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开题报告 三角学的起源与发展 三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具 一、课题提出的背景 高中学习的紧张，高中学科的繁多。在数学学科上三角函数始终是高中学生们的一个心结，一个想得高分却无法做对的心结。并且三角函数与平面向量中的数学思想方法贯穿于整个学习过程内容中，是解决三角函数与平面向量问题的指南．由于数学学习是具体性较差、与现实有一定距离的活动，自我一时的作用更加突出，更加需要有学习活动与对活动的自我反省和调节间的协调统一。然而，目前数学教学中并没有意识到这个重要性，轻视基本概念教学，迷恋大运动量解题训练，以获得正确答案为满足，不对解题过程进行反思，不总结解题经验和教训，更不对问题进行引申、一般化和概括数学思想方法，结果是导致数学学习的“高投入，低产出，”师生双方的负担都非常重 二、所要解决的主要问题 1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。 2、研究如何培养学生数形结合的数学思想和整体代换的思想。 3、研究如何培养学生对题分析和解决能力。 4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对解题充满信心。 三、课题的理论价值和实践意义 理论价值：本课题的研究有助于学生养成利用数学知识解决现实问题的良好习惯，掌握基本的数学思想和方法，真正体会数学知识的实际意义，培养学生良好的数学意识。 实践意义：本课题的研究体现了数学教学的实际意义和新课程基本要求，提高学生数学学习兴趣，培养数学应用能力。 四、研究内容 1、对学生数学的应用能力进行调查，找出影响应用能力的因素。 2、对学生进行图形语言和数学符号语言相结合练习，培养学生数形结合的思想方法。 3、研究学生解决实际问题过程中学生自主探索，合作交流的能力，寻求多样化的解题方法，培养学生的创新意识。采纳有好报
推荐你去看一本书，《数学符号史》第4章高等数学篇美妙的微积分符号微积分其他符号增量符号△和式符号∑不定式符号昔双曲函数符号高等代数中的符号行列式符号∑矩阵的符号()向量的符号向量积符号同余式符号“三”数理逻辑符号第5章符号学篇——论数学符号史什么是符号学数学符号的意义及其重要性意义重要性与作用数学符号的产生、比较和改革数学符号的特点数学符号的分类数学符号的教学附录1本书符号年表附录2数学字母符号的由来附录3物理科学和技术中使用的数学符号附录4数学家人名索引主要考文献
数量的定义数学中，把只有大小但没有方向的量叫做数量（或纯量），物理中常称为标量。向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1，a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。[编辑本段]向量的表示1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）3、坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。[编辑本段]向量的模和向量的数量向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。注：1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。[编辑本段]特殊的向量单位向量长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．规定：所有的零向量都相等．当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。数学中只研究自由向量。滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。[编辑本段]相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有 -（-a）=a；零向量的相反向量仍是零向量。平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b．零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行．平行于同一直线的一组向量是共线向量。共面向量平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。空间中的向量有且只有一下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。[编辑本段]向量的运算设a=（x，y），b=(x'，y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x'，y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
数学研究的是什么，总的来说就是向量与矢量，向量是有方向的，矢量是衡量大小的，在研究有向空间的时候倘若总是用坐标来表示，必然会很不方便，所以在这样的背景下就产生了向量，只是我个人的理解
数形结合就是运用图形来简化解题思路，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。多做几个类似的题目啊....找本专题什么的强化一下就可以了
