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找任意两点（不重合），连线。比较这两点横坐标的中点在函数上的值与上述连线的中点大小即可得出结论
在某些教材上着就是凸函数的定义。你这里既然要证明，就要看你教材上关于凸函数的定义是什么，只有知道这个，才知道需要怎么证明
对于一元函数f(x),我们可以通过其二阶导数f′′(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负,即f′′(x)≥0 ,则f(x)是凸函数。对于多元函数f(X),我们可以通过其Hessian矩阵(Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵)的正定性来判断。
快乐是幸福的基础，是孕育幸福的沃土，是阳光是雨露，是幸福的摇篮；快乐并不等同于幸福，幸福是快乐的浓缩与升华，幸福是更高精神层面的心理感受，幸福是从快乐金矿中提纯的金。
毕业论文答辩技巧，近几年答辩开始变得火热起来，作为答辩委员会的成员，我希望给大家带来一些答辩的实用小技巧，帮助大家快速通过答辩，完成毕业通关，下面就看一下整理出来的毕业论文答辩技巧。
一、论文答辩——熟悉内容
作为将要参加毕业论文答辩的同学，首先而且必须对自己所著的论文内容有比较深刻的理解和比较全面的熟悉。所谓“深刻的理解”是对论文有横向的把握。这两方面是为回答答辩委员会成员就有关论文的深度及相关知识面而提出的问题所做的准备。
例如，题为＜创建名牌产品发展民族产业＞的论文，答辩委员会成员可能会问“民族品牌”与“名牌”有何关系。尽管论文中未必涉及“民族品牌”，但学生必须对自己的论文有“比较全面的熟悉”和“比较深刻的理解”，否则，就会出现尴尬局面
二、论文答辩——图表穿插
任何毕业论文，无论是文科还是理科都或多或少地涉及到用图表表达论文观点的可能，故我认为应该有此准备。图表不仅是一种直观的表达观点的方法，更是一种调节答辩会气氛的手段，特别是对私人答辩委员会成员来讲，长时间地听述，听觉难免会有排斥性，不再对你论述的内容接纳吸收，这样，秘然对你的毕业论文答辩成绩有所影响。所以，应该在答辩过程事适当穿插图表或类似图表的其它媒介以提高你的答辩成绩。
三、论文答辩——语流适中
进行毕业论文答辩的同学一般都是首次。无数事实证明，他们在众多的都是和同学面前答辩时，说话速度往往越来越快，以致答辩委员会听不清楚，影响了答辩成绩。故答辩学生一定要注意在答辩过程中的语流速度，要有急有缓，有轻有重，不能像连珠炮似的轰向听众。
四、论文答辩——目光移动
毕业生在论文答辩时，一般可脱稿，也可半脱稿，也可完全不脱稿。但不管哪种开工，都应注意自己的目光，使目光时常地瞟向答辩委员会成员及会场上的同学们。这是你用目光与听众进行心灵的接触，使听众对你的论题产生兴趣的一种手段。在毕业论文答辩会上，由于听时间过长，委员们难免会有分神现象，这时，你用目光的投射会很礼貌地将他们的神“拉”回来，使委员们的思路跟你的思路走。
五、论文答辩——体态语辅助
虽然毕业论文答辩同其它答辩一样以口语为主，但适当的体态语运用会辅助你的答辩，使答辩效果更好。特别是手势语言的恰当运用会显得自信、有力、不容辩驳。相反，如果你在答辩过程中始终如一地直挺挺地站着，或者始终如一地低头俯视，即使你的论文结构再合理，主题再新颖，结论再正确，答辩效果也会大受影响。所以在毕业论文答辩时，一定要注意使用态语。
六、论文答辩——时间控制
一般在比较正规的答辩会上，都对辩手有时间要求，因此，毕业学生在进行论文答辩时应重视时间的掌握。对时间的控制要有力度，到该截止的时间立即结束，这样，显得有准备，对内容的掌握和控制也轻车熟路，容易给答辩委员会成员一个良好的印象。故在答辩前应该对将要答辩的内容有时间上的估计。当然在答辩过程中灵活地减少或增加也是对时间控制的一种表现，应该重视的。
七、论文答辩——紧扣主题
在校园中进行毕业论文答辩，往往辩手较多，因此，对于答辩委员会成员来说，他们不可能对每一位的论文内容有全面的了解，有的甚至连题目也不一定熟悉。因此，在整个答辩过程中能否围绕主题进行，能否最后扣题就显得非常重要了。另外，委员们一般也容易就题目所涉及的问题进行提问，如果能自始至终地以论文题目为中心展开论述就会使评委思维明朗化，对你的论文加以首肯。
八、论文答辩——人称使用
在毕业论文答辩过程中必然涉及人称使用问题，我建议尽量多地使用第一人称，如“我”“我们”，即使论文中的材料是引用他人的，用“我们引用”了哪儿哪儿的数据或材料，特别是毕业论文大多是你自己作的，所以要更多使用而且是果断地、大胆地使用第一人称“我”和“我们”。如果是这样，会使答辩委员会成员有这样的印象：东西是你的，工作做了不少!
