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The Relationship among Green Formula, Gauss Formula and Stokes FormulaAbstract: Green Formula, Gauss Formula and Stokes Formula are three important formulae of calculus, they connected diffierent calculuses together, and have very important applications in the research field. In the paper, several formula relations are discussed, and from the exterior differential angle, three formulae are expressed uniformly and some applications of three-formula are enumerated.
与勃隆黑德的结识成为格林一生的转折．勃隆黑德系剑桥大学冈维尔-凯厄斯(Gonville－Caius)学院出身，同时又是剑桥分析学会的创始人之一．他建议格林到剑桥深造．1829年1月，格林的父亲去世，格林获得了一笔遗产和重新选择职业的自由，遂将磨坊变卖，全力以赴为进入剑桥大学作准备．这期间他又完成了三篇论文——“关于与电流相似的流体平衡定律的数学研究及其他类似研究”(Mathematical investigations concerning the lawsof the equilibrium of fluids analogous to the electric fluidwith other similar research，1832．11)、“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”(On the determination of the exterior andinterior attractions of ellipsoids of variable densities，1833．5)和“流体介质中摆的振动研究”(Researches on the vibration ofpendulums in fluid media， 1833．12)，均由勃隆黑德爵士推荐发表．1833年10月，年已40的格林终于跨进了剑桥大学的大门，成为冈维尔-凯厄斯学院的自费生．经过4年艰苦的学习，1837年获剑桥数学荣誉考试(Mathematical Tripo)一等第四名，翌年获学士学位，1839年当选为冈维尔-凯厄斯学院院委．正当一条更加宽广的科学道路在格林面前豁然展现之时，这位磨坊工出身的数学家却因积劳成疾，不得不回家乡休养，于1841年5月31日在诺丁汉病故．格林生前长期与磨坊领班W．史密斯(Smith)的女儿简(Jane)同居，但始终未正式结婚．最初可能是由于他父亲反对这门婚事，后来则因剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委资格只授予单身汉，格林为了事业只好放弃正式结婚的打算．格林去世后，简被承认为其合法遗孀，人们都称她为“格林夫人”，他们生有两个儿子、五个女儿．格林短促的一生，共发表过10篇数学论文，这些原始著作数量不大，却包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想．拉普拉斯同时指出函数V满足方程 并采用球调和方法来解此方程．但拉普拉斯和泊松的方法都仅适用于特殊的几何形体，因此有必要发展更一般的理论，这正是格林的工作与前人不同的地方．格林认识到函数V的重要性，并首先引进了“位势函数”这一名称，他在第一篇论文“论数学分析在电磁理论中的应用”中写道：“这样的函数以如此简单的形式给出电荷基元在任意位置受力的数值．由于它在下文中频繁出现，我们冒昧地称其为属于该系统的位势函数，它显然是所考虑的电荷基元P的座标的函数”．格林接着便发展了位势函数V的一般理论，特别是建立了许多对于推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中尤以现用他的名字命名的“格林公式”与“格林函数”最为著名．设有函数U与V，在以曲面σ为边界的区域τ内充分光滑．格林从体积分格林未给出函数U的存在与唯一性证明，但却阐述了其物理意义：“为了说明确实存在所述函数U，我们设想曲面是一个接地良导体，在点p′上置一单位正电荷，则由p′及其在曲面上引发的电荷所产生的总位势将等于所要求的U的值”，而“U满足前述论证中所赋予的一切性质”．格林公式与格林函数已成为现代分析的基本工具，格林函数更被日益广泛地应用于现代物理的许多领域，如量子碰撞、基本粒子理论与固体物理等．格林对于波动的数学理论有浓厚的兴趣并发表了多篇论文，其中最重要的是关于光波的研究．光的波动的数学描述，在19世纪数学家中一直是一个时髦的课题．在格林时代，科学界所持的一种普遍意见是把光看作弹性固体以太的振动，例如A．L．柯西(Cauchy)在光以太研究中采用了吸引与排斥形式相互作用的机械模型．