基于网络环境下《三角函数的图像和性质》课堂教学的探讨数学论文 摘 要：互联网的出现，教育模式将有革命性的变化，基于网络环境下的教学已成为当今教学改革的核心，也更能够体现新课程标准精神。基于网络环境下的数学教学，有助于突破难点，真正实现分层教学和因材施教，从而提高教学效益。基于网络环境下的数学教学应处理好网络与学生的和谐关系，网络与教师的关系，教师与学生的关系。关键词：教学 数学 网络 新课标传统的教育模式的教学方法、教学手段和教学评价已不能适应社会发展和人们学习的需要，基于网络环境下的学科教学和课堂评价的出现和普及，极大的丰富了教学改革的内容，充分有效的利用了教学资源，基于网络环境下的课堂教学与评价把文本、图像、图形、视频、音频、动画整合在一起，并通过互联网进行处理、控制传播、为学生提供了最理想的学习环境。 一、基于网络环境下的数学教学的含义 基于网络环境下的数学课堂教学，根据新课程标准的教学内容和教学目标需要，继承传统教学的合理成分，打破传统教学模式，全天候，不间断，因材施教的新型教学方法，教学与评价的信息在互联网上传输与反馈，极大的优化了教师群体，极大的丰富了学生的知识能力。基于网络环境下的教学，可以共享教学资源，传递多媒体信息，适时反馈学生学习情况，刺激学生不同的感官，符合学生的学习认知规律，提高学生的学习兴趣，扩大了信息接受量，增大了课堂教学容量，同时又具有实时性，交互性，直观性的特点大大丰富了课堂教学模式，同时又满足了分层教学，因材施教，远程教学等社会需要，开创了教学的全新局面。 二、基于网络环境下数学教学与评价的应用 基于网络环境下数学教学与评价有两大优点： 1、能做到图文并茂，再现迅速，情境创设，感染力强，能突破时空限制，特别是基于.Net技术的交互式动态网页更能提高学生的多种感官的感知效能，发挥个体的最大潜能和创造力，加快学生对知识的理解、接受和记忆，也最能体现新课标的精神，也极大的满足社会全民教育，终身教育的要求。 2、同时全体老师又能通过网络共享教学资源，适时创新资源，使每一位老师都成为名师，使教学的方法水平永不落后。如在讲授函数这部分内容时，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数的图像以及图像变换是重点内容，关于函数图像的传统画法，是通过师生列表，描点，连线而得，这些工作烦，静止孤立，间断的点和线。教师要自制每一节的课件难度大，时间又有限，而基于网络环境下的数学教学，就可以充分利用网络版课件，进行网上学习，从而化静为动，化繁为简，减轻教师的体力负担，使教师有更多的时间进行创新研究，同时让学生在交互的动态的网络环境下学习，函数值随自变量变化而同步变化以及对应运动的轨迹，从而得到完整精确的函数图像，通过交互学习让学生充分体会同一函数不同参数与图像特征之间的联系，充分掌握函数的性质和抓住图像的平移、反射、压缩、拉伸和对称变换特征。若有疑问或好的见解，还可以通过网络进行远程的交流互动。通过多媒体，交互反馈，使学生深刻理解，不易遗忘。也培养了学生自我学习和终身学习的能力。网络环境下的数学教学，教师教得轻松，也有更多的时间进行个别指导，学生学得愉快。学得有趣，这样数学教学的效率也提高了。 二、基于网络环境下数学教学突破教学难点 高中数学中有一些知识需要通过抽象思维来解决问题，而这也正是高中数学的难点之一，基于网络环境下的教学可以化抽象为直观，有利于突破难点。 如“二次函数即：y=ax2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值的探讨，学生对二次函数的开口，对称轴移而区间不动或图像不动而区间变化时函数的最值”不易理解，在网络环境下，学生通过对网络课件的阅读和对a,b,c,m,n的动态控制，能深刻理解数学知识的要点，加上在网上的即时测试和评价，更能有效的掌握它，不再感到难以理解。 三、基于网络环境下的数学教学与评价形式多样化，即时化。 传统的教学形式是教师讲，学生听，这样教学方式课堂容量有限，反馈方式单调，信息交流少，所有的学生步伐相同不利于因材施教，不利于培养学生现代的终身的学习能力，同时不能解放教师，让教师从事更有意义的教育工作。而网络环境下的教学可以同时满足不同用户不同要求，培养活学活用的能力，真正实现教学以学生为中心，教学面向全体通过互联交流互联互动进行分层教学、个别教学实现因材施教，体现新课标的要求， 四、基于网络环境下数学教学应处理好的关系 (1)网络与学生的关系 和谐是教学成功的关键。实践中发现基于网络环境下的学科教学，应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境。加上学生对网络应用知识基本掌握，达到网络与人的和谐统一。 (2)网络与教师的关系 基于网络环境下的学科教学优势空前，实践中发现，只有网络环境下的教学与教师灵活生动的讲解和创新的适时评价互相配合，相互促进，协调传递信息，最大限度地发挥网络和教师的优势。 (3)教师与学生的关系 教为主导，学为主体，这是在任何教学模式中都应遵循的原则，要体现学生的主体发展与教师的主导相互作用的关系。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows,Authorwear,3Dmax,Flash等方面的知识，还要学会搜索，筛选，创新信息的能力，甚至包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高我国的教育教学质量。
三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。也就是说以角度为自变量，角度对应任意两边的比值为因变量的函数叫三角函数，三角函数将直角三角形的内角和它的两个边长度的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级限或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。三角函数（也叫做圆函数）是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。
证法1先做图,做出过b,c的两条中线,分别交ac于m,交ab于n,所以m,n是ac,ab的中点.连接mn设向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ为不等于0的实数)向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量因为向量pm与向量pn不共线,所以λ=2,μ=2所以向量bp=2向量pm由此证得两中线交点把bm分成2:1.同理可证另一条中线与bm的交点也有此性质,故三角形的三条中线交于一点，并平分每条比为1：2得证.证法2作出一个三角形abc,设d,e,f分别是bc,ca,ab的中点,在平面上任取一点o,设向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c则向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).再设p为ad上的三等分点，满足向量ap=2向量pd，则向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3*1/2(a+b)=1/3(a+b+c)同理可证，p也是be，cf的三等分点，因此三条中线交于点p。三角形的3中线交于一点，并平分每条比为1：2 --------------------°.●丫è。为您解答！满意的话请采纳，谢谢o(∩_∩)o...希望带上好评哦~~ ★x5~谢谢~！！
