三维射影几何研究现状论文

平面几何：最早的几何学当属平面几何.平面几何就是研究平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线,就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）.平面几何采用了公理化方法,在数学思想史上具有重要的意义. 平面几何的内容也很自然地过渡到了三维空间的立体几何.为了计算体积和面积问题,人们实际上已经开始涉及微积分的最初概念. 笛卡尔引进坐标系后,代数与几何的关系变得明朗, 且日益紧密起来.这就促使了解析几何的产生.解析几何是由笛卡尔、费马分别独立创建的.这又是一次具有里程碑意义的事件.从解析几何的观点出发,几何图形的性质可以归结为方程的分析性质和代数性质.几何图形的分类问题（比如把圆锥曲线分为三类）,也就转化为方程的代数特征分类的问题,即寻找代数不变量的问题. 立体几何归结为三维空间解析几何的研究范畴,从而研究二次曲面（如球面,椭球面、锥面、双曲面,鞍面）的几何分类问题,就归结为研究代数学中二次型的不变量问题. 总体上说,上述的几何都是在欧氏空间的几何结构--即平坦的空间结构--背景下考察,而没有真正关注弯曲空间 下的几何结构.欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性,特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑.由此人们开始关注其弯曲空间的几何, 即“非欧几何 ”.非欧几何中包括了最经典几类几何学课题, 比如“球面几何”,“罗氏几何 ”等等.另一方面,为了把无穷远的那些虚无缥缈的点也引入到观察范围内, 人们开始考虑射影几何.

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。迪沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐标概念，于是从代数观点就自然得到了对偶原理，并得到了关于一般线素曲线的一些概念。在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。他们的努力使综合射影几何形成一个优美的体系，而且用综合法也确实形象鲜明，有些问题论证直接?蚪唷?882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特别是“群”的概念产生以后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进作用。把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。这个纲领产生了巨大影响。但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

从变换观点看几何 克莱因把各种度量几何归纳为射影几何后，开始寻求区分各种几何的特征，不只是基于非度量、度量的性质以及各种度量的区分，而是基于更广泛的观点：几何要完成的目标，来刻画它们的特征。他在1827年进入埃尔朗根大学教授会时发表的演讲中给出了这种刻画，这次演讲的观点后来被称为埃尔朗根纲领。 克莱因的基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，且每种几何所做的就是在这个变换群下考虑其不变量，一个几何的子几何是在原变换群的子群下的一族不变量，在此定义下给定变换群的几何定理仍是子群几何中的定理。 虽然克莱因未在论文中使用解析式陈述他讨论的变换群，但以下将使用解析式进行说明。根据他的几何概念，射影几何（比如二维的）是研究从一个平面上的点到另一个平面上的点或者到同一平面上的点（直射变换）的变换群下的不变量，变换形式如x1'=a11x1+a12x2+a13x3（齐次坐标）或x'=(a11x+a12y+a13)/(a31x+a32y+a33)（非齐次坐标，y'是把a1i改成a2i），系数行列式必须不为0。射影变换群下的不变量有：线性、共线性、交比、调和集、保持为圆锥曲线不变等。 摄影群的一个子集是一族仿射变换，这个子群定义如下：设在射影平面上固定任一直线l∞，l∞上的点称为理想点或无穷远点，l∞称为无穷远直线，射影平面上的其它点称为寻常点。直射变换仿射群是摄影群使l∞不变的子群（但该线上的点无需保持不变），仿射几何是在仿射变换下不变的性质与关系，二维齐次坐标的仿射变换，其代数表示为以上方程，但其中a31=a32=0，并有相同行列式条件。非齐次坐标的仿射变换为x'=a11x+a12y+a13,y'=a21x+a22y+a23，且a33的余子式不为0，在仿射变换下，直线变到直线，平行直线变到平行线，然而长度和大小发生改变。仿射几何首先由欧拉注意到，而后由莫比乌斯在《重心坐标计算》一书中指出。它在形变力学的研究中有用。 任何度量几何群，除了上面行列式值必须为±1外，其它和仿射群相同。第一个度量几何是欧氏几何，要定义这种几何群，从l∞开始，假设在l∞上有固定的对合变换，要求这个对合变换没有实的二重点，而以∞处虚圆点作为二重点。考虑射影变换使l∞不变，且把对合的任何点变为对合的任何点，即每个虚圆点变到自身，欧几里得群这些变换的非齐次二维坐标的代数表达为x'=ρ(xcosθ-ysinθ+α),y'=ρ(xsinθ-ycosθ+β)，ρ=±1.不变的是长度、角的大小，任何图形的大小和形状。 用这种分类法的术语讲，欧氏几何就是在旋转、平移、反射变换下的一组不变量。要得到关于相似形的不变量，我们引进的仿射群子群称为抛物度量群，定义是使l∞上对合不变的一族射影变换，即每一对相应的点变到相应的另一对点。非齐次坐标的抛物度量群的变换具有形式x'=ax-by+c,y'=bex+aey+d， 。这些变换保持角的大小不变。