函数逼近研究现状论文

20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、 瓦莱－普桑、.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展： 在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值En(ƒ)（借助于代数多项式来逼近,或者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内在联系的理论统称为定量理论。下面叙述的定理比较典型地反映出函数的构造性质与其最佳逼近值之间的深刻联系。杰克森、伯恩斯坦、A.赞格蒙证明:2π周期函数ƒ(x)具有满足条件 或 的r阶导数ƒ(r)(r=0，1,2,…)的充分必要条件是，ƒ(x)借助于三角多项式的n阶最佳一致逼近值（简称最佳逼近，简记为）满足条件 ,式中的M,A是不依赖于n的正的常数。对于【α,b】区间上的（不考虑周期性）连续函数借助于代数多项式的逼近值与函数构造性质间的联系也有和上述结果相类似的定理，不过情况比周期函数复杂多了。这一问题是在50年代由苏联数学家Α.Ф.季曼、Β.К.贾德克解决的。杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。沿着他们开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥洛夫关于周期可微函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。从那时起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。 切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。最佳逼近多项式是唯一存在的。最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在【α,b】上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的唯一性问题。在【α,b】上给定n+1个线性无关的连续函。作为逼近函数类，式中α0,α1,…,αn是任意参数。这样的P(x)称为广义多项式。是存在的。哈尔证明,为了对每一连续函数ƒ唯一,必须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】内至多有n个不同的根。在20世纪20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函做过很多深入的研究。它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题（见复变函数逼近）。对于lp【α，b】（1≤p<+∞）内的函数ƒ借助于广义多项式在p 次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性理论。到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。 最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经典结果有.沃罗诺夫斯卡娅、.洛伦茨等对经典的伯恩斯坦多项式的研究；柯尔莫哥洛夫、尼科利斯基等对周期可微函数的傅里叶级数部分和的逼近阶的渐近精确估计；40～60年代许多逼近论学者对作为逼近方法的傅里叶级数的线性求和过程逼近性能的研究（包括对傅里叶级数的费耶尔平均、泊松平均、瓦莱·普桑平均等经典的线性平均方法的研究）。50年代初期∏.∏.科罗夫金深入研究了线性正算子作为逼近方法的特征，开辟了单调算子逼近理论的新方向（见线性正算子逼近）。40年代中期法瓦尔在概括前人对线性算子逼近的研究成果的基础上，提出了线性算子的饱和性概念做为刻画算子的逼近性能的一个基本概念，开辟了算子饱和理论研究的新方向。 从实际应用的角度来看，要解决一个函数的最佳逼近问题，需要构造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般说要精确解决这两个问题十分困难。这种情况促使人们为寻求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估计而设计出各种数值方法。一个数值方法中包含着有限个确定的步骤，借助它对每一个函数ƒ可以在它的逼近函数类P(x，α0,α1,…,αn)中求出一个函数作为最佳逼近元的近似解，并且可以估计出误差。数值方法自然不限于函数的最佳逼近问题。在插值、求积（计算积分的近似值）、函数的展开理论中也都建立了相应的数值方法。近20年来由于快速电子计算机的广泛应用,数值逼近理论和方法的研究发展很快,成为计算数学和应用数学的重要分支。除了以上列举的几个方向外,还发展了插值逼近、借助于非线性集（如有理函数）的逼近、联合逼近、在抽象空间内的逼近等等。 多元函数的逼近问题具有很重要的理论和实践意义。由于在多元函数的逼近问题中包含了很多为单变元情形所没有的新的困难，所以多元函数的逼近论比单变元情形的发展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已经研究得比较充分的一个基本问题是函数借助于三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶和函数（在一定意义下的）光滑性之间的关系。这一工作主要是由苏联学者尼柯利斯基和他的学生们于50～60年代完成的。它除了对函数逼近论本身有重要意义之外，还有很多重要应用。例如，对研究多元函数在低维子流形上的性质，多元函数在一定要求下的开拓问题等都有重要作用。后一类问题的研究属于泛函分析中的嵌入定理。近年来，在多元函数的线性算子逼近、插值逼近、样条逼近和用单变元函数的复合近似表示多元函数等方面都有所进展。现在函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。现代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。

