数学一题多解研究论文

【摘要】：在数学学习的过程中，我们发现有些题目存在着很多种解法，就会使我们多这些解法产生想一探究竟的想法。在尝试多种解法来解答问题时，需要从多个角度进行思考。这样，做题的思路得到了拓展，从这个过程中总结出了规律跟解题经验。以后，在解答其它类型的数学问题时，可以作为借鉴。在进行解答同种类型的问题时，有了上次总结的经验和规律，从而达到快速解题的效果。【关键词】：高中数学、“一题多解”、探索过程与见解。 数学学习最重要的是练习，在解题过程中能够了解自己在某一个知识点上的不足，能起到查缺补漏的效果，并从中总结解题经验。从解题经验可以知道，“题海战术”的效果并不是十分显著，重复地进行解题，学习效率也不高，达不到理想的效果。而在数学解题过程中，需要选择具有代表性的题目，从中总结知识点，从多个角度进行思考，寻找多种解题方法。 一、高中数学解题过程会面对的困难 1、知识点不扎实 数学习题的练习能起到巩固知识点和查缺补漏的作用，能更好地将知识点熟练应用于解题当中。通过数学习题的练习我们知道，基础知识的熟练掌握和了解是十分关键的。在数学学习过程中，知识点逐渐丰富，不断积累数学知识，将以前遗忘的知识点重新温习一遍。知识点不够扎实势必会在解决问题的过程中难以高效地得到解决，学习数学就是将数学知识点逐渐吃透，慢慢将基础知识变薄。 2、不够灵活运用数学相关知识点 数学各类知识点之间有着很重要的联系，在几何运算及代数运算中，需要用到高中数学中的诸多知识点。如学习复数时，往往需要用到三角函数基础知识。在解题运用过程中，熟练掌握数学相关知识点是非常有必要的，更重要的是熟练掌握解题运算方法。由于高中数学知识之间的衔接比较差，再加上知识点分离大，往往只能单独学习部分知识，解题过程中存在不能熟练运用知识点解题的情况，从而导致数学学习成绩不理想。 二、“一题多解”的基本含义 一题多解就是以原有的题目为中心，向其周围的各个核心方面展开深入研究。通过了解各种解题方式可以对题目逐层分析与解决，让我们知道数学基础知识点的重要性，使得我们学得更努力，这样能减轻学习负担，帮助我们进一步学习数学知识点，培养我们多种思维的方式。 三、“一题多解”的心得 1、以三角函数题型为例 例题：已知tana=3/4，求sina、cosa的值。 分析：因为题中有tana、sina、cosa，考虑三者之间的关系，最容易想到的是用三角函数关系式。 方法（1）：根据三角函数关系式： tana=sina/cosa=3/4  ①，sin²α+cos²α=1  ② 联立①②得：cos²α=16/25，得出：cosa=-4/5或者cosa=4/5，从而：sina=3/5或者sina=-3/5 方法（2）：当a为锐角时，由于tana=3/4，在直角ABC中，如图设AB与AC的夹角为a，设AC=4x，BC=3x，则AB=5x。所以sina=3/5 cosa=4/5，当a为钝角时，得出sina= -3/5，cosa= -4/5。 在解答该问题时，方法1跟方法2的解题思路完全不同，所运用到的数学知识点也不同，却都能得到计算结果。这就说明在数学问题解答的过程中，充分利用与该问题有联系的知识点，可以开拓思路，从多个角度进行问题的解答，实现“一题多解”。 四、总结 一题多解能够拓宽且发散我们的思维，通过一题多解的方式，再加上高中数学教师的引导，能使得学习数学变得轻松。通过对一题多解学习方式的积极应用让我们了解到更多的知识点，更熟练的应用解题技巧及解题思路，以加快解题速度。 从另一个角度看，一题多解的方式能够打破高中惯有的思维，创新思维方式。参考文献：{1}王胜超.“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用.数学大世界（中旬版）.{2}朱扬得.“一题多解”与“一题多变”在高中数学教学中的应用.中学生数理化（学研版）

解决问题是数学的核心，解决数学问题能力的培养是小学数学的重要目标之一，学习数学离不开解题，解决问题的数学是贯穿全部小学数学的内容，要结合具体的生活情景，让学生用所学的数学知识发现数学问题，提出数学问题，解决数学问题，逐步培养学生解决数学问题的能力，解决问题能力的培养会促进各领域内容的理解和掌握。问题解决是以问题为中心，以学生已有的知识和经验为基础，学生在教师创设最佳认知活动的条件下，引导学生自主的发现问题，分析问题，解决问题，学生通过自身情感体验去实现知识的再创造的数学活动，在教学中我的具体做法是：一.培养学生审题的习惯，提高解决问题的能力 1.要求学生认真读题，审题，找出相关的数据和关键字，关键词，从而培养学生的审题习惯。 