换元法的应用论文格式

结合教学实际 撰写教学论文 提高自身素质撰写中学数学教育教学论文是教师探讨中学数学教学问题，总结教学教研实践经验、获得理论支撑的有效途径，是教师提高自身素质、促进专业发展的必由之路.在平时的教育教学研究活动中，如果你对某一类或某一个问题所采用的教育教学方法比原有的教育教学方法有新的改进，甚至是对某一段教材、内容提出新的处理意见，这种意见有改革创新之意，把这些“突破”、“创新”写出来，这就是教育教学论文.数学教育教学论文的格式1.标题:用词要确切、恰当、鲜明、简洁，便于读记、摘录.2.作者姓名和单位:署名一般置于标题下方，同时附有作者工作单位名称和邮政编码.3.摘要:是对论文内容准确概括而不加注释和评论的简短陈述.它一般包括课题研究的意义、目的、方法、成果和结论等.摘要应具有独立性，简明扼要、引人入胜，一般不超过300字.4.关键词:指论文中的关键词语，通常是从论文的标题、摘要和正文中抽取出来的，是对表述论文主题内容具有实际意义的词汇，一般以3—8个为宜.5.前言:一般包括研究课题的背景和起点、研究方法、过程及成果的价值.6.正文:这是论文的主体和核心，论文的论点、论据和论证都在这里阐述，它体现论文的质量和学术水平的高低.正文应做到概念清晰、论点明确、论证严密、论据充分、数据准确、层次分明.应具备科学性和严谨性，同时要条理清楚，文字通俗、简明、流畅.7.结束语:它是在理论分析和实验论证的基础上，概述课题的研究成果和价值，对成果的局限性和尚未解决的问题也应交待.8.参考文献:一般指已发表在正式出版物上的文献或公开出版的书籍，是为撰写和编辑论著而引用的有关图书资料.9.作者介绍:作者简历和主要学术著作.教育教学论文写作的基本要求1．科学性：所讲知识、方法、道理要正确 ；2．真实性：自己亲身经历和思考过的；3．针对性：切中当前主要问题和迫切问题 ；4．严谨性：有条理，思维缜密，前后呼应；5．创新性：有创新意义，不落俗套.一、立足学生，研究学法，逐步提高写作水平在论文写作的初级阶段，应学会从学生的角度出发，开展解题教学的研究工作，重视对一题多解、一题多变、一题多用的研究，注意对学生中典型错误的分析、归纳、提炼，研究对学生学习方法的指导，突出对解题规律的总结，再从这些方面寻找、积累素材，进行论文写作，这样起点低，难度小，有利于写作水平的提高.1．从解题研究中寻找题材如何对题目进行多解多变，发挥每一道题目的最大功能，通过一道题去解决一类问题，得到一种方法，提升多种能力，通过这样的研究，自己的教学能力就会很快得到提高，将这些研究的内容整理出来，就是很好题材.2．从错解归纳中寻找题材在学生的解题中，发生错误是常见的，也是正常的，造成错误的原因很多，既有知识方面的错误，更有非知识性的错误，所以，我们在教学中不仅要注意知识方面的查漏补缺，正本清源，而且要注意对非知识方面出现的问题进行反思，找出产生问题的根源，杜绝这类问题的再次发生，从而有效地提高学生的解题能力和思维水平.对考生解题（特别是中考题）中的常见错误进行罗列、分析、归纳，剖析产生的根源，指出相应的对策，就可以写出许多论文来.3．从学法指导中寻找题材许多学生对数学学习感到困难，在解决有关问题时难以找到切入点，只有经过别人点破才能使问题迎刃而解．为此，我们要通过对典型问题的评析，结合问题的引申，帮助学生总结学习数学的方法，寓学习方法的传授于问题的研究之中，有效地体现数学教学的育人功能.4．从总结规律中寻找题材在平时的教学过程中，我们要注意帮助学生积累解题经验，总结解题规律，这样学生在遇到新的问题时就会由已知条件联想到已有的解题经验以及常用的规律，解题能力就会大大提高，同时也为我们撰写文章提供了很多的素材.