群的性质及其应用毕业论文

在数学中，群是一种代数结构，由一个集合以及一个二元运算所组成。要具有成为群的资格，这个集合和运算必须满足一些被称为“群公理”的条件，也就是结合律、单位元和逆元。尽管这些对于很多数学结构比如数系统都是很熟悉的，例如整数配备上加法运算就形成一个群，但将群公理的公式从具体的群和其运算中抽象出来，就使得人们可以用灵活的方式来处理有着非常不同的数学起源的实体，而同时在抽象代数之上保留很多对象的本质结构体貌。群在数学内外各个领域中是无处不在的，使得它们成为当代数学的中心组织原理。[1][2]群与对称概念共有基础根源。对称群把几何物体的对称特征定为：它由保持物体不变的变换的集合，和通过把两个这种变换先后进行来组合它们的运算构成。这种对称群，特别是连续李群，在很多学术学科中扮演重要角色。例如，矩阵群可以用来理解在狭义相对论底层的基本物理定律和在分子化学中的对称现象。群的概念引发自多项式方程的研究，由埃瓦里斯特•伽罗瓦在 1830 年代开创。在得到来自其他领域如数论和几何的贡献之后，群概念在 1870 年左右形成并牢固建立。现代群论是非常活跃的数学学科，它以自己的方式研究群。 为了探索群，数学家发明了各种概念来把群分解成更小的、更好理解的部分，比如子群、商群和单群。除了它们的抽象性质，群理论家还从理论和计算两种角度来研究具体表示群的各种方式(群表示)。对有限群已经发展出了特别丰富的理论，这在1983年完成的有限简单群分类中达到顶峰。