一、打有把握之仗：答辩前的充分准备
1、认清考点。
答辩的目的首先是考一个人的反应是否敏捷、应变是否机智以及思维是否有条理，其次才是考一个人的知识面的广度、思维层次的深度和理论水平的高度。在答辩过程中最忌讳出现的情况是接不上话、语无论次、结结巴巴、漏洞百出。因此，首先应特别注意答辩时接话要迅速，条理要清晰，一般来说，用“第一、第二、第三”或“首先、其次、再次”等结构形式来回答比较好。
2、分析题型。
面试答辩一般有客观题和主观题两种，客观题是有标准答案的，而主观题则可能有多种答案。相对而言，客观题极少，而主观题居多。这就为竞聘者提供了广阔的`自由发挥的空间，因此要充满信心，避免手忙脚乱，只要不离主题，正常发挥水平，就能从容过关；如能做到不时有新思想的火花爆出，则效果更佳。
3、预测题型。
岗位竞聘的目的性很明确，就是竞聘者通过对自身经历、业绩、优势及工作设想等方面情况的说明和阐述，证明自己比其他人更能胜任某岗位的工作。评委也主要是从这些主要方面进行提问的：与你的经历相关的问题，与你竞聘的岗位有关的问题，与当前政策形势有关的问题等。作为竞聘者，可以事先围绕这些方面，把可能出现的问题具体化，并提前概括出答题要点。如果评委提出的问题与你提前思考的问题一致或类似，你便可从容不迫、侃侃而谈；如果提出的问题与你设想有一定的差别，你也可以机智地嫁接，灵活组装，千万不能当场被噎住。
4、有意设套。
即在竞聘答辩的过程中，有意识地提出一些概念、思路，但不对此作深入细致的阐述，而在答辩的过程中运用自然地放慢语速、加强语气等方法，把这些问题凸现出来，吸引评委的注意，诱惑评委就此提问。如某竞聘者在谈到做好市场调研工作的设想时，具体地谈了观念的问题、方法的问题后，只巧妙地提了一句：“另外，还要注意加强销售部的队伍建设。”果然有评委打破沙锅问到底：“在加强队伍建设方面你准备采取哪些措施?此问正中竞聘者的圈套，给我一个问题，还你一个精彩，水到渠成，天衣无缝。
二、艺高人胆大：答辩时的机智应变 答辩过程充满变数，在充分准备的前提下，还应当掌握一些应变之道。
1、废话不废，赢得时间。
当评委提出问题，你一下子不知从何说起时，不妨说几句废话，先把话头接过来，如你的这个问题很好，这是我在今后的工作中应该认真思考和对待的一个问题”，“你刚才提的问题是：为什么说质量是企业的生命线?之所以说质量是企业的生命线......这样的话虽说是废话，但也符合人们回答问题的习惯。利用这样的话，争取有限的时间整理思绪，搜索脑海中的记忆材料，然后再有板有眼地阐述，因此，废话的作用不可小视。
2、套话不谬，以静制动。
许多工作尽管性质不同，但工作的规律以及做好该工作的措施一经概括提炼便大同小异，如加强学习、健全制度、措施到位、重点突出等。比如，当评委提出为做好某项工作，你准备采取哪些措施之类的问题，而你对这项工作又不太熟悉时，便不妨适当联系，以不变应万变。
3、好话不假，控制情绪。
有时评委的发问与其说是提问题，不如说是提意见，而在这种特殊的场合提出来，回答稍有不慎，便会下不了台。因此，回答这样的问题时不要讲大而无意义的话，最佳的选择是说好话，真心诚意承认不足，并承诺今后注意改进。如评委提问：综合处应是一个综合服务部门，为什么领导出差你们能搞到票，而我们职工出差就搞不到票呢?回答这样的问题不是一两句话能说得清楚的。有位竞聘者是这样回答的：在我们的工作中，确实可能出现这样的问题，对此我深感抱歉，上次没办好，下次一定办好，如果您遇到这样的问题可以直接向我提出来，我一定尽力解决。”几句好话，让提问者和听众听了心里都舒服。
4、笑话不俗，活跃气氛。
有的评委的提问锋芒毕露，逼你当场表态，让你进退两难。如几位评委不约而同地向一位竞聘基建处长的同志发难：我们单位要新征2000亩地，你能不能保证一年之内把地搞到手?给我20万美元，我也不敢打包票。一般来说，一年的时间是可以解决问题的，但据我了解，那块地上有几十户农民，拆迁是征地过程中最头脑的问题，碰到几个钉子户，进度就会受到影响。但我将努力在一年左右的时间里完成这项艰巨的任务。”竞聘者开头的几句话引得大家一阵大笑，使短兵相接的紧张气氛顿时轻松下来，接下来的几句话，客观、实在，赢得了评委的理解和好评。
5、文话不酸，倍添风采。
文话即书卷气较重的话，抒隋、比喻、联想、引用等表达手法能使答辩文采飞扬，但必须运用得恰到好处，避免给人文绉绉、酸溜溜的感觉。如有一位评委问一位年轻的竞聘者：对一位年轻的管理者来说，要做好工作，最重要的品质是什么?有人说是虚心，有人说是勤奋，还有人说是务实，你认为是什么?虽说提问者列出了几种答案，但他的目的显然并不是让你做选择题，而是把一般可能出现的回答排除之后，让你另辟蹊径，作出新的大胆的回答。这位竞聘者精彩地回答道：“虚心、勤奋、务实都是年轻干部应具备的品质。另外，我想引用毛泽东同志的两句诗来回答您的问题，一句是他年轻时写的：‘到中流击水，浪遏飞舟’；另一句是他晚年时写的：‘不管风吹浪打，胜似闲庭信步。’对于一个年轻人来说，最可贵的品质是：初生牛犊不怕虎，每临大事有魄力、不怯懦。”
数学系毕业论文答辩陈述稿参考
尊敬的评委老师：
早上好!
