对函数的形成与发展的研究论文

在数学的发展史中,重要数学概念的形成离不开数学的发展,这些概念的形成对数学的发展有推动作用.函数概念是数学概念中的一个非常典型的数学概念.函数概念的形成,从最初的萌芽阶段到最终形成历经了一千多年.纵观数学的发展史,函数概念的每一次升华都是数学发展到一定阶段的产物,并对后面数学的发展作出推动作用.研究函数概念的发展。

最早给出函数概念的明确定义的是,1667年，他的函数定义为：“它是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的，或者是经过任何其它可以想象的运算而得到的。”这最后一句话的意思，据他解释是“除了五种代数运算外，必须加上第六种运算即趋于极限的运算。”

莱布尼茨首次用“ function ” 一词表示幂，即 。1673年，他用 “ function ” 一词表示任何一个随曲线上的点的变动而变动的量。

记号 是欧拉1743年引进的。当时，欧拉认为函数是一条可以随意描绘出的曲线。1748年欧拉把函数定义为由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。

上述种种函数定义，用现在的观点看，无非是函数表示法中的解析表示法和图象表示法。

1775年欧拉又给出一个新的函数定义：

如果一个变量依赖于另一个变量，使当后一个变量变化时，前一个量也随着变化，那么称第一个量是第二个量的函数。

虽然18世纪对函数概念有多种不同的抽象和理解，但占统治地位的函数概念是：函数是由一个解析表达式给出的。

这些函数概念是人们对各种具体的函数关系的不断和反复认识，经过抽象得出的，但都反映了一个量对另一量的依赖关系，都是“变化”和“运动”的辩证唯物主义观点的抽象。

1837年高斯和雅可比（1804-1851）的学生，黎曼的指导老师狄利克雷（1805-1859）给出了一个函数定。他说：“如果对于某区间上的每一个确定的x值，按照某一法则y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x函数。”

狄利克雷的定义一方面继承了欧拉等人关于函数概念的精神，又打破了把“函数”和“解析式子”等同起来的局限性，抓住了两个变量对应关系的确定存在这一要害，而不管它是否可用数学运算来表达。从而使函数概念能更准确地描述各种互相依赖的变量之间的关系。但是随着科学技术及数学学科本身的发展，这个以变量概念作为函数概念的定义逐渐暴露出不足之处。20世纪初，又给出了下面的函数定义：“设x和y是两个非空集合，如果对于每个X中的元素x，依照某一法则，总有确定的一个Y中的y和它对应，这个对应法则就叫做函数”。这就是说，函数是非空集合X到非空集合Y的一个映射。

这个定义使我们可以将函数概念推广到以任何对象为元素的两个集合之间，这就极大地扩展了函数概念建立的基础，适应了现代数学对函数概念的需要。

函数概念从提出到完成，用了二百多年的时间。从函数概念建立的过程我们可以看出，人们对函数概念的认识是随着科学和数学学科本身的不断发展、不断深入而不断深化、不断完善的。

