1 引言
随着社会和科技的进步，产品更新换代速度加快，被人们淘汰和遗弃的废旧品越来越多，环境问题就显得尤其重要；同时，由于废旧品回收后用于再制造所蕴含的经济利益引起了政府、学术界和企业界的广泛关注，因此逆向供应链成为目前研究的焦点之一。
对于逆向供应链协调的研究目前主要有两个前提：对称信息和不对称信息。对称信息下逆向供应链协调问题的研究文献较多：Savaskan运用Stackelberg 博弈方法建立对称信息下以制造商为主的分散决策模型，并研究供应链成员的定价和利润分配；顾巧论、陈秋双针对有固定需求底线时一个制造商和一个零售商的定价策略进行了分析，结果表明：制定合理的回收价格，使制造商和零售商的利益均达到最大化，是实现逆向供应链系统协调发展的一种有效策略。但在现实中，企业之间的很多信息都是处于不对称的情况，于是许多学者针对不对称信息下逆向供应链协调问题进行了研究。邱海永、贡文伟运用博弈论和委托代理探讨了零售商成本信息不对称下逆向供应链的协调问题；包晓英、李芳、伍云山、黄凌运用委托代理机制和甄别博弈的显示原理分析了逆向供应链的激励机制问题；李枫、李响针对回收量为随机情形下的逆向供应链协调问题进行了分析。
总结发现，以上大都是针对零售商成本信息为不对称情况下的逆向供应链协调研究，而针对再制造市场需求信息为不对称的研究文献还不多见。申亮针对再制造市场需求信息为不对称情形，构建了以制造商为主、回收商为从的信号博弈，分析了信号博弈的精炼贝叶斯均衡，推导出分离均衡、混同均衡、准分离均衡存在的条件，但却没有进一步分析制造商、零售商参与逆向供应链的最优策略以及政府参与对逆向供应链企业的影响。而在实际运作中，政府为优化投资环境、提升政府形象参与到逆向供应链运作中来，这不可避免要对逆向供应链企业的决策产生影响。因此，考虑政府参与对逆向供应链企业的影响更具现实意义。
本文基于一个制造商和两个零售商构成的逆向供应链系统，在不对称信息下，构建以制造商为主，零售商为从的Stackelberg模型，主要特色和创新点包括：①在制造市场需求信息不对称下，构建利润最大化模型，对逆向供应链参与企业的最优策略进行分析；②对比政府不参与逆向供应链、政府对制造商实施奖励、政府对零售商实施奖励三种情形下，逆向供应链参与主体的最优策略情况，为政府引导逆向供应链实施提供参考。
2 研究模型
2.1 模型描述
由一个制造商和两个零售商组成的逆向供应链系统，制造商委托零售商进行废旧品回收，制造商和零售商是委托和代理关系。制造商按市场需求从零售商处回收废旧品，并将回收的全部产品加工成为再制品投放到市场销售，市场需求的多少直接影响到再制品的回收数量。在这里假设再制品市场需求状态有两种：一种是高需求，一种是低需求。当处于高需求状态时，零售商预测的市场需求低于制造商预测的市场需求；当处于低需求状态时，零售商预测的市场需求高于制造商预测的市场需求。博弈的顺序如下：
（1）制造商委托零售商从消费者市场回收废旧品，在回收期到来之前，制造商观察到再制品的市场需求的密度函数为f（x），分布函数为F（x）；
（2）制造商根据生产计划以及对零售商可能的回收量，按照利润最大化确定支付给零售商的收购价格pm；
（3）零售商根据制造商提供的价格、以及对市场需求的预测，按照利润最大化确定回收量Q；
（4）当制造商向零售商递交回收量为D的订单时，零售商尽最大量满足制造商的订单。
当制造商在向零售商确定收购价格时，就会考虑到零售商所做的决策，因此，该逆向供应链构成了一个以制造商为主，零售商为从的Stackelberg博弈。在此假设零售商多余的废旧品处理价格为零。
2.2 符号说明
p0表示再制品市场销售价格，是个确定的常量；cm表示制造商加工再制品的单位边际成本，是个确定的常量；pm表示制造商向零售商处的回收价格，为制造商的决策变量，cri表示 零售商i的单位边际运营（包括库存、运输）成本，是个确定的常量，（i=1，2）；pr表示零售商从消费者处的回收价格，是个确定的常量；ci=cri+pr为零售商i的单位边际成本（i=1，2，不妨假设c1>c2）；D表示废旧品的市场需求量；Qi表示零售商i回收的废旧品数量，是零售商的决策变量；Q=Q1+Q2表示零售商中总的回收量；si表示零售商i的努力程度，其中Qi=ksi，k是努力系数（假设两个零售商的努力系数相同），（i=1，2）；csi=12ms2i为零售商i的努力成本，m为努力成本系数（假设两个零售商的努力成本系数相同，（i=1，2）；πm表示制造商的期望利润；πi表示零售商i的期望利润（i=1，2）；λ表示零售商1所占的市场份额，那么（1-λ）为零售商2所占的市场份额（0≤λ≤1）；G0=b表示政府给予制造商的奖励，其中b为奖励系数；
