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浅议高中数学中抽象函数问题的解法

2016-09-30 16:59 来源:学术参考网 作者:未知

  本文从多个方面介绍了数学抽象函数的应用,特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题,并就典型例题加以分析解答,对学生的常见错误进行了剖析。

 

  抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点,关于抽象函数题目类型较多,形式灵活多变,考查内容无论从深度和广度,给人耳目一新的感受,现就其中几个主要问题加以分类解析。

 

  一、求抽象函数的定义域

 

  1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(ab),求函数f(x)

 

  解决这类问题的方法是:利用a  例1. 已知函数f(x+1)的定义域是[-23],求y=f(x)的定义域。

 

  解:因为函数f(x+1)的定义域是[-23],所以-2≤x≤3

 

  所以-1≤x+1≤4, 因此y=f(x)的定义域是[-14]

 

  2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(ab),求f [g(x)]函数的定义域。

 

  解决这类问题的方法是:a  例2. 已知函数f(x)的定义域为(01],求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-   解:因为函数f(x)的定义域为(01]

 

  所以0  由于-   所以不等式组(Ⅰ)的解为-a  即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-   


   二、抽象函数的周期性和奇偶性

 

  1. 抽象函数的周期性

 

  例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且当x∈(-11]时,f(x)=x2+2x

 

  求当x∈(35]时,f(x)的解析式。

 

  解:∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)

 

  ∴f(x)是以4为周期的周期函数

 

  设x∈(35]时,则-1  ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3  评注:若对函数f(x)定义域内的任意,恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零,a≠0)

 

  ①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-

 

  ④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)

 

  则函数f(x)是以2a为周期的周期函数

 

浅议高中数学中抽象函数问题的解法


  2. 抽象函数的奇偶性

 

  奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,有时为了便于判断函数的奇偶性,也往往需要先将函数进行化简,或运用定义的等价形式,但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法,构造出定义的形式。

 

  例4. 已知定义在上的函数f(x),对于任意xy∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠0

 

  (1)f(0)的值

 

  (2)判断函数f(x)的奇偶性

 

  解:(1)x=y=0,则有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1

 

  (2)x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)

 

  所以f(-y)=f(y)这说明函数f(x)是偶函数。

 

  三、抽象函数图像的对称变换

 

  结论1函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;

 

  ②函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于轴对称;

 

  ③函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点轴对称;

 

  ④函数y=f-1(x)与函数y=f(x)的图像关于直线y=x轴对称。

 

  结论2:若对定义域内的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立,则函数y=f(x)的图像关于直线x= 对称。

 

  结论3:函数y=f(x+a)y=f(-x+b)的图像关于直线x=对称(ab为常数)

 

  例5. 设函数y=f(x)的定义域为,则函数y=f(x-1)y=f(1-x)的图像关于( )

 

  A. 直线y=0对称 B. 直线x=0对称

 

  C. 直线y=1对称 D. 直线x=1对称

 

  错解:因为函数y=f(x)的定义域为R,且f(x-1)=f(1-x),所以函数y=f(x)的图像关于直线x=0对称,故选择B

 

  错解分析:错误的原因是将两个不同的对称问题混为一谈,即将两个不同函数图像的对称问题,错误地当成一个函数的图像对称问题,从而导致错误。

 

  正解:因为函数y=f(x)的定义域为R,而y=f(x-1)的图像是y=f(x)图像向右平移1个单位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的图像是y=f(-x)图像向右平移1个单位而得到的,又因为f(x)f(-x)的图像关于y轴对称,因此函数y=f(x-1)y=f(1-x的图像关于直线x=1对称,故应该选择D

 

  四、求抽象函数的解析式

 

  解决抽象函数解析式的问题,关键是构造出函数f(x)。通常采取赋值法,赋予恰当的数值或代数式后,通过合理运算推理,最后得出结论。

 

  例6. 已知f(0)=1f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求函数f(x)的解析式。

 

  解:令a=0,则 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1

 

  再令-b=x,即得f(x)=x2+x+1

 

  作者:罗鑫 来源:中学课程辅导·教学研究 20166

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