凸集与不动点定理毕业论文

压缩映射原理(C.()É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：设X是一个完备的度量空间，映射ƒ:Χ→Χ 把每两点的距离至少压缩λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=ƒ（x0），x2=ƒ（x1），...，xn=ƒ（x(n-1)），...，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。由于分析学的需要，这定理已被推广到非扩展映射、概率度量空间、映射族、集值映射等许多方面。Brouwer不动点定理(1910): 设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点。用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解。把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间，就是绍德尔不动点定理(1930)，常用于偏微分方程理论。这些定理可以从单值映射推广到集值映射，除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学。Kakutani不动点定理: 设C是R^n中的紧凸集, f为从C到C的非空凸子集的上半连续的点-集映射. 则至少存在一点x*, 使得x*∈f(x*). 1941年, Kakutani把Brouwer不动点定理推广到有限维空间中多值映射的情形. 不动点的个数有两种数法。代数上通常说n次复多项式有n个复根，是把一个k重根算作k个根的;如果不把重数统计在内，根的个数就可以小于n。推广根的重数概念，可以定义不动点的指数，它是一个整数，可正可负可零，取决于映射在不动点附近的局部几何性质。一个映射的所有不动点的指数的总和，称为这映射的不动点代数个数，以别于不动点的实际个数。莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L(ƒ)，它是一个容易计算的同伦不变量，可以利用同调群以简单的公式写出。当L(ƒ)≠0时，与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点。这个定理既发展了布劳威尔定理，也发展了关于向量场奇点指数和等于流形的欧拉数的庞加莱－霍普夫定理，把它进一步推广到泛函空间而得的勒雷－绍德尔参数延拓原理，早已成为偏微分方程理论的标准的工具。J.尼尔斯1927年发现，一个映射ƒ 的全体不动点可以自然地分成若干个不动点类，每类中诸不动点的指数和都是同伦不变量。指数和不为0的不动点类的个数,称为这映射的尼尔斯数N(ƒ)。只要Χ是维数大于2的流形，N(ƒ)恰是与 ƒ同伦的映射的最少不动点数。这就提供了研究方程的解的实际个数（而不只是代数个数）的一种方法。莱夫谢茨定理的一个重要发展是关于微分流形上椭圆型算子与椭圆型复形的阿蒂亚－辛格指标定理与阿蒂亚-博特不动点定理。 [1] 江泽涵，《不动点类理论》，科学出版社，北京，1979。[2] V. I. Istratescu. Fixed Point Theory (An Introduction)[M]. Reidel, 1981.[3] on Nielsen Fixed Point Theory,Amer. Math. Soc., Providence, 1983.[4] Computation of Fixed Points and Applications, Springer-Verlag, New York, 1976.[5] L. E. J. Brouwer. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl[J]. Math. Ann., 1911, (70): 161–165.[6] S. Kakutani. A Generalization of Brouwer Fixed Point Theorem[J]. Duke Math. J., 1941, (8): 457–459.[7] 熊金城. 点集拓扑讲义(第三版)[M]. 高等教育出版社, 2003.

设 为非空多面集，则有： （1）极点集非空，且存在有限个极点 （2）极方向集合为空集的充要条件是S有界，若S无界，则存在有限个极方向 （3） 的充要条件是：证明略。 *1： 对一个有限多面体的表面，并不需要极方向（极方向只存在与无限情况！），显然任意一个表面上的点都在某个平面上，可由这个平面的端点（即有限个极点）表示。 对一个无限多面体表面，若一个点在一个无限大的面上，这个无限大的面也可由有限条线段（也可能是0条）和有限条射线（如果直线看成两条射线）围起来，而线段可以有线段的端点表示，因此任意点可由所在平面上的线段端点（极点）和射线（极方向）表示。 *2、3： 各个极点对应的系数非负且系数和为1。 一个简单的例子： 可表示一个三维空间的平面，范围是 那么可去三个极点 ，显然平面内的点都可以表示为三个极点坐标的线性表示，且系数非负、系数和为1。其中系数非负限制了点的范围，或者说平面的边界（即 ）。系数和为1限制了点在平面上（ ），如果小于1则在平面下方，大于1在平面上方。对n维平面也是类似的道理。 更本质的证明：对于一条线段，显然线段内任意一点可表示成端点的组合，且有系数非负且和为1的性质；推广到二维平面，比如一个三角形ABC，任意一点D可与C连线并交线段AB与E。那么E可由AB表示，D可由CE表示，系数分别保持非负且和为1，再整理，可得D由A、B、C表示且系数非负且和为1.得证 *4： 极方向的系数非负。 对有限情况显然极方向系数为0。对无限平面，可分成有限部分和无限部分：将几个端点连起来围成的有限凸多边形为有限部分，其余为无限部分。那么任意一个无限部分的点可表示成有限部分的某点加上某长度的极方向，也就是极方向系数非负。

去网上搜搜，相关资料很多，我身为经济数学系的学生，只能和你说，数学是经济学发展的必要因子，而经济学也是数学运用较好的一个领域。而之间的桥梁可以看作统计，或分析