我是师范学院数学系xx级2班的学生xxx，我的毕业论文题目是《运用化归与类比思想的解题策略》。本论文是在陈建州老师的悉心指点下完成的。在此，我十分感谢他长期以来对我的大力帮助，并对四年来教育、培养过我的老师表示深深的敬意。同时感谢百忙之中抽出宝贵的时间参与对我这篇论文审阅的老师们。
下面我将对我的学位论文的基本内容做一个简要的陈述：
我想从以下四个方面对这篇论文的写作进行介绍：首先是选题的研究现状和背景，其次是本题研究的目的和意义，再次是论文的主要内容，最后谈谈本论文的不足之处。
首先，选题的现状和北京
我国火电企业也已经进行政企分开，公司化改组，商业化运营，法制化管理的改革。这些改革归根结底就是使火电企业能够顺利进入市场，参与竞争，这对火电企业来说既是一种挑战，也是一次发展的机遇：厂网分开、竞价上网等改革为火电企业拓展电力市场提供了条件;国家对供电营业区的划分和对限制用电政策的取消或调整，为火电企业提供了生存空间和政策支持;全社会口益提高的环保意识、优化能源结构和人规模城乡电网改造又为火电企业拓展电力市场创造了良机。火电企业正在这次机遇中迅猛发展。虽然当前我国发电企业去的了不俗的成绩，但仍存在着电网安全隐患较大，电力交易不规范行为屡见不鲜，各方利益矛盾冲突难以解决等问题。同时，当前火力发电企业经营环境面临电力需求增速趋缓、资金矛盾凸现、煤炭持续涨价、电价调整不到位等压力。随着我国建设资源节约型和环境友好型社会理念的提出，各种社会收费项目如水资源费、环保收费逐年增加，发电企业的生存与发展仍然面临着严峻的考验。
技术经济学是现代管理科学中一门新兴的综合性学科，其主要任务是从经济角度对具体工程项目、技术方案进行分析评价，为决策者提供有关经济效益方面的科学依据，帮助决策者作出正确的抉择。改革开放以来，我国技术经济学科获得了巨大发展。技术经济分析方法及其应用作为技术经济学科的重要组成部分在整个技术经济体系中占据着越来越重要的地位。
其次，本题的研究目的和意义
当前火力发电企业经营环境面临电力需求增速趋缓、资金矛盾凸现、煤炭持续涨价、电价调整不到位等压力。随着我国建设资源节约型和环境友好型社会理念的提出，各种社会收费项目如水资源费、环保收费逐年增加，发电企业的生存与发展面临严峻的考验。技术经济分析方法对于整个发电企业来起着极为重要的意义。浙能乐清电厂作为浙能集团旗下的新兴电厂和浙江省电力工程的重要组成部分，各个重大项目的规划和设备的购置更需经过详细的计算和分析，从而在达到效益最大化的同时兼顾未来发展和周边环境。乐清电厂要想的到更好的发展必须依赖精准可靠的技术经济分析方法。
再次，论文的'主要内容，
本文共分成三个部分：
第一部分主要阐述了论文的研究背景现状及研究的目的意义
第二部分主要阐述了技术经济分析方法包括盈亏平衡分析、敏感性分析、风险分析这三项不确定性分析及综合分析法、层次分析法和模糊综合评价法三个重要的系统综合法的基本原理及优缺点介绍。
第三部分主要阐述了上诉集中重要技术经济分析方法在浙能乐清电厂中的实际应用
最后一点，想说说论文存在的一些不足。
第一，搜集材料的问题;虽然在校期间从事家教辅导，但是对中学教学的经验仍有待提高，因此，在写作的过程中，仅从几个问题上阐述了我肤浅的理解。
第二，由于实践研究不够，总结出的策略可操作性不强。论文对这些问题没有深入展开探讨，与导师期望达到的水平仍有一定的差距。
主要表现为：调研统计资料不够齐全，样本数量不足，合理性、全面性不够，技术经济分析方法选取代表性不足等。
经过本次论文写作，本人学到了许多有用的东西，也积累了不少经验，但由于本人才疏学浅，能力不足，加之时间和精力有限，在许多内容表述、论证上存在着不当之处，与老师的期望还相差甚远，许多问题还有待进行一步思考和探究，借此答辩机会，万分肯切的希望各位老师能够提出宝贵的意见，多指出我的错误和不足之处，本人将虚心接受，从而不断进一步深入学习研究，使该论文得到完善和提高。
以上是我对自己的论文简单介绍，请各位老师提问，谢谢。
前言： 当今，在社会环境对从业人员要求具有更高学历的激励下，在各类专业人员不断进行知识更新的进程中，广泛地存在着要求提高自己的数学水平的愿望．特别对于原来只学过普通微积分课程的人来说，他们在补习各自所需要的数学知识时，因缺乏牢固的数学基础，不可避免地会遇到很多困难．本论文就是在为他们讲授数学分析理论基础课的讲义的基础上写成的．考虑到在职人员投入业余学习的时间十分有限，要他们系统地学完一门数学分析这样的大课程几乎是不可能的．一种可行而有效的做法或许是这样的--选择几个起主导作用的专题，讲授其中那些具有原则意义的概念和思想，通过举例讨论一些典型问题的解法. 序言： 自20世纪90年代后期开始，我国的高等教育改革步伐日益加快．实行5天工作制，使教学总时数减少，而新的专业课程却不断出现．在这样的情况下，对传统的专业课程应该如何处置，这样一个不能回避的问题就摆在了我们的面前．而这时，教育部师范司启动了面向21世纪教学改革计划．在我们进行"数学专业培养方案"项目的研究中，这个问题有两种方案可以选择：一是简单化的做法，或者削减必修课的数量，将一些传统的数学课程从必修课的名单中去掉，变为选修课，或者少讲内容减少课时；二是对每门课程的教学内容进行优化、整合，建立一些理论平台，减少一些繁琐的论证和计算，以达到削减课时，同时又能保证基本教学内容. 