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奥斯特（1777～1851）Oersted，Hans Christian丹麦物理学家。1777年8月14日生于丹麦鲁兹克宾城。1799年获哥本哈根大学哲学博士学位。1806年任该大学物理学教授。1829年任哥本哈根理工学院院长，直至1851年3月9日在哥本哈根逝世。奥斯特从事物理学和化学多方面的研究，主要贡献是发现电流的磁效应。1820年4月他观察到通电导线扰动磁针现象。论文发表后，促进了.安培对电磁力的研究，并导致了毕奥-萨伐尔定律的发现及一系列电与磁关系的发现和电磁铁的问世。奥斯特在19世纪40年代末对抗磁体也进行了研究。为纪念奥斯特在电磁学上的贡献，在CGS单位制中，用奥斯特命名磁场强度单位。他的重要论文收在《奥斯特科学论文》一书中。奥斯特罗格拉茨基（1801～1862）Ostrograski，Mikhail Vasilievich俄国物理学家，数学家。1801年9月24日生于帕先纳亚，1862年1月1日卒于波尔塔瓦。早年在哈尔科夫大学学习，虽然成绩优异，但由于不信教而未获得毕业文凭。1822年留学巴黎，1828年返回俄国。1830年当选为彼得堡科学院院士。曾在彼得堡科学院和许多高等学校任教。他是俄国理论力学学派的创始人和彼得堡数学学派的奠基者之一。其科学研究涉及分析力学、理论力学、数学物理、概率论、数论和代数学等多方面。他最重要的数学工作是在1828年研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式。在力学方面，他对球形射弹的飞行进行了大量的理论研究和实验，提出了偏心射弹在空中运动的微分方程。他研究了天体力学和分析力学，独立表述了哈密顿变分原理并推广了可能位移原理。这两个人不知道你说的是哪个……
一、生平简介 奥斯特(Hans Christian Oersted,1777～1851年)丹麦物理学家、化学家。1777年8月14日生于丹麦的路克宾。1794年他进入哥本哈根大学学习医学和自然科学，1799年获得博士学位。1801—1803年他旅游德国、法国等地，于1804年回国。1806年被聘为哥本哈根大学物理、化学教授，研究电流和声等课题。1824年倡仪成立丹麦自然科学促进会，1829年出任哥本哈根理工学院院长，直到1851年3月9日在哥本哈根逝世。终年74岁。 二、科学成就 1．1820年发现电流的磁效应 自从库仑提出电和磁有本质上的区别以来，很少有人再会去考虑它们之间的联系。而安培和毕奥等物理学家认为电和磁不会有任何联系。可是奥斯特一直相信电、磁、光、热等现象相互存在内在的联系，尤其是富兰克林曾经发现莱顿瓶放电能使钢针磁化，更坚定了他的观点。当时，有些人做过实验，寻求电和磁的联系，结果都失败了。奥斯特分析这些实验后认为：在电流方向上去找效应，看来是不可能的，那么磁效应的作用会不会是横向的？ 在1820年4月，有一次晚上讲座，奥斯特演示了电流磁效应的实验。当伽伐尼电池与铂丝相连时，靠近铂丝的小磁针摆动了。这一不显眼的现象没有引起听众的注意，而奥斯特非常兴奋，他接连三个月深入地研究，在1820年7月21日，他宣布了实验情况。 奥斯特将导线的一端和伽伐尼电池正极连接，导线沿南北方向平行地放在小磁针的上方，当导线另一端连到负极时，磁针立即指向东西方向。把玻璃板、木片、石块等非磁性物体插在导线和磁针之间，甚至把小磁针浸在盛水的铜盒子里，磁针照样偏转。 奥斯特认为在通电导线的周围，发生一种“电流冲击”。这种冲击只能作用在磁性粒子上，对非磁性物体是可以穿过的。磁性物质或磁性粒子受到这些冲击时，阻碍它穿过，于是就被带动，发生了偏转。导线放在磁针的下面，小磁针就向相反方向偏转；如果导线水平地沿东西方向放置，这时不论将导线放在磁针的上面还是下面，磁针始终保持静止。 他认为电流冲击是沿着以导线为轴线的螺旋线方向传播，螺纹方向与轴线保持垂直。这就是形象的横向效应的描述。 奥斯特对磁效应的解释，虽然不完全正确，但并不影响这一实验的重大意义，它证明了电和磁能相互转化，这为电磁学的发展打下基础。 2．其它方面的成就 奥斯特曾经对化学亲合力等作了研究。1822年他精密地测定了水的压缩系数值，论证了水的可压缩性。1823年他还对温差电作出了成功的研究。他对库仑扭秤也作了一些重要的改进。 奥斯特在1825年最早提炼出铝，但纯度不高，以致这项成就在冶金史上归属于德国化学家F.维勒(1827)。他最后一项研究是40年代末期对抗磁体的研究，试图用反极性的反感应效应来解释物质的抗磁性。同一时期M.法拉第在这方面的成就超过了奥斯特及其法国的同辈。