导数论文答辩

《经济分析基础》是萨缪尔森的博士论文，数理功底要求比较高。据说当年萨缪尔森毕业论文答辩，没几个老师敢去，因为不大看得明白他的满是方程的论文。

提出应力率的正确定义60年代初，国际力学界曾热烈讨论应力率的定义问题，一时众说纷纭，莫衷一是。郭仲衡1960年在《应用力学》杂志上发表的题为《非线性连续介质力学中张量场的时间导数》系统地分析了各种定义，并从物理角度提出，正确的定义应除去物理体点转动引起的变化部分。国际学术界接受了这个看法。S·札贺尔斯基（Zaholski）在《粘弹性流体力学》中认为，这篇论文“最终地弄清了问题”。这个问题是郭仲衡博士论文的中心内容。1963年2月21日，郭仲衡以流畅的波兰语通过了论文答辩，并得到拉丁文字样“Summa cum Laude”的最高表扬。结合工程问题 开展应用数学研究“文化大革命”后，郭仲衡回到教学岗位。他带领工农兵学员下厂“开门办学”。一向搞理论的郭仲衡凭他那股“问到底”的劲儿废寝忘食地搞实际问题，边学边教边实践，也颇有成绩。有一个实际问题要用到轴对称有限元，由于轴上的奇性，一般认为单元刚度矩阵的“简单近似有时优于准确积分”，准确公式是误差大的根源。学生不理解这种说法，他也接受不了。他利用春节期间机房空闲，追踪一简单例子计算的运行，终于发现该准确公式推导时假设三角单元无边平行于对称轴，有些项互相抵消了。当然，这公式不适用于有边平行于轴的单元。可是，这种单元的存在经常是不可避免的。这个逻辑错误的纠正使轴对称有限元摆脱了困境。郭仲衡提出接触问题的广义子结构法，使计算量降至最低限度。有一工程部门要求计算一种有开口分支的闭口薄壁杆件。工程力学界一向认为，开口和闭口的薄壁杆件是两种不同质的构件，相应地有两种互不相容的理论。为了解决实际问题，郭仲衡建立了开闭口复合型薄壁杆件的统一理论，将原有两种理论作为特殊情形包含在内，使薄壁杆件理论起了一个质的变化。又有一个实际部门，为了估计寿命，要对实验数据进行数值微分。郭仲衡发展了名为“切贝舍夫多项式局部拟合微分法”，使得计算精度高于当时“AD报告”报道的方法。以往，我国用“反靠”办法加工凸轮靠模，两次机械加工误差的积累成为精度低的原因。他提出一种直接计算凸轮靠模轮廓线坐标的方法，编制了程序，使得可以一次性地在坐标镗床上直接加工靠模，从而精度提高数倍，改进了使用凸轮的机器（如内燃机）的性能。正在起劲地联系实际的某一天，郭仲衡偶然在外文书店发现，书架上一批处理的《物理大全》中有他还未见过的C.杜鲁斯德尔（Truesdell）和W.诺尔（Noll）的《力学非线性理论》（The Nonlinear Field Theories of Mechanics，Handbuch der Physiv Bd.Ⅲ/3，Berlin：Springer，1965），书里竟引述了他在波兰发表论文中的17篇。在弹性一章的开端还写道：“我们这里讨论的某些部分归功于……。”在脚注中按时间顺序排列了包括郭仲衡在内的29位在非线性弹性有卓越贡献的代表人物。提出有限变形论的π方法希尔主轴法的提出是有限变形论的重大进展，它解决了许多内禀方法尚解决不了的问题。特别是用希尔应变类进行运算时，主轴法更是不可取代的。郭仲衡1983年曾撰文在《力学进展》上向我国读者系统介绍了主轴法，然而，在场的问题上，主轴法几乎是无用的。有限变形论的许多基本量，特别是与希尔应变类相联系的有关量的内禀表达问题尚待解决。这里对偶法已无能为力。1989年，郭仲衡终于完成了普适的“主轴内蕴法”的构思，简称π方法，来源于“Principal Axis Intrinsic Method”缩写“PAI”的拼音。这种方法一揽子地解决了所有有限变形基本量的内禀表达问题，克服了希尔主轴法不能用于场的问题的根本缺陷，在《有限变形中的π方法》一文中作了详细的叙述。