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多项式的对称假设 是未知数， 是 的二次方程， ,它的两个根 有如下关系： ， 和 都有这样的性质：把 和 对换，结果仍然不变，因为 ， 凡是有这样性质的 和 的多项式叫做对称多项式。例如， , 也是对称多项式，但是 就不是对称多项式。并且我们习惯上把 和 叫做初等对称多项式。我们来看一般情况，设n∈Z+, a0，a1，……an∈C,a0≠0设现在有一元n次多项式方程： 著名的代数基本定理告诉我们，这样的方程有n个根，假设为 ，那么： 和二次的情形相仿，韦达定理给出： 像如上左边各式： 等这样的多项式，不论我们对 ，作怎样的排列，都是不会变的。也就是说我们把 ， 是一个n排列,那么以上的式子是不会变的。这样的式子我们称为 的对称多项式，并且以上的几个对称多项式为初等对称多项式。定义6：设 是C上的一个n元多项式，如果对这n个文字 的指数集{1，2，…n}施行任一个置换后， 都不改变，那么就称 是C上一个n元对称多项式。例如: 是对称多项式，而 就不是，如果把：1→2，2→3，3→1那么 初等对称多项式的重要性在于定理（对称多项式基本定理）：每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式的多项式。现在我们用群的语言去描述n元多项式的对称性。令 ,Sn是M的变换群，即前面提到的n次对称群。如果我们略去字母 而只记下标，这时Sn中的元素可以记为： 是一个n排列。令F 记数域F上n元多项式的全体。对 ,利用 可以定义F 到F 的一个映射， 那么 是集合F 的一个一一变换。为什么？ 令 Tn中 那么（Tn，o）满足 ，称之为F 的置换群。如果把n元多项式和平面图形类比，把F 和平面类比，则F 的置换群相当于平面的运动群，（平面的所有保距变换）。即所有不变 的那些 ，那么我们 满足性质 ,称之为n 元多项式 的对称群。例1： ，那么 ，即四次对称群是 的对称群。例2： 例3： ——Klein 4元群例4： 单位元群例5： 是3阶循环解。定义 ： 的一个多项式 称为对称多项式，如果 。即对称群是整个置换群。就这样我们用群来刻划了多项式的对称。如何去构造对称多项式，可见《近世代数》P55。四、数域的对称数域的概念在大学一年级高等代数中就讲过了。一个非空数集F，至少含有一个非零的数，如果F对＋，－，×，÷封闭，那么F称为一个数域。Q，R，C都是数域，最小的数域是Q， 也是一个数域。平面图形是一个几何结构，即是把一个点集M（图形由点组成）连同此点集M中任意两点间的距离作为一个整体来考虑，而其对称群就是M的保持其任两点间的距离不变的变换的全体，这些保持M的几何结构（即距离）的变换的全体，就刻画了几何结构的对称。完全类似地，数域F是一个代数结构，也就是把一个数集F连同此数集F中加、减、乘、除的运算作为一个整体一起来考虑。所以数域F的对称也同样地可以用F的保持代数结构（即运算）的变换的全体来刻画。定义7数域F的自同构 是指：（1） 是F的一个一一变换（2） 定理1若 是F的自同构，那么 有以下系列的性质：（1） （2） ；（3） （4） .和我们前面讨论平面有限图形K的对称一样两个对称变换的乘积仍是K的一个对称变换，类似地我们有：性质1设 和 是数域F的两个自同构，那么 和 也是F的一个自同构.性质2令Aut（F）表示F的所有自同构的全体，令o表示变换的乘法，则（Aut(F),o）满足G1)—G4)。定义8 称（Aut(F),o）为数域F的自同构群。我们可以这样来类比：数域F的自同构群相当于图形K的对称群，后者刻画了图形K的对称，前者则刻画了数域的“对称”，——它是图形对称在数域上的一个类比概念。定理2有理数域 的自同构群只有一个元素——恒等自同构I。由此可知，若任意数域F，F ，且 ，那么 。即 ， 限制在 上是恒等变换。例1令 是一个数域，是把 添加到 做成的代数扩域。考察F的自同构群。设 ，由定理1知， ，故 ，变换的结果取决于 令 最多只有2个数值 和 ，故F的自同构群只有可以验证I、 确为F上的自同构。o I φI I φφ φ I这是一个2元循环群， ，同构于 ，即 的对称群。例2令 这也是一个数域。设 ，同上例， 的作用决定于 和 ，知 和 只有4种组合方式。故Aut(E)只有4个元素 o I φ1 φ2 φ12I I φ1 φ2 φ12φ1 φ1 I φ12 φ2φ2 φ2 φ12 I φ1φ12 φ12 φ2 φ1 Io (1) (12) (34) (12)(34)(1) (1) (12) (34) (12)(34)(12) (12) (1) (12)(34) (34)(34) (34) (12)(34) (1) (12)(12)(34) (12)(34) (34) (12) (1)Aut(E)与Klein 4元群同构 : ，即 的对称群。我们把上面说的推广到一般情况，定义9给定两个数域F和E，如果F E，则称F是E的子域，而称E为F的扩域。令 即 是使得F中元素不动的E的自同构，Aut(E:F)就是由所有这样的 组成。F就相当于平面图形的对称中的对称轴或是旋转中心。命题（Aut(E:F)，o）满足 ，称为数域E在F上的对称群。例3 和 都不能使到a+b 保持不变。设 ， 为n次多项式，n个根为 ， 在F上的分裂域为E， ，那么称（Aut(E:F)，o）为F上多项式 的根的对称群，也称为F上一元多项式 的Galois群。这个群在解决五次以上多项式方程不可能有根式解的问题上起了关键作用。五、关于“对称与群”的教学（1） 认识运算的广泛性，不只是数可以运算，其他的一些数学对象也可以运算，并且满足一些数的运算所具有的性质。（2） 乘法不一定是可以交换的。（3） 代数结构的概念：一个集合，加上这个集合中的运算，构成一个代数系统，其结构体现在运算关系上。（4） 群的概念：对称群是一个具体的群。满足G1)—G4)，就称为群。（5） 数学语言是刻画自然现象的一个极好工具，数学是模式的研究。数学来源于实际问题。

