正确样例的学习作为传统的样例学习方法，由于可以减轻学生的认知负荷，提高学习效果，已经在问题解决和科学学习领域得到广泛使用［1，2，3］。然而，学生在正确样例学习后，在理解概念和原理、寻找问题解决方法时，仍然会发生错误。错误是学习中重要的一部分，但这在传统学科教育中是被忽视的。传统教育者大多受行为主义学习观的影响，反对学生和教师从积极的角度看待错误。从行为主义角度看，学习成绩的提高是由于正确反应被强化、错误反应被惩罚的结果。在这种框架下，教学是以正确知识的学习和练习为主，对学生出现的错误都是被动的事后纠正。值得注意的是，近几年在德国等西方国家，教学策略开始从传统的避免错误发展到利用错误，由此错误样例的研究和应用逐渐增多。
一、错误样例的概念
错误样例（Erroneous Example）指的是问题解决过程中包含一个或多个错误，要求学生发现、解释和/或改正错误的例题［4］。它是在学生掌握相应知识的基础上，设计包含学生典型错误的样例，让学生检查其中的错误，进而对错误作出合理的解释，并且尝试改正错误，从而提高学生对知识的理解和应用能力。
错误样例的提出基于以下的认识论假设：（1）错误在学生学习中是普遍存在的客观事实，知识的学习和应用不是绝对的、一成不变的，而是容易受目的、上下文等因素影响，是容易出错的，因此，在学习过程中，批判性思考是必要的；（2）知识的学习和运用，不是稳定的静态过程，而是探究的动态过程，这个过程包括认知冲突、怀疑和探索事物等；（3）多数教学理论已经认同，教学要为学生创造丰富的环境，来刺激学生探究并支持学生自己探索。错误样例的使用有助于做到这一点，它在学习中提供了丰富的可利用的冲突和陷阱，学生可以在发现错误和解释错误中获益［5］。
二、错误样例研究的发展
最初错误样例是在课堂教学中作为提高学习效果的策略而被认识和使用。Borasi（1994）通过教育改革实践指出了错误在数学教学中的重要作用，他在教学中设计“错误跳板探究学习”（errors as springboards for inquiry），探索初中生如何有效利用错误来激发数学探究。结果表明，对错误的讨论能提高数学学习的效果，这种讨论是通过鼓励对数学概念进行批判性思考，来激发反思和探究的［6］。
20世纪以来，随着计算机和互联网技术的发展与普及，计算机技术提高学习系统（TEL）被广泛应用于教学中。它是以计算机为媒介，通过操作性软件的设计，使知识的学习和练习在人机交互过程中进行，以弥补课堂教学和学习的不足。近几年在德国等西方国家，TEL技术在数学学习中的应用不断推广，从而产生了数学自助学习系统（Active Math）。在该系统中，内容有层次性和针对性，不同水平的学生可以选择适合自己的练习材料。学习顺序更加灵活，学生可以根据自己的兴趣，调整学习的顺序。学习情境具有个性化特点，学生可以自主选择学习的背景和上下文等。另外，该系统还有人机交互性特点，学生在学习操作的过程中随时会得到程序的反馈。
数学自助学习系统为错误样例的设计和呈现提供了技术支持和便利条件，一系列研究证实，在数学自助学习系统中使用错误样例既可以灵活呈现知识，又能显著提高学生的学习效果［5，6，7］。该数学系统是一种预录制的课程，研究者根据课程内容设计了整体的课程学习、练习和考试系统。为了提高数学自助学习系统的学习效果，研究者在预录制课程中加入了错误样例。错误样例的呈现是动态的，根据学习者的不同水平，对学习能力差的学生，错误部分作了标记，而对学习能力强的学生则要求“支架式”改正错误。错误样例题目多采用选择题形式呈现，学习过程中提供反馈是关键［7］。Tsovaltzi和Melis（2010）等通过实验室和学校研究，测量了不同年级水平的学生在数学自助学习系统中学习错误样例的效果。结果表明，在提供反馈的错误样例组，低年级学生错误样例学习有显著的元认知学习效果；高年级学生错误样例能带来认知和概念学习的效果［4］。
此后，研究者对错误样例在学生概念学习和问题解决中的效果进行研究，通过设计错误样例的学习和练习材料，可以显著提高学生概念理解和问题解决能力。对于概念学习，以往研究表明人们倾向于使用正确例子并忽略错误例子［9］。这种策略可以快速地教给学生概念，但是很难让学生深入理解和体会概念的内涵和外延。错误样例可以推动学生观察错误例子，从而对错误概念样例进行精细的加工，通过反思错误原因，加深学生的理解和认识，更加准确地把握概念。Melis和Kriesell（2009）对小学生分数概念进行错误样例练习研究，对实验组进行错误样例干预后，结果表明，实验组即时后测成绩显著高于控制组［10］。另外，经济合作与发展组织（OECD，2003）对学生数学能力进行了跨文化教育调查研究，结果表明，日本学生的数学能力要胜过多数西方国家学生［13］。之所以存在这种差异，关键在于日本教育者在教学中会呈现并讨论错误问题解决，要求学生发现和改正错误。Siegler（2008）及其同事关于数学排水问题［11］、Groβe和Renkl（2007）关于概率问题［12］的研究均表明，有自我解释设计的错误样例在这些领域有显著效果。
