不定积分解题研究论文

微积分的基本思想及其在经济学中的应用

摘要： 微积分局部求近似、极限求精确的基本思想贯穿于整个微积分学体系中，而微积分在各个领域中又有广泛的应用，随着市场经济的不断发展，微积分的地位也与日俱增，本文着重研究微分在经济活动中边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及积分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用。

关键词：微分   积分   基本思想   应用

微积分是人类智慧最伟大的成就之一，局部求近似、极限求精确的基本思想是进一步学习高等数学的基础。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分和积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

1. 微积分的产生、发展及其作用

微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子·天下》篇中的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”就蕴涵了无穷小的思想。经查阅文献《晏能中.微积分——数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等。帕斯卡在求曲边形面积时，用到“无穷小矩形”的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微积分的产生奠定了基础。

随着数学科学的发展，微积分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用。之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献。由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支。

微积分的创立改变了整个数学世界。微积分的创立，极大的推动了数学自身的发展，同时又进一步开创了诸多新的数学分支，例如：微分方程、无穷级数、离散数学等等。此外，数学原有的一些分支，例如：函数与几何等等，也进一步发展成为复变函数和解析几何，这些数学分支的建立无一不是运用了微积分的方法。在微积分创设后这三百年中，数学获得了前所未有的发展。

2. 微积分的基本思想———局部求近似、极限求精确

微积分是微分学和积分学的总称，它的基本思想是：局部求近似、极限求精确。以下我们具体阐述微分学与积分学的思想。

微分学的基本思想

微分学的基本思想在于考虑函数在小范围内是否可能用线性函数或多项式函数来任意近似表示。直观上看来，对于能够用线性函数任意近似表示的函数，其图形上任意微小的一段都近似于一段直线。在这样的曲线上，任何一点处都存在一条惟一确定的直线──该点处的“切线”。它在该点处相当小的范围内，可以与曲线密合得难以区分。这种近似，使对复杂函数的研究在局部上得到简化。

积分学的基本思想

积分学的最基本的概念是关于一元函数的定积分与不定积分。蕴含在定积分概念中的基本思想是通过有限逼近无限。因此极限方法就成为建立积分学严格理论的基本方法。微分与积分虽然是微观和宏观两种不同范畴的问题，但它们的研究对象都是“非均匀”变化量，解决问题的基本思想方法也是一致的。可归纳为两步：a.微小局部求近似值；b.利用极限求精确。微积分的这一基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，并且将指导我们应用微积分知识去解决各种相关的问题。

3.微分在经济学中的应用

随着经济的发展及数学理论的完善,数学与经济学的关系越来越密切,应用越来越广泛.微积分作为数学知识的基础,介绍微积分与经济学的书也越来越多,然而大部分书或者着重介绍经济学概念或者着重介绍数学理论,很少有主要介绍微积分在经济学中的应用的书.本文将通过对一些简单的微积分知识在经济学中的应用,以使人们意识到理论与实际结合的重要性.

弹性分析

在文献《蔡芷.财会数学》中，某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数。在经济工作中有多种多样的弹性，这决定于所考察和研究的内容，如果是价格的变化与需求反映之间有关系，那么这个反映就称为需求弹性。由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异，同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的。有的商品反应灵敏，弹性大，涨价降价会造成剧烈的销售变动；有的商品则反应呆滞，弹性小，价格变化对其没什么影响。

4.积分在经济学中的应用

积分学是微分学的逆问题，利用积分学来研究经济变量的变化问题是经济学中的一个重要方法，不定积分是求全体原函数，定积分是求和式的极限。由边际函数求原函数，或求一个变上限的定积分，一般都采用不定积分来解决；如果求原函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角。

5.总结：

微积分局部求近似、极限求精确的基本思想方法贯穿于整个微积分学体系中，在经济日益发展的今天，微积分的地位也与日俱增，贷款、养老金、医疗保险、企业分配、市场需求等等金融问题越来越多地进入普通人的生活，利用微积分的知识有利于我们去解决各种相关的问题。

参考文献：

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[16]Sandra Nicol(2006).Challenging Pre-serviceteachers’Mathematical Understanding:The case of Division by .

