一、数学元认知及其成分结构
元认知（meta-cognkion)作为一个科学概念由美国著名发展心理学家弗拉威尔（Havell，J.)于1976年正式提出。元认知是对认知的认知，意指以人的认知过程为对象，并对人的认知过程进行监视、控制、调节，包括元认知知识、元认知体验、元认知监控。
数学元认知直到20世纪90年代才引起我国数学教育界的关注。初期，研究者主要根据元认知理论架构对数学元认知及其成分进行定性分析。譬如，有研究者认为，数学元认知指的是人们对数学认知活动的认识和控制，包括数学元认知知识（前提）、数学元认知体验（基础）、数学元认知监控（关键），三者的有机结合组成一个整体一数学元认知结构。较多研究者结合问题解决，分析了数学学习活动中的元认知，譬如有研究者认为：在数学解题活动中，数学元认知知识由主体性知识、客体性知识和策略性知识组成，数学元认知体验由修正目标、改组元认知知识、激活策略组成，数学元认知监控则包括解题方向、解题过程、认知策略的监控。
随着研究的深入，研究者利用定量方法研究数学元认知及其结构。譬如，有研究者利用因素分析，确定了中学数学学科自我监控能力的五个因子：计划、调节、检验、管理和评价。另一项研究则在此基础上制订了由31个测查项目构成的数学解题监控能力问卷，调查结论与上述结论基本一致，另外，有研究者对数学问题解决的元认知结构进行了探索性因素分析和验证性分析，提出数学解题元认知结构包括“三主因素九次因素”元认知知识（个体知识、认知任务、认知策略）、元认知体验（情感体验、认知体验）、元认知策略（计划、调控、评价、反思）值得注意的是，研究者开始从动态与静态的视角对数学元认知进行了区分。其中，静态元认知是对认知任务、策略、体验、体验、调控等方面较为稳定的知识结构，动态元认知是指面对具体认知情境时，对当前活动的计划、监控、认知策略、自己解决该问题能力的意识和评估等。
综上所述，研究者从定性与定量两个层面，对数学元认知及其成分结构进行了研究，观点虽略有不同，但基本达成了以下共识：数学元认知是人们对数学认知活动的认识，实质是人们对数学认知活动的自我意识和自我调节，其结构成分包括数学元认知知识、数学元认知体验、数学元认知调控。
二、数学元认知对数学学习的影响
教育心理学界普遍认为，元认知在整个智力活动中处于支配地位，对整个活动起控制调节作用。数学教育界持相同观点，认为数学元认知在数学认知过程中具有重要作用，主要体现在数学问题解决、数学思维、数学学业成绩三个方面。
(一)对数学问题解决的影响
数学问题解决是一个认知与元认知交互作用与影响的过程。数学元认知对数学问题解决的影响，体现在元认知知识、元认知体验及元认知监控三个纬度。
数学元认知知识对问题解决具有统摄作用。这种统摄作用表现在：程序性知识具有控制性，情境性知识具有引持性，评价性知识具有收效性，数学核心思想具有统摄性，数学思维模式具有规范性，策略性知识具有启发性。[2]譬如，拥有丰富元认知知识的学生，总体上能把握解题过程，思维整合流畅，所建构的“解题空间”具有较髙的质量，解题过程表现为较髙层次的元认知过程。[9]而且，随着问题难度与开放度的增大，元认知知识的统摄作用更加显著。
数学元认知体验是数学问题解决的心理推动力，对问题解决活动主要起调节作用。这些调节作用有：①对问题情境中各种线索的体验，决定和调节着对情境中有关信息的觉察与认知；②激活和提取不同问题情境下相应策略的知识和经验的体验，影响着调控对策和方法的选取；③解题进展的体验，影响和调节着解题过程的进展。实验发现，认知体验因素对简单题成绩有显著影响和回归效应；随着认知任务难度与开放度的增大，学习者的认知体验与情感体验越加明显，并且这些体验对解题过程中的方向、进展等调节和监控也越加显著。
数学元认知监控是元认知的核心内容，对问题解决主要起控制、监察、预见、调节和评价等作用。[4]譬如，有研究者认为，在理解问题阶段，监控可以引导解题方向；在拟订解题方案阶段，监控有助于解题者模式识别和解题迁移；在执行方案阶段，监控起调控、检验解题者行为的作用；在解题回顾阶段，监控可以促使解题者反思。值得注意的是，数学元认知监控作用是通过数学元认知知识和数学元认知体验的交互作用来实现的。
(二）对数学思维的影响
在教育心理学界，有研究者实验发现，元认知与思维品质存在因果关系，它们是同一事物的两个方面，都是完整思维结构的重要组成部分。其中，思维品质是思维整体结构功能的外在表现形式，而元认知则是思维整体结构功能的内在组织形式，即思维品质代表的是表层结构，元认知代表的是深层结构。