π方法在中间过程不仅用到了标架，而且是主标架（一种特殊的标架），但最终结果却是抹去了标架的任何痕迹的内禀表达，可以说是“退两步，进三步”，结果是前进了一大步。这就是兵法中所谓的“欲擒故纵”。至此，他的学术思想演化得更灵活了，不固执地拘泥于过程，而着眼于最终结果，着眼于解决问题。建立大变形微极弹性拉格朗日场论60年代，国际上兴起了一门“辛几何力学”。在一般情况下，力学系统总是受到或多或少约束。约束系统的构形空间是微分流形。辛几何力学以近代微分几何为基本工具，在流形上进行分析，发掘出力学系统的基本数学结构。在1986年第一届“MMM”会议上，郭仲衡作了题为《Hamilton力学的几何理论》的专题报告，宣传了这门力学。研究约束系统的大范围运动和稳定性必须用近代微分几何。面对新的挑战，是退缩，绕道，还是应战？郭仲衡选择了后者。1982年回国后，他在北大数学系马上开力学的几何理论课程，组织讨论班，带这方面的研究生，期望培养和吸引学生对付这个新挑战。R·W·布洛凯特（Brockett）有这样两段话：“力学是描述性的，而控制是规定性的。因此，前者是自然科学，后者属工程科学”；“作为控制和动力学的共同基础的通用语言（Lingua franca）几何已取代了分析。”这两段话为郭仲衡在新形势下的教学和科研向前发展起了导向作用。力学和控制是一件事物的两个方面，用到的数学工具有相近之处，研究大范围运动固然要用到几何，而研究大范围控制也同样要用到它。力学和控制这对孪生兄弟的几何理论正吸引着郭仲衡的主要注意力。他和他的学生们在这方面已做了一系列工作。他建立了大变形微极弹性的拉格朗日场论。1991年，他的一个学生完成了我国在非线性控制几何理论方面的第一篇博士论文。郭仲衡总是坚持第一线教学。他既教数学，又教力学和控制，更教两者的结合，注意讲近代数学的力学背景和现代力学的数学基础。他注意培养学生既有严格而现代的数学训练，又有乐于解决应用问题的兴趣。他对学生既严格要求，又喜欢和他们接触，经常讲一些自己的经历。有个学生在考卷上写道：“从郭老师细致入微的分析推理和不辞辛苦的精神，学到了怎样做学问和怎样做人，非常感谢郭老师。”郭仲衡自幼受父亲“尊师重道”传统观念的熏陶。对师长们，无论是国内的还是国外的，是直接的还是间接的，他都很尊敬，学习他们的渊博学问、严谨的治学态度和高尚品德。而他以勤奋好学和钻研进取的精神也赢得了师长们的器重、爱护、关怀和扶植。郭仲衡认为，以师长们对待自己的态度来对待、培养出“青出于蓝而胜于蓝”的下一代，就是对师长们的最好报答。正在起劲地联系实际的某一天，郭仲衡偶然在外文书店发现，书架上一批处理的《物理大全》中有他还未见过的C.杜鲁斯德尔（Truesdell）和W.诺尔（Noll）的《力学非线性理论》（The Nonlinear Field Theories of Mechanics，Handbuch der Physiv Bd Ⅲ/3，Berlin：Springer，1965），书里竟引述了他在波兰发表论文中的17篇。在弹性一章的开端还写道：“我们这里讨论的某些部分归功于……。”事情发生了变化，1977年5月，召开全国科学大会的通知提倡大力加强基础科学研究。郭仲衡参与了1978年全国力学规划的“理性力学和力学中的数学方法”部分的工作。在规划会上和会后，郭仲衡向我国学术界介绍了国际上理性力学、应用数学和非线性力学的进展情况，后来，为了推动这方面的工作，中国力学学会成立了“理性力学和力学中数学方法专业组”，由钱伟长教授任组长，郭仲衡任副组长，之后，专业组改为专业委员会，钱伟长和谈镐生教授任顾问，郭仲衡任主任。