论题：置换群运算与证明的数学机械化目录摘要ABSTRACT' 科学计算和计算机代数系统.' 论文的主要结果及安排第二章群论知识背景' 置换群' 置换群的运算及其在集合上的作用' 小结第三章置换群运算与证明的计算机实现置换群上运算的实现 置换群证明的计算机实现小结第四章计算对称群的子群数据表示和计算方法对称群中的交换子群.例子第五章结束语杯.1群论和算法对A。为单群的计算机证明的展望.计算机代数系统的局限性致谢参考文献附录A置换群运算的Mathematics程序群论的算法是一个很有意义的问题。在实际应用中遇到的群大都十分复杂，需要借助于计算机来实现其运算。本文用计算机代数系统Mathematica实现了置换群上的运算和证明问题。针对置换群上的基木运算、子群的运算和生成以及群对集合的作用等问题，我们设计了相应的算法并用Mathematica实现了这些算法。把交代群A。的元素按共扼分类，将除单位元所在共扼类之外的其它共辘类的阶数进行所有可能的组合相加，对所得的每个数加上单位元所在共扼类的阶数1，然后用所得结果依次去除{An，如果其中存在某个数k，使得k能够整除{An I，则只有阶数相加为k的那些共扼类的并集所生成的群才有可能成为A。的非平凡的正规子群。从这个理论出发，我们设计了用计算机代数的方法判断A。是否为单群的算法，当n< 10时都能很快地得出An (n } 4)为单群的结论。Caley定理揭示了一个抽象群G和一个具体的群Sn的关系。如果能把Sn中所有不同构的n阶子群都找出来，那么也就能把所有可能存在的n阶群都找出来了。本文讨论了计算对称群的所有子群并对其进行共扼分类的算法，作为例子，我们完成了}S(n_7)的所有子群的共扼分类。论题：置换群_PSL_3_p_PSL_2_7_的次轨道结构目录摘要Abstract .1.引言2.预备知识3.主要定理证明长为7的自阮挤寸次轨道长为8的自配对次轨道长为14的自配对次轨道长为21的自配对次轨道长为24的自配对次轨道长为28的自配对次轨道长为42的自配对次轨道长为56的自瓦织寸次轨道长为84的自配对次轨道参考文献致谢摘要设群G是有限集合几上的传递置换群，对任意aES2，令G。二{9〔G}as二a}是G关于点a的稳定子群.我们称G。在几上作用的轨道为G关于a的次轨道，而次轨道的个数称为G的秩.对任一次轨道△，设as E△，则把as_，所在的次轨道△，称为与△配对的次轨道.当二者重合时，称其为自配对的.决定一个置换群的次轨道结构是置换群理论的基本间题之一，它在组合结构的研究中有着重要的应用.在文!21】中，作者决定了PSL(3,川关于极大子群 PSL(2, 7)的本原置换表示的次轨道，其中p三1(mod 168)，但未研究其次轨道的瓦妞寸情况.而在多数情况下，群在组合结构方面的应用要求决定次轨道的配对情况.本文将决定该置换表示的全体非正则自配对的次轨道.

群体与个体相对，是个体的共同体。不同个体按某种特征结合在一起，进行共同活动、相互交往，就形成了群体。

个体往往通过群体活动达到参加社会生活并成为社会成员的目的，并在群体中获得安全感、责任感、亲情、友情、关心和支持。

群体的种类：

1、根据群体内各成员相互作用的目的和性质，可以把群体分为正式群体和非正式群体，这种划分最早由心理学家梅约(E. Mayo，1931)在霍桑实验中提出。

2、根据群体的规模和沟通方式，可把群体分为大型群体与小型群体。这样的划分界限比较模糊，因为群体的大小是相对的。

3、按照群体成员对于该群体的心理向往程度，可以把群体划分为成员群体和参照群体。

1、完成组织任务，实现组织的目标这是群体对组织而言的。作为一个群体，只能在活动中生存，它的活动，就是为了完成组织的任务。

群体是一个由若干人组织起来的有机组合体，它具有单个人进行活动时所没有的优越性，成员之间为了共同的奋斗目标，互相协作，互发所长，互补不足，使群体产生巨大的动力，促使活动顺利进行，圆满地完成任务。