教育心理学界对元认知与数学思维关系的研究，给数学教育界在该领域的研究带来了启示。一些研究者认为，在数学思维活动中，思维监控系统处于支配的地位，它是数学思维活动的控制室，对其他四个系统（思维的目标系统、材料系统、操作系统、产品系统）起着监控、调节作用。因此，要培养和提髙学生的数学思维能力和学习水平，必须抓住这个核心，把它作为关键和突破口。也有研究者认为，元认知思想是数学思维发展的“导航器”，在元认知思想的指导下，即便思维受阻，也会及时矫正思维方向，调整思维的策略，把思维活动引入正轨，起到导航作用。另一项研究则从数学元认知的三个成分结构分别探讨其对数学思维的意义，认为元认知知识、元认知体验、元认知调控对数学思维分别具有奠基、调节、监控作用，培养学生的数学思维能力，必须提髙学生的元认知知识水平，加强元认知体验、强化元认知思维监控。
(三）对数学学业成绩的影响
多项研究表明，数学元认知对数学学业成绩有着深远的影响，数学元认知水平、元认知技能越髙的学生，学业成绩越优秀。相关研究主要集中在学优生与学困生的数学元认知特点的比较上。研究发现，在数学学习中，与学困生相比，学优生表现出较髙水平的动态数学元认知，譬如更善于监控自己的数学解题过程，具有计划、监控、反思、调节的意识与习惯。同样，学优生在问题解决中使用的元认知策略的数量及质量均优于学困生，这些元认知策略包括自我提问、自我指导、自我监控以及对题目难度的主观判断等策略。[19]值得注意的是，关于学生的数学元认知对数学学习成绩的影响，多数研究者认为这是一种间接的影响，即主要通过影响学生的问题解决、思维、迁移等而影响数学学业成绩。
三、学生数学元认知水平
研究者通过调查、解题实验等实证研究，发现我国各个层次学生的数学元认知在三个纬度的水平普遍较低，严重影响了学生数学学习的效率和效果。
(一)元认知知识缺失
有研究者调查发现，中学生认知个体、认知任务、认知策略、认知调控等方面知识的静态元认知水平总体偏低，且发展水平不平衡。髙职生也存在类似的情况。譬如：髙职生难以确定自己在数学学习上存在的问题出在哪里，即使顺利完成任务，也会认为是自己运气好；不能对所学的数学知识和问题有清晰的把握；在解决数学问题时，对问题的条件、结论和与之相关联缺乏清楚认识；不能经常了解、掌握和运用数学思想方法；等等。这些现象同样体现在大学生群体，很多大学生对自己解决数学问题的兴趣、爰好、记忆与思维特点、与他人相比的优势与不足等认识还不够清楚。
(二）元认知体验消极
有研究发现，学生对题目任务的难度、熟悉程度、对完成任务的把握程度、遇到的障碍或面临的困难等情感体验比较深刻。[但这种体验对问题解决的意义是消极的，即对问题解决的促进作用不明显或无效。譬如，一项以“自我效能感”来衡量中学生元认知的认知体验的
研究显示，学生的自我效能感普遍较低，且随着年级升髙而降低。譬如，初二有66%的学生“认为自己有把握做对数学练习”而初三学生不到30%，髙中生更是在10%左右。22]髙职生与大学生的数学元认知体验同样不容乐观，许多学生在解答数学问题时不清楚自己采用方法的优劣，一半左右的学生在解决数学问题时缺乏情感体验和美的享受。
(三）元认知监控偏弱
多项研究表明，中学生和髙职生数学学科自我监控能力发展速度比较平缓，并落后于其他心理能力的发展，集中体现在学生较差的题后反思、计划、检验、调节和管理等水平上。譬如，“许多中学生谈到自己看到陌生、难度大的问题时，就把平日里能随口回答的‘解题前要充分理解题意'‘考虑自己的理解与做法是否合理'‘要进行小结与反思'等元认知行为拋到一边，或一条道走到底，或猛然想到解法后，髙兴地写出答案，而忽略了全面考虑问题”多数髙职生在解决问题时，没有定向的意识、计划或者设想几种解题方案，不会使用改变方法、改变方向、特殊化等调节策略。大学生群体也有相似情况，绝大多数大学生对学习中的漏洞、薄弱环节、作业与考试中的错误等缺乏补救意识，很少反思自己存在的问题并进行针对性的补缺和补差。
可以看出，我国学生数学元认知各个维度的水平较低，尤其表现在数学元认知监控上。这种较低水平的数学元认知，是否存在着一定的发展规律性？研究者深入调查发现，学生数学元认知监控等能力随学生年龄的增长、数学知识的积累而不断发展，甚至延续到大学阶段，并具有“从他控到自控、从不自觉经自觉到自动化、迁移性逐渐提髙、敏感性逐渐增强、从局部到整体等基本规律”