法拉第证明不存在所谓的反磁极。并用磁导率和磁力线的概念统一解释了磁性和抗磁性。不过，奥斯特研究抗磁体的方法仍具有很深的影响。 3．出版了《奥斯特科学论文》集 他的重要论文在1920年整理出版，书名是《奥斯特科学论文》。 三、趣闻轶事 1．磁针的跳动，使他激动得摔了一跤 奥斯特受康德哲学思想的影响，一直坚信电和磁之间一定有某种关系，电一定可以转化为磁。当务之急是怎样找到实现这种转化的条件。奥斯特仔细地审查了库仑的论断，发现库仑研究的对象全是静电和静磁，确实不可能转化。他猜测，非静电、非静磁可能是转化的条件，应该把注意力集中到电流和磁体有没有相互作用的课题上去。他决心用实验来进行探索。 1819年上半年到1820年下半年，奥斯特一面担任电、磁学讲座的主讲，一面继续研究电、磁关系。1820年4月，在一次讲演快结束的时候，奥斯特抱着试试看的心情又作了一次实验。他把一条非常细的铂导线放在一根用玻璃罩罩着的小磁针上方，接通电源的瞬间，发现磁针跳动了一下。这一跳，使有心的奥斯特喜出望外，竟激动得在讲台上摔了一跤。但是因为偏转角度很小，而且不很规则，这一跳并没有引起听众注意。以后，奥斯特花了三个月，作了许多次实验，发现磁针在电流周围都会偏转。在导线的上方和导线的下方，磁针偏转方向相反。在导体和磁针之间放置非磁性物质，比如木头、玻璃、水、松香等，不会影响磁针的偏转。1820年7月21日，奥斯特写成《论磁针的电流撞击实验》的论文，正式向学术界宣告发现了电流磁效应。 2．设立奥斯特奖章 奥斯特的功绩受到了学术界的公认，为了纪念他，国际上从1934年起命名磁场强度的单位为奥斯特，简称“奥”。1937年美国物理教师协会还专门设立了奥斯特奖章，来奖励教学有成绩的优秀物理教师。
三重积分就是四维空间的体积。 当积分函数为1时，就是其密度分布均匀且为1，三维空间质量值就等于其体积值。 当积分函数不为1时，说明密度分布不均匀。
定义：设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点作和。
如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，其中dv叫做体积元素。其中，∫∫∫称为三重积分号，f(x,y,z）为被积函数，f(x,y,z)dv称为被积表达式，dv称为体积元，x、y、z为积分变量，Ω为积分区域，为积分和。
直角坐标系法
计算方法：直角坐标系法
适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法
奥斯特 丹麦物理学家奥斯特(Hans Christian Oersted，1777—851)1777年8月14日生于丹麦朗格兰德岛一个药剂师家庭．12岁开始帮助父亲在药房里干活，同时坚持学习化学．由于刻苦攻读，17岁以优异的成绩考取了哥本哈根大学的免费生．他一边当家庭教师，一边在学校学习药物学、天文、数学、物理、化学等．1806年任哥本哈根大学物理学教授，1821年被选为英国皇家学会会员，1823年被选为法国科学院院士，后来任丹麦皇家科学协会会长． 奥斯特早在读大学时就深受康德哲学思想的影响，认为各种自然力都来自同一根源，可以相互转化．富兰克林发现的莱顿瓶放电使钢针磁化的现象，对奥斯特启发很大，他认识到电向磁的转化不是不可能的，关键是要找出转化的具体条件．他在1812年出版的《关于化学力和电力的统一性的研究》中，根据电流流经直径较小的导线会发热，推测如果通电导线的直径进一步缩小，那么导线就会发光；使通电导线的直径变得更小，小到一定程度时，电流就会产生磁效应．他指出：“我们应该检验电是否以其最隐蔽的方式对磁体有所影响．”寻找这两大自然力之间联系的思想，经常盘绕在他的头脑中．� 1819年冬，奥斯特在哥本哈根开设了一个讲座，讲授电磁学方面的课题．在备课中，奥斯特分析了前人在电流方向上寻找磁效应都未成功的事实，想到磁效应可能像电流通过导线产生热和光那样是向四周散射的，即是一种横向力，而不是纵向的．1820年春，奥斯特安排了一个这方面的实验，他采用讲演时常用的电池槽，让电流通过一根很细的铂丝，把一个带玻璃罩的指南针放在铂丝下面，实验没有取得明显的效果．1820年4月的一天晚上，奥斯特在讲课中突然出现了一个想法，讲课快结束时，他说：让我把导线与磁针平行放置来试试看．当他接通电源时，他发现小磁针微微动了一下．这一现象使奥斯特又惊又喜，他紧紧抓住这一现象，连续进行了3个月的实验研究，终于在1820年7月21日发表了题为《关于磁针上的电流碰撞的实验》的论文．这篇仅用了4页纸的论文，是一篇极其简洁的实验报告．