2、满足群体成员的多种需要。群体的这一功能，是指群体对个体而言的。群体形成后，其成员的各种需要，就以其为依托而得以满足。而群体本身也正好具备这一功能。

方程论是古典代数的中心课题。直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程。所谓方程有根式解（代数可解），就是这个方程的解由该方程的系数经过有限次加减乘除以及开整数次方等运算表示出来的。群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果。 一、伽罗瓦群论产生的历史背景 从方程的根式解法发展过程来看，早在古巴比伦数学和印度数学的记载中，他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，给出的解相当于+，，这是对系数函数求平方根。接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程，但没有得到三次方程的一般解法。这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决。他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，显然它是由系数的函数开三次方所得。同一时期，意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得。 用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决，但是在以后的几个世纪里，探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果。1770年前后，法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法，提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在，并利用拉格朗日预解式方法，即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，详细分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促进了代数方程论的进步。但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解，于是他怀疑五次方程无根式解。并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败，从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解。他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示。 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善。同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在。随后，他又着手探讨高次方程的具体解法。在1801年，他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明。 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题。1824年到1826年，阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质，于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明：如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数。并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解。接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题。在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数，并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2为有理函数。现在称这种方程为阿贝尔方程。其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果，只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1)，j=1,2,3,…,n，当用另一个根xi代替x1时，其中1〈i≤n ，那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换），而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质，便可简化为低次的辅助方程，辅助方程可依次用根式求解。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题。法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下，开始接手阿贝尔未竞的事业。 二.伽罗瓦创建群理论的工作 伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他并不急于寻求解高次方程的方法，而是将重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可。峰 1.伽罗瓦群论的创建 伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时，与拉格朗日相同，也从方程根的置换入手。当他系统地研究了方程根的排列置换性质后，提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到，然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论。在1831年的论文中，伽罗瓦首次提出了“群”这一术语，把具有封闭性的置换的集合称为群，首次定义了置换群的概念。他认为了解置换群是解决方程理论的关键，方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统。他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决，直接研究群论。他引入了不少有关群论的新概念，从而也产生了他自己的伽罗瓦群论，因此后人都称他为群论的创始人。 对有理系数的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1） 假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换，n个根共有n!个可能的置换，它们的集合关于置换的乘法构成一个群，是根的置换群。方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映，于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题。现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群，它是在某方程系数域中的群。一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群，也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变。 2.伽罗瓦群论的实质 我们可以从伽罗瓦的工作过程中，逐步领悟伽罗瓦理论的精髓。首先分析一下他是怎样在不知道方程根的情况下，构造伽罗瓦群的。仍然是对方程（1），设它的根x1,x2,…,xn中无重根，他构造了类似于拉格朗日预解式的关于x1,x2,…,xn的一次对称多项式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是单位根，但它必是一些整数且使得n!