格林对柯西和其他学者对以太中力的性质作特殊假设的做法持批判态度，他在论文“论光在两非晶介质公共面上的反射与折射定律”(On the laws of reflexion and refraction of light at the common surface of two noncrystallized media，1837)中深刻地指出：“我们对于发光以太元之间相互作用的方式知道得如此少，因而最可靠的办法还是以某种一般的物理原理作为推理的基础，而不要去作特殊的假设．”格林接着表述他所说的“一般原理”如下：“任一物质系统的元素间不论以何种方式相互作用，若以所有的内力分别乘以相应的方向元，则对该物质系统的任一指定部分，此乘积的和永远等于某函数的恰当微分．”这实质上相当于能量守恒原理．格林是第一个将这种一般形式的守恒原理引入弹性力学的学者．他由此出发导出了描述光媒质振动规律的偏微分方程．在格林写成他的光学论文时，M．法拉第(Faraday)的电磁感应刚发现不久，格林关于光波的数学研究还不具备突破机械以太观的条件，但他选择一般数学原理作为推导光媒质运动方程的基础而避免对以太的力学性质作人为的假设，说明他在这方面比同时期的其他数学物理学家要高出一筹．格林的光波研究对弹性力学的发展亦有重要意义．现代弹性理论中的一种应变张量就被称为“格林张量”．格林关于水波的研究也引起人们的注意．1337年，英国工程师 S．罗素(Russell)首先观察到一种叫“孤立波”(solitarywave)的现象．罗素于1844年第二次在不列颠科学协进会上作浅水波问题报告时，曾埋怨数学家们未能预报与描述他所观察到的现象．然而在此之前，格林已发表了两篇这方面的论文，其中第一篇“论具有较小深度与宽度的可变渠道中波的运动”(On themotion of waves in a variable canal of small depth andwidth，1837)几乎是与罗素的第一份报告同时发表.格林在他的第二篇浅水波论文“关于渠道中波的运动的注记”(Note on the motion of waves in canals，1839)中，利用前述理论讨论深度为c的渠道波的速度，获得了与实验数据相符合的近似公式．目前所知的第一个非线性孤立波方程是由D．J．科特维克(Kotteweg)与G．德 弗里斯(De Vries)在1895年给出的．但如果调查一下19世纪水波方面的文献，可以清楚地看出一条线索，说明科特维克与德弗里斯的理论是前人一系列研究的结晶，而格林的工作则处于这条线索的开端．格林无疑是历史上最早试图从数学上描述孤立波现象的数学家．格林的著作中还包含许多其他的贡献，它们的意义与影响还有待进一步探讨．n维空间的概念是H．格拉斯曼(Grassmann)于1844年首先提出的．但在格林著作中已出现高维几何的思想．格林1833年完成的论文“论变密度椭球体外部与内部引力的计算”，率先发展了n元函数分析，其中使用s个坐标{x1，x2，…，xs}来代替通常的三维欧氏坐标，并使用s维球体与椭球体作为相应的三维图形的推广．现代分析中扮演重要角色的所谓狄利克雷(Dirichlet)原理，溯其源亦为格林首创．在上述同一篇论文中，格林假设积分(用格林的原始记号) 存在一个极小化函数V0，并指出V0满足方程这正是s维情形的狄利克雷原理．W．汤姆生(Thomson，即后来的凯尔文勋爵)在1847年也阐述了同样的原理，而他对格林的工作是十分熟悉的．格林的工作孕育了以汤姆生、G．G．史托克斯(Stokes)和J．C．麦克斯韦(Maxwell)等人为代表的剑桥数学物理学派．现代数学物理仍然可以从格林著作中汲取营养．然而这位靠自学成才的数学家生前却默默无闻．他的第一篇论文因未正式发表几乎濒于失传．汤姆生在剑桥当学生时，从一篇论文的文献索引中了解到格林这篇文章的题目，四处寻觅原作而不得．1845年，汤姆生从剑桥毕业，在行将离校的前夕将此事告诉了一位叫霍普金斯(Hopkins)的私人数学教师．出乎他的意料，霍普金斯细心收藏着格林这篇著作的传本．汤姆生带着这篇著作踏上了赴法国考察的旅途，并在巴黎向 J．刘维勒(Li ouville)和C．F．斯图姆(Sturm)介绍了格林的论文，二者阅后立即意识到该文的价值，认为格林已为位势论及其应用奠定了完整的基础．后来，在德国数学家 A．L．克勒尔(Crelle)赞助下，格林这篇论文终于在他去世十年后在克勒尔主编的《纯粹与应用数学杂志》(Jour．für Rei．undAug．Math．)上正式发表(1850)，汤姆生并为此撰写了介绍格林生平与工作的导言．1871年，剑桥冈维尔-凯厄斯学院院委N．M．费勒(Ferrers)编辑的《格林数学文集》(Mathematical papers ofthe late George Green)在伦敦出版，格林的工作受到了越来越多的重视．今天，格林度过他艰苦自学岁月的磨坊依然存在，到诺丁汉访问的人，很远就可以看到它耸立的风轮．诺丁汉市决定维护好格林遗址，作为对这位磨坊工出身的数学家的永久纪念．格林不仅发展了电磁学理论,引入了求解数学物理边值问题的格林函数,他还发展了能量首恒定律.他在光学和声学方面也有很多贡献.以他名字命名的格林函数,格林公式,格林定律,格林曲线,格林测度,格林算子,格林方法等,都是数学物理中的经典内容.格林在学术中反对门阀偏见,他培育了数学物理方面的剑桥学派,其中包括近代的很多伟大数学物理学家,如Stokes,Maxwell,John Clark等,特别是格林的那种自强不息,自学成才的精神,实为后人楷模.
