矩阵可对角化论文答辩ppt

矩阵对角化有三种方法

1、利用特征值和特征向量将矩阵对角化

由于这种方法相对来说比较基础、简单、机械，一般教材都有详细介绍，这里用图示加以总结。

2、利用矩阵的初等变换将矩阵对角化

矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换和初等列变换，统称矩阵的初等变换。下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：

1 对调两行；

2 以数k≠0乘某一行的所有元素；

3 把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去。

把上面定义中的“行”换成“列”，既得矩阵的初等列变换的定义。

如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。

另外：分块矩阵也可以定义初等变换。

3、利用矩阵的乘法运算将矩阵对角化

矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log（ n )，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。矩阵乘法看起来很奇怪，但实际上非常有用，应用也十分的广泛。

矩阵对角化的条件和步骤是A2=A 可以x2-x=0看作A的一个零化多项式，再由无重根就可得到该矩阵可对角化。幂等矩阵的运算方法：

（1）设 A，A都是幂等矩阵，则(A+A) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A·A =A·A=0，且有：R(A+A) =R (A) ⊕R (A)；N(A+A) =N(A)∩N(A)；

（2）设 A， A都是幂等矩阵，则(A-A) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A·A=A·A=A，且有：R(A-A) =R(A)∩N (A)；N (A- A) =N (A)⊕R (A)；

（3）设 A，A都是幂等矩阵，若A·A=A·A，则A·A为幂等矩阵，且有：R (A·A) =R(A) ∩R (A)；N (A·A) =N (A) +N (A)。幂等矩阵的其他性质：1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；2.幂等矩阵可对角化；3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；4.可逆的幂等矩阵为E；5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

假设矩阵为A，则充要条件为： 1）A有n个线性无关的特征向量. 2)，A的极小多项式没有重根. 充分非必要条件： 1)。A没有重特征值 2)A*A^H=A^H*A 必要非充分条件： f(A)可对角化，其中f是收敛半径大于A的谱半径的任何解析函数 。

我觉得应该是相似对角化吧，具体的步骤是：1，求出一个矩阵的全部互异的特征值a1,a2……2，对每个特征值，求特征矩阵a1I-A的秩，判断每个特征值的几何重数q=n-r(a1I-A),是否等于它的代数重数p，只要有一个不相等，A就不可 以相似对角化，否则， 就可以相似对角化3，当可以相似对角化时，对每个特征值，求方程组，（aiI-A）X=0的一个基础解系4，令P=这些基础解系，则P-1AP=diag(a1,a2,a3……)，其中有qi个特征值你看行不？这就是我知道的，呵呵

对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。具体地怎么实现相似对角化呢？实际上相似对角化就是找一个正交阵T使得T'AT=T^(-1)AT=diag{λ1,..,.λ1;...;λr,...,λr}（每个λi有其几何重数个）做法如下：找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,...,αisi（si为λi的几何重数）对每组αi1,...,αisi分别进行施密特正交化，而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按列排成矩阵，记为T，T即为所求。对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，那么可以证明：B=X-1AX那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X-1AX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。

不可以的.矩阵的对角化不是只用初等变换把它变成对角线形式就叫对角化了,而是对角线必须为特征值.如果把它变成对角线形式就叫对角化,那可以在任一行乘个数,结果就变了,而对角形式保持不变如矩阵0 -11 0 用初等变换交换2行就成对角式了,但对角化必须是特征值正负i.当然,用初等变换当然可以实现对角化,但是只能是你知道对角化矩阵后在用初等变换往上靠