摘要:本文是在假定家庭出生人口内生和一个增长的人力资本收益率的基础上来分析人口变动和经济增长。目标在于构建一个模型来说明上个世纪中国的计划生育政策对中国人口变动的影响。我们证明了中国的独生子女政策导致了中国的人口由一个低水平的均衡转变到了一个高水平的均衡。在我们的模型中，最重要的假设就是人力资本收益率是由人力资本的累积程度所决定。当人力资本丰富的情况下，人力资本收益率和人口出生率有很高的相关性；在另一方面，当人力资本相对稀少的情况下，人力资本所导致的产出率比人口出生所导致的产出率低。因此，在一个人力资本有限的社会中，将会出现高生育率低人力资本累积率，而人力资本丰富的社会则是相反的情况。这种情况导致了两种不同的均衡。一个是具有高生育率和低人力资本的低水平均衡，另一种是低生育率和高人力资本的高水平均衡。
论文关键词：计划生育,人力资本,经济增长
本文的主要目的在于对中国的计划生育政策（独生子女政策）进行评估。我们证明了中国的人口政策可以让家庭对人力资本的投入增加而不是养育更多的子女，这一政策使得中国的经济由低水平均衡转向了高水平的均衡。
人口经济学起源于汤姆斯.马尔萨斯,他发展了一个动态的增长模型用于解释每个国家最后都收敛于一个稳定的平均资本收入。而中国的历史可以很好的解释这一点：在过去的几千年中，中国社会财富存在一个繁荣和衰退的交替，这其中一个非常重要的经济学因素就是这种类似于商业周期的兴衰过程也体现在人口的数量上面（曹康,中国历史中的人口和土地：经济分析）。根据马尔萨斯的理论，当收入超过均衡水平时，通常伴随着死亡率降低和生育率提高，当收入低于均衡水平时，通常伴随着死亡率提高和生育率降低。虽然马尔萨斯的理论可以解释农业社会中的人口变化，但是不能很好的解释在转型社会中人口的变化。在过去的150年间，西欧和美国的许多国家都经济了生育率降低而收入增加的这个过程。
同时，从马尔萨斯的理论中分离出来的新古典模型得出了一个新的结论：在经济增长和人口之间没有直接的关系。这是通过调整投资在劳动力资本上面的资源而导致了经济收敛到均衡的状态。当人均资本收入超过均衡的状态时，在劳动力资本上面的投资将会减少，反之亦然。通过这种方法，新古典经济学很好的解释了发达国家的经济增长现象。但是，对于处于由农业社会向工业社会转型的发展中国家而言，关于动态的人口变化对于经济增长的影响的研究非常的重要，因此对于中国这样实行了人口政策的国家而言，这方面的研究对以后中国的人口政策和经济政策都有十分重要的参考作用。
另一方面，人力资本在现代社会发展中是一个非常重要的因素，1929年到1982年教育的发展解释了25%美国二十世纪人均资本收入的增加（迪生 1985）。从1960年开始，一百多个国家的数据证明了教育投资对于人均资本收入的增长是一个非常重要的解释变量（巴洛 1989）。在现代社会，富裕的国家通常和丰富的人力资本联系在一起。
在考虑了以上的因素以后，本文将会把马尔萨斯与新古典经济学的模型综合起来，同时从生育率与人力资本方面来考虑经济增长，假设内生的生育率和随着数量增加而投入减少的劳动力资本。本文主要的假设在于当人力资本的数量很少时，人力资本的收益率低于婴儿的出生率，而当人力资本丰富时，人力资本的收益率高于婴儿的出生率。这将会导致两个均衡的结果。
在第二部分，我们将会创建一个模型，这个模型将会解释在生育约束存在的情况下，最优的人力资本将会跳到一个相反的方向。而这个动态的过程将会导致经济发展从一个低水平的均衡转向收敛于一个高水平的均衡。
二．模型及基本定理
为了保证文章的完整性，笔者重组了贝克的论文中所提到模型（参见Gary S. Becker, Kevin M.Murphy and Robert Tamura）.在这个部分中主要说明了关于人力资本和个人效用函数的一些假设，从此可以得出两个稳定状态的一些定理。在第一个状态人力资本几乎为零而生育率非常高，而在另一个状态人力资本非常高而生育率很低。
本文的第一个假设是关于效用函数，我们假设每个人存活两期，幼年时期和成年时期。我们同样假设家长对自己的孩子非常宠爱，家长的效用函数依赖于他们自己的消费以及每一个孩子的效用情况。
一个在第i期的成年人的效用函数可以表示为：
Ui = v(ci) + a(ni)Ui+1 (2.1)
在这里ci是他自己的消费情况而v(ci)是由这个消费所带来的效用，ni是孩子的数量，a(ni)衡量家长对每个孩子的宠爱程度，Ui+1是每个孩子的效用函数。同样我们强调a(ni)满足以下的形式：
a (ni) = α(ni)−ε, 0 < α < 1 且 0 < ε < 1(2.2)
从这个等式我们可以看出，当一个家庭中子女的数量增加时，对每个孩子的宠爱程度将会减少。采用归纳替代以后我们可以得到一个动态的效用函数：
（2.3）
我们同样假设：
（2.4）
