大一线性代数的知识点1282011年线性代数必考的知识点;1、行列式;行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分;①、Aij和aij的大小无关;;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余;i?j;Mij;4.设n行列式D:;n(n?1);将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D2;1,则D1?(?1)D;n(n?1);将D顺时针或逆时针旋转90?;,所得行列式为D2,则2011年线性代数必考的知识点1、行列式1. n行列式共有n2个元素,展开后有n!项,可分解为行列2n式; 2. 代数余子式的性质:①、Aij和aij的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0; ③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A; 3. 代数余子式和余子式的关系:Mij?(?1)i?jAijAij?(?1)i?jMij4. 设n行列式D:n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D21,则D1?(?1)D;n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?,所得行列式为D2,则D2?(?1)2D;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为D3,则D3?D; 将D主副角线翻转后,所得行列式为D4,则D4?D; 5. 行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;n(n?1)②、副对角行列式:副对角元素的乘积??(?1)2;③、上、下三角行列式(?◥???◣?):主对角元素的乘积;n(n?1)④、?◤?和?◢?:副对角元素的乘积??(?1)2; ⑤、拉普拉斯展开式:AOCCB?AOB?AB、CAOABO?BC?(?1)m?nAB⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积; ⑦、特征值;n6. 对于n阶行列式A,恒有:?E?A??n??(?1)kS?kk?n,其中Sk为k阶主子式;k?17. 证明A?0的方法:①、A??A; ②、反证法;③、构造齐次方程组Ax?0,证明其有非零解;④、利用秩,证明r(A)?n; ⑤、证明0是其特征值;2、矩阵是n阶可逆矩阵:?A?0(是非奇异矩阵);?r(A)?n(是满秩矩阵)?A的行(列)向量组线性无关;?齐次方程组Ax?0有非零解;??b?Rn,Ax?b总有唯一解;?A与E等价;?A可表示成若干个初等矩阵的乘积; ?A的特征值全不为0; ?ATA是正定矩阵;?A?A的行(列)向量组是Rn的一组基; 是Rn中某两组基的过渡矩阵;*?1T2. 对于n阶矩阵A:AA*?A*A?AE 无条件恒成立; 3.(A)?(A)(AB)TT?1*(A)?1T*?(A)**T?1(A)*T?(A)?1T*?1?BA(AB)?BA(AB)?B?1A4. 矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和; 5. 关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若?A1?A?????A2??????As?,则:Ⅰ、A?A1A2?As;?A1?1???????O??B?A??O?C??B?O??B??1Ⅱ、A?1A2?1???????1As??;?A②、??O?O③、??B?A④、??O?A⑤、??C?A?1???O?O???1?A?A?1???OO?;(主对角分块) ?1?B?B??;(副对角分块) O??1?1?1?1?1?ACBB?1??;(拉普拉斯) ??1?1?A???1?1??BCAO??1?B?;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个m?n矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F???Er?OO?; ?O?m?n等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A、B,若r(A)?r(B)?????A?B; 2. 行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、 若(A?,?E)???(E?,?X),则A可逆,且Xr?A?1;c②、对矩阵(A,B)做初等行变化,当A变为E时,B就变成A?1B,即:(A,B)???(E,A?1B);r③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Ax?b,如果(A,b)?(E,x),则A可逆,且x?Ab?1;4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;??1?②、???????2????,左乘矩阵A???n?,?i乘A的各行元素;右乘,?i乘A的各列元素;③、对调两行或两列,符号E(i,j),且E(i,j)?1???E(i,j),例如:?1??11???1???1???1????11???1??1k;④、倍乘某行或某列,符号E(i(k)),且E(i(k))?1?1?,例如:?E(i())?k??k???1???1?????????(k?0)?1??;⑤、倍加某行或某列,符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?1??E(ij(?k)),如:1k???1?1??1?k??(k?0);?????1?????1??5. 矩阵秩的基本性质:①、0?r(Am?n)?min(m,n);②、r(AT)?r(A);③、若A?B,则r(A)?r(B);④、若P、Q可逆,则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩) ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B);(※) ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B);(※) ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B));(※)⑧、如果A是m?n矩阵,B是n?s矩阵,且AB?0,则:(※)Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解(转置运算后的结论);Ⅱ、r(A)?r(B)?n⑨、若A、B均为n阶方阵,则r(AB)?r(A)?r(B)?n;6. 三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)?行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;?1ac?②、型如??01b???的矩阵:利用二项展开式;?001??n二项展开式:(a?b)n?C0an?C1n?11nnab???Cman?m?11mm?mnbm???Cnnabn?1?Cnbnn??Cnabn;m?0注:Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项;Ⅱ、Cm?n(n?1)??(n?m?1)0nn1?2?3???m?n!m!(n?m)!Cn?Cn?1nⅢ、组合的性质:Cmn?Cn?mCmmm?1r?2nrCrr?1nn?1?Cn?Cn?Cnn?nCn?1;r?0③、利用特征值和相似对角化: 7. 伴随矩阵:?nr(A)?n?????①、伴随矩阵的秩:r(A*)???1r(A)?n?1;??0r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值:A*?1*A?(AX??X,A?AA???AX??X);③、A*?AA?1、A*?An?18. 