个形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接着又构造了一个方程 =0 (2) 该方程的系数必定为有理数（可由对称多项式定理证明），并且能够分解为有理数域上的不可约多项式之积。设f(x)=是的任意一个给定的m次的不可约因子，则方程(1)的伽罗瓦群是指n!个△i中的这m个排列的全体。同时他又由韦达定理知伽罗瓦群也是一个对称群，它完全体现了此方程的根的对称性。但是计算一个已知方程的伽罗瓦群是有一定困难的，因此伽罗瓦的目的并不在于计算伽罗瓦群，而是证明：恒有这样的n次方程存在，其伽罗瓦群是方程根的可能的最大置换群s(n)，s(n)是由n!个元素集合构成的，s(n)中的元素乘积实际上是指两个置换之积。现在把s(n)中的元素个数称为阶，s(n)的阶是n!。 伽罗瓦找出方程系数域中的伽罗瓦群g后，开始寻找它的最大子群h1，找到h1后用一套仅含有理运算的手续（即寻找预解式）来找到根的一个函数。的系数属于方程的系数域r，并且在h1的置换下不改变值，但在g的所有别的置换下改变值。再用上述方法，依次寻找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…于是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恒等变换（即hm为单位群i）。在得到一系列子群与逐次的预解式的同时，系数域r也随之一步步扩大为r1,r2,…,rm，每个ri对应于群hi。当hm=i时，rm就是该方程的根域，其余的r1,r2,…,rm-1是中间域。一个方程可否根式求解与根域的性质密切相关。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3) p与q独立，系数域r添加字母或未知数p、q到有理数中而得到的域，先计算出它的伽罗瓦群g，g是s(4)的一个8阶子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中 e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。 要把r扩充到r1，需在r中构造一个预解式，则预解式的根，添加到r中得到一个新域r1，于是可证明原方程（3）关于域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，并发现预解式的次数等于子群h1在母群g中的指数8÷4=2（即指母群的阶除以子群的阶）。第二步，构造第二个预解式，解出根 ，于是在域r1中添加得到域r2，同样找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此时，第二个预解式的次数也等于群h2在h1中的指数4÷2=2。第三步，构造第三个预解式，得它的根 ，把添加到r2中得扩域r3，此时方程（3）在r3中的群为h3，h3={e}，即h3=i，则r3是方程（3）的根域，且该预解式的次数仍等于群h3在h2中的指数2÷1=2。在这个特殊的四次方程中，系数域到根域的扩域过程中每次添加的都是根式，则方程可用根式解。这种可解理论对于一般的高次方程也同样适用，只要满足系数域到根域的扩域过程中每次都是添加根式，那么一般的高次方程也能用根式求解。 现仍以四次方程（3）为例，伽罗瓦从中发现了这些预解式实质上是一个二次的二项方程，既然可解原理对高次方程也适用，那么对于能用根式求解的一般高次方程，它的预解式方程组必定存在，并且所有的预解式都应是一个素数次p的二项方程xp=a。由于高斯早已证明二项方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次预解式都是二项方程，则能用根式求解原方程。于是，伽罗瓦引出了根式求解原理，并且还引入了群论中的一个重要概念“正规子群”。 他是这样给正规子群下定义的：设h是g的一个子群，如果对g中的每个g都有gh=hg，则称h为g的一个正规子群，其中gh表示先实行置换g，然后再应用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置换而得到的一个新置换集合。定义引入后，伽罗瓦证明了当作为约化方程的群(如由g 约化到h1)的预解式是一个二项方程xp=a (p为素数)时，则h1是g的一个正规子群。反之，若h1是g的正规子群，且指数为素数p，则相应的预解式一定是p次二项方程。他还定义了极大正规子群：如果一个有限群有正规子群，则必有一个子群，其阶为这有限群中所有正规子群中的最大者，这个子群称为有限群的极大正规子群。一个极大正规子群又有它自己的极大正规子群，这种序列可以逐次继续下去。因而任何一个群都可生成一个极大正规子群序列。他还提出把一个群g生成的一个极大正规子群序列标记为g、h、i、j…, 则可以确定一系列的极大正规子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的阶数/ h的阶数。对上面的四次方程(3)，h1是g的极大正规子群， h2是h1的极大正规子群，h3又是h2的极大正规子群，即对方程(3)的群g 生成了一个极大正规子群的序列g、h1、h2、h3。 随着理论的不断深入，伽罗瓦发现对于一个给定的方程，寻找它在伽罗瓦群及其极大不变子群序列完全是群论的事。因此，他完全用群论的方法去解决方程的可解性问题。最后，伽罗瓦提出了群论的另一个重要概念“可解群”。他称具有下面条件的群为可解群：如果它所生成的全部极大正规合成因子都是质数。 根据伽罗瓦理论，如果伽罗瓦群生成的全部极大正规合成因子都是质数时，方程可用根式求解。若不全为质数，则不可用根式求解。由于引入了可解群，则可说成当且仅当一个方程系数域上的群是可解群时，该方程才可用根式求解。对上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2为质数，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，当n=3时，有两个二次预解式t2=a和t3=b，合成序列指数为2与3，它们是质数，因此一般三次方程可根式解。同理对n=4，有四个二次预解式，合成序列指数为2，3，2，2，于是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽罗瓦群是s(n)，s(n)的极大正规子群是a(n) (实际a(n)是由s(n)中的偶置换构成的一个子群。如果一个置换可表为偶数个这类置换之积，则叫偶置换。)，a(n)的元素个数为s(n)中的一半，且a(n)的极大正规子群是单位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是质数，但当n ≥5时，n！/2不是质数，所以一般的高于四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽罗瓦完全解决了方程的可解性问题。 顺带提一下，阿贝尔是从交换群入手考虑问题的，他的出发点与伽罗瓦不同，但他们的结果都是相同的，都为了证其为可解群，并且伽罗瓦还把阿贝尔方程进行了推广，构造了一种现在称之为伽罗瓦方程的方程，伽罗瓦方程的每个根都是其中两个根的带有系数域中系数的有理函数。 三.伽罗瓦群论的历史贡献 伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，但他并不局限于此，而是把群论进行了推广，作用于其他研究领域。可惜的是，伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥，对十九世纪初的人们来说是很难理解的，连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质，以至他的论文得不到发表。更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝，我们不得不为这位天才感到惋惜。到十九世纪六十年代，他的理论才终于为人们所理解和接受。 伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。