循环群的性质研究论文

循环群是只有一个元素生成的群，它的结构平凡而简单。第一个定理说明，每个阶数（无论无限还是有限）的循环群只有一种。证明很容易，其实就是说无限阶时与n是一样的，有限阶时与modn的剩余类群中的m是一样的。这个定理有点像拉格朗日定理的逆定理。已知子群，可以确定它的阶是大群的阶的因子，但是已知一个因子，它有没有一个对应的子群呢？这个定理告诉我们，在循环群里，它是肯定的。肯定是单位元了，但是当存在这样一个a，使得|G|恰好是把a单位化的最小数，Abel群G就成为了循环群。A单位化的最小正整数，我们一般称之为阶，它在数论中用途颇多。这个定理我们将来还会用到，它是判定循环群的一大利器。接下来我们研究循环群的自同构群。研究的方法虽然简单，但却抓住了本质。循环群最重要的是什么？就是它的生成元。生成元在自同构下会怎么样？肯定还是生成元！而自同构一定把生成元映射成生成元吗？那也是肯定啊，要不然生成元无处可去。有限阶群比无限阶群要复杂，我们要从他们的生成元起步。接下来的表示不超过n且与n互素的正整数组成集合，其上的乘法按照modn 定义，容易得到它是一个群。

循环群是—种很重要的群，也是目前已被完全解决了的—类群。其定义为若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。[1]中文名循环群外文名cyclicgroup类型无阶循环群、有阶循环群定义若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)={am |m∈Z}，a称为G的—个生成元。特别地，如果G的代数运算采用加号表示时，则有(a)={ma|m∈Z}性质定理1设(a)是—个循环群，(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn

，循环群（英文：cyclic group），是指能由单个元素所生成的群。有限循环群同构于整数同余加法群Z/nZ，无限循环群则同构于整数加法群。每个循环群都是阿贝尔群，亦即其运算是可交换的。在群论中，循环群的性质已经被研究的较为透彻，是更为复杂的代数研究中常用到的基础工具。

1、封闭性：群内任意两个元素或两个以上的元素（相同的或不同的）的结合（积）都是该集合的一个元素。即假设对于群G操作（运算）是*，对于G里的任意元素a,b，那么a*b和b*a都必须是G的元素。

2、结合律：虽然群元素不一定要求满足交换律，但必须满足结合律，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)。

3、单位元素(幺元)：集合G内存在一个单位元素e，它和集合中任何一个元素的积都等于该元素本身，即对于G中每个元素a都有 e*a=a*e=a。

4、逆元素：对G中每个元素a在G中都有元素a^（-1），使 a^（-1）*a=a*a^(-1)=e。

扩展资料：

一、循环群

循环群是—种很重要的群，也是目前已被完全解决了的—类群。其定义为若—个群G的每—个元都是G的某—个固定元a的乘方，则称G为循环群，记作G=(a)，a称为G的—个生成元。循环群有无阶循环群和有阶循环群两种类型。

二、置换群

n元对称群的任意一个子群，都叫做一个n元置换群，简称置换群。

置换群是最早研究的一类群，是十分重要的群，每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，所有的有限群都可以用它来表示。

由有限集合各元素的置换*所构成的群*。它是一种重要的有限群。

每个代数方程，都有由它的根的置换所形成的置换群存在;伽罗华*利用置换群的性质，给出了方程可用根式求解的充要条件。

由n个元素的集合中各元素的全部置换所构成的群，称为n阶对称群。讨论正n边形绕中心的对称，就得到一个对称群。

参考资料来源：百度百科－群