第二十届中学生数学论文竞赛

第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题（考试时间：90分钟；满分100分）一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分). 1. 已知 , ,且 .则 的值等于( ). A. ; B. ; C. ; D. . 2. ( ). A. ; B. ; C. ; D. . 3. 若 ,则 中,正数的个数为( ). A. 个; B. 个; C. 个; D.都有可能. 4. 有正三棱柱 ,底面边长为 .现将其切去一部分,剩余部分为 ,其中 ,则剩余部分的体积为( ). A. ; B. ; C. ; D. . 5. 已知关于 的一元四次方程 有三个相等的实根和另一个与之不同的实根,则下列三个命题中真命题有( )个.① 可能成立;② 可能成立;③ 可能成立.A. ; B. ; C. ; D. .6. 已知一个平方数的十位数为7,那么它的个位数是( ).A. ; B. ; C. ; D. . 7. 若关于 的方程 的两根分别为 和 , , ,则 与 的关系是( ).A. ; B. ; C. ; D.不能确定. 8. 关于 的方程 的所有整数解 有( )组.A. ; B. ; C. ; D. .9. 设二次函数 满足:当 时, .则 的最大值是( ).A. ; B. ; C. ; D. .10. 的值是( ).A. ; B. ; C. ; D. .二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).11. 在边长为 的正方形 的四边上分别取点 、 、 、 .四边形 四边的平方和 最小时其面积为_____. 12. 关于 的不等式 的解为. 关于 的方程 有两个不相等的实根,且 的平均值为 ,则 的取值范围是. 关于 的方程 的所有实根的和为. 设点 为正三角形 的外接圆的圆弧 上不同于 和 的点,则判断 与 的关系: _____ (填 ).16. 如图,位置 位于河的两岸,河宽为 , 之间的水平距离为 m.某人走路速度是游泳速度的 倍,欲从位置 前往位置 ,采用图中的路线,则夹角 _____时,所花费的时间最少.17. 平面上过某一点 的 条不重合的直线称为关于点 的直线簇,并且此时称 为直线簇的阶(注意: 可以取 ,此时直线簇退化为一点 ).若 是平面上两个不重合的点,关于点 和关于点 的直线簇的阶之和为 ,那么构成这两个直线簇的所有直线划分平面所成的区域数最大为_____,最小为. 已知 表示不超过 的最大整数.记 ,则 . 已知整数 …, 满足:① , …, ;② … ;③ … .则 … 的最小值为_____,最大值为. 是取 中较小的数的函数, 是取 中较大的数的函数,例如 ,则方程 的解为_____.第二十届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题标准答案一、选择题 (4选1型,每小题选对得5分,否则得0分.本大题满分50分).题号 1 2 3 4 5答案 C D B C B题号 6 7 8 9 10答案 C B B B C二、填空题 (每小题填对得5分,否则得0分.本大题满分50分).题号 11 12 13 14 15 16 17答案 2 4 > x ≥ 12 c<2-3 或c>2+3 -2 = 30o 31,16题号 18 19 20答案 2206 2008,2008 35+2245 30 或 35-2245 30 看不清楚找我要QQ

为什么坚持到高中搞数学竞赛的人很少了？原因是多方面的：到初中高中知识面就不一样了。高中搞竞赛的少数、初中和高中之间的跨越度比较大，大部分学生都出现较大的落差，少数人能依然保持这个优势、何况高中竞赛基本都是图高考加分，参加的人多，每个学校基本都定了指标，很难拿到名次的。因为有高考，一个是大面积的敲门砖(奖项等级)，一个是数量稀少的自主招生选择(必须是市级以上的第一)，目的不同风险也不同。国家的高考政策对参与竞赛的考生基本上已经没有什么优惠，因此绝大部分考生宁愿将时间和精力花在高考上。从事纯数学研究的毕竟很少，工作了跟数学关系大的工作就很少了。有人对高中数学竞赛获奖者进行过跟踪研究，得出结论这些人事业上成就不大。胡炳生《略论中国数学竞赛的成就、困境和出路》一、中国数学竞赛历程回顾从1956年起,中国举办中学生数学竞赛的历史,已经翻过了43个年头.