二、立足教法，强化学习，不断增强研写内功数学教育教学论文的撰写过程，是数学教育教学研究的继续，通常要求上升到理论的高度进行分析和研究.因此，我们必须强化学习，关注热点，重视反思，增强内功.1．从教改热点中寻找题材2．从教材研读中选择题材课标是新教材编写、课堂教学和中考命题的依据，是教师进行教学设计和论文写作的指导性文件.因此，我们一定要加强与新课标之间进行高质量的对话.教材是对话的文本，是学生学习活动所凭借的话题与依据，是教师进行教研和论文写作的主要依据.——吃透教材,只有吃透教材，才有能力驾驭教材（1）要从宏观上理清教材的编写思路：教材是如何根据不同学生的认知能力和心理发展规律，按照“螺旋上升”方式来编写的，做到高瞻远瞩、放眼全局，不在细枝末节上做文章，真正从整体上把握教材；（2）要从微观上推敲教材的细节：思考教材中编写了什么？知识点有哪些？是在怎样的基础上发展起来的？又怎样为后面的知识学习作准备的？这节课的教学重点是什么？哪里是学生难以理解的？教学的难点是什么？等等.准确地把握教材的知识点、生长点、重难点，教学才能对症下药、有的放矢.——利用教材教材虽然规定了要教什么，但至于怎样教，运用哪些素材、事例、例题去教，则是教师自己的事情.对于同一内容，不同版本的教材都有其不同的呈现方式，究竟哪种呈现方式好，哪种呈现方式与学生接受知识的动态过程更吻合，需要教师再选择、再加工、再创造.——超越教材教材是教学线索，是教学话题，是教学案例，教师可根据教学实际对其进行加工组合：教材创设的情境对帮助学生学习有什么好处？视角是否独特？可不可以用更好地情境替代？教材提供的学习线索是什么？知识的形成过程为什么要这样设计？是否合理？有没有更合理的方案？每道例题、练习题的功能是什么？是否符合本班学生的实际？是不是有更合适的例习题来更换？等等.3．从教学实践中选择题材以教育教学实践中的问题作为论文的选题，对我们这些处于一线的教师来说，不但可行，而且非常有必要.因为对教育教学工作中碰到的各种问题，我们教师必须进行思考并作出自己的回答.一个教师要教好书，就必须善于总结教育教学实践中的经验，把教育教学实践中体会到的、发现的、领悟到的点点滴滴，及时记录并加以研究和总结，这样才能不断提高自己，才能进一步地教好书，而研究和总结的东西如果形成了文字材料那就可能是一篇好的教研论文.例如，如何搞好初中数学总复习工作是每个人都要考虑的问题，而且随着中考命题的改革，总复习也必须与时俱进，针对这个问题，不断进行教学研究，及时总结研究的体会，撰写教学论文.再如对数学思想方法的渗透，数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，教材中没有专门的章节介绍它，而是伴随着基础知识的学习而展开的.因此，我们在教学中一定要重视对常用数学思想方法的总结与提炼，它们是数学的精髓，是解题的指导思想，更能使人受益终身.初中阶段常用的数学思想方法可分两类：一类是某些重要的数学思想方法，如方程思想、数形结合思想、分类思想、整体思想、函数思想、转化思想、样本估计总体思想、归纳思想、类比思想、换元法、配方法、待定系数法、图象法、面积法、添辅助线、估算法等；另一类是某些重要知识的运用，如非负数、奇偶数、比例性质、根的判别式、根与系数的关系、勾股定理等．它们贯穿在整个初中数学之中，可用专题的形式加以总结归纳，让学生弄清其来龙去脉，了解它的发展变化，掌握它们的适用范围和解题步骤.要通过典型问题的分析、思考、总结，帮助学生弄清什么样的问题用什么样的方法来解决，并内化为经验，能自觉地应用，从而强化思想方法指导思维活动．