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初等函数的值域问题

2016-06-18 14:02 来源:学术参考网 作者:未知

  求函数的值域是一个较复杂的教育教学问题,也是初等教育很重要的问题(因为它和求出函数和最值紧密相差),历届高考试题中经常出现,应引起重视,求函数值域没有通用方法和固定模式,根据问题的不同特点综合而灵活地运用条件选择方法求之。

 

  ()分离常数法

 

  例1:求函数y= 的值域。

 

  ∵ ≠0

 

  值域为:{y—y∈Ry≠1}

 

  例2:求函数y= 的值域。

 

  解:原函数可化为:y=2+

 

  ∵-1≤sinx≤1

 

  ∴-5≤ ≤-

 

  函数的值域为{y—-3≤y≤}

 

  [点评]类似于y= (mn≠o)的函数,常用分离常数法求值域,有时这种类型的函数往往也可以用反函数法求解。

 

  ()判别式法

 

  例3:求函数的值域。

 

  解:原函数解析式变为:

 

  (y-1)x2-(y-1)x+y-3=0

 

  当y=1时,此时方程无解。

 

  当y1时,由x∈R,此方程的判别式△≥0

 

  即:(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0

 

  解得:1≤y≤

 

  又y≠1,故1  故函数的值域为{y| |y≤ }

 

  [点评](1)此法适用于y= (a1a2不同时为0)型的函数。

 

  (2)在解题过程中注意对二次项系数是否为零讨论。

 

  ()配方法

 

  例4:求函数y= 的值域

 

  解: y= =

 

  因为-x2-6x-5所以-5≤x≤-1

 

  故0≤y≤2,即所求函数值域为[02]

 

  [点评]配方法适合的题型是二次型函数y=AX2+BX+C

 

  ()数形结合

 

  例5:函数y=|x+1|+x-2|

 

  =-2x+1(x<-1)3(-1≤x≤2)其图像如下图所示2x-1 (x>2)

 

  故所求值域是[3+∞)

 

  (法二)y看作是点(X0)到定点A(-10)B(20)的距离之和,故值域是[3+∞)

 

  例6:求函数y= 的值域

 

  解:原函数式可化为y= 此式可以看做点(20)(cosx-sinx)连线的斜率,而点(cosx-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1+=1,如下图所示。

 

  在坐标系中做出圆x2+y2=1和点(20)

 初等函数的值域问题

  由图可知,1的斜率的范围是[- ]

 

  故函数的值域为:[- ]

 

  [点评]数形结合求值域要求对几何图形有比较深入的把握。

 

  ()换元法

 

  例7:求函数y=2x+ 的值域。

 

  解:令t= (t≥0)

 

  则x=

 

  ∵y=t2+t+1=(t- )2+

 

  t=- x= 时,ymax= ,无最小值。

 

  函数值域为:(-∞]

 

  [点评]对于形如y=ax+b+ t=

 

  使之变形为二次函数,对于含 结构的函数,

 

  可利用三角代换,令x=acosθθ[0π]或令

 

  X=asinθθ∈[- ],转化为三角函数。

 

  ()不等式法

 

  例8:求下列函数的值域

 

  y=x2(x<0)

 

  y=

 

  解(1)y= = (x<0)

 

  ∵x+ ≤-2

 

  ∴-3≤<0

 

  即-3≤

 

  函数值域为[-30]

 

  [点评]不等式法:利用基本不等式a+b2≥ ,求函数值域时,要注意条件一正、二定、三相等,即(1)a>0b>0(2)a+bab为定值,(3)取等号条件a=b

 

  ()、反函数法

 

  例9:求函数y= 解出x,得x=

 

  ∴2y+1≠0

 

  函数的值域为{y|y≠ ,且y∈R}}

 

  [点评]类似于求函数y= (mn≠0)的值域问题,常用反函数法。

 

  ()求导法

 

  例10:设函数f(x)=2x3-3(a-1)x2+1 (a>1)

 

  求f(x)R+上的值域。

 

  解:f(x)=2x3-3(a-1)x2+1

 

  F1(x)=6x2-6(a-1)x

 

  令f1(x)=0

 

  得x=0x=a-1

 

  ∵a>1

 

  ∴a-1>0

 

  则:

 

  ∴x∈R+

 

  f(x)min=f(a-1)=1-(a-1)3无最大值

 

  ∴f(x)R+上的值域为[1-(a-1)3+∞)

 

  [点评]对于高次函数求值域一般选用此法,在求值域的过程中要对它极值予以关注。

 

  本文主要就初等函数求值域的常用方法和常见题型进行分析讨论,求函数值域没有通用方法和固定模式,在解题时要灵活运用条件,选择更恰当的方法解之。

 

  作者:向正虎 来源:学生周报·教师版 201310

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