格林公式及其应用是高等数学的重要内容之一，在多元积分学教学内容体系中处于承上启下、承前启后的地位。格林公式是英国著名的数学家、物理学家乔治·格林在1928年提出的。格林公式与牛顿-莱布尼茨公式、高斯公式、斯托克斯公式，都体现了整体运算与边界运算之间的联系，为二重积分的进一步理论研究和实际应用提供了新途径。在使用“曲线积分与路线的无关性”时，要求积分区域是单连通的，从而利用格林公式计算得到任意封闭曲线的积分为零，但如何计算复连通区域内的电线积分的问题却很少。
（接上文曲面积分）
正如最早提到的， 格林公式 描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。形式如下， 除了书上的证明方法以外，在此记录另一种理解思路（非严格证明）。 我们知道，右侧的曲线积分是可以跟 做功 相关联的。而左侧的二重积分是可以跟 面积 相关联的（ ）。但是做功和面积好像并不怎么相关联，和做功相关联的是长度（位移）。 因此，我们想到用面积来表示长度（位移），试试效果。
如上图，假设有力 ，我们想求力 绕闭区域 逆时针一圈所作的功，即 。 我们将这个大区域用平行于坐标轴的直线网分解为矩形小区域以及一些沿边界的非矩形区域。容易知，力 沿这些所有小区域逆时针一周 所做功的和 便是所求的功（中间用于划分区域的直线，都会求方向相反的两次功，相互抵消，最后只有沿边界的不为0）。我们取其中一块矩形区域来研究。 先研究水平方向做功 和 。我们令小区域的长宽 ， ，用 表示面积。 ， 在 之间（积分中值公式）。又因为 ，我们让 ， 相等。又因为 ，由偏导数的定义知 所以根据二重积分的定义，所有小区域x方向上做功的总和为 类似的，我们也可以得到另一部分的关系，在此就不再说明。（由于本人学识有限，数学推论很是不严谨，以上推理论证都仅供参考。仅为了简单说明一下将 做功 ， 面积 ， 偏导 ， 二重积分 联系在一起的一种理解方式。） 最后，正是因为以上原因，在用二重积分（与面积关联）求做功时会有偏导（使得面积变为长度）出现。x方向做功会有y出现，y方向做功会有x出现。又因为求x方向做功时，下方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为正向，但y值小；上方轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，但y值大。使得求x方向做功时，偏导数需要加负号。对应的求y方向做功时，右侧的位移方向（曲线积分方向）为正向，同时x的值大；左侧轨迹的位移方向（曲线积分方向）为逆向，同时x的值小。使得求y方向做功时，偏导数不需要加负号。
（本来还想记录一点关于斯托克斯公式，高斯公式，散度，旋度的内容。但是发现自己一是好像没有什么新的奇怪的理解方式，二是基础太差了，这部分就暂告一段落。学习学习有新想法或者自己基础更扎实了再回来补一补。）
并不要求单连通，别在这误导人
格林公式是一个数学公式，它描述了平面上沿闭曲线L对坐标的曲线积分与曲线L所围成闭区域D上的二重积分之间的密切关系。一般用于二元函数的全微分求积。设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分区域都属于D，则D称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。当xOy平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线L围成平面区域D，并规定当一个人沿闭曲线L环行时，区域D总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线L关于区域D的正方向，反之为负方向。取正向的边界曲线公叫做格林公式。
曲线是闭曲线，围成区域D；曲线的方向是正向；P(x,y)，Q(x,y)在D内具有连续的偏导数；则∫(L) P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫(D) (αQ/αx-αP/αy)dxdy