学生掌握了这些思想方法，解题能力就能提高．又如，如何将竞赛辅导与常规教学相结合，可进行认真研究，在实践的基础上，撰写论文.4．从教学反思中选择题材加强教学反思是任何学科都在强调的，是促进自身专业发展、提高自身素质的重要途径.作为教师，我们只有通过对教育教学实践的反思，才能不断地调整前进的方向、不断地扫除成长中的障碍，从而不断地实现自我超越.当然，教学反思可以是对自己亲身实践的反思，也可以是对他人教学实践的剖析.可以说每一次对自己或他人的教育教学实践得失的反思、利弊的剖析，都可以寻找到我们要撰写教研文章的题目.教学反思的一种常见而有效的形式是听课、评课，我们可以从这种交流中寻找题材.教研论文往往是始于问题，也是自己对某个问题长时间思考的结果.因此，我们在进行听课和评课时，要注意从交流中收集自己平常关注较多、有所思考的素材，从中获得能写的题目和内容.一旦选定了某个问题后，就要对这一问题进行持续性的关注，不断加以思考，直到对这个问题有了比较完整的看法，并形成论文为止.三、立足课题，形成体系，全面提升自身素质中小学教育科研以课题为核心而展开研究，具有理性化、系统化等特点，这决定了教育科研活动比一般的教研活动更有利于教师的教育教学能力的迅速提高.理性化上，教育科研活动要求我们老师边实践，边反思，边总结，因此，教育科研可以使我们的老师在“实践—反思—实践—总结”的良性循环中，迅速提升教育教学能力；系统化上，课题研究是一项系统工程，而且周期相对比较长，从计划、实施到总结，需要我们作出通盘的考虑，而正是这种通盘的考虑，才使得我们的研究涉及到教育教学的方方面面，也使得教育科研能够成为提高我们教师教育教学能力的最有效载体.中学数学教师如果能将自己的教育科研的成果通过数学教育学术论文的形式总结出来，则自身的综合素质将得到迅速的提高.1．从公布课题中寻找题材即从各级教育学会、教科所公布的教育科研课题中去找题材.每一阶段，各级教育学会、教科所都会公布一下教育科研课题，我们可以结合各校、各学段、各人的具体情况进行选择、细化.一般的，这类课题内容丰富，题材广泛，口子较大，我们要进行具体的细化.2．从科研动向中寻找题材即从当前教育科研新动向结合自己工作的实际情况来寻找题材. 以《学科教学中学生综合素质的培养研究》为例，2002年秋季，新课程改革实验在全国铺开，素质教育于二十世纪九十年代正式提出，并在全国进行了至上而下的深入研究. 世纪需要的是高素质的综合性人才，如何在学校的各个学科教学中培养学生的综合素质，是一个值得认真研究的课题. 然而在现实生活中，传统的教育观念仍然阻碍着素质教育的实施，应试教育在某些地区、某些时候还存在着很大的市场，“满堂灌”的课堂教学模式并不鲜见，尤其值得一提的是过重的学业负担束缚着学生创造力的发展，陈旧的千篇一律的课时、课程设计难以让学生展开自主发展的翅膀. 如何将学生从重复的机械的学习中解放出来，如何更有效的开展素质教育，提高学生的素质，体现以人为本的思想，是值得我们认真思考的问题.学校中课堂教学是教师向学生传授知识的主阵地，因此探讨课堂教学中学科教学与素质教育的关系，实施学科教学中学生综合素质的培养，对于实施新的课程方案，对于新的一轮课堂教学的改革，让学生得到自主发展，让每个学生学有所得，学有所长，是有一定意义的.教而不研则浅，研而不教则虚. 只要我们有一双善于发现的慧眼，从平时所做、所看和所思去寻找自己想写而又能写问题，开展教育教学研究，撰写教育教学论文，把教学和教研有机结合起来，实现教研相长，就一定能不断促进自身的专业成长.