四、数学元认知能力的培养
目前我国学生数学元认知水平普遍较低，如何从学生数学元认知的发展规律出发，培养学生的数学元认知能力已成为数学教育需要迫切解决的问题。
(一)自我提示策略
有研究者认为，波利亚“怎样解题表”中蕴含大量的元认知。譬如，“能联想起有关的定理或公式吗？还能以不同的方式叙述它吗？”等等，这些问题不是问别人，而是问自己，称为“提示语”。教学中应重视运用“提示语”来培养学生的数学元认知能力。一方面，学生需要学习运用波利亚的元认知提示语，培养良好的解题元认知习惯；另一方面，学生还应当从自己的体验中提炼和总结自己在解题监控中的经验，形成具有自己风格的元认知监控的“提示语”自我提示策略训练效果得到了干预性实验的证实。
有研究者在实验中要求学生完成三项工作：①做题前用文字写出问题“目前要解决的问题是什么？”“为了解决这个问题，应采取什么样的策略？②完整地写出习题的解答过程。③用文字写出“运用该策略时需要注意什么？”“该策略能否推广到其他情境？和“还有没有更好的策略？”实验表明：元认知技能训练显著提髙了数学学困生的元认知技能。
(二）反思策略
反思在当代认知心理学中属于元认知的概念范畴，指学习者对自身数学学习活动的过程以及活动过程中涉及的有关事物（材料、信息、思维结果等）的学习特征的反向思考。[24]其实，反思主要涉及元认知的核心内容一监控，譬如怎样分析问题，怎样制定、调整、执行方案，采取了哪些方法与策略，发现问题后采取了哪些补救措施，等等。有研究者认为，反思可以将学生的注意力集中到问题解决过程的执行监控上，从而有助于预测、计划、执行计划的监控和评价能力的提髙。
有实验发现，题后反思诸如“你是怎样发现和解决问题思路的？你运用了哪些基本的数学思想方法？解题时你走过哪些弯路？解题时容易犯什么样的错误？从中可以吸取什么样的教训？”等问题，可以大大提髙学生，特别是学困生的元认知技能水平。
(三）相互讲题策略
有研究者对八名学困生进行了为期三周的相互讲题实验研究：每人发放一张预先准备好的习题卡片（卡片上有两道难度相当的习题），接着在半小时内做自己卡片上的那两道习题，完成后从中随机选出两人，每人讲解其他同学不会做的习题，讲题人讲解时需要说明选择哪种方法，并讲清楚先做什么，后做什么，再做什么，最后还要说出解决这个问题易犯的错误和解决这个问题的关键。训练后，学困生的元认知技能有显著提髙。这与国外的一些研究相似，譬如在解决问题的研究中，有研究者发现，解题时相互提问最多的学生解决问题的速度也快，相互问答也能提髙被试的元认知能力。
不难发现，相互讲题实际上将学生的注意力部分指向元认知加工，即对解题过程的认知。因此，通过该训练可以提髙学生元认知技能水平。
可以看出，提髙数学元认知能力策略的相关研究主要以解题活动为载体，既强调教师有意识地启发与训练，也需要学生在学习中积极积累元认知知识、丰富元认知体验、增强元认知监控，并提髙到自我水平。
五、数学元认知的研究展望
数学元认知的研究成果颇丰，但无论从研究的内容取向还是研究的方法取向，都急需数学教育研究者深入探讨。
就研究内容的取向而言，纵向看，尽管研究涉及数学元认知的概念，数学元认知对数学学习的影响，数学元认知水平，数学元认知的培养等内容，但焦点主要在数学元认知的概念以及数学元认知与问题解决的研究上，而对数学元认知与数学思维的相互作用机制、不同年级学生在数学元认知各个成分上的水平与发展情况以及学生数学元认知能力的培养等问题，研究缺乏深入和系统。横向看，诸如对元认知与数学概念学习、元认知与数学命题学习关系的研究很少涉及。数学元认知内容纵向与横向的深入和系统的研究是必要的，这能充分揭示数学元认知的本质，促进数学元认知理论系统的完善，为学生数学元认知能力的培养提供理论支撑。这预示着，今后研究的内容取向将呈现多元化，各种理论相互渗透、相互补充，为数学元认知的深入研究提供广阔的视角。
就研究方法的取向而言，目前研究方法主要涉及量的研究，缺乏多样性。当前，相关实证研究主要运用量表等静态方法研究学生比较稳定的数学元认知，这是十分有价值的。但是，深入揭示数学元认知实质和规律，有必要运用持续观察、深入访谈等动态方法。除问卷调查研究及一般的实验研究外，有学者认为，研究数学元认知还可考虑运用以下方法：口语报告法、评价法、假想情景法、认知活动操作法等。只有研究方法的多元化，才能从不同角度深入研究学生的真实数学元认知实质与水平。
