汽车停止距离的模型摘要:本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的。分析本题后可知,汽车所停止的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离,可表示为: 分别建立出反应距离、制动距离与速度 的模型,此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合,最后得所需的模型。得到模型后,对模型的可行性代入实际数据进行模型检验,且在中实现,并根据结果对所得模型进行优化,最终得到了一个比较令人满意的结果。关键字:反应距离 制动距离 最小二乘法 数据的最小二乘拟合1问题重述一辆汽车停止距离可分为两段,一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离 ,这段时间称为反应时间。另一段则为制动时间驶过的距离 。现考核司机,考核结果如下: 行驶速度 36 Km/h 3 m m 50 Km/h 5 m m 70 Km/h 7 m m(1) 求出停车距离D的经验公式。(2) 设制动力正比于车重,建立理论分析模型,并求出D的公式。 2 符号说明及基本假设 符号说明: —— 车辆停止时所驶过的总距离 (米) ——反应距离 (米) ——制动距离 (米) ——汽车的行驶速度 (千米/小时) ——制动力与车重的比例 ——反应距离与速度的比例 ——刹车后汽车停止所需的时间 ——刹车后某一时刻车辆移动的距离 ——加速度 ——汽车质量 ——制动力 ——制动距离与 的比例 ——偏差的平方和 ——常数 基本假设(1)所得的数据真实可靠;(2)忽略天气、汽车性能等因素的影响。3模型的建立、分析与求解采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形,代码如下:>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> plot(V,D),xlabel('V'),ylabel('D'),grid on,title('汽车停车距离D与速度V的关系图形')可得其图形为: 图1则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系,故可设停车距离D的经验公式为: 采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合:根据题目所给的数据可得:36 3 5 7 表1根据表1数据,在Matlab中输入代码如下:>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> A=polyfit(V,D,1)A = 故可得: 所以停车距离D的经验公式为: 汽车在反应时间里的速度可认为是匀速运动,故可得反应距离: = 采用最小二乘法求解该关系式:令M= 欲使所得M的值最小,则应满足: 从中可解得 ..............................................................................(1)根据题目所给的数据可得:36 3 1296 108 50 5 2500 250 70 7 4900 490 156 15 8696 848 表2由表2的数据可得: , 将以上所得数据代入(1)可得: 所以反应距离: 制动距离 与速度 的关系式:由题意可知,制动力正比于车重,故可设:F= m..................................(2)又由牛顿第二运动定律得:F= .............................................................(3)由运动规律得: ...........................................................................(4)联立(2)、(3)、(4)三式可得: 对上式两边同时进行积分得: .............................................(5)当t=0时, ,将之代入(5)式得: 当 时, ,将之代入(5)是式得: 又由运动规律可知: ......................................................................(6)将(6)式代入(5)式得: 对上式两边同时进行积分得: .............................(7)当t=0时,S=0,将之代入(7)式得: 当 时, ,将之代入(7)式得: 所以 正比于 ,故可令: 对上式两边分别取对数得: 采用最小二乘法求解该关系式:令 欲使所得M的值最小,则应满足: 即得: ......................................................(8)根据题目所给的数据可得: 表3根据表3数据可知: , 将以上所得数据代入(8)可得: 即得 故 与 的关系式为: 所以停车距离D的公式为: 4 模型的检验、评价与优化对第一个模型的检验:第一个模型: 在Matlab中输入代码如下:>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为: 图2 根据图2可知,该模型的图像恰好经过了这三点,但由于该模型是根据经验数据所得出的,并没有经过理论分析,所以所得模型是比较的粗糙,跟实际有出入,不适合推广。对第二个模型的检验:第二个模型: 在Matlab中输入代码如下:>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*V+*V.^2;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为: 图3根据图3知,虽然第二个模型并没有经过这三个点,但这三个点均比较的靠近该图形。考虑到实际所测得的数据有存在误差,据此所得的模型应该与实际比较的符合。再者,该模型是根据理论充分的论证、分析所得,与实际相吻合。又易知,当速度 时,停车距离 。综上所述,第二个模型与实际比较的符合。第二个模型结合了理论,又通过了实际数据的检验,所以较第一个模型而言适合推广。如果能够得到更多的实际数据,那么,模型就能够得到进一步的验证。对第二个模型的优化:为了能够得到更好的拟合曲线,我们可以对第二个模型进行适当的优化,可设停车距离D与速度V的关系式为: 采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合:在Matlab输入代码如下:>> V=[36 50 70];>> D=[ ];>> A=polyfit(V,D,2)A = 故可得: 所以所得的优化模型为: 对所得的优化模型进行检验:优化模型: 在Matlab中输入代码如下:>> syms D V>> x=[36 50 70];>> y=[ ];>> V=18:;>> D=*V.^2+*;>> plot(x,y,'r*',V,D);grid可得其图形为: 图4根据图4知,优化模型的拟合度非常的高,但应该要注意的一点是,当汽车速度为零时,该模型预测汽车的停止距离为 。采用Matlab求解该模型的根,在Matlab中输入代码如下:> syms D V>> D=[];>> V=roots(D)V = * 所以仅当 时, 。故该模型所应用的范围不大。参考文献[1]赵静,但琦.数学建模与数学实验.北京:高等教育出版社;海德堡:施普林格出版社,2000.[2]Frank .数学建模(叶其孝,姜启源等译).北京:机械工业出版社,2005.[3]姜启源,谢金星,叶俊.数学模型.北京:高等教育出版社,2003.[4]谢云荪,张志让.数学实验.北京:科学出版社,1999.[5]张德丰.Matlab数值分析与应用.北京:国防工业出版社,2007.