郭仲衡在“文化大革命”前的想法复苏了，遂将留下的讲义修改补充成《非线性弹性理论》一书，于1980 年由科学出版社出版。这是我国第一部以理性力学观点系统介绍有限变形和非线性弹性的专著，许多高等院校用它作研究生教材，以后我国在此领域出版的一些书参考或直接采用郭仲衡在该书首先引进的两点张量记法。郭仲衡深知：“工欲善其事，必先利其器。”他在研究中不仅努力应用张量，而张量理论本身也成为他研究的一个重要方面。他崇尚以至于醉心张量的内禀方法。他力图不仅内禀地表达一切研究结果，而且也内禀地进行推导论证。专著《张量》就是本着这个精神而写的，包括了他前期的部分研究结果。凯莱-哈密顿（Cayley-Hamilton）定理的现存证明大都是指标形式。还在波兰时，郭仲衡发现意大利学者C.布拉里佛尔蒂（Burali-Forti）和R·马尔科龙戈（Marcolongo）在1913年给出过一个三维情况的抽象证明。20多年来，郭仲衡一直想将这个符合他崇尚的美妙证法推广至几维情形。1985 年，他的夙愿才得到实现，关键在于应用外代数。他有机会看到D·H·萨庭格尔（Sattinger）和O·L·维佛（Weaver）在专著《Lie群和Lie代数的物理应用》中的一段话，大意是，经过长期的角逐，向量的吉布斯（Gibbs）记法在50年代赢得了胜利，而微分形式则尚在角逐中，看来也要赢得胜利。他深信不疑这个胜利。外代数的得心应手的应用使他得以长驱直入，得到或改进了张量分析中的一系列深刻结果。1989年，郭仲衡在意大利比萨作演讲，说到这些结果渊源于推广该国布-马两氏的一个证明时，在座听众表示钦佩和浓厚兴趣。1980年，郭仲衡应聘为联帮德国鲁尔大学客座教授，讲授非线性连续介质力学。他完全使用内禀方法。唯独伸缩张量率，他只能给出当时文献仅有的R.希尔（Hill）的主轴表示。郭仲衡常因此引以为憾，惦记在心。1982年，他终于用对偶法得到了这个抽象表示，使这个问题得以突破，国际上称为“郭氏速率定理”。C.杜鲁斯德尔将这个结果补充进1991年出版的专著《理性连续统力学引论》第二版。对偶法在中间过程用到了标架，尽管是任意的，毕竟是用到了。他似乎从原来彻底不用标架的宗旨退了一步，但得到的却是单纯抽象推导不出的内禀结果。他说，这是“退一步，进二步”。对偶法还不是一种普适方法。上述突破是一个未能带动全局的孤立事件，但它毕竟显示了内禀表达是可能的。这一论文发表后，激发了国际学术界对这个问题的重视，从而发表了一系列论文。

还有三个月就是毕业生们答辩的时间了，但是很多毕业生们目前连选题都还没有选好。时间紧迫，我立马为大家精心整理了一些大学数学系本科毕业论文题目，供毕业生们参考! 1、导数在不等式证明中的应用 2、导数在不等式证明中的应用 3、导数在不等式证明中的应用 4、等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 5、迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进 6、第二积分中值定理“中间点”的性态 7、对均值不等式的探讨 8、对数学教学中开放题的探讨 9、对数学教学中开放题使用的几点思考 10、对现行较普遍的彩票发行方案的讨论 11、对一定理证明过程的感想 12、对一类递推数列收敛性的讨论 13、多扇图和多轮图的生成树计数 14、多维背包问题的扰动修复 15、多项式不可约的判别方法及应用 16、多元函数的极值 17、多元函数的极值及其应用 18、多元函数的极值及其应用 19、多元函数的极值问题 20、多元函数极值问题 21、二次曲线方程的化简 22、二元函数的单调性及其应用 23、二元函数的极值存在的判别方法 24、二元函数极限不存在性之研究 