目录： 第一章 实数理论 建立实数的原则与完备有序域 * 戴德金分划说简介 无限小数与实数 实数完备性的等价命题 * 上极限与下极限 第二章 连续性 n维欧氏空间 函数概念的演进 函数极限和连续的一般定义 连续函数的整体性质 不动点与压缩映射原理简介 第三章 微分学 可微性的统一定义 可微函数的性质 微分中值定理与导函数的性质 凸函数 例题续编 第四章 积分学 定积分概念与牛顿-莱布尼兹公式 可积条件 定积分的性质 变限积分 反常积分 第五章 级数 数项级数综述 一致收敛概念的提出 一致收敛判别 一致收敛函数列(或级数)的性质 1、小学数学论文的组成 小学数学论文具有类型多样、形式活泼等特点，有的侧重于经验的总结，实验结果的阐述，包括实验过程、手段、方法和结果的记录；有的侧重于理论性的研究，包括对研究课题的提出，对研究成果的分析、推导、论证和应用等。但不论哪类论文，主要由标题、摘要、前言、正文、结论、参考文献等部分组成。 标题就是论文的总题目，是文章基本内容的缩影，古人云：“立片言以居要，乃全篇之警策。”所以拟定标题应该力求简短、明确、质朴、醒目，既要防止太冗长，又要避免太概括，使人不明了；既要防止文不对题或过于陈旧，又要避免追求新颖、空泛而没有实际的内容。 摘要一般包括本课题研究的意义，研究的内容与方法，研究的成果或价值等，便于读者迅速了解全文的概貌。所以摘要应简明扼要，引人入胜，内容全面，重点突出，且能独立使用。 前言也称引言或绪言，一般包括本课题研究的背景或起点，需要研究的问题，研究的方法、手段，研究的意义或价值。需要注意的是，对研究的意义或价值应力求实事求是，既不可拔高，也不可贬低或过分谦虚。 正文是论文的主体，作为表达作者个人研究成果的部分，所占篇幅较大，有时还必须辅以必要的小标题，应力求概念清晰，论点明确，论证严密，论据充分，具有科学性、准确性和创新性，同时条理要清楚，文字应通俗简明。 结论是对正文中所分析论证的问题加以综合，概括出基本点，这是课题解决的答案。结论作为理论分析和实验的逻辑发展，是论述的概括集中和升华，由局部到一般，由具体事实、经验，上升到理论概括，是整篇论文的归宿，所以应力求完整、准确、鲜明，还应如实指出本理论的使用范围和成果的意义，以及本文尚未解决的问题和继续研究的方向。 参考文献是反映作者严肃的科学态度和研究工作的依据，其中包括撰写该论文所参考的书籍（作者姓名、书名、版次、页数、出版者、出版年份）或期刊（作者姓名、标题、刊物名称、卷或期、页数、年份）。 2、小学数学论文的撰写过程 第一步，选题、选材。 要想写什么内容的文章，无论是理论探讨方面，还是教材教法方面和解题方法技巧方面，以及教学经验总结方面，对阐述问题的深度、广度等，要心中有数，具有明确的目的性和主题性。 无论选择哪方面的内容与具体题材，都必须力求具有先进性、针对性和实践性，要想做到这一点，首先，根据文献检索方法，尽可能多地查阅资料，掌握国内外最新研究动态。其次，深入钻研这些文献资料，看看能否得到进一步启发，有无新的见解。尽管选题可能重复，类似的题材较多，但也可以从不同侧面结合不同实例，根据不同对象写出一定的新意来，使观点更明确，方法更有效，使其先进性、针对性、实用性更强。第三，选题要从实际出发，题目大小、题材的深度和广度要恰当。 第二步，拟纲、执笔。 论文选题确定后，就要注意写好提纲，这是写好文章的基础。首先，要将内容、结构布局好，要拟定一个写作提纲，准备分几个部分，各个部分集中讲几个问题，这些部分与问题之间的关系如何，都需要进一步精心设计，使其结构严谨、层次分明，具有科学性、逻辑性。其次，要注意各种文章的特点。写理论性的文章，最好能再确定大小标题，叙述上力求论点明确，可信度强，便于别人借鉴；写教材分析方面的文章，应进行比较，提出改进意见或提示值得深入研究的问题等。 第三步，修改、定稿。 修改是文章初稿完成后的一个加工过程，它包括对论文文字的修饰，以及科学性的推敲等。论文初稿形成后，应从头至尾反复地阅读，逐句逐段推敲，审核一下文中的论点是否明确，论据是否充分，论证是否合理，结构是否严谨，计算是否正确等。一篇好的小学数学论文，应该是数文并茂。就是说，既要有好的数学内容，又要有好的文字表达。所以，文字的工夫对数学论文来说很为重要。数学论文，贵在朴实，少用浮词，免得冲淡文章的中心，文字应通俗易懂，简明扼要，用词应准确简炼，表达完整，特别是中心内容一定要阐述透彻清楚。此外，书写要规范，题号、图号、标点也要正确。修改是一项细致的工作，只有对文稿反复推敲、修改，才能消除不应有的错误。只有经过反复修改加工，文章的质量才会不断提高。
论文的研究方法主要有以下几种：
1、调查法
它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解。
2、观察法
观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。
3、实验法
实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性和控制性。
4、文献研究法
文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。
5、实证研究法
在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。
毕业论文研究方法怎么写，为什么很难下笔