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医学硕士开题报告范文-《治疗四肢长骨骨折不愈合》

关键词：钢丝环扎 四肢长骨骨折 济南论文 开题报告

一、选题依据、目的和意义：

骨折不愈合是骨科临床常见病症，其中以四肢长骨多发，例如胫骨，股骨，肱骨等，针对四肢长骨骨折不愈合二次手术我院多才用植骨术配合LCP重新内固定。自体髂骨作为植骨材料具有较多的优点：如取材简单、组织相容性好、无移植排斥反应、骨诱导作用强等，这些优点使得髂骨成为一种最佳的植骨供材，这在临床上已形成共识。植骨是治疗骨折不愈合的重要方法,其机制是爬行替代所引起的支架作用与供给矿物质的作用,爬行替代顺利进行的条件要求准确的复位、充分的植骨和坚强的固定。为达到充分的植骨，及早促进骨折愈合，我们采用髓内外360°植骨的方法，外用钢丝环扎，配合LCP坚强内固定，术后3~12个月内进行随访，根据愈合情况和功能恢复情况分析手术的临床疗效。选题目地在于探讨治疗四肢长骨骨折不愈合的手术改进方法和疗效，为临床治疗提供参考。

本课题以导师多年的临床资料为依据，通过对骨折不愈合手术治疗的国内外文献进行系统整理，结合山东中医药大学附属医院骨科病房对四肢长骨骨折不愈合患者的随访调查及回顾性分析，根据骨科特殊生物力学特点和导师治疗骨折不愈合的多年临床体会，分析治疗效果，并对手术中的细节问题做初步探讨与论述。同时也希望可以通过对导师的临床实践的研究、总结，能为今后的临床工作提供一些帮助和指导。

二、本课题目前国内外研究的动态、水平

治疗骨折不愈合，可分为手术治疗和非手术治疗，其中手术治疗最重要的就是植骨术加更改断端内固定。骨折不愈合应用自体骨移植治疗效果显著，已经形成共识。 植骨是治疗骨不连的重要方法,植骨方式临床多采用髓内外联合植骨。沿肌间隙进入, 骨膜下小心剥离显露骨折部位, 取出内固定器械, 清除骨断端间瘢痕, 咬除硬化骨, 打通髓腔, 修整骨折端, 手法复位, 按照骨缺损情况取骨。髓内植骨以比髓腔稍粗的骨棒,贴紧髓腔骨质;髓外上盖植骨宜用螺丝钉固定植骨块;骨碎屑充分填充残余的空隙,这样才能确实达到植骨的目的和要求。自体皮- 松质骨植骨的爬行替代缩短了骨折愈合过程,新鲜的自体骨具有生物活性,不存在免疫排异,无传染疾病的风险,同时存在骨传导和骨诱导能力。

内固定物更换得坚持以下原则，原钢板内固定者,可更换成交锁髓内针或更长的钢板置于张力侧;原交锁髓内针内固定者,可选用更大号髓内针或钢板内固定;原先短钢板内固定者，可改成较长的钢板。所有病例均需植骨。更换内固定物后,，术后石膏外固定者,应及早进行肌肉收缩锻炼活动,骨痂生长良好后,去石膏开始关节屈伸功能锻炼。但是临床上医师应该具体问题具体对待，可以根据骨痂生长情况酌情处理,出院时务必详细医嘱病人注意事项,配合医生,直到骨折完全愈合。LCP钢板内固定适用于四肢长骨骨折不愈合,可用拉力螺钉固定碎骨块及移植骨块, 并对断端行轴向加压锁定。手术关键是将骨折端的瘢痕结缔组织全部切除, 骨端硬化骨全部咬除, 露出正常骨质, 钻通髓腔, 植入的骨块必须牢固的嵌入缺损区, 间隙用松质骨填满,。应积极正确指导术后功能锻炼, 严格定期随访及指导。避免过早的不正确的负重。综上所述，对于骨折不愈合的治疗，自体骨移植疗效确切，安全稳妥，技术成熟，应用广泛，值得提倡。