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。解一元二次方程时可利用换元法解高次方程。如解方程(x²-1)²-5(x²-1)+4=0，我们可以将（x²-1）看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y²-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x²-1=1，∴x2=2，∴x=±2 ；当y=4时，x²-1=4，∴x2=5，∴x=± 5 ，故原方程的解为x1= 2 ，x2=-2 ，x3=5 ，x4=-5 ．

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。 换元的种类有：等参量换元、非等量换元（一） 代数换元法例 解方程 —=1解 ：令=t ( t0 )则=1+t于是有： (1)-(2) 得：t = 2 代入（2）得：2x2-3x-2 = 0 解之得：x1 = 2, x2 = -经检验知：x1 = 2和 x2 = -均为原方程的解。例2 求证： （ ）证明：令 y = 则：x2+2 = y2+1从而原式 = 所以 小结：例1小结：通过换元避免了常规解法中两次平方的复杂运算，使问题更加容易解决。此曰：代数换元法。例2通过换元使问题更加明朗。再用均值证明不等式。例3求函数y = sinxcosx + sinx + cosx的值域解： 令 t = sinx + cosx = sin(x+)则 t[] 而 sinxcosx = [(sinx+cosx)2-1] =(t2-1)所以y =(t2-1)+t =(t+1)2-1当t = -1时，ymin = -1当t =时, ymax =+故函数的值域为 [-1，+] 。 （二）常量换元法例4 已知f(x) = 2x5+3x3-x2-4x+12, 求f(1-)的值。解：设1-= x 则x2+2x-1 = 0 ∵ 2x5+3x3-x2-4x+12 = (2x3-4x2+13x-31)(x2+2x-1)+71x-19 = 71x-19 ∴ f(1-) = 71(1-)-19 = 52-71小结：利用常量换元法构造零因子，使计算量大大减小。充分体现常量换元法在解题中的精妙作用。问题推广：例5已知f(x-3) = 2x2+5x-6, 求f(x)的解析式。解：令x-3 = t 则x = t+3把x = t+3代入f(x-3) = 2x2+5x-6 得：f(t) = 2(t+3)2+5(t+3)-6 = 2t2+17t+27所以 f(x) = 2x2+17t+27小结：常量换元法是求函数解析式的常见方法。 （三）比例换元法例6 若== 求证：sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0证明: 设=== 则x=Rtan(θ+α) y=Rtan(θ+β) z=Rtan(θ+γ)sin2(α-β)= 〔cos2(θ+β)-cos2(θ+α)〕sin2(β-γ)= 〔cos2(θ+γ)-cos2(θ+β)〕sin2(γ-α)= 〔cos2(θ+α)-cos2(θ+γ)〕将上述三式相加得：sin2(α-β)+ sin2(β-γ)+ sin2(γ-α)=0小结：注意题型结构特点，类似比例式子，利用适当换元，通过三角运算，使问题化繁为简，更容易解决。 （四）标准量换元法例7设a1，a2 ，a3，…，a2004均为实数，若a1+a2+a3+…+a2004=2004 …… (1) …… (2)求证：=2004证明：令a1=1+m1, a2=1+m2, a3=1+m3 , …，a2004=1+m2004由（1）式可得：m1+m2+m3+…+m2004=0 …… (3)由（2）式可得(1+m1)2+(1+m2)2+(1+m3)2+…+(1+m2004)2=2004将其展开并将（3）代入，化简得：=0故:m1=m2=m3=m2004=0即:a1=a2=a3=…=a2004=1所以： 小结：例中选“1”作为“标准量”，把a1，a2 ，a3 …a2004都用“1”和辅助量m1,m2,m3, …,m2004表示。此种方法为“标准量换元法”。 （五）三角换元法例8（1）以知x>0,y>0,且，求x+y的最小值 （2）解不等式： 解：（1）设=cos2θ, sin2θ （0<θ<）则x+y==10+tan2θ+9cot2θ≥10+2 tanθ3cotθ=16故：当tanθ=3cotθ 即，此时 x=4 , y=12（x+y）min=16(2) 令x=2sinθ (-) 则不等式化为：2cosθ≥2sinθ解之得：-从而-2≤2 sinθ≤1 即 -2≤x≤1说明：若变量x的取值范围可转化为：-1≤x≤1或-12且n∈N ) 则△ABC为何三角形？