大学毕业后，张同被分配到中国科学院数学所，研究偏微分方程，研究室主任为吴新谋。偏微分方程是当时国内基础十分薄弱而需重点发展的学科。1年以后，正当苏联专家来华讲学之际，张同奉命响应全国干部下放劳动的号召，于1957年12月下放农村劳动。8个半月后，在大跃进形势下奉调提前回所。1960 年，因两位进修教师期满回校之需，吴新谋组织丁夏畦和张同与他们合作完成了关于常系数方程组椭圆性定义的论文。该文实际上只是玩了一点矩阵论，不料却引出了华罗庚、林伟和吴兹潜之玉石之作。但不无遗憾的是，这却是张同从1956至1962年6年间参加的唯一一项数学研究工作。大跃进之后进入了困难时期，一切政治运动暂停。此前，原子弹及三峡大坝工程的研究部门分别向数学所提出了有关冲击波及涌波的问题。这些问题都可以归结为非线性双曲型守恒律的间断解研究。按照领导的安排，政审不能参加国防任务的张同和郭於法等4人组成一个小组，由张同任组长，自行研读文献，各自选题从事有关基础理论研究。在调研中，张同被.盖尔范德（Gelfand）的文章《拟线性方程理论中的某些问题》中有关黎曼问题的论述所深深打动。描写气体运动的基本方程是欧拉方程，它由质量、动量和能量3个守恒律组成，它的最大特点和困难在于解中会出现间断现象，冲击波就是一种压缩性的间断。1858年，黎曼紧紧抓住了间断现象这一特点，提出并解决了欧拉方程一种最简单的间断初值问题（即初值为含有一个任意间断的阶梯函数），被后人称为黎曼问题。黎曼构造出了它的4类解，它们分别由前、后向疏散波（记为和）和前、后向冲击波（记为和）组装而成，即（或）+（或），并利用相平面分析方法给出了此4类解的判别条件。黎曼的这一工作开创了微分方程“广义解”概念及“相平面分析”方法之先河，具有极大的超前性。黎曼用敏锐的洞察力和巨大的原创力为非线性双曲型守恒律的数学理论奠定了第一块基石。1975年美国出版的《科学传记词典》中的《黎曼传》称，这一工作是“黎曼在数学物理方面最好的工作”。但由于黎曼所研究的是一个简化模型（一维等熵流）而不为力学家们所接受。直到二战期间，在原子弹及超音速飞行研究的推动下，应用数学权威R.柯朗（Courant）和.弗里德里希斯（Friedrichs）才将黎曼的结果推广到一维非等熵流，在前向波及后向波之间添加了一道接触间断（记为J，它是不同密度气体的界面）。黎曼解被推广为（或）+J+（或）。R，S和J统称为欧拉方程的基本波。1962年，张同被这一工作的简洁、优美和深刻所深深打动，毅然将黎曼问题选定为自己的研究方向，希望把黎曼的工作推广到更一般的方程，甚至高维的情形。他在几乎不被周围人们理解和接受的情况下，兴致盎然地走上了一条充满挑战的探索之路。几个月后，张同对盖尔范德文中提出的未解决的问题悟出了一个富有几何直观的想法：用构造凸包的方法将欧拉方程中的凸函数推广至非凸函数，从而巧妙地将黎曼的结果推广至非凸方程的情形，并澄清了有关的熵条件。1963年张同在指导中国科技大学数学系首届毕业论文时，这一想法演化成李才中、肖玲等4人的毕业论文。该工作进一步推广完善后，由张同和肖玲联名于1963年底投稿《数学学报》。遗憾的是该文直到1977年才以3页的摘要在《数学学报》发表，而全文直到1981年才在美国Journal of .发表。当1984年张同首次出访德国的海德堡大学时，听众们对凸包方法仍感到十分新鲜有趣。与此同时，吴新谋指导的毕业论文小组曾试图将黎曼的结果推广至初值含有两个间断的情形，其实质是研究两个黎曼解中所含的四道基本波的相互作用，该情形可划分为16种子情形，其中只有（+）+（+）一种子情形获得解决。在此基础上，张同和郭於法找出了前向疏散、后向压缩的一般初值，并用相平面分析方法，证明了整体解的存在性，以及初值所具有的前向疏散、后向压缩性质对时间的不变性。这是欧拉方程整体间断解存在性证明的第一个结果。1965年在《数学学报》上发表后，1967年至1975年间，后续性研究在美、苏和我国先后出现，其中包括对方程和对初值的推广以及惟一性的证明3个方面。在1985年丁夏畦、陈贵强和罗佩珠的著名工作出现以前，此文被视为我国在间断解研究方面在国际上最有影响的工作，美国国家科学院P.拉克斯（Lax）院士曾称其为“中国初值”。1963年的大好工作形势在1964年再次被政治运动所打断，直至1972年才逐步恢复。1972年至1979年间，张同和肖玲、丁夏畦、王靖华、李才中共合作完成论文6篇，内容涉及凸与非凸的黎曼问题及波的相互作用。在这些工作中，他们以硬分析为工具，在相平面上深入地研究了R线和S线的几何性质，发展了相平面分析方法，形成了自己的风格。1978年终于迎来了改革开放的新时代。中国科学院数学研究所45岁以下的研究人员大批被公派出国进修，而时年46岁的张同在国内继续研究黎曼问题，并致力培养更年轻的一代。他曾去中科院研究生院讲授数理方程，颇受欢迎。为了帮助青年学者尽快走向研究前沿，1983年张同和北大姜礼尚完全自发地在北京香山植物园联合主办了“偏微分方程暑期讲习班”。当时国家基金委尚未成立，经费十分困难，幸好得到数学所微分方程研究室主任王光寅的大力支持，使得当时国内偏、微分方程学科的青年教师和绝大多数研究生得以参加，学员达80人之多。王光寅，姜礼尚和吴兰成，张同和肖玲分别开设了3门课程，传授自己的专长。结业考试后，选出了陈贵强、辛周平、吉敏和胡钡4名优秀学员，分别在数学所和北大免费培训。他们后来大都取得了十分优异的成就，成为国际知名学者。在办班期间，张同既任负责人又授课，由于劳累过度，出现大便潜血，经医院诊断为十二指肠溃疡出血；但他仍坚持工作，直到讲习班圆满结束（此病迁延多年，8次出血，直到老年才痊愈）。由于讲习班成效显著，在许多高校要求下，连续办了五届。从第四届起复旦大学李大潜也参加合办。最后一届在苏州大学（姜礼尚时任苏州大学校长），为期一学期，共开设了8门课。这5届学员中不少人已活跃于国内、外的学术圈中。始料未及的是，学员中有5人先后成了张同的学生，在他的带领下共同开创了对二维黎曼问题的系统研究。在对一维问题进行了深入研究的基础上，1984年张同开始考虑二维问题，和学生陈贵强合作完成了两篇论文，一篇澄清了二维非线性双曲型守恒律的一些基本概念，另一篇给出了二维冲击波反射问题中出现正规反射的充要条件（它是对J.冯·诺伊曼（von Neumann）提出的有关判别法在数学上的精确化，二维冲击波的反射问题可以看成是二维黎曼问题的一个特例）。