这40多年除文革期间外,大致可分四个阶段：1、起步阶段(1956—1965)我国中学生数学竞赛(以下简称“数学竞赛”)开始于1956年,由以华罗庚为首的一批著名数学家发起,由中国数学会和各省市数学会组织,首先在北京、上海、武汉等大城市举办中学生数学竞赛,并逐渐扩展到省会城市和部分中等城市.我国数学竞赛虽然起步较迟(如比匈牙利迟60年,比苏联迟20多年,没有全国性竞赛,但由于以华罗庚为首的中国数学会领导和数学家群体的亲自参加和热情指导,一时间声势较大,命题水平也较高.华罗庚、江泽涵、苏步青等许多著名数学家,都为中学生作数学普及报告和辅导讲座,并在此基础上写出了一批精彩纷呈的数学普及读物,对全国中学生的数学学习和中学数学教育,产生了深远的影响.但是,由于1958年“大跃进”的冲击,这期间各地的数学竞赛活动时断时续,没有形成规范,没有形成全国性规模,更没有与IMO发生联系.1966年“文革”开始后,各地数学竞赛也即告中止。2、恢复和发展阶段(1978—1985)打倒“四人帮”以后,中国出现了“科学的春天”,中国数学会迅速恢复活动.1978年5月,又是以华罗庚为首的中国数学会领导者和数学家们,发起组织由北京、上海、天津、陕西、安徽、四川、辽宁和广东八省市参加的全国规模的高中学生数学竞赛.在全国决赛之前,有关各省市都组织了预赛和复赛,参加者有数十万人之多,盛况空前.赛后,由华罗庚先生亲自讲解题意,并将各地复赛和全国决赛题解积集出版.社会反响极为强烈.1979年继续举行全国数学竞赛,参加的省市增加到25个.考虑到少数边远省区的实际情况,从1981年起将全国数学竞赛,改为“联赛”——全国各省市自治区高中数学联赛,优胜者由各省市自治区评定.从那时起,全国高中数学联赛形成定制,一直延续到今天.与此同时,初中学生数学竞赛也在各地展开.1985年,在中国数学会和各地教研部门共同组织下,在当年4月举办了第一届全国初中数学联赛.这一阶段虽是“恢复”,但因有了以往的经验,而且老数学家们都还健在,从一开始竞赛的规模和声势都大大超过50年代.但是这一阶段的数学竞赛活动还限于国内,正在积蓄力量向IMO进军。3、走向辉煌阶段(1986—1995)在1985年派出两名中学生参加第26届IMO作为试探之后,1986年正式组队参加IMO角逐,当年就获得3金1银1铜、团体总分第4的好成绩.从那以后至1995年的10年中,中国中学生选手在IMO领奖台上拿到了金牌39块、银牌17块、铜牌4块,共获五次团体总分第一,三次第二.这一优异成绩,不仅鼓舞了中国,而且震惊了全世界.不少数学教育家到中国来取经,裘宗沪教授也因组织中国数学竞赛的出色成就而获得“国家数学竞赛联盟(WENMC)”颁发的1993年度Erdos奖.这一阶段中,全国高中联赛、初中联赛都已逐步规范化,数学冬令营改为“中国数学奥林匹克”;参加IMO选手的选拔、集训工作,都已制度化;数学竞赛活动向下延伸到初中一、二年级和小学高年级.1986年开始,在全国范围内举办“华罗庚金杯”少年数学邀请赛,参赛者为初二至小学五年级的少年.此外还有“五羊杯”、“祖冲之杯”、“缙云杯”、“希望杯”等各种层次的数学邀请赛,以及“中国小学数学奥林匹克”。4、降温和反思阶段(1996至今)从1996年初开始,中国数学竞赛热潮温度 陡降.不少学校退出了各类数学竞赛序列;省、市一级竞赛和邀请赛基本上停止;各地数学奥林匹克学校大多停办;全国初中数学联赛难以维继;高中数学联赛参加者大为减少.1996年中国队在IMO上仅获得第六名,在保持八年冠亚军之后首次跌出前三名.大家都在对前20多年的数学竞赛进行反思和总结,以图找出对策,使中国数学竞赛摆脱困境,争取在新世纪到来之时有一个新的局面。二、20年来中国数学竞赛成就1、在中学生中造就了一批数学精英.在国际最高水平数学竞赛IMO中,在从1986—1997年(1998年中国未参加)的12年中获得金牌48块,6次夺得团体总分第一,为国争光.这种辉煌成就,可与中国乒乓球和女子排球媲美.所不同的只是:前者是体力竞赛,后者是智力竞赛.在科技发展愈来愈依靠人的智力发展的现代,显然后者更有意义.这显示了中国人高超的智慧,预示着中国未来发展的辉煌前景。2、在青年学生中,数学竞赛活动的普遍开展,激发了学习数学的兴趣,学习科学知识的积极性.“数学是思维的体操”.对数学有兴趣、学得好的学生,一般说来,学习其他各科知识也较容易入门,总的学习成绩不会差。