奥斯特在报告中讲述了他的实验装置和60多个实验的结果，从实验总结出：电流的作用仅存在于载流导线的周围；沿着螺纹方向垂直于导线；电流对磁针的作用可以穿过各种不同的介质；作用的强弱决定于介质，也决定于导线到磁针的距离和电流的强弱；铜和其他一些材料做的针不受电流作用；通电的环形导体相当于一个磁针，具有两个磁极，等等．�挑C4v~ 奥斯特发现的电流磁效应，是科学史上的重大发现．它立即引起了那些懂得它的重要性和价值的人们的注意．在这一重大发现之后，一系列的新发现接连出现．两个月后安培发现了电流间的相互作用，阿拉果制成了第一个电磁铁，施魏格发明电流计等．安培曾写道：“奥斯特先生……已经永远把他的名字和一个新纪元联系在一起了．”奥斯特的发现揭开了物理学史上的一个新纪元． 奥斯特不只是一位著名的物理学家，还是一位优秀的教师．他的讲课有表演，有分析．他非常重视实验，他说过“我不喜欢那种没有实验的枯燥的讲课，因为归根到底，所有的科学进展都是从实验开始的．”
牛顿-莱布尼茨公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。
1670年，英国数学家伊萨克·巴罗在他的著作《几何学讲义》中以几何形式表达了切线问题是面积问题的逆命题，这实际是牛顿-莱布尼茨公式的几何表述。1666年10月，牛顿在它的第一篇微积分论文《流数简论》中解决了如何根据物体的速度求解物体的位移这一问题，并讨论了如何根据这种运算求解曲线围成的面积，首次提出了微积分基本定理。
牛顿-莱布尼茨公式的发现，使人们找到了解决曲线的长度，曲线围成的面积和曲面围成的体积这些问题的一般方法。它简化了定积分的计算，只要知道被积函数的原函数，总可以求出定积分的精确值或一定精度的近似值。
1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，对微积分的研究取得了突破性进展。1665年11月，他发明正流数术（微分法），次年5月建立反流数术（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献，标志着微积分的诞生。
微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米德都作出了各自的贡献。对于这方面的工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希腊数学不能比拟的。公元前7世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元263年首创的割圆术求圆面积和方锥体积，求得 圆周率约等于3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思想的深刻体现。 微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的《梦溪笔谈》独创了“隙积术”、“会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。 南宋大数学家秦九韶于1274年撰写了划时代巨著《数书九章》十八卷，创举世闻名的“大衍求一术”——增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解，比西方早500多年。 特别是13世纪40年代到14世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等差级数求和）、“招差术”（高次差内差法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、“四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。 微积分的诞生 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的《天下篇》中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为《九间算术》作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 积分概念是由求某些面积、体积和弧长引起的，古希腊数学家要基米德在《抛物线求积法》中用究竭法求出抛物线弓形的面积，人没有用极限，是 “ 有限 ” 开工的穷竭法。但阿基米德的贡献真正成为积分学的萌芽。 微分是联系到对曲线作切线的问题和函数的极大值、极小值问题而产生的。微分方法的第一个真正值得注意的先驱工作起源于 1629 年费尔玛陈述的概念，他给同了如何确定极大值和极小值的方法。