一、函数内容处理方式的分析在整个中学阶段，函数的学习始于义务教育阶段，而系统的学习则集中在高中的起始年级。与以往相比，课程标准关于函数内容的要求发生了比较大的变化。 1． 强调函数背景及对其本质的理解无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习。以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念。一方面，丰富的实例既是概念的背景又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵。2．加强函数思想方法的应用函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑。比如，新增加的内容“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。二、函数内容编写的基本想法函数的内容包括：函数概念及其性质，基本初等函数（Ⅰ），函数与方程，函数模型及其应用。以理解函数概念本质为线索，既可以将这些内容有机地组织为一个整体，又可以让学生以它们为载体，逐步深入地理解函数概念1．内容组织的线索：函数概念本质的理解函数概念并非直接给出，而是从背景实例出发采用归纳式的教材组织形式引入。由于函数概念的高度抽象性，学生真正理解函数概念需要一个漫长的过程，需要在不同层次上、从不同角度给学生提供理解和巩固函数概念的机会。首先，在分析典型实例的共同特征的基础上概括出函数定义后，通过讨论函数的表示、基本性质初步理解函数。它们分别是从函数的表现形式和变化规律两个方面丰富对函数概念的认识。然后，以三类基本初等函数为载体巩固函数概念，在学习了函数定义、基本性质之后，从一般概念的讨论进入到具体函数的学习。指数函数、对数函数和幂函数的概念及其性质都是一般函数概念及性质的具体化。以一类具体函数为载体，在一般函数概念的指导下对其性质进行研究，体现了“具体──抽象──具体”的过程，是函数概念理解的深化。最后，从应用的角度再一次巩固并提升对函数的理解。对一个概念真正理解的一个判断标准就是看看是否可以运用概念解决问题。教材最后安排函数的应用，包括二分法、不同函数模型的增长差异以及建立函数模型解决实际问题，就是期望学生能在“用”的过程中提高对函数概念的理解。2．突破难点的主要方法：显化过程，加强联系函数概念的理解贯穿了函数内容学习的始终，同时它也是教与学的一个难点，在教材编写中应采用什么方法突破这个难点，帮助学生更好地理解函数概念？对于形成函数这样抽象的概念，应该让学生充分经历概括的过程。概括就是把对象或关系的某些共同属性区分和固定下来。这就要求我们在编写教材时充分展示概括过程，并要充分调动学生的理性思维，引导他们积极主动地观察、分析和概括。教材选择了三个有一定代表性的实例，先运用集合与对应的语言详细地分析前两个实例中变量间的依赖关系，给学生以如何分析函数关系的示范，然后要求学生仿照着自己给出第三个实例的分析，最后通过“思考”提出问题，引导学生概括三个实例的共同属性，建立函数的概念。在这样一个从具体（背景实例）到抽象（函数定义）的过程中，学生通过自己的思考从分析单个实例上升到概括一类实例具有的共同特征，更能理解概念内涵。作为中学数学的核心概念，函数与中学数学的许多概念都有内在联系，这种联系性为理解函数概念提供了众多的角度和机会，因此加强函数与其他数学知识的联系是函数概念教学的内在要求。例如，函数有多种表示方法，加强不同表示法之间的联系和转换，使学生学会在面临一个具体问题时能根据问题的特点灵活选择表示的方法，就是促进理解的一个手段。教材通过例题给出高一某班三位同学在六次测试中的成绩及相应的班平均分的数据，要求分析三位同学的学习情况。解决这个问题的关键就是根据函数的表格表示法与图象表示法的特点，将表格表示转化为图象表示。又如，函数与现实生活有着密切的联系，所以在编写教材时注重加强函数与现实生活的联系，像由背景实例引入概念，在例题和习题中安排一定量的应用问题（碳14的衰减，地震震级，溶液的酸度等）都体现了函数与实际生活的外部联系。