扇形面积 S = (1/2)αR^2, 当 α 减少 30', dα = ° = -π/360, dS = (1/2)R^2dα = -(1/2)100^2 · π/360 = 平方厘米扇形面积减少约 平方厘米；当 R 增加 1 厘米, dR = 1 dS = αRdR = 100 · 1 · 60π/180 = 平方厘米扇形面积增加约 平方厘米。

研究了乘法当然要研究除法哦

大家都知道，AI (神经网络) 连加减法这样的简单算术都做不好：可现在，AI已经懂得微积分，把魔爪伸向你最爱的高数了。 它不光会求不定积分：还能解常微分方程：一阶二阶都可以。这是Facebook发表的新模型，1秒给出的答案，超越了Mathematica和Matlab这两只付费数学软件30秒的成绩。 团队说，这是Seq2Seq和Transformer搭配食用的结果。 用自然语言处理 (NLP) 的方法来理解数学，果然行得通。 这项成果，已经在推特上获得了1700赞。许多小伙伴表示惊奇，比如： “感谢你们！在我原本的想象中，这完全是不可能的！”而且，据说算法很快就要开源了：到时候让付费软件怎么办？巨大数据集的生成姿势要训练模型做微积分题目，最重要的前提就是要有大大大的数据集。 这里有，积分数据集和常微分方程数据集的制造方法：函数，和它的积分首先，就是要做出“一个函数&它的微分”这样的数据对。团队用了三种方法： 第一种是正向生成 (Fwd) ，指生成随机函数 (最多n个运算符) ，再用现成的工具求积分。把工具求不出的函数扔掉。 第二种是反向生成 (Bwd) ，指生成随机函数，再对函数求导。填补了第一种方法收集不到的一些函数，因为就算工具求不出积分，也一定可以求导。 第三种是用了分部积分的反向生成 (Ibp) 。前面的反向生成有个问题，就是不太可能覆盖到f(x)=x3sin(x)的积分： F(x)=-x3cos(x)+3x2sin(x)+6xcos(x)-6sin(x) 因为这个函数太长了，随机生成很难做到。 另外，反向生成的产物，大多会是函数的积分比函数要短，正向生成则相反。 为了解决这个问题，团队用了分部积分：生成两个随机函数F和G，分别算出导数f和g。 如果fG已经出现在前两种方法得到的训练集里，它的积分就是已知，可以用来求出Fg： ∫Fg=FG-∫fG 反过来也可以，如果Fg已经在训练集里，就用它的积分求出fG。 每求出一个新函数的积分，就把它加入训练集。 如果fG和Fg都不在训练集里，就重新生成一对F和G。 如此一来，不借助外部的积分工具，也能轻松得到x10sin(x)这样的函数了。一阶常微分方程，和它的解从一个二元函数F(x,y)说起。 有个方程F(x,y)=c，可对y求解得到y=f(x,c)。就是说有一个二元函数f，对任意x和c都满足：再对x求导，就得到一个微分方程：fc表示从x到f(x,c)的映射，也就是这个微分方程的解。 这样，对于任何的常数c，fc都是一阶微分方程的解。 把fc替换回y，就有了整洁的微分方程：这样一来，想做出“一阶常微分方程&解”的成对数据集，只要生成一个f(x,c)，对c有解的那种，再找出它满足的微分方程F就可以了，比如：二阶常微分方程，和它的解二阶的原理，是从一阶那里扩展来的，只要把f(x,c)变成f(x,c1,c2) ，对c2有解。 微分方程F要满足：把它对x求导，会得到：fc1,c2表示，从x到f(x,c1,c2)的映射。 如果这个方程对c1有解，就可以推出另外一个三元函数G，它对任意x都满足：再对x求导，就会得到：最后，整理出清爽的微分方程：它的解就是fc1,c2。 至于生成过程，举个例子：现在，求积分和求解微分方程两个训练集都有了。那么问题也来了，AI要怎么理解这些复杂的式子，然后学会求解方法呢？将数学视作自然语言积分方程和微分方程，都可以视作将一个表达式转换为另一个表达式，研究人员认为，这是机器翻译的一个特殊实例，可以用NLP的方法来解决。 第一步，是将数学表达式以树的形式表示。 运算符和函数为内部节点，数字、常数和变量等为叶子节点。 比如 3x^2 + cos(2x) - 1 就可以表示为：再举一个复杂一点的例子，这样一个偏微分表达式：用树的形式表示，就是：采用树的形式，就能消除运算顺序的歧义，照顾优先级和关联性，并且省去了括号。在没有空格、标点符号、多余的括号这样的无意义符号的情况下，不同的表达式会生成不同的树。表达式和树之间是一一对应的。 第二步，引入seq2seq模型。 seq2seq模型具有两种重要特性： 输入和输出序列都可以具有任意长度，并且长度可以不同。 输入序列和输出序列中的字词不需要一一对应。 