我们假设当用更多的资源用于人力资本的投资而不是消费时，人力资本的产出将会增加。 在新古典经济学的模型中，当劳动力资本数量增加的时候投资在劳动力资本上的收益率会降低。但是对于人力资本而言相同的结论却不成立。一方面是因为人力资本和劳动力资本的不同在于它是作用于具体的个人。当目前的人力资本的积累非常巨大时，投资在人力资本说带来的边际收益率会倾向于提高而不是降低，另一方面，人力资本也属于一种知识，因此它可以被复制，所以投资于人力资本的话会带来正的外部性。基于以上的理由，我们可以得出这样的结论，那就是人力资本的收益率会随着人力资本数量的增加而增加。在我们的模型中，我们假设人力资本的收益率会随着人力资本数量的增加而增加。当人力资本数量很少的时候，人力资本的收益率低下，而随着积累的增加人力资本的收益率将会增加直到无法吸收更多的知识的时候，人力资本的收益率才会降低。
图一
在图一当中，在t时刻（t(Ht)）平均每个工人的人力资本会随着横轴变化，在t+1时刻的人力资本会随着纵轴变化，而劳动力资本忽略不计。投资在人力资本上的收益率R(H)提高了H。当H是在原点的时候，所有值都非常的低。而用于未来消费折旧的a(n)-1在原点却非常的高，这是因为它与生育数量n存在负的相关性，所以当H很低的时候，a(n)-1会非常的高，这是因为在这个时候花费在生育子女和教育上面的开销非常低。因此当H=0的时候，用于未来消费的折旧率将会超过投资的收益率。
a(nu)−1 > Rh where H = 0(2.5)
这个不等式是当H=0的时候能够达到均衡状态的一个充要条件，因为当投资收益率比消费折旧率低的时候，理性的个人会更倾向于消费而不是投资。更重要的是，这个均衡状态是一个局部稳定，当H等于一个非常小的正数是，这个不等式也是成立的，而只要2.5的不等式成立的话，根据图一，这个经济体就会收敛于U点。
但是当投资于人力资本的资源达到一定的数量时，投资于人力资本的收益率也会提高，同时生育人数n会降低，这是因为生育的成本将会增加，Rh增加，H增加，而a(n*)-1会减少。因此当H非常大时，为了达到均衡状态以下的等式必须成立
a(n∗)−1=Rh(H∗) (2.6)
在这里n*表示均衡状态时的生育率。
接下来我们将会用模型来说明均衡的类型和以上讨论内容的动态过程。为了能够和生育率，人力资本很好的联系在一起，我们会忽略劳动力资本并且假设在消费，人力资本和生育率部分的产出单一。
我们同样假设每个人都存活两期，即是幼年期和成年期，成年人工作T小时并且在他幼年的时候会花费所有的时间用于人力资本的投资。一个成年人将会在成年期的开始选择生育n个孩子，而养育孩子将会带来时间和资源的消费，v表示成年人养育每个孩子所花费的时间，f表示投资在每个孩子上面的资源。每一个后代都会有Ho的人力资本的禀赋。而人力资本的产出由他们父辈的人力资本所决定，当他们的父辈具有先进的知识的时候，这样的优势将会被子女所继承。其次，人力资本的产出率还取决于花在教育上面的时间，当父母愿意花更多的时间教育子女的时候，子女将会从父母那里继承更多的知识，从而子女所拥有的人力资本会更多。假设这是一个道格拉斯生产函数，然后把Ho和Ht代进去，我们可以得到：
Ht+1 = Aht(bH0 + Ht)(2.7)
系数A用于衡量投资的产出率，表示了H0到Ht之间的转换率。
而消费函数也同样是一个道格拉斯生产函数
ct + fnt = Dlt(DH0 + Ht)(2.8)
这里c表示平均每资本成人的消费量，D表示消费部门的产出率，lt表示花费在消费品产出上的时间，d表示Ho和Ht在消费部门的转换率。由于生产函数是道格拉斯生产函数的形式，所以时间和人力资本是与生产消费商品联系在一起的，同时这个函数还满足规模报酬不变。
最后，时间约束为：
T = lt + nt(v + ht) (2.9)
父母在2.7,2.8,2.9的约束下实现动态的效用最大化：
（2.10）
我们采用贝尔曼方程进行求解（见附录1），用v(Ht)表示方程的值，最优结果可以表示为：
−(ct)σ−1 + αnt(ct+1)σ−1A(T − vnt+1)(2.11)
在t和t+1时期平均每资本消费的套利约束是
(2.12)
在这里rht是投资在人力资本上的收益率，当投资是正数的时候成立。 这个收益率可以表示为
Rht = A(T − vnt+1) =A(lt+1 + ht+1nt+1) (2.13)
在贝尔曼方程中通过对Vt进行nt的求导我们可以得到使得效用最大化的一阶约束条件为：
(1 − ε)α(nt)−εVt+1 = u0(ct)[(v + ht)(H0 + Ht) + f] (2.14)
当H=0时，方程2.12变成严格不等式：
(nu)ε > αA(T − vnu) (2.15)
在这里nu表示低水平均衡时的生育率。当父母选择高的生育率的时候这个不等式成立。当H=h=0时，我们可以简化等式2.14为：
(2.16)
等式的左边是在均衡时刻从子女那里所得到的经济上的收益率，分子上面(T-vnu)Ho是从养育子女所得到的潜在收益，减去养育子女的花费，除以父母用于生育子女上面所损失的消费，所以这个比例表明了从生育子女那里所获得的收益。当用于生育子女的时间（r）和资源（f）相对比较小的时候，从生育子女那里获得的收益就会比较高。因此，当生育子女的花费比较低的时候，父母会更愿意多生孩子。而一个比较高的生育率将会导致父母投资在子女上面的人力资本就会比较低。当H=0的时候，将会达到均衡的状态。
定理一：当H等于某些正数的时候这个均衡也成立。这种均衡成立的条件是Ht+1
