻存在于我们身边。 奇妙的“黄金数” 取一条线段，在线段上找到一个点，使这个点将线段分成一长一短两部分，而长段与短段的比恰好等于整段与长段的比，这个点就是这条线段的黄金分割点。这个比值为：1：0.618…而0.618…这个数就被叫作“黄金数”。 有趣的事，这个数在生活中随处可见：人的肚脐是人体总长的黄金分割点；有些植物茎上相邻的两片叶子的夹角恰好是把圆周分成1：0.618…的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。 建筑师们对数0.618…特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是近代的埃菲尔铁塔，都少不了0.618…这个数。人们还发现，一些名画，雕塑，摄影的主体大都在画面的0.618…处。音乐家们则认为将琴马放在琴弦的0.618…处会使琴声更柔和甜美。 数0.618…还使优选法成为可能。优选法是一种求最优化问题的方法。如在炼钢时需要加入某种化学元素来增加钢材的强度，假设已知在每吨钢中需加某化学元素的量在1000—2000克之间。为了求得最恰当的加入量，通常是取区间的中点进行试验，然后将实验结果分别与1000克与2000克时的实验结果作比较，从中选取强度较高的两点作为新的区间，再取新区间的中点做实验，直到得到最理想的效果为止。但这种方法效率不高，如果将试验点取在区间的0.618处，效率将大大提高，这种方法被称作“0.618法”，实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验，就可以达到前一种方法做2500次试验的效果！ “黄金数”在生活中竟有如此多的实例和运用。或许，在它的身上，还有更多的奥秘，等待我们去探寻，使它能更好地为我们服务，为我们解决更多问题。 美妙的轴对称 如果在一个图形上能找到一条直线，将这个图形沿着条直线对这可以使两边完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 如果仔细观察，可以发现飞机是一个标准的轴对称物体，俯视看，它的机翼、机身、机尾都呈左右对称。轴对称使它飞行起来更平稳，如果飞机没有轴对称，那飞行起来就会东倒西歪，那时，还有谁愿意乘飞机呢？ 再仔细观察，不难发现有许多艺术品也成轴对称。举个最简单的例子：桥。它算是生活中最常见的艺术品了（应该算艺术品吧），就拿金华的桥来说：通济桥、金虹桥、双龙大桥、河磐桥。个个都呈轴对称。中国的古代建筑就更明显了，古代宫殿，基本上都呈轴对称。再说个有名的：北京城的布局。这可是最典型的轴对称布局了。它以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线成左右对称。将轴对称用在艺术上，能使艺术品看上去更优美。 轴对称还是一种生物现象：人的耳、眼、四肢、都是对称生长的。耳的轴对称，使我们听到的声音具有强烈的立体感，还可以确定声源的位置；而眼的对称，可以使我们看物体更准确。可见我们的生活离不开轴对称。
一元一次方程的应用题有如下：
1、追击问题：行程问题中的三个基本量及其关系：路程＝速度×时间、时间＝路程÷速度、速度＝路程÷时间。
2、相遇问题：快行距＋慢行距＝原距、快行距－慢行距＝原距。
3、航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度、逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度。
4、水流问题：水流速度=（顺水速度-逆水速度）÷2。
5、工程问题：三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间，经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1，即完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1。
6、环形跑道与时钟问题：跑道÷两人速度差，甲的路程+乙的路程=环形周长，追及时间＝路程差÷速度差，速度差＝路程差÷追及时间，追及时间×速度差＝路程差，快的路程-慢的路程=曲线的周长。
0，可以说是人类最早接触的数了。我们祖先开始只认识没有和有，其中的没有便是0了，那么0是不是没有呢？记得小学里老师曾经说过“任何数减去它本身即等于0，0就表示没有数量。”这样说显然是不正确的。我们都知道，温度计上的0摄氏度表示水的冰点（即一个标准大气压下的冰水混合物的温度），其中的0便是水的固态和液态的区分点。而且在汉字里，0作为零表示的意思就更多了，如：1）零碎；小数目的。2）不够一定单位的数量……至此，我们知道了“没有数量是0，但0不仅仅表示没有数量，还表示固态和液态水的区分点等等。”
丢番图（Diophantus）是古希腊亚历山大后期的重要学者和数学家（约公元246—330年，据推断和计算而知）丢番图是代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，以代数学闻名于世。