Gi=bQi表示政府给予零售商i的奖励，其中b为奖励系数（i=1，2）。为保证问题有意义，规定：
ci≤pm≤p0-cm（1）
3 不对称信息下的再制品市场需求模型分析
假设再制品市场需求D是一个服从密度函数为f（x），分布函数为F（x）的随机量，F（x）是严格递增的和可微的，且F（0）=0，F（∞）=1；由于信息的不对称性，两个零售商根据制造商提供的回收价格和自己对市场的观察，共同预测市场需求函数服从密度函数为frx，分布函数为Fr（x），同样Fr（x）是严格递增的和可微的，且Fr（0）=0，Fr（∞）=1，同时制造商知道零售商的预测函数。制造商的决策变量为pm，零售商的决策变量为Q（这里假设除了再制品市场需求信息为不对称，其他信息均为对称）。
3.1 政府不参与逆向供应链的运作
3.1.1 模型构建
在该模型中，制造商是主导者，两个零售商是跟随者，这是一个序贯非合作的Stackelberg博弈模型。
（1）零售商1的期望利润：
π1=λpm-c1λQ-ms212
=λpm-c1λQ-mλ2Q22k2（2）
零售商2的期望利润：
π2=（1-λ）pm-c2（1-λ）Q-m（1-λ）2Q22k2（3）
（2）制造商的期望利润为：
πm=（p0-pm-cm）（∫Q0xf（x）dx+∫∞QQf（x）dx）
=（p0-pm-cm）（Q-∫Q0F（x）dx）（4）
3.1.2 模型优化分析
欲使两个零售商的利润达到最大化，可由π1Q=0，π2Q=0得到：
pm-c1-mλQk2=0（5）
pm-c2-m（1-λ）Qk2=0（6）
由式（5）和式（6）可得：
Fr（Q）=1-k2（c1+c2）+mQ2k2pm（7）
当制造商给定零售商的回收价格为p*m时，零售商对应的最优回收量Q*满足式（7）即可得到，由此零售商便可得到最大的期望利润。当零售商的回收量由零增加到Q*，这时利润也是增加，当回收量超过Q*时，利润就会减少，这是因为开始回收量比较小，还不能满足市场需求，随着回收量的增多，当高于市场需求时，回收多余的废旧品的成本就全部由零售商来承担，利润就会减少，即当利润开始减少时，回收量Q*就是零售商的最优回收量。
定理1：在其他条件不变的情况下，零售商总的最优回收量随着回收价格的增加而增加。
证明：对式（7）两端求关于pm的偏导，可得：
Qpm=k2（c1+c2）+mQ2k2p2mfr（Q）+mpm>0 ，故得证。可知当制造商欲回收更多的废旧品，就应该提高支付给零售商的回收价格。这是因为当回收价格提高时，零售商得到的单位废旧品利润增加，此时零售商的边际利润大于边际成本，零售商就会努力提高回收量，一直达到边际利润等于边际成本。
定理2：在其他条件不变的情况下，高成本零售商所占市场的份额会随着与低成本零售商的边际成本差额的增大而减少，并且高成本零售商所占的市场份额低于低成本零售商所占的市场份额。
证明：由式（2）和式（3）式可以得到：
λ=12-k2（c1-c2）2mQ，故得证。由此可知当其他条件不变时，高成本零售商欲取得更多的市场份额，获取更大的期望利润，就应该努力降低自己的边际成本。
（2）欲使制造商利润最大化，由下式得到：
πmpm=-（Q-∫Q0F（x）dx）+（p0-pm-cm）Qpm=0
即Q-∫Q0F（x）dx=（p0-pm-cm）Qpm（8）
当满足式（8）时，制造商便可求得最优的回收价格p*m ，获取更大的期望利润，这是因为开始时收购价格由零增加到p*m时，零售商的回收量也会相应增加到Q*，这时候可以满足市场需求，但是当价格进一步上升时，回收更多的废旧品就会超过市场需求，制造商的利润就会减少，所以当制造商将价格提高到p*m时，就是制造商给零售商的最优回收价格。
3.2 政府对制造商进行奖励
当政府对制造商回收的每单位废旧品的奖励价格为b时，制造商的期望利润为：
πm=（p0-pm-cm+b）
根据πmpm=-（Q-∫Q0F（x）dx）+（p0-pm-cm+b）Qpm=0
即Q-∫Q0F（x）dx=（p0-pm-cm+b）Qpm（9）