3、由数学竞赛在各类学校的开展,促使数学教师要不断提高自己的业务水平,从而使整个学校数学教育质量得到相应提高.近20年来,在数十种中学数学教学杂志上,中学数学教师发表了大量教研论文,其中不少是就数学竞赛中的问题立论的。4、数学竞赛,特别是在IMO中取得的突出成绩,在广大公众中宣传了数学的意义、价值和作为中学基础学科的地位.同时也对广大公民学科学、学技术的热情,起到很大的鼓舞作用.回忆在“科学的春天”来临前后,有两件关于数学的事最具社会影响.一是徐迟写的《哥德巴赫猜想》(发表于《人民日报》),一是第20届IMO试题(发表于《参考消息》1978—08—19).后者因其中第3题印刷错误,在我国数学教育界引起过一场历时半年多的旋风,使广大中学数学教师和大学数学教授们卷入其中,自然也引起全社会公众的关注。三、困境产生之由近几年中国数学竞赛所面临的困境,是由多种原因造成的,既有外因,但根本的还是内因.分析这些原因,有助于我们有针对性地寻找解困出路。1、数学竞赛活动缺乏全国性统一的组织领导.例如“邀请赛”、“通讯赛”可以由某些部门(如教研机构、某些学校、报刊),甚至某些个人来组织.数学竞赛的组织者缺乏自律.数学“奥校”随意开办,辅导班随意举办,收费标准随意制定,学生休息时间随意侵占.参赛学生年龄越来越小,甚至有的小学三年级就搞数学竞赛培训;有的学校的学生负担过重,苦不堪言.还有极个别人混水摸鱼,以此来谋私利.由此带来的后果是:败坏了数学竞赛的声誉,造成了某些领导和公众对这项本来有大益的活动的诸多误解和责难。2、社会上流传对数学竞赛的非议非议之一:认为数学奥林匹克金牌只是学生的初步成绩,它的“含金量”不能与体育奥运金牌相比,因为体育奥运金牌是最终的成绩,是为国争光.非议之二:数学竞赛不能培养数学家,数学竞赛获奖者中,许多都没有选择数学专业, 而转向其他专业.非议之三:数学竞赛试题缺乏创造性,不利于学生创造思维和能力的培养.这些非议大多出自对数学竞赛的误解.虽然有的数学界或教育界的人士也这样认为,但他们或是从未参加过数学竞赛及其组织工作,或是心存偏见。3、题目偏深偏难,脱离中学实际由于各类数学竞赛缺乏统一领导或集中管理,命题工作缺少专人研究,各自为政,国内出现的数学竞赛试题水平参差不齐.全国高中联赛、中国数学奥林匹克试题,内容逐年加深,难度逐年加大,甚至有的题完全是高等数学的知识和方法.这不仅使一般中学生望而却步,就连中学数学教师也感困难而不敢介入。4、经费没有保障。数学竞赛比不上国内任何一项单项体育比赛和文艺比赛,经费从来都是少得可怜.因为数学竞赛“不好看”也“不好玩”,没有广告效应.即使是极少的财政支持,有的地方还是被彻底取消了,要“经费自筹”;而且不得向学生收费,否则就是“乱收费”.这就使得数学竞赛活动成了无源之水.现在不论什么比赛,棋类呀、牌类呀、球类更不用说了,一次比赛动辄数十万、数百万、数千万,而数学竞赛却不能,不知“公平”何在?四、出路在哪里?1、首先要加强对国内数学竞赛活动的集中统一领导.中国数学会的主要领导人和国内知名数学家,应向华罗庚等老一辈数学家学习,明确认识到自身的社会责任,加强对数学竞赛的指导.不仅自己要身体力行亲自参加全国数学竞赛的命题、讲座和评奖工作,还要发动广大数学会会员参与这项工作,同时要向各级政府领导人、向社会舆论宣传数学竞赛的意义,澄清对数学竞赛的误解和非议,争取他们的支持.因为有华罗庚等老一辈中国数学会领导人的热情和努力,才有中国数学竞赛的起步、发展和走向辉煌,同样,如果有了当代和今后中国数学会领导人的热情和努力,中国数学竞赛才能摆脱目前的困境,再次走向辉煌。2、加强舆论宣传,澄清糊涂认识要利用数学报刊理直气壮地宣传数学竞赛的意义和正确做法,批评各种似是而非的糊涂认识和非议.摆事实,讲道理,澄清种种误解.例如前面所说的关于金牌含金量问题,正因为中学生数学(还有理、化等)奥赛金牌获得者今天是初步成绩的显露,他们更加辉煌的科学成就还在后头,他们的金牌更具含金量,更值得国人骄傲. 又如说数学竞赛不能培养出数学家,这是不了解数学竞赛目的所致.因为数学竞赛(尤其是省市和学校一级的竞赛)主要目的就不是为了培养数学家的,而是为了激发学生学数学、学科学的兴趣.但是在事实上,数学竞赛的优胜者中,又有相当数量选择了数学作为终身职业,有不少成了数学家或数学工作者,这是无可置疑的.国外是如此,国内也是如此.当代我国中青年数学家,很多都是各级数学竞赛的优胜者.如杨乐、钟家庆就是50年代数学竞赛的优胜者.至于说数学竞赛试题缺乏创造性、偏深偏难,这是可以改进的.