对于丢番图的生平事迹，人们知道得很少。但在一本《希腊诗文选》﹝The Greek anthology﹞【这是公元500年前后的遗物，大部分为语法学家梅特罗多勒斯﹝Metrodorus﹞所辑，其中有46首和代数问题有关的短诗﹝epigram﹞】。亚历山大时期的丢番图对代数学的发展起了极其重要的作用，对后来的数论学者有很深的影响。丢番图的《算术》是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，它是数论的一个分支。不过丢番图并不要求解答是整数，而只要求是正有理数。 从另一个角度看，《算术》一书也可以归入代数学的范围。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。就引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想﹝虽然未有现代方程的形式﹞这几方面来看，丢番图的《算术》完全可以算得上是代数。 希腊数学自毕达哥拉斯学派后，兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式之中。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的羁绊。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。他被后人称为『代数学之父』（还有韦达）不无道理。
丢番图的出生日期不可靠，但他的墓碑上有很经典的一道数学题目：
"坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
请你告诉我，丢番图寿数几何？
上帝给予的童年占六分之一，
又过了十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。
终于告别数学，离开了人世。
请你告诉我，丢番图寿数几何？”
解：设丢番图活了x岁。
x-[(1÷6）x+（1÷12）x+（1÷7）x+5+（1÷2）x+4] =0
x-[1/6x+1/12x+1/7x+5+0.5x+4]=0
x-[25/28x+5+4]=0
x-25/28x-9=0
x-25/28x=9
3/28x=9
x=84
答：丢番图活了84岁。
希望我能帮助你解疑释惑。
初三下册的书上有。
你不是要论文么~ 函数与方程是初中数学中两个最基本的概念，它们的形式虽然不同，但本质上是相互连接的，有密切关系。如：一元二次方程与二次函数。我们知道形如ax2+bx+c=0的方程是一元二次方程，而形式为y= ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）是二次函数。它们在形式上几乎相同，差别只是一元二次方程的表达式等于0，而二次函数的表达式等于y。这种形式上的类似使得它们之间的关系格外密切，很多题型都是以此来命题。为什么会这样？主要是因为当二次函数中的变量y取0时，二次函数就变成一元二次方程。由此可见，方程中的很多知识点可以运用在函数中。下面，我们就它们间的具体运用详细的了解一下。一、 配方法解方程与二次函数的应用关系在解方程的四种方法就有一种用配方法来解方程的。而在二次函数中，我们经常要将一般形式 转化成 的样式，这个转化过程实际上就是对其进行配方，与方程配方相同。例1：用配方法解方程 解： （1） （2） （3） （4） ……例2：指出函数 的顶点坐标。解： （5） （6） （7） （8） ∴顶点为（－2，－17）方程中的（1）、（2）、（3）、（4）四个步骤与函数中的（5）、（6）、（7）、（8）四个步骤的方法是完全一样的。可见，方程与函数密切相关。我们通过课本的学习可知；二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有交点时，交点横坐标的值就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。二、 一元二次方程根的判别式与二次函数的结合应用在二次函数中，当函数与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是：△>0、△＝0和△<0。而在一元二次方程中有以下结论：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根。 例3：判断二次函数y= x2－4x+3与x轴的交点个数 分析：因为二次函数与x轴的交点个数可由对应方程根的判别式△来确定。若△>0，则有两个交点；若△＝0，则有一个交点；若△<0，则无交点。该题中△＝4>0，所以有两个交点。 例4：试说明函数y= x2－4x+5，无论x取何值，y>0。 分析：第一种方法：用配方法将其化成y= （x－2）2 +1的形式来说明。（但如果系数取值不好，该方法就比较麻烦） 第二种方法：用△来说明，因为△＝－4<0，所以函数与x轴无交点，又因为该函数的二次项系数a＝1>0，所以图象开口向上。于是，图象在x轴上方，因此无论x取何值，y>0。 例5：求证：不论m取什么实数，方程x2－（m2+m）x+m－2＝0必有两个不相等的实数根。 分析：这道题如果用常规做法，就是证明一元二次方程的△>0的问题。然而本题的判别式△是一个关于m的一元四次多项式，符号不易判断，这就给证明带来了麻烦，若用函数思想分析题意，设f（x）＝x2－（m2+m）x+m－2，由于它的开口向上，所以只要找到一个实数x0，使得f（x0）<0，就说明这个二次函数的图象与x轴有两个交点，问题就得到了解决。 注意观察，容易发现当x＝1时，f（1）＝1－（m2+m）+m－2＝－m2－1<0，故这个图象必与x轴有两个交点。 这就说明要证明的结论是成立的。