中学数学中，函数问题是重要问题之一，初中阶段，一次与二次函数是重点关注对象，二次函数更是函数知识的核心.函数问题基本都会成为压轴问题，解题过程中，往往被困于函数最值问题.
一、二次函数在给定范围上的最值
例1 求二次函数y=x2-2x-5在0≤x≤3上的最值.
解：在函数中顶点坐标（1，-6）.注意函数顶点处于自变量的范围.函数在顶点与端点处的函数值作比较，当x=1时y的值是-6，当x=0时，y的值是-5，当x=3时，y的值是-2.得到y=x2-2x-5在0≤x≤3中最小值与最大值分别是-6和-2.
二次函数在实数范围内是连续的，在任意的闭区间上，它都是存在最大值和最小值，其注意点就是首先确定二次函数的顶点存在的范围.如果在顶点的一侧是给定的范围（包括两个端点），则最值就是端点处的函数值.如y=x2-2x-5在2≤x≤5内，x=2时存在最小值y=-5，x=5时存在最大值y=10，这时2≤x≤5处于顶点的右面，函数在2≤x≤5上面则为单调递增.
二、有字母系数的二次函数的最值
如果在二次函数中y=ax2+bx+c （a≠0）的系数a，b，c中至少有一个变动的系数，称之为含字母系数的二次函数.这时，y不仅仅是自变量x的函数，与此同时跟着变系数的取值不同而发生变化.含字母系数二次函数所表达的曲线是一条抛物线，解答这种二次函数的最值问题，一般基本的步骤都是先将字母系数作为一个普通的常数看待，用以求出顶点坐标的表达公式，接下来根据顶点处于自变量中的不同地方，进行分类解答.
例2
求y=-x（x-a）在-1≤x≤1在下面三种情形的最大值.（1）a<-2；（2）-2≤a≤2；（3）a>2.
在本题中，给出了带有字母系数a的二次函数，题目条件已经明确设定了它不同的取值范围.由此，当求解最大值时，可以针对a的限制范围来分别求得端点与顶点处函数值的大小.当然，为了使直观性增强，可以画图，凭借图形进行讨论.
解：二次函数的顶点坐标为（a/2，a2/4）.
（1）a<-2.这时a/2<-1，所以给定了范围（-1≤x≤1）的位置在抛物线的顶点右面.y=-x（x-a）在-1≤x≤1上是单调递减的.所以，当x=-1时，y得到最大值-（a+1）.
（2）-2≤a≤2.这时-1≤a/2≤1，即顶点的范围在-1≤x≤1中，所以，y的最大值在顶点处.所以x=a/2时，y得到最大值a2/4.
（3）a﹥2.这时a/2>1，所以给定了范围（-1≤x≤1）的位置在抛物线的顶点左面，y=-x（x-a）在-1≤x≤1上面是单调递增的.所以，当x=1时，y得到最大值a-1.
由上面的例子的解答方法可以得知，一个有最大值的二次函数当其中含有字母时，顶点不在给定范围中（包括两侧的端点），最大值是两端点中的一个数；顶点处于给定范围中，顶点处于的位置，就是取得的最大值.
三、函数最值的应用
实际生活中，多多少少会遇到一些如怎样使用材料最省，怎样花销最小，怎样利润最高等等问题.这种问题，归纳与二次函数的最值问题，在中考，运用二次函数的方法解决实际问题是重点考点，此类试题经常结合于实际将社会热点问题为背景，考查是否能够灵活运用所学知识解决现实生活问题.
例3
客房部将60个房间供应游客居住，每个房间为每天200元的定价时，房间将被住满.每个间房间的定价每提高10元时，将会空闲出一间房，宾馆要对每个房间支出各种费用设施20元，每个房间的定价提高x元，求解：
（1）房间每天的入住量y（间）与x（元）的函数关系式；
（2）每天房间的收费z（元）与x（元）的函数关系式；
（3）客房部利润w（元）与x（元）的函数关系式；当w有最大的值，每个房间的定价是多少？最大值为多少？
这种问题解决关键就是得到定价提高，该宾馆每天的入住量，此类型试题都能转化为二次函数的最值问题，二次函数画图、性质便于这种问题快速解决.
解：（1）y=60-x/10.
（2）z=（200+x）（60-x/10）=（-1/10）x2+40x=12000.
（3）w=（200+x-20）（60-x/10）=（-1/10）x2+42x+10800=（-1/10）（x-210）2+15210；当x=210时，w存在最大值.这时x+210=410，w要有最大值15210，每个房间定价410元.
总之，
二次函数应用广泛，生产、生活中必不可少，运用二次函数解决实际问题，结合图像、性质，与实际情景对照结合，解决问题.