三个向量相乘小于零是钝角三角形 大于零是锐角三角形 等于零 是直角三角形 a ?是不是？我说的对马？如果打对就采纳我得吧 ，我想升级啊？求求你了？——一位小弟弟
对数量积性质的新认识 【摘 要】：教学活动要遵循内在规律，只有当一切外在事实（知识）通过教师的主导作用，最后被主体（学生）认识之后，这外在东西才会为主体真正占有，这种转化只有在参与实践中才能体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材中的好多知识表面上是孤立的，若我们的的教师在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”的揭示这种“知识链”，内化我们学生的理解，让学生对知识的构建“水到渠成”！这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】：数量积 向量 角度 距离作为新课程改革，高中数学教材的两个显著变化就是“向量和导数”的引入。其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性。但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如全日制普通高级中学教科书《数学•第二册（下B）》P33¬中，关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1） ，（2） ，（3） 。作为“工具性”，性质（2）（3）比较明显，会立即得到充分的应用。可是对于性质（1），当时，在上新授课时我总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”——配角。但是随着时间的推移，笔者发现了她的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文便梳理和佐证这一认知，以飨读者。（一）性质的产生与内含已知向量 和轴l， 是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影 ，作点B在l上的射影 则 叫向量 在轴l上或在 方向上的正射影，简称射影。 可以证明得， （证明略，图如下所示。）此性质的内含理解有四点：①结果是一个数量（本身含正负号）；②其正负号由向量 所成角的范围决定；③加上绝对值 便是一条线段长度（这里 刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；④可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。（二）性质的“知识链”对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”。那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？（1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。1．1线线角 的求法的新认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为 ），即 ,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，，此时OB1可以看作是 与 方向上的单位向量 的数量积 ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。1．2线面角 的求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，此时OP又可以看作是 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 ， ，故 （这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。1．3二面角的平面角 的求法的新认识： = （其中 是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为： （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。★三大角的统一理解： 、 、 、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！ （2）它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。2．1点面距求法的新认识： （其中 为平面 的一个法向量），此结论重新可以理解为： ，即 在 上的投影，即 与 方向上的单位向量 的数量积 。2．2点线距求法的新认识：1）新认识之一：如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量 ，则点P到l的距离 。2）新认识之二：若不存在有一条与l相交的直线时，我们可以先取l上的一个向量 ，再利用 来解，即： ,而数量OB可以理解为 在l上的向量 的投影，也即为： 。2．3异面直线间距离求法的新认识： 从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。 略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量 ，记与两直线的公垂线共线的向量为 ,则由 ,得 ,则它们的距离就可以理解为： 在 上的投影的绝对值，即： 。 ★三大距离的统一理解: （点面距）、 （异面距）、 （点线距之一）、 且 （点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。