证明 略。三、 一元二次方程中根与系数的关系在函数中的应用例6：二次函数图象过点（－1，0）、（3，0），且与y轴交于（0，3），求函数解析式。分析：此类题型的常规解法是待定系数法。然而在这里可以用根与系数的关系来解，因为（－1，0）、（3，0）实际在x轴上，所以－1和3是函数所对应方程的两个根。解：设函数形式为 ∵函数过点（0，3） ∴ c＝3 ∴ 又∵函数过点（－1，0）、（3，0） 即函数与x轴交点的横坐标是－1和3 ∴ 解得 a＝－1，b＝2∴函数形式为y= －x2＋29x+3 很明显，此方法要比待定系数法简单。 一元二次方程与二次函数之间的密切关系还有很多巧妙的用处。在这里，我们只探讨这么多，更多的地方需要在实践中去慢慢体会。论文格式:1、论文格式的论文题目：（下附署名）要求准确、简练、醒目、新颖。 2、论文格式的目录 目录是论文中主要段落的简表。（短篇论文不必列目录） 3、论文格式的内容提要： 是文章主要内容的摘录，要求短、精、完整。字数少可几十字，多不超过三百字为宜。 4、论文格式的关键词或主题词 关键词是从论文的题名、提要和正文中选取出来的，是对表述论文的中心内容有实质意义的词汇。关键词是用作计算机系统标引论文内容特征的词语，便于信息系统汇集，以供读者检索。每篇论文一般选取3-8个词汇作为关键词，另起一行，排在“提要”的左下方。 主题词是经过规范化的词，在确定主题词时，要对论文进行主题分析，依照标引和组配规则转换成主题词表中的规范词语。（参见《汉语主题词表》和《世界汉语主题词表》）。 5、论文格式的论文正文： （1）引言：引言又称前言、序言和导言，用在论文的开头。引言一般要概括地写出作者意图，说明选题的目的和意义, 并指出论文写作的范围。引言要短小精悍、紧扣主题。 〈2）论文正文：正文是论文的主体，正文应包括论点、论据、论证过程和结论。主体部分包括以下内容： a.提出问题-论点； b.分析问题-论据和论证； c.解决问题-论证方法与步骤； d.结论。 6、论文格式的参考文献 一篇论文的参考文献是将论文在研究和写作中可参考或引证的主要文献资料，列于论文的末尾。参考文献应另起一页，标注方式按《GB7714-87文后参考文献著录规则》进行。 中文：标题--作者--出版物信息（版地、版者、版期） 英文：作者--标题--出版物信息 所列参考文献的要求是： （1）所列参考文献应是正式出版物，以便读者考证。 （2）所列举的参考文献要标明序号、著作或文章的标题、作者、出版物信息。
家居物品摆放合理、方便取用这里主要说跟小孩相关的：玩具、衣物、书的摆放。我自己不喜欢乱，而且听说分类是个很重要的能力，所以小刘的玩具一直是分类收纳的。经过很多次收纳方式迭代，我从中收获了一些实实在在的好处。1、小刘的乐高很多，全部集中放在一个大抽屉里，每次小刘玩乐高，就是胡乱拿几个出来，随便拼一拼，也搭不出个样子。直到有一天，我受不了乱糟糟一堆，在抽屉里放上定制的亚克力隔板，将乐高按照形状进行了分类。分好类的第二天，小刘就用方块砖搭出了一个小飞机。我猜想：孩子还小时，大脑处理不了那么多信息，所以当一大堆形状各异的乐高放在一起时，他就懵了，无从下手。分好类，一格里只有一种（比如都是方块砖），小脑袋就更好构思了。再长大一些，分类也是很有好处的。且不谈分类能带来秩序感，也不讲分类本身就是数学启蒙，只说：分好类，小孩自己找东西方便，就不会总是：“妈妈，我的零件找不到了，你来帮我一下。”，就这一点，我认为花在规划收纳上的精力就值了。2、小孩总是很容易被光电类的玩具吸引，但这类玩具本身没什么营养，我还是希望他能多玩玩积木、拼拼图、读读书。但硬跟孩子犟也不好，这时收纳就能帮忙：把最希望他玩的玩具放在他最容易拿到的地方，不喜欢的玩具放远一点。很多时候，小孩选择玩具是无意识的，看到哪个就是哪个，玩一会又去拖另一个。所以，别放太多玩具在外面，不然：太乱影响注意力；增加收玩具难度，导致收玩具规则执行受阻。一段时间换一拨玩具，保持新鲜感，还能通过更换玩具类型促进不同能力发展。现在小刘的玩耍区设在书架帮边，书架下两层放着我希望他看的书，当他坐在地毯上没事干时，一转头，刚好就看到书，一伸手，刚好拿到我选的书。离玩耍区最近的，除了书架，就是乐高收纳盒，其他玩具要特意从地毯上站起来穿上鞋走过去才能拿到。当然，这是因为小刘本来就爱搭乐高，对于孩子很不喜欢的玩具，估计很近也不会拿吧。3、良好的收纳助力自理能力的发展。说说穿衣服的例子。小刘学会穿衣服后，我就希望他能“起床-选衣服-穿衣服”，一条龙自理，别老喊我。一开始他的衣服在衣柜里，柜子把手高他够不着，所以我买了抽屉给他用。 一个抽屉放所有的上衣，一个抽屉放所有的裤子。但有时他会搭配出短袖?棉裤的组合，不让他穿还不干。后来就进行了整理：只放当季的衣服；任意上衣和裤子都能基本搭上，以免穿的太难看（偶尔也会出现黄衣配黄裤的组合，随他去。）；衣物只放一层，以免拿乱。这之后，所有跟衣服相关的事就交给他自己了，不再为这些劳神。 再到后来，我又简化了他的操作步骤：出门的上衣和裤子放在一个抽屉里，睡衣和内衣放在另一个抽屉。每个抽屉里，前排是上衣，后排是裤子。无论是早上出门，还是晚上洗澡后，都只需打开一次抽屉，前后排各拿一件，就完成了。 尽量不给他生活自理带来麻烦，也不给家长添麻烦。除了穿衣服，还有很多例子：设置一个矮矮的淋浴头支架，这样调好水温孩子就能自己洗澡；马桶旁边挂上小坐便垫，用马桶脚凳，方便孩子自助大小便，大人也不用另外收拾了；电饭煲放在孩子够的着的地方，方便自己盛饭。等等。