首先是标题，标题一般写在封面上，另起一页，先写摘要，摘要要顶格，摘要不要太长，一般两百字左右；紧接着是关键词，也要顶格；接下来就是写正文了，不过要隔两行再开始写，让人一目了然；论文中有引用专业文献的句段最好还是在后面括号中标明一下；最后是参考书目，参考书目要标明是哪个人编写，哪个出版社出版，哪一年出版；基本上一篇论文的格式就是这样的，最后祝你好运，写出好的论文。
一般由7部分组成，依次为：（1）封面，（2）中文摘要和关键词，（3）英文摘要和关键词，（4）目录，（5）正文，（6）参考文献，（7）发表论文和参加科研情况说明。各部分具体要求如下：（1）封面（采用学校统一规定的封面）（2）中文摘要和关键词中文摘要应将学位论文的内容要点简短明了地表达出来，约300~500字左右（限一页），字体为宋体小四号。内容应包括工作目的、研究方法、成果和结论。要突出本论文的创新点，语言力求精炼。为了便于文献检索，应在本页下方另起一行注明论文的关键词（3-5个）。（3）英文摘要和关键词 内容应与中文摘要相同。字体为Times New Roman小四号。（4）目录 标题应简明扼要并标明页号。（5）正文 毕业论文一般要求不少于8000字，内容一般包括：国内外研究现状、理论分析与讨论、研究成果、结论及展望。（6）参考文献只列出作者直接阅读过、在正文中被引用过的文献资料。参考文献一律放在论文结束后，不得放在各章之后。（7）发表论文和参加科研情况说明指在学期间发表论文和参加科研情况。
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毕业论文撰写格式相关要求
1、毕业论文一律打印，采取a4纸张，页边距一律采取：上、下，左3cm,右，行间距取多倍行距(设置值为);字符间距为默认值(缩放100%，间距：标准)，封面采用教务处统一规定的封面。
2、毕业论文的字体要求
毕业论文所用字体要求为宋体。
3、毕业论文的字号
第一层次题序和标题用小三号黑体字;第二层次题序和标题用四号黑体字;第三层次及以下题序和标题与第二层次同;正文用小四号宋体。
4、毕业论文的页眉及页码
毕业论文各页均加页眉，采用宋体五号宋体居中，打印“河北大学xxxx届本科生毕业论文(设计)”。页码从正文开始在页脚按阿拉伯数字(宋体小五号)连续编排，居中书写。
5、毕业论文的摘要及关键词
中文摘要及关键词：“摘要”二字采用三号字黑体、居中书写，“摘”与“要”之间空两格，内容采用小四号宋体。“关键词”三字采用小四号字黑体，顶格书写，一般为3—5个。
英文摘要应与中文摘要相对应，字体为小四号times new roman。
6、毕业论文的目录
“目录”二字采用三号字黑体、居中书写，“目”与“录”之间空两格，第一级层次采用小三号宋体字，其他级层次题目采用四号宋体字。
7、毕业论文的正文
正文的全部标题层次应整齐清晰，相同的层次应采用统一的字体表示。第一级为“一”、“二”、“三”、等，第二级为“”、“”、“”等，第三级为“”、“”等，具体格式要求详见模板(模板从河北大学教务处主页下载专区下载)。
8、毕业论文的 参考文献
参考文献要另起一页，一律放在正文后，在文中要有引用标注，如××× [1]，具体格式要求详见模板
9、毕业论文的外文资料及译文
外文资料可用a4纸复印，如果打印，采用小四号times new roman字体，译文采用小四号宋体打印，格式参照毕业论文文本格式要求。
10、毕业论文的图、表、公式
图：a. 要精选、简明，切忌与表及文字表述重复。
b.图中术语、符号、单位等应同文字表述一致。
c. 图序及图名居中置于图的下方，用五号字宋体。
表：a.表中参数应标明量和单位的符号。
b.表序及表名置于表的`上方。
c. 表序、表名和表内内容采用五号宋体字。
公式：a.编号用括号括起写在右边行末，其间不加虚线。
b.公式中的英文字母和数字可以采用默认的字体和字号。
图、表与正文之间要有一行的间距，公式与正文之间不需空行;文中的图、表、附注、公式一律采用阿拉伯数字分章编号。如：图2-5，表3-2，公式(5-1)(“公式”两个字不要写上)等。若图或表中有附注，采用英文小写字母顺序编号。
11、毕业论文的标点符号
注意中英文标点符号的区别，不能混用。