欧拉方程的二维黎曼问题是一个著名难题，在20世纪80年代甚至它的提法都有待澄清。1985年，张同和学生郑玉玺研究了以下最简二维模型（单个守恒律）的黎曼问题：初值：u（x，y，t）当t=0时在（x，y）平面上的1至4象限分别为任意常数u1，u2，u3，u4。当t>0时，初值在原点发出的4条射线上的间断，将生成四道平面基本波R或S。此问题的实质是研究这四道平面基本波如何相互作用，即要研究初值在原点的奇性当t>0时如何演化。通过深入分析原点所引起的R和S的奇性，构造出了上述问题的5类解。它是二维黎曼问题研究的一个实质性的突破，1989 年发表于《美国数学会会刊》。汇集了张同与其学生和同事们1963至1986年间合作的有关工作，张同和肖玲联名于1989年在英国朗文出版社著名的Pitman丛书中出版了专著《气体动力学中的黎曼问题和波的相互作用》。两年后，美、荷、德的数学家和力学家在《美国数学会公告》等杂志上发表了4篇书评。J.斯莫勒（Smoller）在书评中写道，“乍一看，人们可能会感到惊讶，整本书就贡献给这样一个很特殊的问题（指黎曼问题）？回答是：这个问题是整个非线性双曲型守恒律领域中迄今最重要的问题。”其他书评还称该专著可以认为是柯朗和弗里德里希斯1948年出版的名著《超音速流和冲击波》的“有价值的补充”或“续篇”。国门打开后，国际同行对张同的工作予以高度评价。春天终于来临，1978年丁夏畦与张同等同获《全国科技大会重大成果奖》；1983年张同与肖玲同获《中国科学院二等成果奖》。在1985年对单个守恒律的二维黎曼问题取得突破性的进展后，张同就转向了欧拉方程的二维黎曼问题：初值：（p，U，p）（x，y，t）当t=0时，在（x，y）平面上1至4象限分别为常状态。1986年9月根据中科院与美国国家基金会的有关协定，由美方提名，张同赴马里兰大学访问刘太平教授半年。期间张同访问加州伯克利时，与前学生郑玉玺一起对解决上述问题提出了以下的分析和猜想：（1）初值在原点发出的4条射线上间断，每条初始间断线在t>0时发射出3道平面基本波（或）+J+（或）。这12 道波在（x，y，t）空间中将在一个以原点为顶点的锥体中相互作用。为了使问题简化而又不失实质，他们引进了假设：每条初始间断线在t>0时只发射出一道平面基本波。这样问题就简化成四道基本波的相互作用。（2）根据四道波的不同组合，将问题分成16类。（3）利用他们自创的广义特征分析方法，对每类都找出了相互作用锥的边界，它们由若干固定边界（特征面、音速面）和/或自由边界（冲击波面）组装而成。锥外的解为超音流动，由初值的4个常状态和四道平面基本波构成；锥内为待求的跨音流动。（4）对锥内的解的结构（冲击波、滑移面、音速面和漩涡如何分布与组装）提出了一套猜想，它包括了气体的膨胀、冲击波的反射及漩涡的形成等结构。猜想中提出了跨音流动中若干新的定解问题。总而言之，一维黎曼问题澄清了守恒律的基本波，而二维黎曼问题则揭示出这些基本波在跨音流动中相互作用所形成的各种基本流场结构。此套猜想于1987年5月在伯克利举行的有关会议上宣布后引起强烈反响。会议主持人美国国家科学院J.格利姆（Glimm）院士在次年发表的综述性文章中称：“一套完整的猜想已经形成”。1990年“猜想”以38页的篇幅在美国发表。后续性的工作有以下三方面：A.完善分类：根据漩度的符号将滑移面分为两类（J+，J-）舒尔茨—里恩（Schulz-Rinne），拉克斯和刘旭东，张同、陈贵强和杨树礼将分类最终完善为19类。其中主要的6类（四道R，四道S和四道J各两类）都包含在原来的分类中。B.数值实验：从1993到2002年舒尔茨—里恩，科林斯（Collins）和格莱兹（Glaz），拉克斯和刘旭东，张同，陈贵强和杨树礼，库尔干诺夫（Kurganov）和塔德莫（Tadmor）分别用4种完全不同的计算格式对猜想做数值实验，计算结果完全相同，与猜想基本相符。C.严格证明：严格证明极其困难。从1986年起，张同先后带领他的9位学生从简化模型入手，逐步向欧拉（Euler）方程逼近，主要进展如下：C1.最简模型（单个守恒律）已完全解决。除前述与郑玉玺合作的工作外，张同与张朋在进一步考查初值为3片常数的情形时，发展了广义特征方法，得到了冲击波相互作用时出现类马赫反射的充分必要条件。19世纪马赫在实验室中发现了马赫反射，冯·诺伊曼（von Neumann）曾给出过一个出现马赫反射的判别条件，至今有关的实验及数值模拟研究结果无数，但数学上严格的证明尚无。此结果可以认为是向这一难题迈出的第一小步。C2.根据力学的启示，李荫藩和曾亦明于1985年在进行计算方法研究时曾将欧拉方程可拆分为零压流方程（反映惯性效应）和压差流方程（反映压差效应）：张同等进一步澄清了前者的基本波为J±，后者的基本波为R±和S±。前者的黎曼问题已由张同、盛万成、李杰权和陈绍仲完全解决。其中主要结果于1999年被收入《美国数学会专题报告》系列中。有意义的是一类新的非线性波一Dirac-Delta冲击波出现在J+和J-的相互作用中，它由密度的Delta函数支撑在冲击波面上而构成，描述了质量在低维流形上的集中现象。（最有趣的是此一新现象在欧拉方程的数值实验中也有所反映，Delta冲击波在亚音流中被磨光成smoothed delta波。）此前，这类新的非线性波由张同、谭得春和杨树礼在研究一个非物理的守恒律组时发现，除澄清了它出现的数学机制及传播规律外，还证明了它对粘性扰动的稳定性。关于Dirac-Delta冲击波的研究至今不断。压差流为跨音流，共分12类。在超音光滑解的范围内，张同和戴自换发现了方程的一种“特征分解”，进而证明了静止气体向真空的膨胀（第一类情形的极端情况）存在超音解，它不含间断，波的相互作用锥的边界由特征和真空构成。