再如，从运用函数观点解决方程问题的角度介绍二分法，体现出函数与方程间的联系等等。三、函数内容编写中的几个关键问题1．实例如何选择无论是加强概念背景，还是突出知识的联系与应用，能达到很好效果的重要因素就是要选择合适的实例。那么，如何选择实例才能有助于学生的学习呢？对于起到不同作用的背景实例和应用实例，标准并不完全相同。但总的来说，一是实例的背景知识应该尽量简单，这样可以避免因背景的复杂性而影响对数学知识本身的理解；二是实例应丰富，这样有利于全面、准确地理解知识，不会产生偏差；三是实例应贴近学生生活、具有一定的时代性，这样才会引起学生的共鸣，激发学习的兴趣。比如，介绍函数概念时，教材选择了用解析式表示炮弹飞行的问题、用图象表示南极臭氧空洞的问题、用表格表示恩格尔系数的问题，第一个问题是学生在物理中就很熟悉的，后两个问题是日常生活中经常提及的，背景相对来说比较简单，学生就不会因为需要了解过多的背景知识而冲淡对函数概念的学习。而且重要的是，这样的三个问题包括了不同的函数表现形式，利用它们概括函数概念，就可以消除初中学习中可能存在的一些认识偏差，使学生认识到无论表示形式如何，只要对于每一个x，都有一个y与之对应，就是函数，而这正是函数的本质特征。再如，根据汽车票价制定规则写出票价和里程间的解析式，并利用解析式为售票员制作出我们在汽车上经常看到的“阶梯形票价表”这类问题，贴近学生生活并具有现实的应用价值，能引发学生的兴趣和学习的积极性。2．概念如何展开对于突破函数概念这个难点，可以在整段函数内容的学习中采用显化过程、加强联系的方法。那么具体地，在从三个方向巩固函数概念理解时，如何展开像函数的单调性、二分法这些概念，才能让学生掌握它们，从而达到巩固理解函数概念的目的呢？函数的性质就是研究函数的变化规律，这种规律最直观的获得来自于图象，图象的上升、下降就是单调性。问题在于如何帮助学生从几何直观上升到严格的数学定义。同样地，二分法也需要经历一个由直观认识到数学定义的过程。为此，就需要将直观到严格数学定义的过程划分成几个层次，为学生搭建认识的台阶，使他们逐步地获得概念。比如，介绍函数单调性时，首先给出一次函数和二次函数的图象，观察它们的图象特征，即上升或下降；然后用问题“如何描述函数图象的‘上升’‘下降’呢”引导学生用自然语言描述出图象特征；最后思考“如何利用解析式f(x)=x2描述‘随着x的增大，相应的f(x)随着减小’……”，将自然语言的描述转化成数学符号语言的描述，并一般化得到单调性的数学定义。通过这样的三步，利用数形结合的方法展开单调性的概念，既有助于学生通过自己的努力获得概念，而且也从数和形两个方面理解了概念。3．函数内容中使用信息技术的点及方式在数学课程中使用信息技术已经毋庸置疑，同样地，信息技术的使用也是教材编写中最为关注的问题之一。那么，在函数中有哪些适合使用信息技术的内容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎样的？信息技术具有强大的图象功能、数据处理功能和良好的交互环境，利用这些优势，在函数这部分内容中可以使用信息技术的点主要有：求函数值、做函数图象、研究函数性质、拟和函数等。运用常见的一些软件，如excel、几何画板等就可以轻松地作出函数图象，这在讨论不同函数模型增长差异时发挥很大作用，从几幅图就能直观发现增长的差异；运用计算器可以解决二分法中计算量大的问题，从而将更多精力关注到二分法的思想上，认识到函数和方程间的联系；而计算机的交互环境则为学生的自主探究提供了强有力的平台，丰富了学习方式，如讨论指数、对数函数性质时，可以充分演示出图象的动态变化过程，这样就能在变化中寻求“不变性”，发现函数具有的性质。教材编写时一方面在适合使用信息技术的地方给予提示，如“可以用计算机……”等；另一方面通过拓展栏目详细地介绍一些信息技术应用的专题，如“用计算机绘制函数图象”重点介绍使用常用软件做函数图象的方法，“借助信息技术探究指数函数的性质”给出探究的情境，要求学生亲自利用信息技术发现规律，“收集数据并建立函数模型”介绍了如何用信息技术拟合函数，等等。通过这些方式，可以为教师和学生提供使用信息技术的机会和空间。