1、题目。应能总结整篇论文最重要的内容，言简意赅，引人注目，一般不能超过20个字。2、论文摘要及关键词。论文摘要应阐述论文的主要观点。说明论文的目的、研究方法、成果和结论。尽可能保留原论文的基本信息，突出论文的创造性成果和新见解。而不是简单列出每一章的标题。摘要大约300字。关键词是能反映论文主题关键的词句，一般3-5个。3、目录。不仅是论文的大纲，也是论文组成部分的小标题，应标注相应的页码。4.介绍（或序言）。内容应包括本研究领域的国内外现状、本论文要解决的问题以及本研究工作在经济建设、科技进步和社会发展方面的理论意义和实用价值。5、正文。是毕业论文的主体。6.结论。论文的结论要明确、细化、完整，要明确自己在这一领域的创造性成果或新见解以及意义。7.参考文献和注释。根据论文中引用的文献或注释号的顺序，在论文正文之后和参考文献之前列出。图表或数据必须注明来源和来源。（参考文献为期刊时，写作格式为：[编号]、作者、文章题目、期刊名称（外文可缩写）、年份、卷号、期数、页码。参考文献为图书时，书写格式为：[编号]、作者、书名、出版单位、年份、版次、页码）8.附录。包括文本中过长的公式推导、辅助数学工具、重复数据图表、论文使用的符号意义、单位缩写、程序全文及相关说明等。
一般来讲，一篇毕业论文主要包括有这样的几个部分，比如封面，中文摘要，英文摘要，目录，正文，致谢和参考文献。
论文的标准格式如下：
1、页码：封面不编页。
2、从目录开始编页，目录使用阿拉伯数字编码，页码编号要求居中。
3、用A4纸单面打印。上、下各为，左右边距为2cm；装订线为1cm。
4、对页眉没有固定要求。
5、一级标题使用“宋体、三号、加粗”
6、二级标题使用“宋体、四号、加粗”
7、三级标题使用“宋体、小四号、加粗”
8、四级标题使用“宋体、小四号”
9、建议标题最好不要超过三级，否则适得其反，格式太乱。
10、正文一律使用“宋体、小四号字，行间距为倍。
论文大纲内容要求：
1、要有全局观念，从整体出发去检查每一部分在论文中所占的地位和作用。看看各部分的比例分配是否恰当，篇幅的长短是否合适，每一部分能否为中心论点服务。
2、从中心论点出发，决定材料的取舍，把与主题无关或关系不大的材料毫不可惜地舍弃，尽管这些材料是煞费苦心费了不少劳动搜集来的。有所失，才所得。一块毛料寸寸宝贵，台不得剪裁去，也就缝制不成合身的衣服。
3、要考虑各部分之间的逻辑关系。初学撰写论文的人常犯的毛病，是论点和论据没有必然联系，有的只限于反复阐述论点，而缺乏切实有力的论据；有的料一大堆，论点不明确。
论文格式字体:标准论文格式字体的第一页:论文题目(黑体、居中、三号字)(空一行)作者(宋体、小三)(空一行)[摘要](四号黑体)空一格打印内容(四号宋体,200-300字)……(空一行)[关键词](四号黑体)关键词内容(小四号宋体、每两个关键词之间空两格)标准论文字体格式的第二页:目录(居中、四号黑体)(空一行)(空一行)引言(小四号宋体)……页码(小四号宋体)一、标题(小四号宋体)……页码(小四号宋体)1.(小标题)(小四号宋体)……页码(小四号宋体)(1)(下级标题)(小四号宋体)……页码(小四号宋体)二、(标题)(小四号宋体)……页码(小四号宋体)1.(小标题)(小四号宋体)……页码(小四号宋体)(1)(下级标题)(小四号宋体)……页码(小四号宋体)参考文献(小四号宋体)……页码(小四号宋体)附录(小四号宋体)……页码(小四号宋体)致谢语(小四号宋体)……页码(小四号宋体)英文题目、摘要、关键词(小四号宋体)……页码(小四号宋体)第三页开始:毕业论文正文引言(居中、四号黑体)(空一行)(空一行)引言内容用小四号宋体打印(空一行)(空一行)一、(标题)(居中、四号黑体)(空一行)(空一行)1、(小标题)(四号宋体)(空一行)(1)(下级小标题)(小四号黑体)(正文内容用小四号宋体、下同)(空一行)(空一行)1、(小标题)(四号宋体)(空一行)(1)(下级小标题)(小四号黑体)···(空一行)(空一行)结论(内容用小四号宋体)(空一行)(空一行)附录(居中、四号黑体)附录内容(内容用小四号宋体)(空一行)(空一行)参考文献(居中、四号黑体)参考文献(内容用五号宋体)(空一行)(空一行)致谢(居中、四号黑体)(空一行)(空一行)致谢语(内容用小四号宋体)(空一行)(空一行)最后一页(英文题目)(居中、小四号Arial体)(空一行)(空一行)摘要(小四号Arial体)(内容用五号Arial体)关键词(小四号Arial体)(内容用五号Arial体、每个单词间空二格)备注:1、英文译文打印格式:标题用四号黑体、内容用小四号宋体.(本回答来源于学术堂)