2.要求学生分析题目，弄清题意，明确题目中的相关条件之间的数量关系，找出已知的信息和要解决的问题。如教学：一个三位数，数字和是2，这个三位数减去6后，还是一个三位数，新的三位数数字和是5，原来这个三位数是多少? 教学时，我先让学生读题，审题，找出关键的词：三位数、数字、原来、新的，并加以理解，在这里原来同学们比较容易理解，对于数字是一个新词，不好理解，我就反复引导学生读一个三位数数字和是2，当连续读2遍后，还是不清楚，我又指着数字和问是什么意思？是谁的和？数字又指的什么？同时在黑板上写出个位、十位、百位，这时一位同学举手了，并且说：我知道了，数字指的是个位、十位、百位上的数。当我用赞称的眼神和拍手的动作告诉大家：他的回答是正确的。这时又有一位同学也说 ： 我也知道了。我紧追着问：谁能说说对数字的理解。另一位同学马上站起来说：数字只能是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。 我又反问:为什么？可能是10，11，12吗？这时又有好几位同学举手了说：个位、十位、百位数字只能是一位数，不能是两位数。同学们对数字理解后，我又反回来让学生一句一句理解题意：一个三位数数字和是2,这个三位数是多少？并让他们自己写出来，有好些同学能写出110、101、200，然后让他们去交流自己的想法，我又引导他们继续读:这个三位数减去6后仍然是一个新的三位数是什么意思？怎么求出新的三位数，这新的三位数到底哪个是我们所求的？怎么知道的，根据是什么？ 当学生们做完后，我又让他们反思解决问题的思路，互相交流，探讨解决问题的方法及过程，给学生展示自己的机会，使学生对所学知识回味无穷，取长补短激发了学生的表现欲望，感受到学习数学的作用。二.培养学生初步的应用意识，提高解决问题的能力。 引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。例如：教学用乘法和除法两步计算解决实际问题时，教材中,呈现给学生的是一幅购物的情景图,货架上，摆有练习本、文具盒、熊猫、布娃娃......画面上有售货员阿姨和小朋友的对话，给出了要解决的问题，教学时，我给学生创设了购物情景，让学生主动进入商店了解信息，了解售货员和小朋友的对话，说说他们在议论什么？也就是想买什么？你是怎么知道的？这时学生们畅所欲言，相互交流了解到的相关信息和要解决的问题，问题如何解决呢？我首先让学生试做，然后相互交流，说出自己解决问题的思路，对问题解决失败的学生我也让他们重复问题解决的整个过程，让他们在反思的过程中掌握解决问题的方法，最后引导学生归纳解决问题的步骤，先求什么？再求什么？整个教学过程借助购物的生活经验，探讨解决问题的方法，使学生在主动探索的过程中长知识，长才干。了解数学的作用，体会了学习数学的重要性。三.鼓励学生独立思考，引导学生自主探索，合作交流，提高解题能力。 数学教学过程充满观察，实验，模拟，推断等探索与挑战性的活动，要引导学生投入到探索与交流的学习活动中去。例如：教学小红买了一篮苹果和桔子往回走，遇到了外婆，把苹果的一半20个给了外婆，回家后，弟弟数了数篮子里一共有58个水果，小红买了多少个桔子？教学时，我先让学生读题，审题，找出相关信息和关键词：水果、一半，并让学生交流对一半的理解，然后组织几位学生分别扮演不同的角色，用课本练习本代替苹果和桔子模拟了买水果的全过程，然后让学生试做，这时仅有几位同学会做了，我只好让他们再次模拟，再做，直到大部分同学会做了。而后，我又给学生提供充分的时间，让学生相互交流，探索解决问题的方法，接着说出解决问题的思路，当同学们达到欲罢不止的地步时，我又鼓励学生到讲台上说说，给他们展示自己的机会，体验成功的喜悦，感觉到学习数学的乐趣.四.指导学生运用各种策略，优化知识结构. 在教学时，我利用开放式的教学方法引导学生采用一题多解的方法，鼓励学生摆脱思维定势，从不同角度去思考数学问题，运用不同的方法全方位的思考，培养学生的思维能力，培养学生多元化解决问题的策略，当问题解决了