关于A矩阵秩的描述:①、r(A)?n,A中有n阶子式不为0,n?1阶子式全部为0;(两句话)②、r(A)?n,A中有n阶子式全部为0;③、r(A)?n,A中有n阶子式不为0;9. 线性方程组:Ax?b,其中A为m?n矩阵,则:①、m与方程的个数相同,即方程组Ax?b有m个方程;②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Ax?b为n元方程;10. 线性方程组Ax?b的求解:①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解; ③、特解:自由变量赋初值后求得;11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????a21x1?a22x2???a2nxn?b2???①、???????????????ax?ax???ax?bm22nmnn?m11?a11?②、?a21????am1a12a22?am2????a1n????a2n???????amn??;x1??b1????x2b???2??Ax?b????????xm??bm?(向量方程,A为m?n矩阵,m个方程,n个未知数)③、?a1a2???an?????x1??x2??????xn??b1?(全部按列分块,其中???b2????bn??????);④、a1x1?a2x2???anxn??(线性表出)⑤、有解的充要条件:r(A)?r(A,?)?n(n为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性个n维列向量所组成的向量组A:?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m);?????????1T?T?2TTTm个n维行向量所组成的向量组B:?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B?????T???m;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解;(齐次线性方程组)?Ax?b是否有解;(线性方程组) ②、向量的线性表出?AX?B是否有解;(矩阵方程) ③、向量组的相互线性表示3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组Ax?0和Bx?0同解;(P101例14) 4. (AA)?r(A)T;(P101例15)???0??,?n维向量线性相关的几何意义:①、?线性相关 ②、?,?线性相关;坐标成比例或共线(平行);③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面;6. 线性相关与无关的两套定理:若?1,?2,?,?s线性相关,则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关;若?1,?2,?,?s线性无关,则?1,?2,?,?s?1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶) 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量,构成n维向量组B:若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7. 向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)?r(B);?s;向量组A能由向量组B线性表示?AX?B有解; ?r(A)?r(A,B)向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B) ①、矩阵行等价:A~Bcr8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl,使A?P1P2?Pl;?PA?B(左乘,P可逆)?Ax?0与Bx?0同解②、矩阵列等价:A~B?AQ?B(右乘,Q可逆); ③、矩阵等价:A~B?PAQ?B(P、Q可逆); 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n:①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;②、若A与B行等价,则Ax?0与Bx?0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性; ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩; ④、矩阵A的行秩等于列秩; 10. 若Am?sBs?n?Cm?n,则:①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,AT为系数矩阵;(转置)11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解;②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解;12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为:(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K(B?AK)其中K为s?r,且A线性无关,则B组线性无关?r(K)?r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r;充分性:反证法)注:当r?s时,K为方阵,可当作定理使用;13. ①、对矩阵Am?n,存在Qn?m,AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关;②、对矩阵Am?n,存在Pn?m,PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关; 14. ?1,?2,?,?s线性相关?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立;(定义)???(?,?,?,?)?12s???x1??x2??0有非零解,即Ax?0???xs?有非零解;?r(?1,?2,?,?s)?s,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15. 设m?n的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax16. 若?*为Ax?b?0的解集S的秩为:r(S)?n?r;的一个解,?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系,则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关;5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵?AA?ET或A?1?AT(定义),性质:?1???0i?ji?j(i,j?1,2,?n)①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即aiTaj②、若A为正交矩阵,则A?1?AT;也为正交阵,且A??1;③、若A、B正交阵,则AB也是正交阵; 注意:求解正交阵,千万不要忘记施密特正交化和单位化; 2. 施密特正交化:(a1,a2,?,ar)b1?a1;b2?a2?[b1,a2][b1,b1]?b1???br?ar?[b1,ar]b[2ar,]b?r[ar,]1?b1??b2????b?r; 1[b1,b1]b[2b,2]br?[br1?,1]3. 对于普通方阵,不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交; 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B;三亿文库包含各类专业文献、行业资料、中学教育、生活休闲娱乐、应用写作文书、专业论文、高等教育、文学作品欣赏、大一线性代数的知识点128等内容。