C3.欧拉方程：20世纪五六十年代苏美学者曾考虑过静止气体向真空的膨胀，但问题远未解决。1999年张同的前学生李杰权，经过数年的探索，十分巧妙地找到了一组黎曼不变量，将非性双曲型方程组变换成线性退化双曲型方程组，从而圆满解决了该问题，终于跨出了严格证明“猜想”的第一步，这是高维欧拉方程非轴对称解大范围存在性的第一个证明。还应该提及的是，张同和郑玉玺曾将4片常状态的初值推广为无穷多片常状态，而考虑欧拉方程的轴对称解，将问题归结为一个三维动力体系的奇点连接问题。不同于有关经典理论，此时轨道可通过间断（冲击波）来过渡。他们经过精细分析将问题完全解决，共构造出5类解，其中包含了漩涡、真空、冲击波、疏散波及常状态的不同组合，并找到了一个漩涡的精确解。1996年，张同与杨树礼联名申报中国科学院自然科学奖时，所长龙瑞麟写信征集美国国家科学院J.格利姆（Glimm）院士（2004年获美国国家科学奖章）的评议意见。格利姆在回信中写道：“张教授关于气体动力学中二维黎曼问题的工作，在国际学术圈中定义和领导了一个极其重要的研究方向。我认为二维黎曼问题是非线性守恒律研究中最重要的理论问题。张教授对此问题已经做出了权威性的（definitive）贡献。他的工作是原创性的纯理论的，之后被补充以数值计算的研究。”“张同教授的主要成就是对全部二维黎曼解给出了一套内容丰富的图像，这些图像远远超过了人们过去的认识，并引发出广为传播的兴趣。”是年，张同和杨树礼同获中国科学院自然科学奖二等奖。1984年以来张同曾多次应邀赴美、德、法、日、台、港、澳开展合作研究、进行学术访问、参加国际会议。1989年8月在日本召开的“非线性偏微分方程及其应用研讨会”上做90分钟邀请报告。1998年12月在北京召开的“第一届世界华人数学家大会”上做45分钟邀请报告。张同和他的9位学生在1986至1998年间的有关工作汇集成一本专著《气体动力学中的二维黎曼问题》，它也被收入了英国朗文出版社著名的Pitman丛书中，于1998年出版。2000年，美国数学会的《数学评论》杂志上发表的书评中称这一研究群体为“中国学派”。2004年张同和李杰权、张朋同获北京市科学技术奖一等奖。1986年，张同和郑玉玺完成了论文《气体燃烧理论的黎曼问题》，美国《微分方程杂志》的审稿意见称：“此文给出了具反应项的一维气体动力学方程黎曼问题第一套完整的解。此问题于1945年由柯朗和弗里德里希斯基本上按同样的形式提出，并给出了一个特解。直到此文出现之前，人们关于这个问题的认识差不多一直停留在那个状态。……它是一个巨大进展，且肯定会给此题目的研究带来崭新的面貌。……一个重要的问题……确实是一次有价值的努力。”此后，张同在1988年美国数学会和美国工业及应用数学会联合主办的《夏季讨论会》上对此问题提出了一套全面的构想：考虑了反应速度从有限（ZND）到无限（CJ）；粘性从有到无，方程从最简模型到气体动力学。经过他与合作者的不断努力，已完成论文6篇。对最简模型这套构想已基本得到证明，对气体动力学方程也取得了一些实质性进展。张同性格开朗，待人真诚；淡泊名利，甘于寂寞；坚持探索，独创一派。他带领学生们经过40年的不懈努力，终于在一个重要的难题上开创出一条新路。他曾说：“我喜欢数学就像我喜欢音乐一样，都是为了追求世上的美”。他总是陶醉于数学和音乐的美好境界之中，快乐地与学生们一起做着他们自己的数学，也品味着人生。他还说：“中国数学界有许多人比我聪明，比我用功，我非常佩服他们。就我个人而言，只是很幸运地来到了数学所这块宝地，很幸运地选了一个好题目，把精力都集中到了这个小小的领域中，形成了一点特色而已，它的真正的价值还有待时间的考验。”“这个题目的攻坚战才刚开始，我最大的愿望是能有青年人把我们找到的这条路坚持走下去，胜利正在向他们招手”。
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1] f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。[1] 设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）几何定义编辑这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。[1] 直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。比如 如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;[1-2]
设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1] f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),若不等号严格成立，即"<"号成立，则称f(x)在I上是严格凹函数。如果"<="换成">="就是凸函数。类似也有严格凸函数。设f(x)在区间D上连续，如果对D上任意两点a、b恒有f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2那么称f(x)在D上的图形是（向上）凸的（或凸弧）很高兴为您解答有用请采纳
凹凸两种判断方法：1.若f(x)在区间I上有一阶、二阶导数，二阶导数f"(x)>0在区间I内为凹，反之为凸。2.函数f(x)在区间I上连续，如果对I上任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x2)]/2则为凹函数