三、课题研究的主要内容

1.临床资料

病例来源

本研究病例均采集于山东中医药大学附属医院骨科病房

(二)采集时间

2009年5月～2010年12月

(三)病例选择

1.诊断标准[2]

(1)病史：明确的外伤史，骨折后6个月没有愈合，并且没有进一步愈合倾向已有3个月。

(2)症状：患者骨折端成角、旋转、侧移位、短缩畸形或者节段性骨缺损、持重疼痛或不能持重、局部在应力下疼痛等。

(3)体征：局部窦道形成、流脓、假关节形成或伴有局部软组织瘢痕、缺损等

(4)辅助检查：X线表现：骨端硬化，髓腔封闭;骨端萎缩疏松，中间存在较大的间隙;或骨端硬化，相互成为杵臼假关节等这三种形式中的任何一种就可以定为骨折不愈合。

2.纳入病例标准：

(1)符合本病诊断标准;

(2)骨折平均愈合时间超过半年以上，有假关节形成;

(3)骨折平均愈合时间超过半年以上，多次复查X线拍片显示，骨折线

清晰可见，未见内外骨痂或内外骨痂极少;

(4)拍片显示骨折线增宽，骨折端骨面致密性硬化，骨髓腔封闭，骨质疏松，骨痂间无骨小梁形成，或伴有明显的骨缺损;

(5)临床表现有骨的感染、缺损、畸形、肢体不等长、局部窦道形成、流脓等。

3.排除病例标准：

(1)不符合上述诊断标准者

(2)患者有严重的内科疾病，不能够耐受手术者

(3)精神疾病患者

(4)资料不全影响判断者

2.疗效观察方法

对骨不连愈合的评价应包括骨愈合和功能恢复双重评价：

(1)骨愈合评价标准：本评价结果决定于四项指标:骨愈合、感染、畸形和肢体长度，其中骨愈合标准为X线示骨折线模糊，有连续骨痴通过骨折线，拆除或试行松动外固定物后骨折无异常活动，下肢可无痛行走，上肢持物骨折处有稳定感。 评价标准:

优:骨折愈合，无感染，断端畸形<7°，双侧肢体不等长<2 CM。

良:骨折愈合及其他三标准中两项。

可:骨折愈合及其他三标准中一项。

差:骨折未愈合或再骨折或虽愈合但不具备其他三标准中任何一个。

(2)功能评价标准

功能的评价分上肢与下肢的不同，上肢主要考虑其灵活性，而下肢主要功能为负重行走。

将下肢评价指标定为以下五项:①明显跛行;②踝或膝任何一关节僵硬(完全伸膝或踝完全背伸时，活动范围较正常或对侧丧失15°以上):③软组织情况不良;④有限制活动或影响睡眠的疼痛存在:⑤丧失工作能力或生活不能自理。

优:存在工作能力且无其他四项指标。

良:存在工作能力且具以上四指标中一至二项。

可:存在工作能力并具以上指标中三至四项。

差:丧失工作能力或生活不能自理，不考虑是否具备其他指标。

对上肢功能评价参照“Steuart和Hdlly对上肢功能评价标准”[3]