因此，seq2seq模型非常适合求解微积分的问题。 使用seq2seq模型生成树，首先，要将树映射到序列。 使用前缀表示法，将每个父节点写在其子节点之前，从左至右列出。 比如 2 + 3 * (5 + 2)，表示为树是：表示为序列就是 [+ 2 * 3 + 5 2]。 树和前缀序列之间也是一一映射的。 第三步，生成随机表达式。 要创建训练数据，就需要生成随机数学表达式。前文已经介绍了数据集的生成策略，这里着重讲一下生成随机表达式的算法。 使用n个内部节点对表达式进行统一采样并非易事。比如递归这样的方法，就会倾向于生成深树而非宽树，偏左树而非偏右树，实际上是无法以相同的概率生成不同种类的树的。 所以，以随机二叉树为例，具体的方法是：从一个空的根节点开始，在每一步中确定下一个内部节点在空节点中的位置。重复进行直到所有内部节点都被分配为止。不过，在通常情况下，数学表达式树不一定是二叉树，内部节点可能只有1个子节点。如此，就要考虑根节点和下一内部节点参数数量的二维概率分布，记作 L(e,n)。接下来，就是对随机树进行采样，从可能的运算符和整数、变量、常量列表中随机选择内部节点及叶子节点来对树进行“装饰”。 最后，计算表达式的数量。 经由前面的步骤，可以看出，表达式实际上是由一组有限的变量、常量、整数和一系列运算符组成的。 于是，问题可以概括成： 最多包含n个内部节点的树 一组p1个一元运算符（如cos，sin，exp，log） 一组p2个二进制运算符（如+，-，×，pow） 一组L个叶子值，其中包含变量（如x，y，z），常量（如e，π），整数（如 {-10，…，10}） 如果p1 = 0，则表达式用二叉树表示。 这样，具有n个内部节点的二叉树恰好具有n + 1个叶子节点。每个节点和叶子可以分别取p1和L个不同的值。 具有n个二进制运算符的表达式数量就可以表示为：如果p1 > 0，表达式数量则为：可以观察到，叶子节点和二元运算符的数量会明显影响问题空间的大小。△不同数目运算符和叶子节点的表达式数量胜过商业软件实验中，研究人员训练seq2seq模型预测给定问题的解决方案。采用的模型，是8个注意力头（attention head），6层，512维的Transformer模型。 研究人员在一个拥有5000个方程的数据集中，对模型求解微积分方程的准确率进行了评估。 结果表明，对于微分方程，波束搜索解码能大大提高模型的准确率。而与最先进的商业科学计算软件相比，新模型不仅更快，准确率也更高。在包含500个方程的测试集上，商业软件中表现最好的是Mathematica。 比如，在一阶微分方程中，与使用贪婪搜索解码算法（集束大小为1）的新模型相比，Mathematica不落下风，但新方法通常1秒以内就能解完方程，Mathematica的解题时间要长的多（限制时间30s，若超过30s则视作没有得到解）。而当新方法进行大小为50的波束搜索时，模型准确率就从提升到了97%，远胜于Mathematica（） 并且，在某一些Mathematica和Matlab无力解决的问题上，新模型都给出了有效解。△商业科学计算软件没有找到解的方程邀请AI参加IMO这个会解微积分的AI一登场，就吸引了众多网友的目光，引发热烈讨论。网友们纷纷称赞：鹅妹子嘤。 有网友这样说道： 这篇论文超级有趣的地方在于，它有可能解决复杂度比积分要高得高得高得多的问题。还有网友认为，这项研究太酷了，该模型能够归纳和整合一些sympy无法实现的功能。不过，也有网友认为，在与Mathematica的对比上，研究人员的实验设定显得不够严谨。 默认设置下，Mathematica是在复数域中进行计算的，这会增加其操作的难度。但作者把包含复数系数的表达式视作“无效”。所以他们在使用Mathematica的时候将设置调整为实数域了？我很好奇Mathematica是否可以解决该系统无法解决的问题。 30s的限制时间对于计算机代数系统有点武断了。但总之，面对越来越机智的AI，已经有人发起了挑战赛，邀请AI挑战IMO金牌。Facebook AI研究院出品 这篇论文有两位共同一作。 Guillaume Lample，来自法国布雷斯特，是Facebook AI研究院、皮埃尔和玛丽·居里大学在读博士。他曾于巴黎综合理工学院和CMU分别获得数学与计算机科学和人工智能硕士学位。 2014年进入Facebook实习。 Franois Charton，Facebook AI研究院的客座企业家（Visiting entrepreneur），主要研究方向是数学和因果关系。传送门 ————编辑 ∑Gemini来源：新浪科技

为求定积分先学不定积分定积分用在 比如在坐标轴上求图形的面积