当政府给予制造商每单位废旧品奖励价格为b时，制造商根据期望的回收量来最大化自己的利润，考虑到两个零售商的决策，当两个零售商中的最优回收量为Q*时，制造商便根据式（9）可得到支付给零售商的最优回收价格p*m。由于政府的奖励，制造商为了获得更多利润，就会提高支付给零售商的回收价格，回收量就会相应增加，当欲使回收量增加到Q*时，制造商的回收价格就需要提高到p*m，若再提高回收价格，就会使得回收量过剩，所以此时p*m就是最优的回收价格。
3.3 政府对零售商进行奖励
当政府对零售商回收的每单位废旧品的奖励价格为b时，可得到相应的零售商的期望利润；
零售商1的期望利润：
π1=λpm-（c1-b）λQ-ms212
=λpm-（c1-b）λQ-mλ2Q22k2（10）
同样可以求得零售商2的期望利润：
π2=（1-λ）pm-（c2-b）（1-λ）Q-m（1-λ）2Q22k2（11）
对式（10）、式（11）求零售商的最大利润，可由π1Q=0，π2Q=0得到：
pm-（c1-b）-mλQk2=0（12）
pm-（c2-b）-m（1-λ）Qk2=0（13）
由式（12）和式（13）可得：
Fr（Q）=1-k2（c1+c2-2b）+mQ2k2pm（14）
当制造商给定回收价格p*m时，零售商便可根据式（14）得出最优回收量Q*，获取最大的期望利润。制造商考虑到政府对零售商每单位废旧品的奖励价格为b时，零售商的风险减少，就会相应增加回收量，由于再生品市场需求有限，回收量超过需求量就会使得制造商和零售商的利润减少，所以制造商就会比政府参与运作时价格偏低，根据利润最大化，所以当制造商支付给零售商的回收价格为p*m时，零售商的最优回收量为Q*。
定理3：在其他条件不变的情况下，零售商总的最优回收量随着奖励价格的增加而增加。
证明：由式（11）可得：
Qb=2k22k2pmfr（Q）+m>0 即得证。所以为了获得更大的回收量，政府可以相应提高奖励价格。当政府的奖励价格提高时，零售商承担的风险减少，零售商的边际利润大于边际成本，零售商回收废旧品的动力增强，于是就会提高回收量来提高利润，当零售商的边际利润等于边际成本时，此时的回收量就是零售商的最优回收量。
4 模型的数值算例分析
4.1 模型的算例分析
前文分析了不对称信息下逆向供应链的协调机制，由于模型结构比较复杂，各个模型均为非线性规划问题，而且模型中还含有抽象函数，所以必须通过数值仿真才能得到具体的结果，在这里假设再制品市场需求函数服从均匀分布。模型中的各参数见表1。
假设市场需求函数的真实分布有两种情况，即高需求和低需求，假设高需求状态时f（x）=120，此时在信息不对称性情况下，零售商预测函数为fr（x）=118；低需求状态时f（x）=112，此时在信息不对称性情况下，零售商预测函数为fr（x）=114，将各个赋值代入，可以得到信息不对称的情况，如表2、表3。
由表2、表3得出，无论是再制品市场处于高需求状态还是处于低需求状态，只要政府参与逆向供应链的运作，废旧品总的回收量以及制造商和两个零售商的期望利润都会增加；在同样条件下，高成本的零售商获得利润均小于低成本零售商获得的利润，高需求状态下废旧品的最优回收量均大于低需求状态下废旧品的最优回收量；高需求状态下制造商和零售商的期望利润均大于低需求状态下的期望利润。
4.2 政府的奖励价格b与回收量Q之间的变化关系分析
从图1、图2可以看出，政府的奖励价格b与零售商的回收量Q成正比例关系，当政府希望以相同的奖励价格分别对制造商和零售商进行奖励时，对制造商奖励时的回收量明显小于对零售商奖励的回收量，而且随着政府奖励价格b越来越大，零售商的回收量差距也就越大。政府通过参与逆向供应链运作，既要考虑到政府的支出，也要考虑到社会效果，所以希望以最小成本来达到最佳效果。同时，在高需求下，政府的奖励效果更加明显，即回收量增加更显著，通过以上分析可知：
（1）当政府对逆向供应链企业进行奖励时，希望以同样的奖励价格得到更大的奖励效果时，就会选择对零售商进行奖励，这是因为零售商更接近回收市场，对零售商奖励更直接、更明显。
（2）当政府对零售商进行奖励时，希望以同样的奖励价格得到更大的奖励效果时，就希望市场处于高需求状态，这是因为当市场处于高需求状态时，需要回收的废旧品就更多，制造商和零售商就更有动力去回收更多的废旧品。
5 结束语
本文探讨了由一个制造商和两个零售商构成的逆向供应链系统，当再制品市场需求信息为不对称情况时，以制造商为主，零售商为从的Stackelberg博弈模型下各个逆向供应链成员的最优决策，分析了政府分别对制造商和零售商进行奖励的效果，通过构建利润模型以及利用数值运算，得出以下几点结论：