高考数学题的创造性不如数学竞赛,不也在逐年改进吗?3、完善制度,分类指导,保证重点为了使数学竞赛活动有序化、规范化,要在调查研究的基础上,与有关方面协调关系,完善全国各级数学竞赛制度.全国性数学竞赛中应抓好高中联赛、初中联赛和“华罗庚金杯”少年邀请赛的命题和组织指导工作,各地的中学生选手的培训和选拔工作责成省市数学会领导和管理.至于个别学校、几个学校之间的小型数学竞赛,则不必干涉.这就像某单位职工篮球赛,或几单位篮球友谊赛,中国篮球协会不予干涉一样.为了保证每年IMO有中国高水平选手参加,又不致增加多数学校学生的负担,要对不同情况进行分类指导.从1985年试派两名选手参加25届IMO起,至1998年组成国家队准备参加第39届IMO(我国选手因故未参加这届比赛)止,共有80名(包括参赛两次者1人)选手入选国家队.这80名学生分布于全国18个省市自治区,占全国32个省市自治(包括重庆市)的三分之二.据笔者的不完全统计,他们来自40所中学,其中北大附中9人、武钢三中8人、黄冈中学6人、湖南师大附中4人、哈尔滨师大附中4人、华南师大附中3人、复旦大学附中3人.这七所学校共有37人,几乎占了总数的一半.另外,其他43人中还有8人来自北大理科实验班,3人来自清华理科实验班.这些学生合起来约占总数的60%.除了这七所中学外,培养出两名IMO选手的,还有上海向明中学、青岛二中、济南山东省实验中学、福建福安一中和沈阳市育才中学.当然,这80名学生初中不一定是在这40所中学读的.但就上述统计数字来看,IMO选手的来源还是相当集中的.这样一来,就给我们分类指导提供了依据.对于有条件的学校,可选择出若干所,建立若干个国家级数学奥赛选手培训基地.尤其是北大、清华两个理科实验班要坚持办下去,办好。4、争取建立数学竞赛基金与各种体育和文艺比赛一样,要想长期坚持下去,并取得国际金牌,必须有资金保证.竞赛资金的来原,不外是政府拔款、参赛单位缴费和社会赞助;以往则主要是靠政府拔款.随着社会经济的变化,政府拔款越来越少,收费又有“乱收费”之嫌,社会赞助又没有打开局面,因此急需解决数学竞赛的财政支持问题.一个可供选择的办法是建立中国数学竞赛基金.基金分国家和省市区级,由中国数学会及地方数学会募集和管理使用.“华罗庚金杯”少年邀请赛就有基金支持,全国高、初中数学联赛、中国奥林匹克和中国IMO集训队培训和选拔,更应该有专项基金支持.基金的来源,除政府拔款外,主要向有关大学(录取IMO集训队学生者)、有关奖学金基金会及社会公众募集.对赞助者可以赠送竞赛的“冠名权”,基金奖杯“冠名权”等.只要我们的宣传工作做得好,建立中国数学竞赛基金的愿望一定可以实现。5、与中小学素质教育相结合数学竞赛本来是学校数学教育的一个辅助部分,是学校课堂教学的补充,处于“第二课堂”地位.对大多数学校来说,数学竞赛的辅导、培训活动,只能在少数数学爱好者中进行,而且要严格遵照学生自愿的原则.数学竞赛活动的内容,要与课堂教学内容协调一致.数学竞赛试题要难度适中,富于“新、奇、巧、趣”的创意,并注意数学与生活的联系.全国性竞赛、中国数学奥林匹克的试题,当然应该有一定的深度和难度,但主要应在现代数学思想和方法渗透上下工夫,而不能一味高等数学化、繁难化.这一方面,可以从加拿大和美国数学竞赛题的设计上得到启示.为了保证各级数学竞赛活动与素质教育相给合,组织部门要研究制定数学竞赛规程、组织者自律准则;要有专家组织征集和研究数学竞赛试题,对优秀试题进行奖评.此外,还要建立一套可行的激励机制,对奥赛金牌获得者和有关教练员进行奖励.总之,只要大家努力,中国数学竞赛前景是光明的,大有希望的.以上仅是个人对近20年来我国数学竞赛的回顾和反思,说出来愿意和广大数学会会员、中学数学教师共同进行讨论.说得不妥之处,希望大家批评。

2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）的复评工作已全部结束，本年度全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）湖南赛区参赛名单及全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）湖南赛区一等奖名单已经确定（附件1和附件2）。根据全国组委会相关要求，现将二、三等奖名单（附件3和附件4）予以公示，公示时间为2022年11月22日至2022年11月28日。

公示期内，如对二、三等奖公示结果有异议，请以书面形式实名反映至湖南省数学学会：。