25、反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系 26、反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 27、范德蒙行列式的一些应用 28、方阵A的伴随矩阵 29、放缩法及其应用 30、分块矩阵的应用 31、分块矩阵行列式计算的若干方法 32、辅助函数在数学分析中的应用 33、复合函数的可测性 34、概率方法在其他数学问题中的应用 35、概率论的发展简介及其在生活中的若干应用 36、概率论在彩票中的应用 37、概率统计在彩票中的应用 38、概率统计在实际生活中的应用 39、概率在点名机制中的应用 40、高阶等差数列的通项，前n项和公式的探讨及应用 41、给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用 42、关联矩阵的一些性质及其应用 43、关于Gauss整数环及其推广 44、关于g-循环矩阵的逆矩阵 45、关于二重极限的若干计算方法 46、关于反函数问题的讨论 47、关于非线性方程问题的求解 48、关于函数一致连续性的几点注记 49、关于矩阵的秩的讨论 _ 50、关于两个特殊不等式的推广及应用 51、关于幂指函数的极限求法 52、关于扫雪问题的数学模型 53、关于实数完备性及其应用 54、关于数列通项公式问题探讨 55、关于椭圆性质及其应用地探究、推广 56、关于线性方程组的迭代法求解 57、关于一类非开非闭的商映射的构造 58、关于一类生态数学模型的几点思考 59、关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探 60、关于置信区间与假设检验的研究 61、关于周期函数的探讨 62、函数的一致连续性及其应用 63、函数定义的发展 64、函数级数在复分析中与在实分析中的关系 65、函数极值的求法 66、函数幂级数的展开和应用 67、函数项级数的收敛判别法的推广和应用 68、函数项级数一致收敛的判别 69、函数最值问题解法的探讨 70、蝴蝶定理的推广及应用 71、化归中的矛盾分析法研究 72、环上矩阵广义逆的若干性质 73、积分中值定理的再讨论 74、积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性 75、基于高中新教材的概率学习 76、基于最优生成树的'海底油气集输管网策略分析 77、级数求和的常用方法与几个特殊级数和 78、级数求和问题的几个转化 79、级数在求极限中的应用 80、极限的求法与技巧 81、极值的分析和运用 82、极值思想在图论中的应用 83、几个广义正定矩阵的内在联系及其区别 84、几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用 85、几个重要不等式的证明及应用 86、几个重要不等式在数学竞赛中的应用 87、几种特殊矩阵的逆矩阵求法

保罗·A.萨缪尔森的经典著作曾经多次重印并且翻译成多种语言，现在他把新的内容加入到他在1947年的论述中。新的导言描绘了本书的起源，并分析了其贡献是如何与1947年以来的理论发展相吻合的。新的长篇数学附录审视了1947年以来政治经济学中所涉及的基本方法论之突破性的进展：线性规划和比较静态学；动态和随机的非线性规划；现代的对偶理论；新古典货币模型的可测试内容；具有期望一效用极大化理论方面新观点的概率决策，以及用优于均值一方差近似法的广义方法所作的投资组合与流动性偏好分析。

简单地说，就是量子力学中的定态波函数ψ（r)的解中的E，E就是能量本征值

非常基础的东西，高中毕业就能看懂。数学会求导数（求边际效应）就行了。