由上述的剖析过程不难再看出：空间中的三大角与三大基本距离的计算，都隐藏于这个“特定”的数量积的性质之中，体现在这个公式结构的“统一美”之中，把问题的本质揭示得“淋漓尽致”，而又不失自然！这给“立体几何” 中向量的工具性的体现，增色了几分美感与统一感！（三）性质的应用例1、（2005年山东省（理科）高考第20题）如图，已知长方体 直线 与平面 所成的角为 ， 垂直 于 ， 为 的中点.（I）求异面直线 与 所成的角；（II）求平面 与平面 所成的二面角；（III）求点 到平面 的距离.解：在长方体 中，以 所在的直线为 轴，以 所在的直线为 轴， 所在的直线为 轴建立如图示空间直角坐标系；由已知 可得 ， ，又 平面 ，从而 与平面 所成的角为 ，又 ， ， ，从而易得 （I） 因为 所以 ，易知异面直线 所成的角为 （II） 易知平面 的一个法向量 ，设 是平面 的一个法向量， 由 即 所以 即平面 与平面 所成的二面角的大小（锐角）为 （III）点 到平面 的距离，即 在平面 的法向量 上的投影的绝对值，所以距离 = 所以点 到平面 的距离为 例2、（2005年重庆（理科）高考第20题）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB= ，BB1=2，BC=1，∠BCC1= ，求：（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值. 解：（I）以B为原点， 、 分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB= ，∠BCC1= ，在三棱柱ABC—A1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0， ），B1（0，2，0），A1（0，2， ） ，设 ； ，则 得， （令y=1），故 =1（II）由已知有 故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为 。 。通过上述几个高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也焕发了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。因为”程序化”的计算使我们的学生的“信心”倍增!同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！参考文献：1、2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （高等教育出版社）2、《浙江省高考命题解析——数学》 （浙江省高考命题咨询委员们编著）3、基础教育课程改革教师通识培训书系第二辑《课程改革发展》（中央民族大学出版社 周宏主编）
设两条中线的交点为O,按一定方向设三角形三边的向量为向量a,b,c,三边中点为D,E,F.假如说取的两条中线是AD和BE,那么,就用a,b,c表示向量CO和OF,就可以发现向量CO和OF平行,因为它们共点O,所以CO和OF在同一条直线上,即三角形的中线CF经过O点.证毕.
方法如下:
1.空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．
首先该图形能建坐标系。如果能建，则先要会求面的法向量。
求面的法向量的方法是 1。尽量在土中找到垂直与面的向量
2、如果找不到，那么就设n=（x,y,z）
然后因为法向量垂直于面
所以n垂直于面内两相交直线
可列出两个方程
两个方程，三个未知数
然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数
然后就求出面的一个法向量了
会求法向量后
1、二面角的求法就是求出两个面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交
那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角
如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交
那么上面两向量的夹角就是所求
2、点到平面的距离就是求出该面的法向量
然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）
求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求
向量代数是研究向量和向量空间的一种数学方法，可以用来研究空间几何问题。下面举例说明如何用向量代数的知识研究空间几何问题：例1：求两条直线的夹角设空间中有两条直线L1和L2，它们的方向向量分别为a和b，且它们的夹角为θ。根据向量的内积公式可得：a·b = |a||b|cosθ因为a和b都是非零向量，所以|a|>0,|b|>0，且cosθ= (a·b)/(|a||b|)，因此可以求得两条直线的夹角θ。例2：判断一个点是否在平面上设平面的法向量为n，过平面上一点P的直线的方向向量为a，现在要判断另一个点Q是否在平面上。如果Q在平面上，则向量PQ必定在平面上，因此向量PQ与平面法向量n的点积为0。即：n·PQ = n·(Q-P) = 0如果上式成立，则点Q在平面上，否则点Q不在平面上。例3：求空间中两条直线的交点设两条直线L1和L2的方向向量分别为a和b，它们的一点分别为P1和P2。则它们的参数方程可以表示为：L1: r = P1 + λaL2: r = P2 + μb若两条直线有交点，则它们在交点处的坐标相等，即：P1 + λa = P2 + μb可以将上式化为一个由未知数λ和μ组成的线性方程组，解出λ和μ的值，再代入其中一个参数方程中即可求得两条直线的交点。这些例子都是向量代数在空间几何问题中的应用。通过向量代数的知识，我们可以用简单的数学方法解决复杂的几何问题。
一、两向量的数量积及其应用
****1****．数量积的定义****
向量 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3)的 数量积 为
其中θ为向量 a 与 b 之夹角，规定0≤θ≤π.
****2****．两向量的夹角****
两非零向量 a 与 b 的夹角余弦计算公式为
****3****．数量积的几何应用****
(1)向量垂直关系的判定：
(2)向量的投影：
【注】 ：零向量与任何向量垂直.