观察指标为三项:疼痛、关节活动范围、日常活动能力。

l:上肢功能评价标准

分数 痛疼 任一关节活动受限 日常活动

优 无 <20° 完全不受限

良 用力或疲劳后 20~40° 轻微受限

差 持续性 >40° 严重受限

5.课题进度及安排：

2009-05——2010-12 收集病例及随访

2010-10——2010-12 资料汇总及数据分析

2011-01——2011-03 撰写论文、定稿

四、本课题特色、预期取得的结果

骨折不愈合应用自体骨移植治疗效果显著已经形成共识，治疗过程中的经验总结需要不断的进行，更要求开展回顾性工作及进行系统的整理。因此，骨折不愈合的临床资料分析就显得尤为重要。

本课题通过搜集整理山东中医药大学附属医院骨科2009至2010年期间的患者临床资料，对于自体骨移植治疗骨折不愈合的相关性问题进行临床研究与总结。应用统计分析评分进行术前、术后及相关方面比较，对自体骨移植治疗骨折不愈合的临床疗效获得客观、真实、准确的评价，并进一步指导临床工作。

五、可行性分析

山东中医药大学附属医院骨科是山东省中医管理局评定的重点学科、重点科室,在省内知名度较高，病人来源广泛。导师王明喜主任医师从事临床工作30余年，具有丰富的临床经验，对治疗骨折不愈合做过大量研究、临床工作，并取得了良好的效果。本课题搜集整理山东中医药大学附属医院骨科近几年的临床资料，并在导师指导下对这些一手资料进行研究与总结。

四肢长骨骨折不愈合由于并发症较多，治愈比较困难，手术后功能恢复过程漫长，因此在治疗过程中，经验的总结是非常必需的，也是可行的。本课题主要研究山东省中医院近年应用钢丝环扎360°植骨配合LCP内固定治疗四肢长骨骨折不愈合的治疗效果分析情况，因此在选题上可行性较强。课题的研究也得到了学校、附院等各部门、科室的大力支持。相信可以圆满地完成课题。

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医学论文开题报告范文：细胞信号转导与靶向抗肿瘤药物的研发

一、 选题的目的和意义

定量结构活性关系(Quantitative Structure-Activity Relationships，简称 QSAR)是20世纪60年代发展起来的一门新兴学科，是由结构活性关系(Structure-Activity Relationship，简称 SAR )发展而来的。QSAR 是通过对已知结构且有生物活性系列化合物(如一系列有相同药理作用的结构相似的化合物)进行化学信息学的计算, 选用适当的数学模型建立活性与化合物结构之间定量关系，解释由于分子结构的变化影响化合物生物活性的改变,推测其可能的作用机理。然后建立有效的QSAR模型，如果有新化合物的出现，且其结构数据已知，可以预测其生物活性，也可以优化结构改变现有化合物的结构以提高其生物活性。这种方法广泛应用于药物、农药、化学毒剂等生物活性分子的合理设计。在经历40多年的发展过程中，定量构效活性关系在国际上已成为一个相当活跃的研究领域。

尽管肿瘤的化学治疗已取得重大进展，新的抗肿瘤药物不断出现，但肿瘤的化学治疗仍存在着许多问题，这主要是因为实体肿瘤占恶性肿瘤的90%但多数实体瘤如肺癌、肝癌、结肠癌及胰腺癌等还缺乏有效的药物;现有的抗肿瘤药物毒副反应太大，缺乏选择性;肿瘤细胞对抗肿瘤药物产生抗药性[1]。

QSAR主要侧重于药物早期的研究和发展，为新药物分子的筛选的和设计开拓了新的途径[2]，在受体结构已知的情况下，对抗肿瘤药物进行定量构效活性关系研究，用生成与受体结构互补的配体的方法来发现可以针对特定肿瘤、特定靶点的非细胞毒类药物，使之更具有选择性和针对性。随着新QSAR模型的建立，极大地缩短了新药合成的时间，降低了开发成本，并能在某种程度上预测药物对特定肿瘤人群的有效性。为肿瘤治疗起到了积极地推动作用。