其后英国剑桥大学三一学院的教授巴罗又给出了求切线的方法，进一步推动了微分学概念的产生。前人工作终于使牛顿和莱布尼茨在 17 世纪下半叶各自独立创立了微积分。 1605 年 5 月 20 日，在牛顿手写的一面文件中开始有 “ 流数术 ” 的记载，微积分的诞生不妨以这一天为标志。牛顿关于微积分的著作很多写于 1665 - 1676 年间，但这些著作发表很迟。他完整地提出微积分是一对互逆运算，并且给出换算的公式，就是后来著名的牛顿-莱而尼茨公式。 牛顿是那个时代的科学巨人。在他之前，已有了许多积累：哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版《力学对话》，开普勒发现行星运动规律--航海的需要，矿山的开发，火松制造提出了一系列的力学和数学的问题，微积分在这样的条件下诞生是必然的。 牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。 如果说牛顿从力学导致 “ 流数术 ” ，那莱布尼茨则是从几何学上考察切线问题得出微分法。他的第一篇论文刊登于 1684 年的《都市期刊》上，这比牛顿公开发表微积分著作早 3 年，这篇文章给一阶微分以明确的定义。 莱布尼茨 1646 年生于莱比锡。 15 岁进入莱比锡大学攻读法律，勤奋地学习各门科学，不到 20 岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学知识。莱布尼茨对数学
O1 数学 1.数学学报 2.数学年刊.A辑 3.应用数学学报 4.计算数学 5.数学进展 6.数学研究与评论 7.系统科学与数学 8.数学物理学报 9.应用概率统计 10.工程数学学报 11.应用数学 12.数学杂志 13.高校应用数学学报.A辑 14.模糊系统与数学 15.高等学校计算数学学报 16.数学季刊 17.工科数学（改名为：大学数学） 18.数学的实践与认识 19.纯粹数学与应用数学 20.运筹学学报 21.数学教育学报
微积分概念发展史_[美]卡尔·B.波耶()著_复旦大学出版社古今数学思想1-4函数和极限的故事——中国科普名家名作
1、微分早期
早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。古希腊数学家、力学家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽。
2、极限思想
早在公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。
3、微积分思想
微积分思想虽然可追溯到古希腊，但它的概念和法则却是16世纪下半叶，开普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些思想和方法从刘徽对圆锥、圆台、圆柱的体积公式的证明到公元5世纪祖恒求球体积的方法中都可找到。
扩展资料：
关于微积分发明权的最初争议：
牛顿早在1676年就知道莱布尼兹的工作，但此时的他并没有表现出任何对优先权问题的担心或竞争心理。直到1687年以前，他都没有公开发表任何关于流数术的论文或专著，哪怕是在1684年莱布尼兹抢先发表了论文以后。
反倒是在1687年，他首次在《自然哲学之数学原理》第一版中透露出关于流数术的一鳞半爪时，特意在下方注释道：
十年前在我与最权威的几何学家.莱布尼兹进行的后来被中断的系列通信中，我展示了我提出的定义最大和最小的方法……阁下回信说他也在研究这样一种方法，他的方法除了用词及其众所周知的形式以外，和我的几乎没有什么不同。
牛顿在这段话中用 “最权威的”来形容莱布尼兹，并尊称其为“阁下”，对与莱布尼兹英雄所见略同的得意之情跃然纸上。
不过牛顿本人的态度并不能代表他的全部英国同胞。曾作为牛顿微积分思想启发者之一的老一代数学家沃利斯就对此很不以为然。作为一位狂热的不列颠沙文主义者，沃利斯一生热衷于证明不列颠民族相对于其他民族在智力上的优越性。
随着“莱布尼兹微积分”在欧洲大陆声望日隆，而牛顿更早的工作却迟迟不见发表，本应属于英国数学家的学术荣誉眼见着正被德国人 “窃取”殆尽，为此，沃利斯不但多次以师长和朋友的身份致信牛顿，措辞颇有些严厉地敦促牛顿尽快发表关于流数术的论文；
而且身体力行，在自己的著作中不断为牛顿及其流数术摇旗呐喊。特别是在1695年出版的著作中，在谈到牛顿流数术与莱布尼兹微积分的内在一致性时，老数学家意味深长地提及：