错误样例的使用还可以提高学生的元认知能力。元认知是个体反思、理解和控制自己学习的能力，元认知监控是元认知的核心成分，指个体在进行认知活动的过程中，将自己正在进行的认知活动作为意识对象，不断对其进行监视、控制和调节的活动。错误样例是包含错误的样例，它要求学生发现、解释和改正错误，由于需要有自我检查和监控机制的参与，所以它可以帮助学生发展对问题情境的自我监控。同时，发现错误意味着一个结果或情境不符合学生的预期，当前情境和已有的知识经验出现矛盾，这种情境能激发他去反思和探索。相关研究表明，学生在学习中适当地利用错误样例能激发其元认知能力，比如自我监控、反思、探究等。Melis等（2010）在错误样例学习的研究中，设计了含有问答题的错误样例作为后测题，这些问题是关于错误发现、解释和改正的。研究结果发现，六年级有反馈的错误样例学习组的错误发现、解释、改正及其总分比无反馈错误样例组和正确样例组均有显著提高［4］。
同样，在医学诊断知
识学习领域中设计错误样例对提高医学学生诊断能力也具有显著效果。Grael和Mandl研究发现，在医学领域，学生在诊断学习结束后，诊断操作过程倾向于采用机械性操作，他们往往收集大量的相关数据而没有建构具体的假设，这容易导致错误的诊断归因，而医疗诊断过程是不允许出错的，任何错误诊断都有可能给病人带来致命的结果。究其原因，是学生对医疗知识掌握不够深入和灵活，他们掌握的知识结构不能充分地整合到更抽象的图式中，这种图式恰恰可以帮助医生更有效地进行诊断归因。而在错误样例学习中，学习者能把更多的认知资源用于图式建构。而且样例学习中包含典型错误，对学习之后的问题解决过程中可能遇到的错误进行预设，能帮助学习者提高对学习过程的理解和认识，避免犯同类错误，从而产生更可靠的学习效果。Kopp和Stark（2008）等对有无错误、有无反馈的样例学习在医疗诊断知识学习中的效果进行比较研究，结果表明，有反馈的错误样例在高血压诊断知识学习中效果最好［8］。
三、错误样例设计的类型
（一）有反馈的错误样例
由于错误样例本身在问题解决过程中设置了更多障碍，所以对很多学生来说，学习错误样例会有一定困难。为了在错误样例中帮助学生更好地理解和改正错误，大部分错误样例中设计了反馈。
错误样例中研究者设计的常用反馈包括四种：逐步反馈（minimal feedback），错误识别反馈（error-awareness and detection feedback），自我解释反馈（self-explanation feedback）和错误改正支架（error-correction scaffolds）［15］。（1）逐步反馈中有文本提示标记，这些标记帮助学生对每一步作出检查并顺利发现和改正错误。（2）错误识别反馈主要提供错误觉察和认识的元认知技术，帮助学生对整个问题解决过程进行反思，这是在学生已经读完样例后呈现的。例如，这样一个错误样例：
“Jan上学1/6的路程骑自行车，然后4/5的路程坐电车，最后剩下的路程是步行，他想知道步行的路程是几分之几。
他这样计算：
步骤一：总路程-1/6-4/5，
步骤二：总路程-5/30-24/30，
步骤三：总路程-29/30，
步骤四：6-29/30，
步骤五：（180-29）/30，
步骤六：151/30，
步骤七：5又1/30”
错误识别反馈可以是：“步行距离=5又1/30，这个结果是不正确的，乘汽车走的路程就已经是整个路程的4/5了，所以步行的路程肯定小于1/5。”
（3）自我解释反馈是以选择题（MCQs）的形式呈现的，它是通过对错误问“为什么”和“如何做”的问题来帮助学生理解并推理。比如上面的错误样例中，自我解释反馈可以是：
“为什么步骤四是错误的？
A因为总路程是6，
B因为总路程是5×6＝30，
C因为总路程是1，
D我不知道。
你怎样表示总路程？
A用100表示，
B用1表示，
C我不知道。”
（4）错误改正支架是为学生改正错误提供准备，同样是采用选择题（MCQs）形式。学生通过他们的选择接受逐步反馈，最终改正答案。就好像建筑工地上为便于工人施工而搭建的各种架子。选择题的问题设计是分层的，如果学生在选择题的头两层选择了正确答案（也就是“为什么”和“如何做”的问题），那么下一层也就是选择题中的错误改正选择部分就会跳过，而直接要求学生改正错误。
