摘 要：利用GARCH、EGARCH和GJR带正态分布和t分布的GARCH模型族对沪深300指数日收益率进行了统计拟合比较分析，得到了收益率序列尖峰厚尾性和异方差性等主要概率特征，发现基于学生t分布的GARCH (1, 1)模型是最优的拟合模型，可以较好地提供沪深300指数未来八日的波动率预测。
关键词：GARCH模型族；沪深300；student-t分布；预测
Comparative Research of Shanghai and Shenzhen 300 on GARCH Family Models
Abstract: The rate of return of Shanghai and Shenzhen 300 index is imitated and analyzed by adopting GARCH, EGARCH and GJR with normal and student t-distribution model. The results show that the main probability characteristics of the rate of return of Shanghai and Shenzhen 300 index are fat tails, excess kurtosis and heteroscedastic character. We find that GARCH (1, 1) with the student t-distribution model is the most superior fitting model which can give better forecast of volatility of Shanghai and Shenzhen 300 index in eight days.
Key words: GARCH family models; Shanghai and Shenzhen 300; t-distribution; forecast
1 引言
沪深300指数是由上海和深圳证券市场中选取300只A股作为样本编制而成的成份股指数。国内有很多学者对我国上证、深证指数的收益率用ARCH族模型进行过广泛的研究。沪深300指数推出六年了，关于其收益率的研究还比较少，本文对其日收益率的分布特征进行分析，并分别用GARCH，EGARCH和GJR带正态分布和学生t分布的模型对沪深300指数日收益率进行拟合，并对它们的预测能力进行对比。
2 GARCH模型族与方法分析
2.1 条件均值方程
条件均值方程为ARMAX(R, M, N)：
其中：φi为自回归系数；θj为移动平均系数；X为解释回归矩阵，有N列，每一列为一个时间序列，对应一个解释变量；X(t, k)表示矩阵X的第t行第k个元素。
2.2 条件方差方程
条件方差方差采用以下3种形式：
（1）GARCH(P, Q)：
条件方差既是滞后残差平方的线性函数，又是滞后条件方差的线性函数。它能够较好地描述金融时间序列数据的尖峰厚尾特征。
（2）EGARCH(P, Q)：
其中：Lj的参数允许信息不对称：即相同程度的正冲击与负冲击所产生的波动效果不同。当Lj = 0时，信息是对称的；当Lj < 0时，说明负的冲击比正的冲击更容易增加波动，即存在杠杆效应。
（3）GJR(P, Q)：
其中：当εt-j < 0时，S-t-j = 1；εt-j ≥ 0时，S-t-j = 0；当Lj ≠ 0时，信息是非对称的；当Lj > 0时，相同程度的负的冲击比正的冲击对波动的影响更大，即存在杠杆效应。
分别假设et服从标准正态分布和标准化的学生t分布，得到带正态分布和t分布的波动率模型。对数据的分析和处理采用软件SPSS 12.0和MATLAB 7.0。
3 GARCH模型族实证结果分析
3.1 数据采集
用沪深300指数从2009年4月8日至2011年4月26日的日收盘价作为观测值，共得到498个数据，将其转化为对数百分收益率序列，共有497个数据。取前489个数据作为模型估计样本，后8个数据作为预测评价样本。
3.2 基本统计特征分析
沪深300指数日收益率序列偏度系数显著不为零，峰度系数远大于3，具有偏斜、厚尾特征；Kolmogorov-smirnov检验表明沪深300指数收益率序列不服从正态分布。Q(6)、Q(10)分别是6期、10期Ljung-Box修正Q统计量，由于这两个统计量对应的概率值大于0.05，在95%的水平下，不能拒绝6期、10期收益率不是序列相关的假设。
3.3 模型估计结果分析
由于日收益率序列不存在序列相关性，均值方程取为R1 = C + εt ，经过试算知条件方差方程的GARCH族模型的阶取为P = 1，Q = 1较为合适。对日收益率序列拟合GARCH(1, 1)、EGARCH(1, 1)、GJR(1, 1)3种模型，由于基于t分布的GJR(1, 1)模型估计的参数不满足模型本身对参数的约束条件，故不选用该模型。
对标准化残差进行滞后为12阶的拉格朗日乘子检验，其对应的概率值都远大于0.05，因此不拒绝原假设，这证明了用上述5种模型拟合数据，可有效地剔除原序列中的ARCH效应，这些模型是适用的。
另外，从AIC信息准则来看，带t分布的模型拟合效果明显优于带正态分布的模型。
3.4 模型预测能力评价
为了对比上述模型对我国股市的波动性的预测的优劣，考察它们对未来八日和未来两日的预测表现，把股市在第t日的收益率减去收益率均值的平方作为市在该日的实际波动h2t，由模型估计的条件方差作为波动预测，用6种预测误差h2t度量指标作为评判标准。
对未来八日的波动预测，5种模型的表现不相上下。带学生t分布的GARCH(1, 1)模型的6种预测误差都是所有模型中最小的，这与由AIC信息准则所得的结果是相吻合的。次之的是带正态分布的GARCH(1, 1)模型，预测误差最大的带正态分布的EGARCH(1, 1)模型。在本文中GJR和EGARCH模型的预测能力都比较差，这是因为这两类模型的主要特点是反映信息不对称的杠杆效应的，沪深300指数收益率不具有杠杆效应，因此这类模型的预测效果比较差。
4 结论
（1）我国股市具有很强的波动集聚性和持续性。我国股市存在明显的ARCH效应，GARCH族模型适合于拟合我国股市日收益率序列。
（2）我国股市不存在杠杆效应。通过EGARCH和GJR模型系数的估计知，我国股市不存在杠杆效应。
（3）使用带厚尾分布（student-t）的GARCH族模型的对我国股市收益率的拟合要优于带正态分布的GARCH族模型。
（4）对波动的预测方面，未来两日的预测中带学生t分布的GARCH(1, 1)模型表现最好，对未来八日的预测中，5种模型的预测能力相当。
参考文献
韩贵, 王静. 基于EGARCH模型的我国股市信息对称性研究. 西南交通大学学报, 2008, (8).