****4****．向量积的物理应用****
常力 F 拉物体沿位移 S 所做的功W为
W=F∙S.
二、两向量的向量积及其应用
****1****．向量积的定义****
两向量 a =(a1,a2,a3),** b =(b1,b2,b3)的 向量积**定义
【注】 :两向量的数量积为一个数量，而两向量的向量积为一个向量．
关于向量 a ， b 的向量积，有：
(1) a ⅹ b 与 a ， b 分别垂直；
(2) a ， b 与 a ⅹ b 服从右手法则；
(3)| a ⅹ b |=| a || b| sinθ，其中θ为向量 a ， b 间的夹角．
****2****．向量积的几何应用****
****3****．向量积的物理应用****
设O为一根杠杆L的支点，有一个力 F 作用于这杠杆上点P处，则力 F 对支点O的力矩 M 为
三、向量的混合积及其应用
****1****．向量的混合积的定义****
设有三个向量
a =(a1,a2,a3),** b =(b1,b2,b3), c**=(c1,c2,c3),
则称向量( a ⅹ b )∙ c 为向量 a , b , c 的 混合积 ，记作[ abc] ，并有
根据行列式的运算性质，可得向量的混合积满足 轮换性 ，即
( a ⅹ b )∙ c =(** b ⅹ c )∙ a =( c ⅹ a )∙ b**.
****2****．混合积的几何应用****
(1) a , b , c 共面⇔[ abc]=0 存在不全零的数λ,μ,γ，使得λ a +μ b +γ c = 0 .
(2) 空间四点A,B,C,D共面
(3) 以 a , b , c 为棱的四面体体积为：
(4) 以 a , b , c 为棱的平行六面体体积为：
四、空间平面及其方程
****1****．平面的点法式方程****
设M(x0,y0,z0)为平面上的已知点， n =(A,B,C)为法向量，M(x,y,z)为平面上的任一点，则平面的 点法式方程 为：
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
****2****．平面的三点式方程****
设M1 (x1,y1,z1)，M2 (x2,y2,z2)，M3 (x3,y3,z3)是某平面上 不共线 的三点，则由四点共面，四点构成的三个向量的 混合积为零 ，可得平面的 三点式方程：
****3****．平面的截距式方程****
如果三点取为坐标轴上的点(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，其中abc≠0，或者已知平面在三坐标轴上的 截距 为a,b,c，则平面的 截距式方程 为
****4****．平面的一般式方程****
三元一次方程描述的图形为空间平面，即平面的 一般式方程 为：
Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2≠0).
并且平面的法向量为 n =(A,B,C)，任何满足方程的x,y,z的值构成在有序对(x,y,z)对应的点都为该方程描述的平面上的点。
****5****．一些特殊平面对应的方程结构****
(1) 过原点的平面：Ax+By+Cz=0；
(2) 平行于x轴的平面：By+Cz+D=0；
平行于y轴的平面：Ax+Cz+D=0；
平行于z轴的平面：Ax+By+D=0；
【注】 ：法向量的哪个分量为零，则该平面平行于该分量对应的坐标轴。
(3) 过x轴的平面：By+Cz=0；
过y轴的平面：Ax+Cz=0；
过z轴的平面：Ax+By=0；
(4) 行于xOy坐标面的平面：Cz+D=0；
平行于zOx坐标面的平面：By+D=0；
平行于yOz坐标面的平面：Ax+D=0；
【注】 ：法向量的哪两个分量为零，则该平面平行于这两个分量对应的坐标轴构成的坐标面。
五、空间直线及其方程
****1****．直线的向量式参数方程****
设直线L过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为 s =(m,n,p)，其中m,n,p是不全为零的常数．在直线L上任取一点M(x,y,z)，并记
则直线L参数为t的 向量式参数方程 为
r = r 0+t s (-∞ ****2****．空间直线的坐标式参数方程**** 过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为 s =(m,n,p)的直线的 坐标式参数方程 为 ****3****．空间直线的标准式方程**** 过点M0(x0,y0,z0)，方向向量为 s =(m,n,p)的直线的 标准式方程 ，或者 对称式方程 ， 点向式方程 为 ****4****．空间直线的两点式方程**** 已知空间直线L上的相异的两点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则两点的连线构成的直线的 两点式方程 为 ****5****．空间直线的一般式方程**** 两平面的交线的 一般式方程 为 六、点、直线、平面间的位置关系 ****1****．点到平面的距离**** 如果点P0不在平面π上，则点P0到平面π的距离为 ****2****．平面与平面的位置关系**** 设两平面的方程为 π1：A1x+B1y+C1z+D1=0， π2：A2x+B2y+C2z+D2=0. (1) 两平面平行 ，有 (2) 两平面重合 ，有 (3) 两平面垂直 ，有 (4) 两平面夹角θ定义为两法向量相交的 锐角 ，即 ****3****．