一、函数的起源（产生） 十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。 十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（ Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于 1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（ fluent）一词来表示变量间的关系。 1673年，莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（ fluent）这一名词，他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量。（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”。例如，切线，弦，法线等长度和横、纵坐标，后来，又用这个名词表示幂，即表示 x , x2, x3,…。显然，“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的。 人们是不会满足于这样不准确的概念，数学家们纷纷对函数进行进一步讨论。 二、函数概念的发展与完善⒈以“变量”为基础的函数概念 在 1718年，瑞士科学家，莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式。（定义2）并在此给出了函数的记号φx。这一定义使得函数第一次有了解析意义。 十八世纪中叶，著名的数学家达朗贝尔 （D’Alembert）和欧拉（ Euler）在研究弦振动时，感到有必要给出函数的一般定义。达朗贝尔认为函数是指任意的解析式，在 1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线。（定义 3）在此之前的 1734年，欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今。 实际上，这两种定义（定义 1和定义 2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法。后来，由于富里埃级数的出现，沟通了解析式与曲线间的联系，但是用解析式来定义函数，显然是片面的，因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数。 1775年，欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖与另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而变化，则将前面的变量称为后面变量的函数。（定义 4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素，体现了“自变”到“因变”的生动过程 ,但未提到两个变量之间的对应关系，因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征，只是科学的定义函数概念的“雏形”。 函数是从研究物体运动而引出的一个概念，因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系，如自由落体运动下降的路程，单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数。很明显，只从运动中变量“变化”观点来理解函数，对函数概念的了解就有一定的局限性。如对常值函数 ,不解释 十九世纪初，拉克若斯（ Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量，前者就是后者的函数。 1834年 ,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义： x的函数是这样的一个数，它对于每一个 x都有确定的值，并且随着 x一起变化，函数值可以由解析式给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法，函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的。（定义 5）这实际是“列表定义”，好像有一个“表格”，其中一栏是 x值，另一栏是与它相对应的 y值。这个定义指出了对应关系（条件）的必要性，把函数的“对应”思想表现出来，而“对应”概念正是函数概念的本质与核心。 十九世纪法国数学家柯西（ Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称为因变量，并且称因变量为自变量的函数。（定义 6） 1829年 ,狄利克雷（ Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数： y=1 当 x为有理数时； y=0 当 x为无理数时。这个函数并不复杂，但不能用解析式来表示，这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端。 1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中，有两个变量 x和 y。如果对于 x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系， y都有唯一确定值和它对应，则 y称为 x的函数； x称为自变量。（定义 7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性，只须有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的 y值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了。 ⒉以“集合”为基础的函数概念 函数的概念是随着数学的发展而发展的。函数的定义在数学的发展过程中，不断的改进，不断的抽象，不断的完善。十九世纪七十年代，德国数学家康托（ ）提出了集合论。进入二十世纪后，伴随着集合论的发展，函数的概念也取得了新的进展，它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大，使概念获得了现代化。 二十世纪初美国数学家维布伦（ Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量 y的集合与另一变量 x的集合之间，有这样的关系成立，即对 x的每一个值，有完全确定的 y值与之对应，则称 y是变量 x的函数。（定义 8）从这个定义开始，函数概念已把基础建立在集合上面，而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的。 随着时间的推移，函数便被明确的定义为集合之间的对应关系，其定义是： A和 B是两个集合，如果按照某种对应关系，使 A的任何一个元素在 B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系成为从集合 A到集合 B的函数。（定义 9）此定义根据映射的概念，用“映射”观点建立函数概念，其又可叙述为：从集合 A到集合 B的映射 f： A→ B称为集合 A到集合 B的函数，简称函数 f 。（定义 10）以上三个定义，已打破数域的束缚，将集合中的元素改为抽象的，可以是数，也可以不是数，而是其它一切有形或无形的东西，如 X是所有三角形的集合， Y是所有圆的集合，则 f 可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射。 对新函数定义可以这样理解：函数是一个对应（规则），对于某一范围（集合）的元素，按照这个对应（规则）确定另一个元素。这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）。 对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质，但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图。因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义，例如规则不同，那么是否函数也不同呢？如f(x)=x与f(x)=(1+x)-1当然是不同的规则但却定义了同一函数。 为了解决这一矛盾，二十世纪初，特别是在六十年代以后，广泛采用只涉及“集合”这一概念的函数定义，而集合作为原始概念是不予定义的，这样的定义是：设 A、 B是任意两个集合， f是笛卡儿集 A× B的一个子集，满足：①对任意的 a ∈ A，存在一个 b∈B，使得 (a,b)∈ f，②若 (a,b)∈ f， (a,c)∈ f则 b=c。则称 f为 A到 B的一个函数。记作 f:A→B。（定义11）这个定义利用“关系”这个概念，便给出了只涉及原始概念“集合”的函数的一般定义，即不需要用到“对应”，又避免了对“规则”的解释，只要集合理论适用一切数学领域，这样给出的函数定义总是适用的。它可称的上是最现代的定义了。 到此，“函数”最完善的定义（定义 11）已给出，作为数学中最基本的概念之一，已把基础直接建立在集合上面，即把函数看作是从一个集合到另一个集合的对应，它和“映射”实际上是一回事。 三、新旧两种定义的比较 比较新定义（把以集合为基础的函数定义称为新的定义方式，而以变量（数）为基础的定义称为旧的定义方式。）和旧定义，它们之间有两个重要的区别： ⑴旧定义是建立在“变量”这个基本概念上的，而新定义则建立在“集合”这个基本概念上。什么是变量呢？通常把它理解为在选定一个单位以后，可加以度量的东西，如长度、质量、时间之类，这种理解一方面太疏于笼统，只能通过举例来说明，而难于加以精确化；另一方面，由于涉及大小关系，嫌过于狭窄，无法体现应用上的普遍性。其次，即使什么是“量”的问题不存在，作为变量，它须在某一范围取值（不一定是数值），这一定范围实际上就是事先得假定的一个集合 A（它构成函数的定义域），所谓“变量取值 a”，实质上就是“ a属于 A”的一种变相迂回的说法。可见，在变量的概念中已蕴含集合的思想。 ⑵旧定义中以“因变量”为函数，而新定义中则以“对应关系”为函数。函数概念的实质，主要的并不是因变量要随自便量“变”，而是两集合之间存在某种确定的对应关系。显然，新定义更能直接地揭示出函数的实质。