1676年牛顿发给包括他在内的几位英国数学家介绍流数术的两封最初的信件，“也被 （几乎一字不易地）传递给了莱布尼兹，他（牛顿）在信中向莱布尼兹讲解了他在十多年前就已经发明的方法”——这是关于莱布尼兹剽窃牛顿成果的第一次暗示。
参考资料来源：中国社会科学网-关于微积分的恩恩怨怨（下）
参考资料来源：百度百科-微积分学
什么叫有界续？ 函数Riemann可积的条件光用数学分析的观点是说不清的，要说清楚这个问题必须用实变函数论的观点来看：一个有限函数f(x)在有限区间[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上几乎处处连续(或者说间断点构成的集合是零测集).
关于有界是可积的必要条件的问题，在高等数学中一般不做深入讨论，但在数学类专业的基础课数学分析中都有证明，有兴趣可参考任何一本数学分析的教材。事实上，由定积分的定义可知，对于任意的分划，ξ 点是任意取的，若函数在某一点附近无界，则当取到的某 ξ 点正好是无界点时，所做的 Riemann 和将无意义，……。
如果该被积函数在整个积分区间都有定义的话,那么这个函数是连续函数,因为如果一个函数的导数不连续,那么它只有可能是有第二类间断点,（你可以用导数的定义证明）.综上所述,因被积函数为连续函数,且存在原函数,由微积分基本定理可知,其定积分一定存在.
连续一定可积，有限间断也可积，单调可积，无限简短但聚也可积。这是瑕积分，只要积分收敛，就是可积的。不存在原函数的情况下不能用
国内：现如今二重积分基础理论的研究已经相当成熟，在实际应用中的研究还比较少，任何一门学问在历史发展过程中都会与时俱进，所以二重积分的发展趋势会在现有的基础上日益完善，尤其是在物理学、经济学等应用方面的研究会越来越深入，整个微积分体系会越来越完备
定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积，物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功；二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积，物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）；三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。
定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。
二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力（压强可变）。
三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。
积分的线性性质：
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数）
比较性：
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则
估值性：
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，则
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。
二重积分中值定理：
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
扩展资料：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数 ，其积分区域D是由 所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。
故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。
设Ω为空间有界闭区域，f（x，y，z）在Ω上连续。
(1)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为奇函数，则：
(2)如果Ω关于xOy（或xOz或yOz）对称，Ω1为Ω在相应的坐标面某一侧部分，且f（x，y，z）关于z（或y或x）为偶函数，则：
(3)如果Ω与Ω’关于平面y=x对称，则：
参考资料：百度百科——三重积分
参考资料：百度百科——二重积分
开题报告主要是“泛泛而谈”，你的题目要介绍二重积分的起源发展，重要意义，简略的介绍下二重积分的一些算法，不用具体介绍算法，再稍微介绍点应用方面的知识，都只需简略的介绍。