Tsovaltzi和Melis（2010）在数学自助学习系统学习实验中，对提供反馈的错误样例组综合使用上述四种反馈方式，结果表明，六年级学生中，提供反馈的错误样例组错误发现、改正成绩显著高于无反馈的错误样例组；九、十年级提供反馈的错误样例组概念理解和迁移成绩显著高于无反馈的错误样例组［4］。这部分地证实了几种反馈在错误样例中的效果。Kopp和Stark（2008）等的研究也得出了类似的结果［8］。
（二）发现并改正错误的样例
发现并改正错误要求学生必须首先发现错误，然后再进行改正。研究表明，发现和改正错误对差生来说比有标记的改正错误要难［7］。Cheongjae Lee等（2007）对口语交际系统中使用错误处理的效果进行研究，通过在口语交际系统中设计包含错误的样例，要求使用者发现并改正错误。结果表明，这种方法在语言交际系统中有显著的效果［14］。
（三）直接描述错误和让学生发现错误的样例
直接描述错误是在错误样例中对错误之处直接加以说明。学生通过判断、选择或探究的形式，自己发现并确定错误。研究显示，对于大学生来说，他们对发现错误比直接描述错误更感兴趣，让学生发现错误这种更加开放的形式对能力高的学生更有激发作用。而对于中小学生，采用直接描述错误的样例则更合适。
（四）选择题式和问答式的错误样例
选择题式的错误样例是在错误发现、解释和改正的错误样例学习过程中，每一步都设计选择题，要求学生选出正确答案并及时进行正误反馈。问答式错误样例是直接提问，并要求学生回答哪里出错、错误原因和如何改正。Melis通过学校研究发现，有标记的问答式比选择题式错误样例对低成就学生来说更难［7］，因此在数学自助学习系统以及中小学教育中，选择题式错误样例使用较多。
四、错误样例的启示
（一）错误样例对学科教学的启示
国外错误样例的研究和应用集中在问题解决和数学知识的学习方面。设计错误样例，可以使学生学会如何应用规则解决问题，而对于规则本身的学习，是否能够通过错误样例来实现，是有待进一步验证的。数学学科知识本身具有逻辑性和精确性的特点，因此使用错误样例教学的优势明显，而对于其他学科知识比如物理、化学乃至英语（语法知识）等的学习，采用错误样例教学能否获得更好的效果，需要进一步探讨。现有的正确样例研究表明，正确样例在化学、英语等学科中都有显著效果。因此可以预见，错误样例应用范围的扩展将是有益的探索。
既然在数学知识的学习中错误样例的有效性得到了验证，那么在我国数学教学中，积极设计合理的错误样例，可以有效地培养学生学习的主动性，提高学生的质疑精神和探究能力，使学生对知识本身的掌握更加牢固。这对培养学生的创新意识有重要意义。教师在课堂教学中，可以设计
含有错误的例题。首先要注意错误的类型和代表性，在样例中，常见的错误类型有概念错误、规则错误、缺失错误、冗余错误、关键错误、非关键错误等，教师应该根据所学内容的要求，选择有代表性的、常出现的典型错误，这样才能使学生通过错误样例学习，避免常见错误的出现，从而深化认识和理解。另外，学习一般按照发现错误、改正错误的顺序从易到难地引导学生探究，在这个过程中，教师要根据学生的不同水平采用不同的错误样例呈现方式。一般来说，直接描述错误和选择题式错误样例要比让学生发现错误和问答式错误样例容易，有反馈帮助的错误样例要比无反馈错误样例容易。
（二）错误样例对学生练习的启示
错误样例对于培养学生的质疑、探索意识有积极作用，但错误样例并不能完全代替正确样例。新知识的获得不能脱离正确样例的示范和学生的理解，学生对新知识的学习主要依赖于正确样例，近年还有研究者（Groβe & Renkl， 2007）提出可以采用正确样例与错误样例组合的方式学习数学知识，取得了显著效果。因此在新知识学习过程中，错误样例的使用应该适当，否则会得不偿失。
西方国家错误样例的使用更多体现在学生的练习过程中，通过设计含有错误的练习题，让学生发现、改正其中的错误，从而提高学生对知识本身的认识和理解，训练学生对学习过程的监控（元认知能力），达到巩固知识、提高探索能力的目的。而国内的练习题大多以正确样例的近、远迁移为主，即有的题目和例题一致，有的题目是例题的变式。错误样例在练习题中的应用较少，这一方面是由于研究者和教育者还缺乏对错误样例的研究和认识，另一方面当今的教育思想还停留在传统的理念上，注重知识本身的掌握，对探究、质疑能力重视不够。因此，随着国外错误样例研究的深入和我国对错误样例的介绍和重视，教师和教材编写者在学生练习过程中除了设计迁移题之外，还可以设计错误样例题，即练习题中包含一处或多处错误，让学生发现、改正错误。错误样例练习题可以是选择题式，也可以是问答题式，可以包含反馈或错误标记等。当然，错误样例的呈现方式不仅有这些，研究者和教育者还可以结合我国国情开发更多的错误样例呈现方式，优化知识组合，来更好地降低学生的认知负荷，提高其学习效果，最终达到巩固知识，提高创新能力的目的。
参考文献：
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