两直线的位置关系**** 设两直线的标准式方程分别为： 并设M1(x1,y1,z1)是直线L1上的点， s 1=(m1,n1,p1)是它的一个方向向量；M2(x2,y2,z2)是直线L2上的点， s 2=(m2,n2,p2)是它的一个方向向量，则有： 【注】 ：两条平行直线可以位于不同的平面上，但由于它们可以位于一个平面上，所以它们也表示共面直线。 (5) 不管是共面的直线还是异面的直线，规定两直线的夹角θ为两直线的方向向量间的夹角，即有 【注】 ：若两直线平行或重合，则它们的夹角可看成是0或π；如果两直线垂直，则它们的夹角为π/2. ****4****．点到直线的距离**** 设点M1(x1,y1,z1)是直线 上的一点， s =(m,n,p)是直线的方向向量，则点M0(x0,y0,z0)到直线L的距离为由方向向量 s 与M1和M0构成的向量为邻边构成的平行四边形，在方向向量所在边上的高，即由平行四边形的面积公式可得 ****5****．直线间的距离**** 平行直线之间的距离归结为一直线上的任一点到另一直线之间的距离，即平行直线之间的距离可以直接使用点到直线的距离公式计算得到。 如果两条直线为异面直线，即已知两直线的标准式方程分别为： 并设M1(x1,y1,z1)是直线L1上的点， s 1=(m1,n1,p1)是它的一个方向向量；M2(x2,y2,z2)是直线L2上的点， s 2=(m2,n2,p2)是它的一个方向向量，则两异面直线之间距离等于向量M1, M2构成的向量在向量 s 1ⅹ s 2上的投影的绝对值，即 ****6****．平面与直线的位置关系**** 设平面和直线的方程分别为： 并设 n =(A,B,C)是平面π的法向量， s =(m,n,p)是直线L的方向向量，M0(x0,y0,z0)是直线L上的一点，则有： 直线L在平面π上⇔ n ⊥ s 且 Ax0+By0+Cz0+D=0. (3) 直线L与平面π相交⇔Am+Bn+Cp≠0. (4) 规定直线L与它在平面π上的投影线的夹角θ为 直线与平面的夹角 ，即 ****7****．平面束方程**** 空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做 有轴平面束 ，直线叫做 平面束的轴 。 如果两个平面 交于一条直线L，那么以直线L为轴的平面束的所有平面方程可以表示为 其中λ,μ是不全为零的任意实数。 当λ=1,μ=0时，则表示平面π1的方程；λ=0,μ=1时，则表示平面π2的方程。 【注】 ：如果仅仅取μ=1，则平面束方程为 λ是不全为零的任意实数，则该方程能够表示的平面为除了平面π1的平面束中的所有平面；在利用平面束方程解决问题的过程中，减少了一个参数，简化问题求解过程，但是需要单独考虑平面π1。 七、构建图形数学描述形式的一般步骤 (1) 针对实际问题，绘制草图，构建合适的空间直角坐标系。 【注****1****】 当然根据问题的描述的方便，也可以是其他坐标系，比如在三重积分中我们要讨论的柱坐标系、球坐标系等。 【 注****2****】 如果问题本身带有坐标信息，则绘制坐标系，并根据坐标特征绘制草图。 (2) 在图形上，或者空间任取一符合问题背景或相关几何意义的点，并设其坐标为M(x,y,z)。 (3) 依据问题提供的条件，比如 物理意义、几何意义、已有等式 等，构建相关的等式，并转化为点M的坐标变量x,y,z的等式；或者通过适当引入参数，将点M的坐标变量x,y,z描述为有关参数的表达式，如果是平面图形或曲线图形，则一个参数；如果是曲面图形，一般为两个参数。 (4) 化简相关等式，得到图形的方程描述形式。 八、旋转曲面 空间中，一条曲线绕一定直线旋转一周所得的曲面称为 旋转曲面 ，定直线称为旋转曲面的旋转 轴 ，曲线称为旋转曲面的 母线 ． 比如，yOz坐标面上的曲线C:f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 绕y轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为 空间曲线 绕z轴旋转一周所得旋转曲面的参数方程为 【注****1****】 如果三个方程能够消去两个参数得到x,y,z的表达式，则也就可以直接得到旋转曲面的一般方程。 九、柱面 在空间中，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所构成的曲面叫做 柱面 ；直观地讲，柱面就是由平行于一定直线沿曲线移动时所形成的曲面，或者说是由一条直线连续平移而形成的。其中曲线叫做柱面的 准线 ，直线叫做柱面的 母线 ． 圆柱面 ：准线为圆，母线为垂直于圆所在平面的直线所形成的曲面。 比如准线为xOy面上的圆x2+y2=R2，母线垂直于xOy面，或平行于z轴的圆柱面方程为 x2+y2=R2。 类似有中心轴为y,x轴为中心轴的圆柱面方程 z2+x2=R2，y2+z2=R2。 椭圆柱面 ：准线为椭圆，母线为垂直于椭圆所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的椭圆，母线分别垂直三个坐标面的椭圆柱面方程分别为 双曲柱面 ：准线为双曲线，母线为垂直于双曲线所在平面的直线所形成的曲面。比如准线取为xOy,yOz,zOx面上的、实轴分别为x轴、y轴、z轴的双曲线，母线分别垂直三个坐标面的双曲柱面方程分别为 抛物柱面 ：准线为抛物线，母线为垂直于抛物线所在平面的直线所形成的曲面。