二、国内外研究现状

肿瘤的化学治疗药物发展很快,每年都有大量抗肿瘤药物研究文献发表，各国对抗肿瘤药物的开发也予以高度重视和大量投资，美国就此专门成立了美国国立癌症研究(National Cancer Institute，简称NCI)，成为了世界抗肿瘤的权威机构。

国内研发方向主要以含中草药及其活性成分的抗肿瘤药物，可以归纳为以下几个方面：(1)对现有药物进行结构改造以改善其药理学特性，如增加水溶性、降低毒副作用等;(2)以新的作用机理或作用靶点为指导寻找新的活性物质作为先导化合物;(3)发现新的作用靶点。在当前生物学的后基因时代，科学家们要面对数千个潜在的药物靶点，探讨它们与小分了化合物的相互作用;(4)加强定量构效活性构关系研究.

近年来随着分子生物学和计算机技术的迅速发展，使得开发新药的技术路线发生了重大变革。国际上越来越多的研究机构在新抗肿瘤药物的开发中使用计算机辅助分子设计,它大大加快了新药设计的速度，节省了创制新药工作的人力和物力，使药物学家能够以理论作指导，有目的地开发新药。计算机辅助分子设计主要分两种情况:一种是在受体结构已知的情况下,采用生成与受体结构互补的配体的方法来寻找新药物;另一种是在受体结构未知的情况下,采用对一组具有类似活性的化合物建立定量结构活性关系,在此模型基础上进行结构修饰来预测生成新的化合物。

QSAR作为抗肿瘤药物设计研究中的一个重要计算方法和常用手段,在新药的开发和研制过程中占据了重要位置。近半个世纪以来,QSAR研究对有机合成化学、药物化学及药物设计的发展起了巨大的推动作用,已经成为研究物质理化性质与生物活性以寻求分子解释的一个强有力工具。下面就定量活性结构活性关系研究的一些常见方法作简要地介绍如下。

1、二维定量结构活性关系方法(2D-QSAR)传统的二维定量结构活性关系方法很多,有Hansch法、基团贡献法和分子连接性指数法等[3] 。

其中最为著名、应用最为广泛的是Hansch 法。 它假设同系列化合某些生物活性的变化是和它们某些可测量的物理化学性质(疏水性、电性质和空间立体性质等)的变化相联系的,并假定这些因子是彼此孤立的,采用多重自由能相关法,借助多重线性回归等统计方法就可以得到定量结构活性关系模型。

基团贡献法是Free-Wilson 在对有机物亚结构信息和生物毒性的相关研究基础上建立的一种方法。这种模式认为有机物与受体间的毒性效应是该有机物特定位置上不同取代基团毒性贡献的加和。Free-Wilson 法仅适用于具有相同母体结构的有机物,常被用来对有机物进行毒性初评。

分子连接性指数法(Molecular connective index ,MCI) 是由Kier 和Hall 提出的。它是根据分子中各个骨架原子排列或相连接的方式来描述分子的结构性质。MCI 是一种拓扑学参数,有零阶项(0Xv )、易阶项(1Xv )、二阶项(2Xv ) 等等，可以根据分子的结构式和原子的点价(δ) 计算得到,与有机物的毒性数据有较好的相关性。MCI 能较强地反映分子的立体结构,但反映子电子结构的能力较弱,因此缺乏明确的物理意义,但由于其具有方便、简单且不依赖于实验等优点,近年来得到广泛应用和发展[4～8]。

2、三维定量结构活性关系方法(3D-QSAR)随着结构活性关系理论和统计方法的进一步发展,20 世纪80 年代,三维结构信息被陆续引入到定量结构活性关系研究中, 即3D-QSAR。与2D-QSAR 比较,3D-QSAR 方法在物理化学上的意义更为明确,能间接反映药物分子和靶点之间的非键相互作用特征。因此,近十多年来3D - QSAR 方法得到了迅速的发展和广泛的应用，研究方法也很多[9] ,比如分子形状分(molecular shape analysis ,MSA) ，距离几何方法( distance geometry , DG ,比较分子力场分析(comparative molecular field analysis ,CoMFA) ,比较分子相似因子分析( comparative molecular similarityindices analysi CoMSIA) 以及虚拟受体( phesudo receptor) 等方法。其中应用最为广泛的CoMFA 方法。