一 、引子 北京市中学生数学竞赛有着悠久的历史。近十几年来，北京市中学生数学竞赛是在初二和高一两个年级进行。1990年起分为初试和复试，初试以普及为主，复试则适度提高。命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一。数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动。通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质。数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式。北京市十几年的数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情。下面，笔者尝试通过一道北京市高一年级数学竞赛的初试题的一题多解，与读者共同享受数学智慧的灿烂阳光 二、题目 北京市1992年数学竞赛高中一年级初试“二、填空题”第4题如下： 4、若 sin2x+cosx+a=0 有实根，试确定实数a的取值范围是什么？ 题目短小干炼，满分8分。 三、试解 方程中的求知数是x，出现了x的两种三角函数Sinx，Cosx.。而Sin2x=1-cos2x,好了，变一变，原方程就化成了cos2x-cosx-1-a=0 ①如果原方程中 x有实根，则cosx就会有对应的实数，令t= cosx，这样方程①就化成了t2-t-1-a=0 ②因此，方程②就应该有实数根，因此它的判别式△=(-1)2-4(-1-a)=4a+5≥0,所以 a≥-(5/4) 故实数a的取值范围是a≥-(5/4) 这个答案对吗？ 当a≥-(5/4)时，一定有△≥0，方程②一定有实数根，问题是cosx=t有实根x就一定有实数根吗？注意到余弦函数的值域是cosx∈[-1，1]，故②有实根并不能保证cosx=t一定在[-1，1]内，可见上面的解答是不严密的，思维不缜密的同学可能就会在这里出错。这是试题设置的一个隐蔽的陷阱。 四、反思 怎么办呢？ 如果能保证方程②的实数解t在区间[-1，1]内，则最简三角方程cosx=t就必有实数解x=2kπ±arccost, 好，这样一来，问题就转化为当方程②有位于[-1，1]中的实数根时，求实数a的取值范围什么？ 由方程②得： 故当a∈[-(5/4),1]∪[-(5/4),-1]=[-(5/4),1]时，原方程有关于x的实数根。 以上的方法用到了一元二次方程求根公式，用到了解两个无理不等式组成的不等式组，用到了集合的交集和并集。心里感觉踏实了，但运算较繁杂，有没有更好一些的方法？ 五、改进 如果记方程②的左端为f(t),即f(t)=t2-t-1-a则方程②有[-1，1]中的实数解就等价于二次函数f(t)=t2-t-1-a 的图象抛物线在[-1，1]内与t轴有交点。数转化为形，以形助数。好，试试看。 当抛物线与t轴在[-1，1]内只有一个交点时，当且仅当 f(-1)f(1)≤0即 (1-a)(-1-a)≤0, 解之，有 -1≤a≤1； ③ 当抛物线与t轴在[-1，1]内有两个交点时，当且仅当 由③④得，当a∈[-1,1]∪[-(5/4),1]=[-(5/4),-1]时，y=f(t)与t轴在[-1，1]内有交点，方程②有实数解。 由于f(1)、f(-1)，Δ等的计算比较简便，上述解法是不是比较简捷一点？ 六、换个角度看问题 诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”我们前面的解题思路，都把注意力注意在了“方程有实根”上，跳不出“方程有实根”的如来佛手心，“五”中的解法就渗透了数形转换，已属巧解。如果换个角度看问题，将方程①移项变形得a=cos2x-cosx-1视a为x的函数，用逆向思维来思考：x有实数解，则有cosx ∈[-1,1],a=[cosx-(1/2)]2-(5/4)当cosx=(1/2)时有最小值a最小=-(5/4)；当cos=-1时有最大值a最大=(9/4)-(5/4)=1，故函数值域为 a∈[-(5/4),1]。反之，当a在[-(5/4)，1]中取值时，cosx一定在[-1，1]中取值，x一定有实数解与之对应，你看，a的取值范围不是就求出来了吗？ 七、变式 西游记中的孙悟空神通广大，能八九七十二变。好的数学题也会有一些“变式”。从上面的解法中你还能想到些什么？你能改编出一个相应的题目吗？试试看。 无独有偶，九年后的新千年第一年，2001年，北京市中学生数学竞赛高中一年能初赛试题“二、填空题”的最后一题即第8题如下：“8、若关于x的方程式sin2x+sinx+a=0 有实数解，求实数a的最大值与最小值的和” 读者诸君欣赏至此，是不是会“会心地笑了。” 八、启示 回顾以上解题过程，我们用到了方程的思想，等价转化的思想，数形结合转化的思想，变换角度看问题及逆向思维的思想。思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。