比如，比如准线取为xOy面上的抛物线，母线为垂直xOy面的抛物柱面方程为 y 2=2px或x 2=2py。 十、常见标准曲面及其参数方程 ****1****．球面**** 方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2所表示的曲面为球心在(x0,y0,z0)球面，半径为R的球面。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将椭球面的方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2转为参数方程描述，即 特别有x2+y2+z2=1表示球心在原点，半径为1的球面。 ****2****．椭球面**** 方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1所表示的曲面称为椭球面，其中a,b和c均为正常数。借助三角恒等式，cos2t+sin2t=1，可将椭球面的方程x2/a2+ y2/b2+ z2/c2=1转为参数方程描述，即 ****3****．双曲面**** 双曲面分为单叶双曲面和双叶双曲面。 l 单叶双曲面 ：平方项两正一负的和等于1的方程描述的曲面。即 其负向变量所对应的坐标轴为对称轴． l 双叶双曲面 ：平方项一正两负的和等于1的方程描述的曲面。即 其正向变量所对应的坐标轴为对称轴． 借助三角恒等式cos2t+sin2t=1及sec2t-tan2t=1，可将对称轴为z的单叶双曲面方程，双叶双曲面方程转换为参数方程描述，有 ****4****．抛物面**** 抛物面包括椭圆抛物面和双曲抛物面。 l椭圆抛物面：具有1次方项等于两个平方项的和结构的方程所表示的曲面。即 如果a=b，则为旋转抛物面。 借助三角恒等式cos2t+sin2t=1，可将方程转换为参数方程描述，如 l 双曲抛物面 ：1次方项等于两个平方项的差结构的方程所表示的曲面。如 由于双曲抛物面的形状像马鞍，所以它又称为 马鞍面 ． 借助三角恒等式sec2t-tan2t=1，可将方程转换为参数方程描述。如对 ****5****．二次锥面**** 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所生成的曲面叫做 锥面 。直线称为锥面的 母线 ，定点称为锥面的 顶点 ，定曲线称为锥面的 准线 。 如方程 描述的曲面图形为顶点在原点的椭圆锥面，其中心轴在分别为z轴，x轴，y轴．当a=b时为 圆锥面 。 由三角恒等式cos2t+sin2t=1，可得椭圆锥面的参数方程，如中心轴为z轴的椭圆锥面的参数方程为 十一、空间曲线的方程 ****1****．空间曲线的一般方程**** 空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为 该方程组也称为空间曲线C的一般方程． 【注****1****】 空间曲线的一般方程不唯一。可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程 λF(x,y,z)+μG(x,y,z)=0 （其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。 ****2****．空间曲线的参数方程**** 一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。曲线C上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为 【注****1 】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。 ****3****．空间曲线一般方程与参数方程的相互转换的思路**** 将空间曲线的参数方程转换为一般方程 描述比较简单，由三个参数表达式两两消去参数，则可以得到两个不包含参数的等式，它们一起构成空间曲线的一般方程。 将空间曲线的一般方程转换为参数方程 描述的基本思路为： (1) 如果空间曲线的一般方程的两个方程都是三个变量的方程，则通过消元，获得一个二元方程表达式，然后借助于二元方程的参数方程，写出两个变量的参数表达式，并代入其中一个方程解出另一变量关于参数的表达式。 (2) 如果空间曲线的一般方程中，有一个方程只有两个变量，则可以直接通过引入参数，写出两个变量的参数方程，然后利用另外一个方程解出另一变量的参数表达式。也可以利用两个变量的表达式用一个变量表示另外一个变量代入另一方程，由变换后的方程写出参数方程后得到参数方程。 (3) 如果空间曲线的一般方程中有一个方程为单独变量等于常数的表达式时，则直接将它代入另一个方程，由另一个方程写出对应的参数方程表达式，并联合这个表达式即可得所求空间曲线的参数方程。 (4) 如果有两个方程都是单独变量等于常数的表达式，则直接令另一变量为参数即可。 十二、空间曲线在平面上的投影 ****1****．曲线在平面上的投影**** 设是一条空间曲线，是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的 投影曲线 ，简称 投影， 平面也称为 投影面 。 过曲线上的每一点，都有平面的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的 投影柱面 。 