3、随着技术的发展和生产技术的进步，又出现了一些先进的方法来构建QSAR模型，都具有很好的预测能力。其中又以启发发(heuristic method,简称HM)，支持向量机(Support Vector Machine，简称SVM)，基因表达式编程(Gene Expression Programming,简称GEP)比较常见。支持向量机(Support Vector Machine)是Vapnik[10]等人根据统计学理论提出的一种新的通用学习方法，它是建立在统计学理论的VC维理论和结构风险最小原理基础上的，能较好地解决小样本、非线性、高维数等实际问题[11-12]，已成功地应用于分类、函数逼近和时间序列预测等方面[13-15];基因表达式编程(GEP)是基于生物学遗传思想，保持了生物学的特性，具有良好的结果重现性，同时也能够进行“遗传变异”控制，最终能获得可靠的实验效果。

三、主要研究内容

1、查阅中外文文献选取数据来源。

2、理化参数与结构参数的计算。

3、具体的结构参数的分析。

4、SVM与GEP的方法研究。

5、定量结构关系式的建立。

6、定量结构关系式的验证。

7、得出结论和总结。

四、论文工作计划

3月中旬—4月初：选题。

4月初—4月底：查阅资料，熟悉实验原理及方法，准备开题报告。

5月10日： 开题。

5月初日—5月底日：进行毕业设计实验，记录数据，撰写论文。

6月初日—6月中旬日：进行毕业论文答辩。

五、参考文献

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孙永生早在莫斯科学习期间就在函数逼近论的研究中获得了优异的成绩，在前苏联科学院的重要学术刊物上发表了研究论文。他从1978年开始招收研究生，1981年成为我国第一批博士研究生导师。他带领学生们研究学术领域中的大问题、难问题。函数逼近论中的宽度理论是一个重要研究方向，也是一个非常艰深的领域。孙先生在这个领域中，在K-宽度、G-宽度、线性宽度等方面都做出了第一流的工作。特别是解决了美国数学家Melkman 和Micchelli的一个重要猜想，受到国内外同行和高度称赞。在全国第三届函数逼近论会议上，徐利治教授向大会介绍我国逼近论研究的进展时，专门介绍了孙永生在宽度理论中的重要成果。1978年以来，他每年至少亲自撰写并发表两篇高水平的研究论文，至今已发表了数十篇学术论文，分别发表在《中国科学》，《科学通报》，《数学学报》，《数学年刊》，《逼近论及其应用》等国内学术期刊和《构造逼近》，《复杂度杂志》，《数学评论》等国际学术期刊杂志上。其中多篇被收入国际著名期刊索引SCI。他出版的译著《逼近论中的极值问题》已成为我国逼近论界广泛使用的教材。他以身作则的工作作风为他所领导的研究集体树立了极好的表率。到目前为止，孙永生已培养了15名博士和18名硕士，还培养了一大批进修教师。他培养的学生，大都已成为我国各高校和研究单位的学术骨干，有的已成为博士生导师。他在多年研究工作的基础上写出了专著《函数逼近论》上、下两册（下册与他的学生合著）。这部书目前已成为我国函数论研究生广泛使用的一部权威性的教科书，并于1992年获国家教委颁发的高等学校出版社优秀学术著作特等奖。他主持的研究课题曾5次获得国家自然科学基金的资助，3次获得国家教委博士点基金的资助。以他为首的研究项目《逼近论中的极值问题和调和分析中若干逼近问题》,获1988年国家教委科技进步奖一等奖和1989年国家自然科学奖四等奖。