在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
例子：设函数 在 上连续。
如果对于 上的两点 ，恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的 是区间 上的凸函数；称第二个不等式中的 为严格凸函数。
同理如果恒有
1、 ，
2、
那么称第一个不等式中的 是区间 上的凹函数；称第二个不等式中的 为严格凹函数。
扩展资料：
不过，在中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。国内教材中的凹凸，是指曲线，而不是指函数，图像的凹凸与直观感受一致，却与函数的凹凸性相反。
但只要记住“函数的凹凸性与曲线的凹凸性相反”就不会把概念搞乱了。
另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。一般来说，可按如下方法准确说明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）
参考资料：百度百科—函数的凹凸性
题报告是指开题者对科研课题的一种文字说明材料。这是一种新的应用文体，这种文字体裁是随着现代科学研究活动计划性的增强和科研选题程序化管理的需要应运而生的。开题报告一般为表格式，它把要报告的每一项内容转换成相应的栏目，这样做，既便于开题报告按目填写，避免遗漏；又便于评审者一目了然，把握要点。开题报告包括综述、关键技术、可行性分析和时间安排等四个方面 。开题报告作为毕业论文答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。由于开题报告是用文字体现的论文总构想,因而篇幅不必过大,但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题。 开题报告的总述部分应首先提出选题,并简明扼要地说明该选题的目的、目前相关课题研究情况、理论适用、研究方法。开题报告是由选题者把自己所选的课题的概况(即"开题报告内容")，向有关专家、学者、科技人员进行陈述。然后由他们对科研课题进行评议。亦可采用"德尔菲法"评分；再由科研管理部门综合评议的意见，确定是否批准这一选题。开题报告的内容大致如下：课题名称、承担单位、课题负责人、起止年限、报名提纲。报名提纲包括：(1)课题的目的、意义、国内外研究概况和有关文献资料的主要观点与结论；(2)研究对象、研究内容、各项有关指标、主要研究方法(包括是否已进行试验性研究)；(3)大致的进度安排；(4)准备工作的情况和目前已具备的条件(包括人员、仪器、设备等)；(5)尚需增添的主要设备和仪器(用途、名称、规格、型号、数量、价格等)；(6)经费概算；(7)预期研究结果；(8)承担单位和主要协作单位、及人员分工等。同行评议，着重是从选题的依据、意义和技术可行性上做出判断。即从科学技术本身为决策提供必要的依据。 开题报告的格式(通用) 由于开题报告是用文字体现的论文总构想，因而篇幅不必过大，但要把计划研究的课题、如何研究、理论适用等主要问题说清楚，应包含两个部分：总述、提纲。 1 总述 开题报告的总述部分应首先提出选题，并简明扼要地说明该选题的目的、目前相关课题研究情况、理论适用、研究方法、必要的数据等等。 2 提纲 开题报告包含的论文提纲可以是粗线条的，是一个研究构想的基本框架。可采用整句式或整段式提纲形式。在开题阶段，提纲的目的是让人清楚论文的基本框架，没有必要像论文目录那样详细。 3 参考文献 开题报告中应包括相关参考文献的目录 4 要求 开题报告应有封面页，总页数应不少于4页。版面格式应符合以下规定。开 题 报 告 学 生： 一、 选题意义 1、 理论意义 2、 现实意义 二、 论文综述 1、 理论的渊源及演进过程 2、 国外有关研究的综述 3、 国内研究的综述 4、 本人对以上综述的评价 三、 论文提纲 前言、 一、1、2、3、··· ···二、1、2、3、··· ···三、1、2、3、结论 四、论文写作进度安排 毕业论文开题报告提纲一、开题报告封面：论文题目、系别、专业、年级、姓名、导师二、目的意义和国内外研究概况三、论文的理论依据、研究方法、研究内容四、研究条件和可能存在的问题五、预期的结果六、进度安排
论文的研究方法主要有以下几种：
1、调查法
它是有目的、有计划、有系统地搜集有关研究对象现实状况或历史状况的材料的方法。调查方法是科学研究中常用的基本研究方法，它综合运用历史法、观察法等方法以及谈话、问卷、个案研究、测验等科学方式，对教育现象进行有计划的、周密的和系统的了解。
2、观察法
观察法是指研究者根据一定的研究目的、研究提纲或观察表，用自己的感官和辅助工具去直接观察被研究对象，从而获得资料的一种方法。
3、实验法
实验法是通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果联系的一种科研方法。其主要特点是：第一、主动变革性和控制性。
4、文献研究法
文献研究法是根据一定的研究目的或课题，通过调查文献来获得资料，从而全面地、正确地了解掌握所要研究问题的一种方法。
5、实证研究法
在科学研究中，通过定量分析法可以使人们对研究对象的认识进一步精确化，以便更加科学地揭示规律，把握本质，理清关系，预测事物的发展趋势。
毕业论文研究方法怎么写，为什么很难下笔
论文的研究方法一般从较宽泛的领域看有定性研究与定量研究；从取材方面来看有实证研究（实际调查案例为分析基础）与文献归纳法等；如从分析手法上来看有归纳法、演绎法与比较分析法等等。不过要看你是什么专业，专业不一样运用的研究方法是不一样的。