空间曲线在平面上的 投影曲线 就是 投影柱面与平面的交线 。 ****2****．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程**** 设空间曲线Γ的一般方程为 则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的 投影柱面方程 可以通过方程组分别消去z,x,y变量得到。假设方程组消去变量z,x,y后得到的方程分别描述为 F(x,y)=0,G(y,z)=0,H(z,x)=0， 则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的 投影曲线 分别为 ****4****．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程**** 设空间曲线Γ的参数方程为 Γ:x=x(t),y=y(t),z=z(t)(t∈[t0,t1])， 则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程与投影曲线方程为 xOy投影柱面：x=x(t),y=y(t)，投影曲线：C:x=x(t),y=y(t),z=0(t∈[t0,t1]) yOz投影柱面：y=y(t),z=z(t)，投影曲线：C:x=0, y=y(t),z=z(t) (t∈[t0,t1]) zOx投影柱面：z=z(t), x=x(t)，投影曲线：C: x=x(t),y=0,z=z(t),(t∈[t0,t1]) 【注****1****】 空间曲面或立体图形在坐标面上的投影为空间曲面或围成立体的所有曲面上的点在坐标面上的投影点构成的平面区域，可以用投影区域的边界曲线为准线，垂直于坐标面的直线为母线形成的投影柱面与坐标面方程来描述。 【注****2****】 空间直角坐标系中立体图形简图的绘制方法：在掌握基本立体几何形状，比如长方体、球体、柱体、平面、直线绘制的基础上，一般通过绘制一些关键性的曲线，比如围成立体图形的曲面的交线，平行于坐标面的平面截取空间图形所得的交线等，来描述图形的大致轮廓，帮助我们更好地理解和解决问题 你好！设三边分别为a,b,c。a*a+b*b=c*c如果对你有帮助，望采纳。 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。性质2：在直角三角形中，两个锐角互余。性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。性质5:如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD)×2=BD·DC，（2）（AB)×2=BD·BC，射影定理图（3）（AC)×2=CD·BC。等积式（4）ABXAC=ADXBC(可用面积来证明）(5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)；r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二) 1证明一个三角形是直角三角形 2用于直角三角形中的相关计算 3有利于你记住余弦定理，它是余弦定理的一种特殊情况。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子能上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么如何才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们能清楚地看到，我国古代的人民早在多少千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面多少何饿读者都清楚，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦2 亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年第一发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则能确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例（32+42=52）。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便能得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=（勾2+股2）(1/2) 即： c=（a2+b2）(1/2) 定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^平方+b^平方=c^平方； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2，如：一条直角边是3，一条直角边是四，斜边就是3*3+4*4=X*X，X=5。那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理） 来源： 毕达哥拉斯树是一个基本的多少何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 文章来源： 原文链接： 满意请采纳直角三角形的作用研究论文