为什么？解：∵an+bn=cn 故：令an=cncos2 θ bn=cn sin2θ (0<θ<)从而：a2=c2 b2=c2 ∴a2+b2= c2 (+)>c2()=c2由cosθ=>0 即 ∠C为锐角，又c为最大边故：△ABC为锐角三角形。 （六）增量换元法例11 求证：对任意实数a>1, b>1 有不等式 证明:设a=1+x , b=1+y , x, y∈R 则 =当且仅当 x= y =1 即a = b =2时取等号此题解法为增量换元法。所谓增量换元法就是用相关变量x代换m+t，其中m为恰当的常数，因此严格地说起来，未必一定是增量；另外从本质上讲这种代换仍然是线性的，这样像上面例11中的1-2y=t的基本代换也是线性代换或增量代换。又如：例12求函数f(x)=+的最大值和最小值。解：由 解得 4≤x≤5,即函数的定义域是：4≤x≤5，所以 x是4与5之间的一个变化的量。因此 可设 x = 4+sin2θ (0≤θ≤) , 则f(x) = sinθ+cosθ = 2sin(θ+)当θ =时，f(x)取得最大值2；当θ =时，f(x) 取得最小值1小结：此例既是三角换元法，又属增量换元法。通过换元后转化为三角知识使问题得到了巧妙的解决。 问题的推广：例13 已知实数a1,a2,a3, …,a8满足a1+a2+a3+…+a8=20， a1a2a3…a8=12 求证：a1,a2,a3, …,a8中至少有一个小于1。证明： (反证法) 设a1,a2,a3, …,a8 中没有一个小于1。令 a1=1+t1,a2=1+t2, a3=1+t3 , … , a8=1+ t8 ,t1 ,t2 ,t3 , … , t8≥0 且 t1 +t2 +t3 + … + t8= a1+a2+a3+…+a8-8=12a1*a2*a3*…* a8=(1+t1)(1+t2)(1+t3)…(1+ t8) =1+( t1 +t2 +t3 + … + t8)+ …≥13这与以知a1a2a3…a8=12 相矛盾。 （七）参数换元法例14 已知x2+4y2+8x4+7=0,求x2+y2的最小值且求相应的x、y的值。解：由x2+4y2+8x4+7=0,得：（x+4）2+4y2=9 再变形为： 设 （θ为参数 0≤θ≤2π）则：x2+y2=16-24cos因为：cosθ＜ 所以：当cosθ = 1时，（x2+y2）min= 1, 此时x = -1 y = 0 当cosθ = -1时，（x2+y2）max= 49 , 此时x = -7 y = 0 小结：对于条件是圆锥曲线所对应二元二次方程，同时求两个变量x、y的结构式F(x，y)的最值都可以用参数换元法去解决。 （八）参变量换元法例15 计算 解：设z = 则 z17=-1 z34 =1 同理：原式= = =例16 计算 的值解：令x=＞0 -------(1)对（1）两边平方得：x2==再解方程2x2+5x-3=0,并取正根得：x=,即得解。例17 已知椭圆 = 1，定点A(1,1),若过点A的弦PQ所在直线的方程。 解： ∵ 点A(1,1)是弦PQ的中点， 故 可设P (1-m,1-n), Q (1+m,1+n) ∵ 点P、Q在椭圆 = 1上， ∴ (1)-(2) 得 -4m - 16n = 0 yp 即 A· x Qo ∴直线PQ的斜率为 kPQ = -,故PQ所在直线的方程为：y-1 = -(x-1) , 即： x+4y-5 = 0小结：利用设变量解题，也是换元思想的应用。此题增设未知量，将线段端点坐标与中点坐标之间的关系巧妙地结合起来，使问题思路清晰，过程简单，是换元思想的最佳情界。（九）多元换元法例18若a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥证明：令a=+α b=+β c=+γ则有：α+β+γ=0 又 a2+b2+c2=（+α）2 +（+β）2 +（+γ）2 = +2（α+β+γ）+（α2+β2+γ2）≥ 例19已知 求证：证明：令则题设变为： 由（2）得：由（1）得：（）2 =1即： ∴ 即：小结：由于事物的质和量是有多种因素决定的，如改变其中每一因素就可能产生新的思路，在求解数学问题中，使用的“多元换元法”解题，可以使问题化繁为简，更容易坚决。综上所述，换元思想方法在数学解题中有着不可低估的作用。总结解题的规律和技巧，强化思维训练，对提高学生分析问题、解决问题的能力将是十分有益。也能全面提高学生素质，培养和提高学生创造能力。因此，我们更有必要对数学方法进行再认识，全面提高教学质量。